UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO FACULTAD DE MATEM´ATICAS

Transcripción

UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
Introducción a la Topologı́a.
NOTAS
CURSO AGOSTO-DICIEMBRE 2002
PROFESOR DEL CURSO
Dr. Vı́ctor Nuñez Hernández
NOTAS DE:
Lic. Gerardo Hernández Dueñas
JUNIO DE 2005
GUANAJUATO, GUANAJUATO, MÉXICO.
A mi familia, amigos y compañeros
11 de julio de 2005
Agradecimientos
Quiero agradecer al profesor del curso, el Dr. Vı́ctor Nuñez Hernández por el magnı́fico curso que nos impartió, comenzando en el fascinante mundo de la matemática pura. Le quiero
agradecer también el que me enseñara a manejar LaTex. Quiero agradecer también a mis
compañeros, que compartimos el mismo gusto por la Topologı́a.
Prefacio
El proveer a los estudiantes con la mayor cantidad de opciones de apoyo en material para
su formación redunda incuestionablemente en una ampliación de su visión de conjunto de los
conocimientos necesarios para desarrollar su futuro ejercicio profesional. Ası́ es conveniente
emplear todo el esfuerzo posible para crear estos diversos materiales de apoyo.
En este trabajo redactamos, pulimos, perfeccionamos y mecanografiamos unas notas sobre
el curso de Topologı́a I que estarán disponibles para los estudiantes en forma electrónica.
Ası́, en este trabajo creamos material de apoyo para estudiantes de matemáticas en formación.
En particular, reforzamos la bibliografı́a de las materias de Topologı́a en la Licenciatura en
Matemáticas.
Contenido
1. Introducción a la Topologı́a
1.1. Que es un dibujo . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Relación de cercanı́a . . . . . . . .
1.1.2. Funciones continuas y la relación de
1.1.3. Conjuntos abiertos y cerrados . . .
. . . . .
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cercanı́a
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2. Espacios Topológicos
2.1. Topologı́as y Espacios Topológicos . . . . . .
2.1.1. Funciones entre Espacios Topológicos
2.1.2. Conjuntos Parcialmente Ordenados .
2.2. Base de Topologı́as . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Topologı́as Generadas . . . . . . . .
2.2.2. Criterio para encontrar subbases . . .
2.2.3. Vecindades . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4. Espacios y Fronteras . . . . . . . . .
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3. Homeomorfismos
3.1. Funciones continuas entre espacios topológicos
3.2. Espacios Topológicos Homeomorfos . . . . . .
3.3. Topologı́as finales en iniciales . . . . . . . . .
3.3.1. La Topologı́a Restringida . . . . . . . .
3.3.2. Topologı́as Iniciales . . . . . . . . . . .
3.3.3. Encajes . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5. Cocientes e Identificaciones
5.1. Topologı́as Finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Identificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Teorema de Schönflies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Productos Topológicos y Fuentes
4.1. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . .
4.1.1. Propiedad Universal del Producto
4.1.2. Producto Topológico . . . . . . .
4.2. Fuente entre Espacios Topológicos . . . .
4.3. Propiedad Universal de los Productos . .
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Cartesiano
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Capı́tulo 1
Introducción a la Topologı́a
Estas son las notas del curso de Introducción a la Topologı́a, del curso del Dr. Vı́ctor Nuñez
Hernández , de las notas de Gerardo Hernández Dueñas y del libro de Salicrup ([1])
En este capı́tulo daremos la parte introductoria a la topologı́a, definiendo desde lo que es
un dibujo y algunas proposiciones.
1.1.
Que es un dibujo
¿Que es un dibujo?
¿Que ingredientes tiene un dibujo?. Véase figura 1.1.
¿Como se dibuja R?
¿Por qué?
X = {0} y X = {0, 1, 2} ¿como se dibujan? Ver figuras 1.2 y 1.3
1.1.1.
Relación de cercanı́a
Sea X un conjunto
Sea ρ : X −→ ρ(X) una relación (ρ ⊂ X × P (X)). Entonces, ρ se llama ¨relación de cer-
Figura 1.1: Ingredientes que debe tener un dibujo
10
Figura 1.2: Como dibujar un punto
Figura 1.3: Como dibujar mas de un punto
canı́a¨ ssi:
∀x ∈ X ∀A ⊂ X x ∈ A=⇒xρA
∀x ∈ X ∀A ⊂ X xρA=⇒A 6= ∅
∀x ∈ X ∀A, B ⊂ X A ⊂ B y xρA =⇒xρB
∀x ∈ X ∀A, B ⊂ X xρ (A ∪ B) =⇒xρA o xρB
∀x ∈ A∀A ⊂ X xρ{y ∈ X : yρA}=⇒xρA
Definición 1.1.1. (x, ρ) se llama dibujo.
X=∅
¿Como se dibuja X?
¿Como se dibuja R?
ρ : R → P (R)
xρA⇐⇒∀ > 0 B(x, ) ∩ A 6= ∅
Ver figura 1.4
Ejemplo 1.1.1. xρ1 A ⇐⇒ x ∈ A
Ejemplo 1.1.2. xρ2 A ⇐⇒ A 6= ∅
Definición 1.1.2. X conjunto, ρd : X −→ P (X)
xρd A ⇐⇒ x ∈ A .
ρd se llama la topologı́a discueta
1.1. Que es un dibujo
11
Figura 1.4: Para dibujar la recta real R y cualquier otro conjunto, hay que tener una relación
de cercanı́a
Figura 1.5: Las funciones importantes entre dibujos son las funciones que no se rompen
Definición 1.1.3. ρi : X −→ P (X)
xρi A ⇐⇒ A 6= ∅ .
ρi se llama la toplogı́a indicueta
Sea (X, ρ) dibujo. A ⊂ X, ρ|A = ρA : A −→ P (A)
xρA B ⇐⇒ xρB , x ∈ A, B ⊂ A
¿Cuales son las funciones importantes entre dibujos?
f : (X, ρ) −→ (Y, σ)
xρA=⇒f (x)σf (A)
Definición 1.1.4. f se rompe en a sii ∃A ⊂ X tal que aρA y ¬(f (a)ρf (A)).
1.1.2.
Funciones continuas y la relación de cercanı́a
Las funciones importantes entre dibujos son las funciones que no se rompen. Ver figura 1.5
En la figura 1.6 es un ejemplo de función que se rompe, con la relación de cercanı́a dada
en R.
f no se rompe en a
⇐⇒ ¬(∃A ⊂ X tal que aρA y ¬(f (a)ρf (a)))
⇐⇒ ∀A ⊂ X¬(aρA) o f (a)ρf (A) ⇐⇒ ∀A ⊂ X, aρA =⇒ f (a)ρf (A)
Notación: (X, ρ), (Y, σ) dibujos, f : (X, ρ) −→ (Y, σ) quiere decir f : X −→ Y es función.
12
Figura 1.6: Este es un ejemplo de una función que se rompe, con la relación de cercanı́a que
se le dio anteriormente a R
Figura 1.7: Este es un ejemplo de una función que es continua, invertible, pero la inversa no
es continua
Definición 1.1.5. (X, ρ), (Y, σ) dibujos,f : (X, ρ) −→ (Y, σ). Entonces f se llama continua
⇐⇒ f no se rompe nunca
⇐⇒ ∀a ∈ X ∀A ⊂ X, aρA =⇒ f (a)σf (A)
Ejemplo 1.1.3. I : (X, ρ) −→ (X, ρ) es continua
Definición 1.1.6. (X, ρ), (Y, ρ) dibujos. Entonces:
(X, ρ) y (Y, σ) son el mismo dibujo
⇐⇒ ∃f : (X, ρ) −→ (Y, σ) continua tal que f es biyectiva y f −1 es continua. (f se llama
¨homeomorfismo¨)
Ejemplo 1.1.4.
f : [0, 1) −→ S = {x ∈ R2 : |x| = 1}
t 7→ (cos(2πt, sen(2πt)))
f es continua, f es biyectiva pero f −1 no es continua. Véase figura 1.7
(X, ρd ) discreto (xρd A ⇐⇒ x ∈ A)
f : (X, ρd ) −→ (Y, σ) función. Entonces f es continua.
