MATE 3171

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Dr. Pedro Vásquez
UPRM
P. Vásquez (UPRM)
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Funciones polinómicas de grado mayor que 2
DefiniciónUna función polinómica de grado n se define por:
P ( x ) = an x n + an − 1 x n − 1 + · · · + a1 x + a0
donde n 2 N y an , an −1 , · · · , a1 , a0 2 R.
El término del más alto grado del polinomio (an x n ) se denomina el
término líder y el coeficiente de dicho término (an ) se denomina el
coeficiente líder, el término a0 es el término constante.
Nota:
1. Recuerde que ya se ha estudiado las funciones de grado 0 y 1:
P (x ) = a, P (x ) = a1 x + a0 , y P (x ) = a2 x 2 + a1 x + a0 respectivamente.
2. Los polinomios son clasificados por el grado del polinomio. Es
costumbre escribir el polinomio de forma tal que los grados de sus
términos estén en orden descendente. Cuando está escrito en esta forma
se dice que está en forma estándar.
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Ejemplo
1. Determine si cada una de las siguientes funciones son polinomios. Si es
así escriba el mismo en su forma estándar e identifique el término principal.
a.
b.
c.
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Propiedades de Gráficas de Monomios
Un monomio es un polinomio de la forma f (x ) = an x n . En efecto, un
monomio es una función de potencia y como tales ya han sido estudiados.
Sin embargo, a continuación se resumen sus propiedades principales.
Caso de exponente n par: f (x ) = x 2 , x 4 , x 6 , . . .
1. Si f es una función par, su gráfica es simétrica respecto al eje y
2.Su dominio es el conjunto de todos los números reales, es decir . El
rango es el conjunto de todos los números reales no-negativos, .
3.Los puntos (−1, 1), (0, 0), (1, 1) siempre están en su gráfica.
4.Mientras mayor sea el exponente n crece, más inclinada está la gráfica
en los intervalos y (decreciente en y creciente en ) y más plana se ve la
gráfica cerca del origen (como muestra la figura a continuación).
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Caso de exponente n impar: f (x ) = x 3 , x 5 , x 7 , . . .
1.Si f es una función impar su gráfica es simétrica respecto al origen.
2.El domino y el rango es el conjunto de los números reales, .
3.La gráfica siempre contiene los puntos (−1, −1), (0, 0), (1, 1)
4.Mientras mayor sea el exponente n crece, más inclinada está la gráfica
en los intervalos (−•, −1] y [1, •) (creciente en ambos) y más plana se
ve la gráfica cerca del origen.
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Propiedades de Gráficas de Polinomios
De acuerdo a lo que se ha observado de las gráficas de monomios, se
pueden deducir tres rasgos o propiedades de las funciones polinómicas que
merecen ser enfatizadas.
1. Dominio: El dominio de cualquier función polinómica es el conjunto de
los números reales.
2. Forma General: La gráfica es una curva suave. No tiene punta aguda o
cambios bruscos, y en los extremos se levanta o cae indefinidamente.
3. Comportamiento en los extremos de x, es decir cuando x ! −• ó
cuando x ! • : Hay 4 posibles maneras en que la gráfica de se comporta
cuando los valores de x tienden a −• ó • :
a. El coeficiente principal es positivo, y el grado del polinomio es par.
b. El coeficiente principal es positivo y el grado del polinomio es impar.
c. El coeficiente principal es negativo y el grado del polinomio es par.
d.El coeficiente principal es negativo y el grado del polinomio es impar.
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2. Ejercicio 3 de su texto:
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Primera
Segunda
Tercera
Cuarta
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3. Trace la gráfica de y = 3 + 2 (x + 1)3
y
6
5
4
3
2
1
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
−2
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4. Ejercicio 5 de su texto
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