Demostración. Sea a ∈ X, A ⊂ X. Supongamos que aρd A =⇒ x ∈ A =⇒ f (a) ∈ f (A)
f (a)σf (A) por i).
13
Sea (X, ρ) dibujo . Supongamos que ¨∀(Y, σ) dibujo ∀f : (X, ρ) −→ (Y, σ) f es continua¨.
=⇒ (X, ρ) es lo mismo que un discreto.
Demostración. P.d. ∃(Z, ρd ) dibujo discreto y ∃fi : (Z, ρd ) −→ (X, ρ) homeomorfismo.
Definamos Z := X. Se tiene 1X : (X, ρ) −→ (X, ρd ) (f := 1)
Por hipótesis 1X es continua, 1X es biyectiva.
1−1
X = 1X : (X, ρd ) −→ (X, ρ).
Como 1X es discueta, 1X es continua
∴ 1X es homeomorfismo.
Ejemplo 1.1.5. (X, ρi ) dibujo indiscreto. Entonces:
∀f := (X, ρi ) ←− (Y, σ) f es continua.
Demostración. Sea (X, i) indiscreto. Sea fi : (Y, σ) −→ (X, ρi ). Sean a ∈ X y A ⊂ X y
supongamos aσA.
P.d. f (a)ρi f (A). P.d. f (A) 6= ∅
Por ii) A 6= ∅.Como f es función, f (A) 6= ∅.
Sea (X, ρ) un dibujo. Supongamos que ¨∀(X, σ) dibujo , ∀f : (X, ρ) ←− (Y, σ) f es continua
¨. Entonces:
(X, ρ) es lo mismo que un dibujo indiscreto.
Demostración. Supongamos las hipótesis.
P.d. ∃(Z, ρd ) dibujo indiscreto y ∃f : (Z, ρd ) ←− (X, ρ) un homeomorfismo.
Definamos Z := X. Se tiene 1X : (X, ρ) ←− (X, ρi ).
Por hipótesis 1X es continua , además , 1X es biyectiva, y:
1−1
X = 1X : (X, ρi ) ←− (X, ρ).
Como ρi es discuta, 1X es continua.
∴ 1X es homeomorfismo.
1.1.3.
Conjuntos abiertos y cerrados
Definición 1.1.7. (X, ρ) dibujo. A ⊂ X. Entonces A se llama ¨cerrado en X¨ sii:
∀x ∈ X, xρA =⇒ x ∈ A
Definición 1.1.8. (X, ρ) dibujo. U ⊂ X. Entonces U se llama ¨abierto¨ sii X −U es cerrado,
o sea, xρ(X − U ) =⇒ x ∈
/ U , o bien, x ∈ U =⇒ ¬(xρ(X − U ))
Proposición 1.1.1. (X, ρ) dibujo. A, B ⊂ X. Si A y B son abiertos, entonces A ∩ B es
abierto. O bien, A, B cerrados =⇒ A ∪ B es cerrado.
14
Demostración. Supongamos que A y B son cerrados. P.d. A ∪ B es cerrado.
Sea x ∈ X.
P.d. xρ(A ∪ B) =⇒ xρA ∪ B.
Supongamos que xρ(A ∪ B). P.d. x ∈ A o x ∈ B
Por iv) xρA o xρB.
Como A y B son cerrados. Por tanto:
x∈Aox∈B
El otro se prueba análogamente.
Proposición 1.1.2. Sea B ⊂ P (X) una familia de abiertos. Entonces ∪B es abierto, o sea ,
B ⊂ P (X) familia de cerrados =⇒ ∩B es cerrado.
Notación: B ⊂ X
∪B = ∪B∈B B = {x ∈ X : ∃B ∈ B tal que x ∈ B}.
∩B = ∩B∈B B = {x ∈ X : ∀B ∈ B x ∈ B}
Ejemplo 1.1.6. Intersección de abiertos puede no ser abierto:
1
1
∩(− , 1 + ) = [0, 1]
n
n
Ejemplo 1.1.7. Unión de cerrados puede no ser cerrado:
1
1
∪[ , 1 − ] = (0, 1)
n
n
Ahora vamos a demostrar la proposición anterior:
Demostración. Para esto, usaremos que:
X − ∪B∈B B = ∩B∈B (X − B)
X − ∩B∈B B = ∪B∈B (X − B) .
Sea B ⊂ P (X) familia de cerrados.
P.d. ∩B es cerrado. Sea xρ ∩ B.
P.d. x ∈ ∩B.
Sea B ∈ B. P.d. x ∈ B.
Por iii) como ∩B ⊂ B y xρ ∩ B entonces xρB.
Por hipótesis, B es cerrado.
∴x∈B
Nota:. ∅ y X son abiertos, o sea X y ∅ son cerrados.
15
Demostración. P.d. ¨∀x ∈ X, xρ∅ =⇒ x ∈ ∅¨
La primera parte de la implicación siempre es falsa, por lo que la proposición siempre es verdadera.
P.d. ¨∀x ∈ X xρX =⇒ x ∈ X¨
La segunda parte de la implicación es siempre verdadera, por lo cual la proposición siempre es
verdadera.
Proposición 1.1.3. X conjunto, C ⊂ P (X). Supongamos que:
A, B ∈ C=⇒A ∪ B ∈ C
D ⊂ C=⇒ ∩ D ∈ C
∅, X ∈ C
Entonces la relación ρ : X −→ P (X)
xρA ⇐⇒ ∀x ∈ X∀F ∈ C x ∈
/ F =⇒(X − F ) ∩ A 6= ∅
⇐⇒ ∀F ∈ C (X − F ) ∩ A 6= ∅ =⇒x ∈ F
⇐⇒ ∀F ∈ C∀x ∈ X A ⊂ F =⇒x ∈ F
es una relación de cercanı́a donde C es la familia de cerrados de (X, ρ).
Proposición 1.1.4. X conjunto,τ ⊂ P (X). Supongamos que:
A, B ∈ τ =⇒A ∩ B ∈ τ
D ⊂ τ =⇒ ∪ D ∈ τ
∅, X ∈ τ
Entonces la relación ρ : X −→ P (X)
xρA ⇐⇒ ∀B ∈ τ x ∈ B=⇒B ∩ A 6= ∅
es una relación de cercanı́a donde τ es la familia de abiertos de (X, ρ)
Demostraremos la proposición 1.1.3:
Demostración. P.D. i) x ∈ A=⇒xρA
Sea x ∈ A
P.d. xρA
16
P.d. ∀F, A ⊂ F =⇒x ∈ F
Sea F ∈ C y supongamos que A ⊂ F
P.d. x ∈ F , como x ∈ A, A ⊂ F
∴x∈F
P.d. ii) xρA=⇒A 6= ∅
Supongamos xρA. P.d. A 6= ∅
∴ ∀F ∈ C x ∈
/ F =⇒(X − F ) ∪ A 6= ∅
Como ∅ ∈ C y x ∈
/∅
∴ (X − ∅) ∩ A = A 6= ∅.
P.d. iii) xρA y A ⊂ B=⇒xρB. Supongamos que:
xρA y A ⊂ B
P.d. xρB.
Sea F ∈ C tal que B ⊂ F
P.d. x ∈ F .
Como A ⊂ B ∴ A ⊂ F , y como x ∈ A
∴x∈F
Supongamos xρ(A ∪ B)
P.d. xρA ó xρB
Supongamos que ¬(xρA). P.d. xρB.
Sea F ∈ C y supongamos que B ⊂ F .
P.d. x ∈ F
Como ¬(xρA) y xρ(A ∪ B)
∃G ∈ C tal que A ⊂ G y x ∈
/G
∀H ∈ C, A ∪ B ⊂ H=⇒x ∈ H
A ∪ B ⊂ F ∪ G ∈ C por la hipótesis i)
∴ x ∈ F ∪ G porque xρ(A ∪ B), pero x ∈
/ G, ∴ x ∈ F .
P.d. (v) xρ{y : yρA}=⇒xρA
Supongamos que:
xρ{y : yρA}, sea F ∈ C tal que A ⊂ F
P.d. x ∈ F ∀G ∈ C {y : yρA} ⊂ G=⇒x ∈ G
Lema técnico:
{y : yρA} ⊂ F
Demostración. Sea z ∈ {y : yρA}
P.d. z ∈ F
∴ zρA
∴ ∀H ∈ C, A ⊂ H=⇒z ∈ H
Como A ⊂ F y F ∈ C
∴x∈F
Por el lema técnico:
{y : yρA} ⊂ F ∈ C,
∴ x ∈ F.
17
Capı́tulo 2
Espacios Topológicos
En este capı́tulo comenzaremos con la definición de espacios topológicos y daremos la
teorı́a correspondiente a este tema.
2.1.
Topologı́as y Espacios Topológicos
Definición 2.1.1. X conjunto, τ ⊂ P (X). Entonces τ se llama una topologı́a para X sii:
A, B ∈ τ =⇒A ∩ B ∈ τ
D ⊂ τ =⇒ ∪ D ∈ τ
∅, X ∈ τ
Definición 2.1.2. X conjunto, C ⊂ P (X). Entonces C se llama ¿?
sii
A, B ∈ C=⇒A ∪ B ∈ C
D ⊂ C=⇒ ∩ D ⊂ C
∅, X ∈ C
Corolario 2.1.1. (X, ρ) es un dibujo. Entonces:
τ (ρ) = {U ⊂ X : U es abierto} es una topologı́a para X
Corolario 2.1.2. Si τ es una topologá para X. Entonces:
ρ(τ ) : X −→ P (X) tal que:
xρ(τ )A ⇐⇒ ∀F ∈ τ x ∈ F =⇒F ∩ A 6= ∅
es una relación de cercanı́a tal que la familia de abiertos de (X, ρ(τ )) es precisamente τ .
20
Adivinanza:
(X, ρ) dibujo:
ρ(τ (ρ)) = ρ
ó
Si τ topologı́a de X:
τ (ρ(τ )) = τ .
Notación:
Si τ es una topologı́a para X, entonces (X, τ ) se llama espacio topológico.
Tarea:
Escribir corolarios análogos para cerrados y las adivinanzas análogas y probarlas, si es que son
ciertas.
(X, ρ) dibujo
C(ρ) = {A ⊂ X : A es cerrado}
Si X conjunto y C es una familia de cerrados,definimos:
xρ(C)A ⇐⇒ ∀F ∈ C x ∈
/ F =⇒(X − F ) ∩ A 6= ∅
C(ρ(C)) = C
ρ(C(ρ)) = ρ
(X, ρ), (Y, σ) dibujos
f : (Xρ) −→ (Y, σ)
continua, i.e.,
∀x ∈ X∀A ⊂ X =⇒f (x)σf (a).
2.1.1.
Funciones entre Espacios Topológicos
Las funciones importantes entre espacios topológicos son las funciones continuas, y una
caracterización de las funciones continuas lo dice el siguiente teorema.
Teorema 2.1.3. f es continua , entonces para todo B ⊂ Y cerrado f −1 B es cerrado.
Demostración. Supongamos que B ⊂ Y es cerrado.
P.d. f −1 (B) = {y ∈ X : f (y) ∈ B} es cerrado.
Supongamos que xρf −1 (B) P.d. x ∈ f −1 (B)
∴ f (x)σf f −1 (B), como f f −1 (B) ⊂ B
∴ f (x)σB.
2.1. Topologı́as y Espacios Topológicos
21
Como B es cerrado
∴ f (x) ∈ B
∴ x ∈ f −1(B).
Supongamos que ∀B ⊂ Y cerrado, f −1 (B) es cerrado.
Sea A ⊂ X. Supongamos que xρA . P.d. f (x)σf (A).
B := ∩{F ⊂ X F cerrado, f (A) ⊂ F } = {y ∈ X : yσf (A)} es cerrado.
f (A) ⊂ B=⇒A ⊂ f −1 (B)
xρf −1 (B)
∴ f (x) ∈ B
∴ f (x)σf (A)
Lema técnico:
∩{F ⊂ X : F es cerrado, U ⊂ F } = {y ∈ X : yρU }
Demostración. ⊇
Sea zρU P.d. z ∈ ∩ {−; −}
Sea F cerrado tal que U ⊂ F P.d. z ∈ F , pero por la definición de cerrado es cierto.
⊆
Sea z ∈ ∩{F ⊂ X : F es cerrado, U ⊂ F }
P.d. zρU
Como {y : yρU } es cerrado y U ⊂ {y : yρU }
∴ z ∈ {y : yρU }
∴ xρU
Corolario 2.1.4. f es continua ⇐⇒ ∀U abierto, f −1 (U ) es abierto
Pregunta:
X = {a, b, c}
¿De cuantas manera se puede dibujar X?
¿Cuantas familias de cerrados tiene X?
2.1.2.
Conjuntos Parcialmente Ordenados
Definición 2.1.3. X conjunto. 6 una relación en X. Entonces 6 se llama un orden parcial
de X sii:
∀a ∈ X a6a
22
∀a, b, c ∈ X a6b y b6c=⇒a6c
∀a, b ∈ X a6b y b6a=⇒a = b
(X, 6) se llama un c.p.o (Conjunto Parcialmente Ordenado)
Ejemplos:
1.- N, R, Z, Q con el orden parcial usual a6b sii 06b − a.
2.- La familia de conjuntos A, B ∈ F . A6B sii A ⊆ B.
3.- X conjunto. Tx := {τ ⊂ P (X) : τ es topologı́a en X}. (Tx , ⊆) es un c.p.o.
Definición 2.1.4. (X, 6) un c.p.o. A ⊂ X, x0 ∈ X. Entonces:
x0 es una cota superior de A sii ∀a ∈ A, a6x0 ,
x0 es cota inferior de A sii ∀a ∈ A, x0 6a ,
x0 = SupA sii x0 es una cota superior y es la mas chica de las cotas superiores ,
x0 = Inf A sii x0 es cota inferior y es la mas grande ,
Proposición 2.1.5. (X, 6) c.p.o.Son equivalentes:
a)∀A ⊂ X , ∃x0 ∈ X tal que x0 = SupA.
b)∀A ⊂ X , ∃y0 tal que y0 = inf A
Demostración. a)=⇒b). Supongamos a). Sea A ⊂ X.
P.d. ∃y0 ∈ X tal que y0 = inf A.
Z := {u ∈ X : u es cota inferior de A}.
∴ ∃x0 ∈ X tal que x0 = SupZ por hipótesis.
(F, ⊆).
Sup∅ = al elemento mas chico de F (si es que hay).
Inf ∅ = al elemento mas grande de F (si es que hay).
def. y0 := x0 .
P.d. (i) x0 es cota inferior de A
(ii) x0 es la cota inferior mas grande.
Sea a ∈ A. P.d. x0 6A.
Lema técnico:
a es cota superior de z.
Demostración. Sea u ∈ Z. P.d. u6a
u es cota inferior de A y a ∈ A, ∴ u6a
2.1. Topologı́as y Espacios Topológicos
23
x0 es cota inferior de z y es la cota inferior mas chica. Como a es cota superior de z, x0 6a.
(ii) Sea µ cota inferior de A, o sea, sea µ ∈ Z. Como x = SupZ, u6x0 .
b)=⇒a). Igual + lattice.
Definición 2.1.5. (X, 6) c.p.o. (X, 6) se llama latiz completa sii (X, 6) satisface a) o b) de
la proposición anterior.
Ejemplos:
1.- ([0, 1], 6) es una latiz completa
2.- X conjunto. (P (X), ⊆) es una latiz completa. Sea F ⊂ P (X).
a) Inf (F ) = ∩F = {x ∈ X : ∀A ∈ F, x ∈ A} ∈ P (X)
b)Sup(F ) = ∪F ∈ P (X)
(a)
∩F ⊂ A∀A ∈ F , i.e., ∩F es cota inferior.
Si U ⊂ A∀A, entonces ∩F 3 U
∩F es la cota inferior mas grande.
3.- X conjunto.
0
TX := {τ ⊂ P (X) : τ es topolog i a paraX}
(TX , ⊆) es un c.p.o.
(TX , ⊆) es una latiz completa.
Demostración. Sea F ⊂ TX familia de topologı́as de X
Entonces ”Inf F = ∩F ”
P.d. ∩F es topologı́a
Nota:. Si F = ∅ entonces Inf F = P (X) que es topologı́a, por lo que supondremos S.P.G.
F 6= ∅
”X,∅ ∈ ∩F ” , porque cada elemento de F es una topologı́a.
Primero, supongamos A,B ∈ ∩F
P.d. A ∩ B ∈ ∩F
P.d. ∀τ ∈ F , A ∩ B ∈ τ
Sea τ ∈ F , como A,B ∈ ∩F
∴ A,B ∈ τ , ∴ A ∩ B ∈ τ
Ahora, si D ⊂ ∩F
P.d. ∪D ∈ ∩F etc.
24
Ejemplo 2.1.1. X conjunto
TX := {τ ⊂ P (X) : τ es topologı́a para X}. Entonces:
(TX , ⊆) es una latiz completa.
Demostración. F ⊂ TX , entonces Inf F = ∩F , porque ∩F es una topologı́a.
¿Quien es SupF ?
SupF = ∩{τ ∈ TX : ∪F ⊂ τ }
Ejemplo 2.1.2. X = {1, 2, 3}
n
o
τ1 := ∅, X, {1} y
n
o
τ2 := ∅, X, {2}
son topologı́as para X, y
n
o
τ1 ∪ τ2 = ∅, X, {1}, {2}
no es topologı́a, porque {1} ∪ {2} = {1, 2} ∈
/ τ 1 ∪ τ2
Pero:
Sup{τ1 , τ2 } = ∩{τ ∈ TX : τ1 ∪ τ2 ⊂ τ }
n
o
= ∅, X, {1}, {2}, {1, 2}
2.2.
Base de Topologı́as
2.2.1.
Topologı́as Generadas
D ⊂ P (X)
D no es topologı́a usualmente.
n
o n
o
D1 := A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An : Ai ∈ D ∪ ∅, X
D2 :=
n
∪G: G⊂D
o
Por milagro ”D2 es topologı́a ”
Definición 2.2.1. La topologı́a generadapor D se escribe como < D >:= D2
2.2. Base de Topologı́as
25
Demostraremos que la topologı́a generada en verdad es topologı́a.
∅, X ∈ D2 .
Sea A, B ∈ D2 .
P.d. A ∩ B ∈ D2
A = ∪G y B = ∪F para ciertos G, F ∈ D1
n
o
G = Gi1 ∩ Gi2 ∩ ... ∩ Gin : para ciertos Gij ∈ D
n
o
F = Fj1 ∩ Fj2 ∩ ... ∩ Fjm : para ciertos Fjk ∈ D
∪G ∩ ∪F
[
Gi1 ∩ ... ∩ Gin ∩
A∩B =
=
[
Fj1 ∩ ... ∩ Fjm
Fj1 ∩...∩Fjm ∈F
Gi1 ∩...∩Gin ∈G
h
[
=
i
Gi1 ∩ ... ∩ Gin ∩ Fj1 ∩ ... ∩ Fjm ∈ D2
Gi1 ∩...∩Gin ∈G
Fj1 ∩...∩Fjm ∈F
Ahora, sea F ⊂ D2 .
[
F =
[ [
i∈I
=
[[
Gij =
Gij1 ∩ ... ∩ Gijn
j∈J
[
i∈I i∈J
Gij1 ∩ ... ∩ Gijn ∈ D2
i∈I j∈J
Definición 2.2.2. (X, τ ) espacio topológico. β ⊂ τ . Entonces β se llama una base de τ sii
todo elemento de τ es unión de elementos de β.
Definición 2.2.3. (X, τ ) espacio topológico. γ ⊂ τ . Entonces γ se llama una subbase de τ sii
< γ >= τ .
2.2.2.
Criterio para encontrar subbases
Pregunta:
(X, τ ) espacio topológico. β ⊂ τ .
¿Cuando β es una base de τ ?
Primero:
< β >= τ
Segundo:
A, B ∈ β=⇒A ∩ B ∈ τ
26
A∩B =
S
i∈I
Gi para Gi ∈ β
∀x ∈ A ∩ B ∃G ∈ β tal que x ∈ G ⊂ A ∩ B
Ejemplo 2.2.1. Si tenemos (R2 , τ ) el dibujo usual,
n
o
β = B(x, ) : > 0
es base de tau, ya que:
U ∈ τ ⇐⇒∀x∈U ∃x >0 B(x, x ) ⊂ U
⇐⇒∀x∈U x ∈ ∪ B(x, x )
⇐⇒U ⊂ ∪x∈U B(x, x ) ⊂ U
γ = {(a, b) × R : a < b{∪{R × (a, b) : a < b}
es subbase de R2 .
X conjunto. β ⊂ P (X).
Supongamos que:
S
β=X
A, B ∈ β=⇒∃x∈A∩B ∃G∈B x ∈ G ⊂ A ∩ B
(O sea, A ∩ B es unión de elementos de β)
Entonces
β es base de < β >
< β >=
n[
D:D⊂β
o
Definición 2.2.4. X conjunto, F ⊂ P (X). Entonces:
< F >:= Inf {τ ∈ TX : F ⊂ τ }
se llama la topologı́a generada de F
Nota:.
< F >= ∩{τ ∈ TX : F ⊂ τ }
=
n
o
∪ D : D ⊂ {A1 ∩ ... ∩ An : Aj ∈ F } ∪ {X}
Observación: 2.2.1. (X, τ ) espacio topológico. γ ⊂ τ . Entonces:
γ es subbsase de τ ⇐⇒ < γ >= τ
⇐⇒La f amilia de intersecciones f initas de elementos de γ es base de τ
27
Ejemplo 2.2.2.
(X, P (X)) tiene como base a
n
o
β = {x} : x ∈ X
pues X =
S
x∈X {x}
(X, {∅, X}) tiene como base a
β = {X}
Observación: 2.2.2. X conjunto, β ⊂ P (X). Entonces β es base para alguna topologı́a de X⇐⇒
S
β=X
∀A, B ∈ β, x ∈ A ∩ B∃G∈β x ∈ G ⊂ A ∩ B
Observación: 2.2.3. X conjunto, γ ⊂ P (X). Entonces:
0
γ es subbase de alguna topolog i a
⇐⇒1 = 1
Definición 2.2.5. (X, τ ) espacio topológico.C los cerrados de (X, τ ), ω ⊂ C. Entonces ω se
llama una base de cerrados ⇐⇒ todo elemento de C es intersección de elementos de ω.
Si tenemos F
n
o n o
F1 := A1 ∪ ... ∪ An : An ∈ F ∪ ∅
n
o
F2 := ∩ D : D ⊂ F1
F2 es una familia de cerrados
F2 = F
Teorema 2.2.1. (Criterio de Hausdorff) τ y σ topologı́as para X. β base de τ y α base
de σ. Son equivalentes:
τ ⊂σ
∀v∈β ∃D⊂α V =
S
D
∀v∈β x∈V ∃ω∈α x ∈ ω ⊂ V
Demostración. Si
28
Figura 2.1:
para la demostración de que la topologı́a big<α esta contenida en la
Gráfica
topologı́a β
Figura
2.2: Gráfica para la demostración de que la topologı́a big<α contiene a la topologı́a
β
Ejemplo 2.2.3.
n
o
α := {B(x, ) : x ∈ R2 , > 0
n
o
β := (a, b) × (c, d) : a < b, c < d
α = β
Demostración.
”⊂”
Véase figura 2.1
”⊃”
Véase figura 2.2
Ejemplo 2.2.4. A continuación se muestra un familia de métricas que generan diferentes
topologı́as.
x, y ∈ R2 ,
d1 (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 |
X
1
n n
dn (x, y) =
|xi − yi |
n
o
d∞ (x, y) = Sup |x1 − y1 |, |x2 − y2 | para x, y ∈ R2
En la figura 2.3 se muestra la bola Bd∞ (0, 1).
29
Figura 2.3: La bola de radio 1 con centro en el origen con respecto a la métrica d∞
Figura 2.4: La bola de radio 1 con centro en el origen con respecto a la métrica d1
En la figura 2.4 se muestra la bola Bd1 (0, 1).
En la figura 2.5 se muestran todas las bolas Bdn (0, 1) con respecto a las métricas vistas en
el ejemplo 2.2.4.
Observación: 2.2.4.
τ , σ topologı́as para X. β base de τ y β base de σ. Entonces τ = σ
0
0
β base de τ . β ⊂ β ⊂ τ . Entonces β es base de τ .
Sea (X, τ ) espacio topológico, entonces (τ, ⊂) es una latiz completa porque:
[
F ⊂ τ , SupF =
F
S
SupF es el abierto mas chico que contiene a F.
Inf F es el abierto mas grande contenido en
T
F.
¿Quien es Inf F?
o
[n
\
v∈τ :
F ⊃ V = Inf F
Ver figura 2.6.
Definición 2.2.6. (X, τ ) espacio topoógico. A ⊂ X. Entonces:
IntA = Inf {A} = al abierto mas grande contenido en A
Figura 2.5: En esta gráfica se muestran todas las bolas de radio 1 con centro en el origen con
respecto a las métricas dn
30
Figura 2.6: El interior de un conjunto
Notación:.
◦
IntA = Int(A) =A= A
◦
(X, τ ) espacio topológico.
A ∈ τ ⇐⇒A = IntA = Int(A)
Int :
P(X)
A
→
7
→
P(X)
Int(A)
es función.
Proposición 2.2.2. A es abierto ⇐⇒ A = Int(A)
Proposición 2.2.3.
IntX = X
Int(A ∩ B) = Int(A) ∩ Int(B)
Int(Int(A)) = Int(A)
Int(A) ⊂ A
Definición 2.2.7. Cerr(A)=el cerrado mas chico que contiene a A.
Proposición 2.2.4. A es cerrado ⇐⇒A = Cerr(A)
Proposición 2.2.5. (Axiomas de Kuratowski:)
Cerr(∅) = ∅
Cerr(A ∪ B) = Cerr(A) ∪ Cerr(B)
Cerr(Cerr(A)) = Cerr(A)
Cerr(A) ⊃ A
2.2.3.
31
Vecindades
Definición 2.2.8. (Hausdorff ) (X, τ ) espacio topológico. x ∈ X, N ⊂ X. N se llama una
vecindad de x ssi
∃U ∈ τ tal que x ∈ U ⊂ N .
Notación:.
n
o
Nx := N ⊂ X : N es vecindad de x
◦
n
o
Nx = N ∈ Nx : N ∈ τ
Proposición 2.2.6. (X, τ ) espacio topológico. U ⊂ X.
U es abierto ⇐⇒ ∀x∈U U ∈ Nx
Demostración.
=⇒
U ∈ τ . Sea x ∈ U
P.d. U ∈ Nx
P.d. ∃ω ∈ τ tal que x ∈ ω ⊂ U
def. : ω := U
⇐
Supongamos que:
∀x∈U U ∈ Nx
P.d. U ∈ τ
Sabemos que para cada x ∈ U ∃ωx ∈ τ tal que x ∈ ωx ⊂ U
∴
S
x∈U
ωx = U
Proposición 2.2.7. Sea x ∈ X entonces X ∈ Nx y además:
N ∈ Nx =⇒x ∈ N
M, N ∈ Nx =⇒M ∩ N ∈ Nx
N ∈ Nx ∧ N ⊂ M=⇒M ∈ Nx
Teorema 2.2.8. X conjunto.
ν : X → P(P(X))
función.
Supongamos que:
32
1. ∀x ∈ X, ν(x) 6= ∅.
2. N ∈ ν(x)=⇒x ∈ N .
3. N ∈ ν(X) ∧ N ⊂ M=⇒M ∈ ν(X).
4. M, N ∈ ν(x)=⇒M ∩ N ∈ ν(x).
5. N ∈ ν(x)=⇒∃M ∈ ν(x) tal que M ⊂ N y ∀y ∈ M, M ∈ ν(y).
Entonces:
n
o
τ := V ⊂ X : ∀y ∈ V, V ∈ ν(y)
es una topologı́a para X tal que:
Nxτ = ν(x), (∀x ∈ X) .
A la función ν se le llama Operador de Vecindades.
Demostración. ”X ∈ τ ”
P.d. ∀y ∈ X, X ∈ ν(y).
Sea y ∈ X. P.d. X ∈ ν(y).
Por 1), ν(y) 6= ∅, digamos N ∈ ν(y).
Por 3) como N ⊂ X, ∴ X ∈ ν(y)
”∅ ∈ τ ”
√
Sea A, B ∈ τ
P.d. A ∩ B ∈ τ .
Sea y ∈ A ∩ B; P.d. A ∩ B ∈ ν(y).
Como y ∈ A ∩ B ∴ y ∈ A ∧ y ∈ B
Como A, B ∈ τ , ∴ A, B ∈ ν(y).
Por 4) A ∩ B ∈ ν(y).
Sea
S Vi i∈I ⊂ τ .
P.d. i∈I Vi ⊂ τ .
S
Sea
y
∈
i∈I Vi .
S
P.d. i∈I Vi ∈ ν(y).
∃j ∈ I tal que y ∈ Vj .
Vj ∈ τ , ∴ VjS∈ ν(y). S
Como Vj ⊂ i∈I Vi ∴ i∈I Vi ∈ ν(y).
33
”Nxτ = ν(x) (∀x ∈ X)”.
”⊂” Sea N ∈ Nx
P.d. N ∈ ν(x).
∃U ∈ τ tal que x ∈ U ⊂ N .
Como U ∈ τ , ∴ U ∈ ν(x); por 3) N ∈ ν(x).
”⊃” Sea N ∈ ν(x) P.d. N ∈ Nx .
P.d. ∃U ∈ τ tal que x ∈ U ⊂ N se sigue de 5)
2.2.4.
Espacios y Fronteras
Definición 2.2.9. (X, τ ) espacio topológico ; A ⊂ X. Entonces la frontera (Boundary) de A
esta definida por:
∂A := A ∩ X − A
Notación:.
∂A = ∂τ A = F r(A) = F rτ (A) = Bd(A) = Bdτ (A)
A es abierto ⇐⇒A ∩ ∂A = ∅
A es cerrado ⇐⇒A ∩ ∂A = ∂A (∂A ⊂ A)
Cerr(A) = A ∪ ∂A
Demostración.
A ∪ ∂A = A ∪ (A ∩ X − A) = A ∪ A ∩ A ∪ (X − A)
=A∩X =A ,
pues
X ⊃ A ∪ (X − A) ⊃ A ∪ (X − A) = X
Además:
A ∩ ∂A = A ∩ A ∩ (X − A)
= A ∩ (X − A) = ∅
si A es abierto.
2. ∂A = ∂(X − A)
3. ∂∂A ⊂ ∂A
1. ∂∅ = ∅
34
4. (A ∪ B) ∪ ∂(A ∪ B) = A ∪ ∂A ∪ B ∪ ∂B
Ejemplo 2.2.5.
∂(Q ∩ [0, 1]) = [0, 1]
∂∂(Q ∩ [0, 1]) = ∂[0, 1] = {0, 1}
Ver los dias 24 y 25 de septiembre
Capı́tulo 3
Homeomorfismos
En este capı́tulo introduciremos la definición de homeomorfismos y muchas otras definiciones como lo son las topologı́as finales e iniciales, encajes , etc.
3.1.
Funciones continuas entre espacios topológicos
Recordatorio:
Definición 3.1.1. f : (X, τ ) −→ (Y, σ). f se llama continua sii:
∀U ∈σ f −1 (U ) ∈ τ
Proposición 3.1.1. f : (X, τ ) −→ (Y, σ). Son equivalentes:
1. f es continua .
2. ∃β base de σ tal que ∀U ∈ β, f −1 (U ) ∈ τ .
3. ∃γ subbase de σ tal que ∀U ∈ γ, f −1 (U ) ∈ τ .
4. ∀β ⊂ Y , f −1 (Intσ B) ⊂ Intτ f −1 (B).
5. ∀F cerrado de Y , f −1 (F ) es cerrado de X.
6. ∀A ⊂ X, f (A) ⊂ f (A)
(xρA=⇒f (x)ρf (A))
7. ∀B ⊂ Y , f −1 (B) ⊂ f −1 (B)
8. ∀B ⊂ Y , ∂f −1 (B) ⊂ f −1 (∂B)
9. ∀x ∈ X, ∀E ∈ Nf (x) ∃D ∈ Nx tal que f (D) ⊂ E
36
3. Homeomorfismos
Demostración. ”1)=⇒2)” def.: β := σ
”2)=⇒3)” def.: γ := β
”3)=⇒1)”
Sı́, porque f −1 se comporta bien algebraicamente (unión de intersecciones finitas).
”1)=⇒4)” Sea B ⊂ X.
P.d. f −1 (IntB) ⊂ Intf −1 (B).
IntB ∈ σ; por hipótesis f −1 (IntB) ∈ τ .
Como IntB ⊂ B, ∴ f −1 (IntB) ⊂ f −1 (B).
Como f −1 (IntB) ∈ τ , ∴ f −1 (IntB) ⊂ Intf −1 (B), porque Intf −1 (B) es un Sup.
”4)=⇒5)” Sea F cerrado de Y .
P.d. f −1 (F ) es cerrado en X.
P.d. X − f −1 (F ) ∈ τ .
Como Y − F ∈ σ, ∴ Int(Y − F ) = Y − F .
Por hipótesis:
f −1 (Int(Y − F )) ⊂ Intf −1 (Y − F ) = Int(X − f −1 (F )) ⊂ X − f −1 (F ) ,
pero
f −1 (Int(Y − F )) = f −1 (Y − F ) = X − f −1 (F ) .
Por lo tanto:
Int(X − f −1 (F )) = X − f −1 (F ) ∈ τ
”5)=⇒6)” Sea A ⊂ X.
P.d. f (A) ⊂ f (A).
f (A) es cerrado.
∴ f −1 (f (A)) es cerrado por hipótesis. f (A) ⊂ f (A).
∴ A ⊂ f −1 (f (A)) ⊂ f −1 (f (A)).
∴ A ⊂ f −1 (f (A)).
∴ f (A) ⊂ f f −1 (f (A)) ⊂ f (A).
”6)=⇒7)”
f −1 (B) ⊂ f −1 (B)
Por hipótesis:
f (f −1 (B)) ⊂ f f −1 (B) ⊂ B
3.1. Funciones continuas entre espacios topológicos
∴ f −1 (B) ⊂ f −1 f (f −1 (B)) ⊂−1 (B).
√
”7)=⇒8)” pues sı́
”8)=⇒1)” Sea U ∈ τ , P.d. f −1 (U ) ∈ τ .
P.d. ∂f −1 (U ) ∩ f −1 (U ) = ∅.
Como U ∈ τ , ∴ U ∩ ∂U = ∅ y por hipótesis,
∂f −1 (U ) ⊂ f −1 (∂U )
∴ ∂f −1 (U ) ∩ f −1 (U ) ⊂ f −1 (∂U ) ∩ f −1 (U )
= f −1 (∂U ∩ U ) = f −1 (∅) = ∅
”1)⇔9)”
=⇒ Sea x ∈ X, sea E ∈ Nf (x) y digamos, E ⊂ τ .
P.d. ∃D ∈ Nx tal que f (D) ⊂ E.
Por hipótesis f −1 (E) ∈ τ y x ∈ f −1 (E), pues f (x) ∈ E.
Como f f −1 E ⊂ E, si D = f −1 (E) ya!.
⇐ Sea U ∈ σ.
P.d. f −1 (U ) ∈ τ .
P.d. ∀x∈f −1 (U ) f −1 (U ) ∈ Nx .
Sea x ∈ f −1 (U ), entonces f (x) ∈ U .
P.d. f −1 (U ) ∈ Nx .
Por hipótesis, ∃D ∈ Nx tal que f (D) ⊂ U .
∴ D ⊂ f −1 f (D) ⊂ f −1 (U ).
Como D ∈ Nx , f −1 (U ) ∈ Nx .
1 es continua
1 : (X, τ ) ,→
x
7→
(X, τ )
x
f, g continuas =⇒f ◦ g es continua.
Definición 3.1.2. f : (X, τ ) −→ (Y, σ). Entonces f es abierta ssi:
∀ω ∈ τ , f (ω) ∈ σ
37
38
3. Homeomorfismos
Figura 3.1: Imagen de la función h que es continua, biyectiva, pero con inversa no continua
Nota:. Hay funciones que son abiertas y no son continuas.
Ejemplo 3.1.1. ]X > 1,
−→1
X, {0, X}
X, P(X)
7→
x
x
es abierta pero no continua.
3.2.
Espacios Topológicos Homeomorfos
Definición 3.2.1. h : (X, τ ) −→ (Y, σ) función. Entonces h se llama homeomorfismo sii
h es continua
h es biyectiva
h−1 es continua
Ejemplo 3.2.1.
[0, 1)
t
h
-
7→
S 1 = {x ∈ R2 : |x| = 1}
(cos 2πt, sen 2πt) = e2πit
e2πit = e2πis =⇒t − s ∈ Z
h es continua , biyectiva, pero h−1 no es continua. Véase figura 3.1.
Ejemplo 3.2.2.
1 : (X, τ ) −→ (X, τ ) es homeomorf ismo.
Ejemplo 3.2.3. a < b, c < d, a, b, c, d ∈ R
h
[a, b]
t
−→
7
→
[c, d]
αt + β
donde
d−c
d−c
, β =c−
b−a
b−a
[a, b] y [c, d] son homeomorfos (existe un homeomorfismo de un espacio a otro)
α=
[a, b] ∼
= [c, d]
con homeomorfismo h.
[0,
1 ∼
] = [0, 1000]
10
3.2. Espacios Topológicos Homeomorfos
39
Figura 3.2: Idea de la demostración para ver que R y R2 no son homeomorfos.
Figura 3.3: Ejemplos de espacios topológicos homeomorfos.
Notación:. Si h : (X, τ ) −→ (Y, σ) es un homeomorfismo, se escribe:
(X, τ ) ∼
= (Y, σ)
y se dice que (X, τ ) y (Y, σ) son homeomorfos o equivalentes topológicamente.
Ejemplo 3.2.4.
(0, 1) ∼
= [0, 1] difı́cil
Ejemplo 3.2.5.
R R2 difı́cil
Idea:
Podemos mandar un dibujo en R que se rompe en un dibujo en R2 que no se rompe, esta
caracterı́stica va hacer que R y R2 no sean homeomorfos. Vease figura 3.2.
Ejemplo 3.2.6. En la figura 3.3 se muestran ejemplos de espacios topológicos homeomorfos.
Ejemplo 3.2.7.
(−1, 1) ∼
=R
con el homeomorfismo:
h:
(−1, 1)
x
−→
7
→
la pruyección.
h−1 (ω) =
ω
1 + |ω|
R
x
1−|x|
40
3. Homeomorfismos
Ejemplo 3.2.8.
◦
n
D= {x ∈ R : |x| < 1}
h
◦
Rn
−→
7
→
D
x
x
1−|x|
es homeomorfismo.
Ejemplo 3.2.9. En este ejemplo encontraremos un homeomorfismo de la bola B(0, 1) en R2 en
si misma que manda un punto en otro y que deja fija la frontera.
D = {x ∈ R2 : |x|61}
◦
Si u, v ∈D⊂ D, u 6= v, entonces existe
ψ : D −→ D
homeomorfismo tal que ψ(u) = v.
Para esto, hagamos entonces el siguiente diagrama conmutativo:
T - 2
R
R2
6
h−1
h
?
◦
◦
D
-D
h−1 T h
donde
T (z) = z − h(u) + h(v)
T −1 (ω) = ω − h(v) + h(u)
◦
◦
ϕ := h−1 T h :D−→D
es homeomorfismo tal que ϕ(u) = v, pues:
ϕ(u) = h−1 T h(u) = h−1 h(v) = v
Definamos entonces:
ψ:
D
x
−→
7
→
D
(
◦
ϕ(x), si x ∈D;
x,
si x ∈ ∂D.
3.3. Topologı́as finales en iniciales
41
ψ es homeomorfismo tal que ψ(u) = v y ψ
(
−1
ψ (ω) =
= 1∂D .
∂D
◦
ϕ−1 (ω), si x ∈D;
ω,
si x ∈ ∂D.
Falta verificar que ψ es continua.
P.d. lı́m|z|→1 ϕ(z) = z.
P.d. lı́m|z|→1 T (z)
1−|T (z)|
T (z)
1+| 1−|T (z)| |
− z = 0
La demostración se deja como ejercicio.
3.3.
Topologı́as finales en iniciales
3.3.1.
La Topologı́a Restringida
(X, ρ) dibujo , A ⊂ X, x ∈ A , B ⊂ A
xρA B⇐⇒xρB
ρA indica una topologı́a en A, ¿Cual?
Definición 3.3.1. Si τ es la topologı́a en X, entonces la topologı́a restringida es:
τA = U ∩ A : U ∈ τ
¿Por qué?
A⊂X
i:
A
x
,→
7
→
(X, τ )
x
Pedimos τA topologı́a para A,
i : (A, τA ) ,→ (X, τ )
sea continua.
Tomamos τA la topologı́a mas chica de A tal que:
i : (X, τA ) ,→ (X, τ )
42
3. Homeomorfismos
resulta continua, o sea,
τA = {i−1 (U ) : U ∈ τ }
Si U ∈ τ , i−1 (U ) = U ∩ A, o sea,
τA = {U ∩ A : U ∈ τ }
3.3.2.
Topologı́as Iniciales
Definición 3.3.2. (X, τ ) espacio topológico. f : Y −→ X función, σ topologı́a para Y . Entonces σ se llama la topologı́a inicial de X respecto a f , τ ssi σ es la topologı́a mas chica de
Y tal que:
f : (Y, σ) −→ (X, τ )
resulta continua.
Teorema 3.3.1. f : (Y, σ) −→ (X; τ ). Son equivalentes:
a) σ es la topologı́a inicial respecto a f, τ
b) σ = f −1 (U ) : U ∈ τ
c) Si β es base de τ , entonces f −1 B : B ∈ β es base de σ.
d) Con subbases también
e) f es continua ∧∀g : (Z, ζ) −→ (Y, σ)
f ◦ g es continua =⇒g es continua.
f ) f es continua ∧
∀h continua y biyectiva
∀g continua
Si conmuta el diagrama:
f
- (X, τ )
h
◦
-
(Z, ζ)
g ◦ h = f . Entonces h es homeomorfismo.
g
-
(Y, σ)
43
Demostración. ”a)=⇒b)” Supongamos que σ es la topologı́a inicial respecto a f, τ , y:
σ0 = {f −1 (U ) : U ∈ τ }.
P.d. σ = σ0 .
Como f : (Y, σ0 ) −→ (X, τ ) es continua.
∴ σ ⊂ σ0 , pues σ es un Inf .
Como f : (Y, σ) −→ (X, τ ) es continua.
∴ σ0 ⊂ σ (f −1 (U ) ∈ σ ∀U ∈ τ ).
”b)=⇒c)” Supongamos que σ = {f −1 (U ) : U ∈ τ }.
Sea β una base de τ .
P.d. f −1 β = f −1 B : B ∈ β es base de σ.
Sea ω ∈ σ, entonces ω = f −1 (U ) para U ∈ τ .
P.d. ω es unión de elementos de f −1 β.
β es base de τ , entonces:
U=
[
D
con D ⊂ β.
S
S −1
∴ f −1 (U ) = f −1 ( D) =
f (B) : B ∈ D , y
f −1 B : B ∈ β ⊂ f −1 β
”c)=⇒d)” Mas o menos fácil.
”d)=⇒e)” Supongamos que para toda γ subbase de τ , f −1 γ es subbase de σ.
”f es continua”, por algún inciso de un teorema anterior con γ = τ .
Sea g : (Z, ζ) −→ (Y, σ).
Supongamos que f ◦ g es continua.
P.d. g es continua.
τ es subbase de τ .
∴ f −1 τ es subbase de σ por hipótesis.
P.d. g −1 (f −1 τ ) = {g −1 (f −1 (U )) : U ∈ τ } es subbase de ζ.
44
3. Homeomorfismos
Pues sı́, porque f ◦ g es continua.
”e)=⇒f )” ”f continua” por hipótesis.
Sea g continua, h continua y biyectiva y supongamos que el diagrama:
f
(Y, σ)
- (X, τ )
−
h
1
g
-
◦
h
-
(Z, ζ)
conmuta.
P.d. h es homeomorfismo.
P.d. h−1 es continua.
f ◦ h−1 = g es continua, pues el diagrama anterior conmuta.
∴ h−1 es continua, por hipótesis.
”h)=⇒a)” Supongamos las hipótesis.
P.d. σ es inicial.
Tomamos σ0 la topologı́a inicial de Y respecto a f, τ .
P.d. σ = σ0 .
Por hipótesis f : (Y, σ) −→ (X, τ ) es continua.
∴ σ0 ⊂ σ.
El diagrama:
f
- (X, τ )
1
◦
f
-
(Y, σ)
-
(Y, σ0 )
conmuta (f ◦ 1 = f ).
f : (Y, σ0 ) −→ (X, τ )
45
Figura 3.4: Topologı́a Inicial
es continua, pues σ0 es inicial.
1 : (Y, σ) −→ (Y, σ)
es continua, porque σ0 ⊂ σ y es biyectiva, ası́ que es un homeomorfismo.
Por lo tanto:
1−1 = 1 : (Y, σ0 ) −→ (Y, σ)
es continua.
∴ σ ⊂ σ0
Ejemplo 3.3.1. A ⊂ X, (X, τ ) espacio topológico.
τA = A ∩ U : U ∈ τ
es la topologı́a inicial respecto e i : A ,→ X, τ .
Ejemplo 3.3.2. Si f : S 1 −→ (R2 , τ ) es como en la figura 3.4.
Si σ es la topologı́a inicial para S 1 respecto a f, τ , entonces (S 1 , σ) se ve como en la figura
3.3.2.
¿Cuales son las funciones importantes en el tema de las topologı́as iniciales?
Las funciones f : (Y, σ) −→ (X, τ ) iniciales e inyectivas.
Teorema 3.3.2. Sea f : (Y, σ) −→ (X, τ ) inicial e inyectiva. Entonces f es homeomorfismo
sobre su imagen.
46
3. Homeomorfismos
Figura 3.5: Hipótesis para la Propiedad Universal de los Encajes
3.3.3.
Encajes
Definición 3.3.3. (X, τ ) espacio topológico. A ⊂ X, α topologı́a de A. Entonces (A, α) se
llama subespacio de (X, τ ) ssi α es inicial con respecto a i : A ,→ X, τ . (α se llama la topologı́a
inducida por τ ).
Definición 3.3.4. f : (Y, σ) −→ (X, τ ) continua. Entonces f se llama encaje (inmersión)
ssi f es inyectiva y σ es inicial.
Notación:.
monomorfismo=función inyectiva.
epimorfismo=función suprayectiva.
isomorfismo=función biyectiva.
Proposición 3.3.3. f : (X, τ ) −→ (Y, σ) monomorfismo continuo.
f es abierta =⇒ f es encaje.
(f es cerrada =⇒ f es encaje.)
Demostración. P.d. τ es inicial g : (Z, ζ) −→ (X, τ ).
Supongamos f ◦ g es continua.
Sea U ∈ τ . P.d. g −1 U ∈ ζ.
Por hipótesis f (U ) ∈ σ, ∴ (f ◦ g)−1 f (U ) ∈ ζ y
g −1 f −1 f (U ) = g −1 (U )
porque f es monomorfismo.
Observación: 3.3.1. f es encaje ⇐⇒ f es homeomorfismo sobre su imagen.
47
Proposición 3.3.4. (Propiedad Universal de los Encajes). f : (X, τ ) −→ (Y, σ) encaje,
g : (Z, ξ) −→ (Y, σ) continua.Supongamos que g(Z) ⊂ f (X). Véase 3.5.
g
- (Y, σ)
ge
◦
f
-
(Z, ξ)
-
(X, τ )
=⇒∃! ge : (Z, ξ) −→ (X, τ ) continua tal que:
f ◦ ge = g
Demostración. Definamos:
ge
:Z
x
−→
7
→
X
f −1 (g(x))
ge(x) = es el único elemento de f −1 (g(x)),
porque f es monomorfismo.
∴ ge es función.
Claramente ge es continua, porque f ◦ ge = g es continua y f es inicial (inciso e)).
Si f ◦ h = g = f ◦ ge ∴ h = ge (cancelable por la izquierda).
∴ h = ge.
Proposición 3.3.5. La categorı́a T op (categorı́a de espacios topológicos) es epimonofactorizable.
a
- (Y, σ)
e
◦
m
-
(X, τ )
-
(Z, η)
∃e epimorf ismo m encaje tal que m ◦ e = a
Z := a(X), η := σ
a(X)
48
3. Homeomorfismos
e := a , m = i : (Z, η) ,→ (Y, σ)
Si:
0
0
m ◦e =a
es otra epimonofactorización, entonces existe h homeomorfismo:
a
- (Y, σ)
-
(X, τ )
m
e
◦
-
-
(Z, η)
0
-
e
h
-
?
(ω, ξ)
m
(Z, η)
- (Y, σ)
h
∃!
m
0
-
g
∃!
◦
-
(ω, ξ)
0
0
m(z) ⊂ m (ω) m (ω) ⊂ m(Z),
y ∈ m(Z), y = m(u). Como e es epimorfismo, u=e(x),
e(m(x)) = a(x) = y
0
0
m ◦ e (x) = a(x) = y
0
∴ y ∈ m (ω).
0
(m ◦ g) ◦ h(x) = m ◦ h(x) = m(x)
Entonces g ◦ h conmuta el diagrama y 1 también.
m
(Z, η)
- (Y, σ)
-
◦
h
1
(Z, η)
m
g
◦
49
Entonces:
g◦h=1
Análogamente:
h◦g =1
∴ h es homemomorfismo.
Corolario 3.3.6. f es encaje ⇐⇒f es homeomorfismo sobre su imagen.
F
(X, τ )
- (Y, σ)
f
◦
-
(f (X), σ
)
f (X)
6
h
?
-
(Z, η)
(X, τ )
f : (X, τ ) −→ (Y, σ)
función continua. A ⊂ X, B ⊂ Y , f (X) ⊂ B, i : A ,→ X inclusión.
f := f ◦ i
A
f
- (Y, σ)
-
B
f
ef =
◦
i
-
(X, τ )
(B, σ B )
f
B
:= fe
50
3. Homeomorfismos
f
B
(x) = f B (i(x)) = f (x)
B
B
f = f ◦ i
A
Capı́tulo 4
Productos Topológicos y Fuentes
4.1.
Producto Cartesiano
En esta sección vamos a generalizar la idea de producto cartesiano el conjunto de los ”factores” es de cardinalidad mayor a dos, incluso infinito no numerable.
Sea Aα α∈I una familia de conjuntos.
¿ Que es
Q
α∈I
Aα ?
Un elemento se debe ver como
{xα }α∈I = xα
α∈I
∈
Y
Aα
α∈I
y debe cumplir:
xα
α∈I
= yα
α∈I
⇐⇒xβ = ybeta ∀β ∈ I
(3, +7, −1, 2) = 3(1, 0, 0, 0) + 7(0, 1, 0, 0) − 1(0, 0, 1, 0) + 2(0, 0, 0, 1)
f : {1, 2, 3, 4} −→ Z
función
1 7→ 3
2 7→ 7
3 7→ − 1
4 7→ 2
(♥, ♣, >, 27)
f : {1, 2, 3, 4} −→ Z ∪ {♥, ♣, >}
52
función
1 7→ ♥
2 7→ ♣
3 7→ >
4 7→ 27
Son iguales ssi tienen las mismas entradas.
f=
1 2 3
4 3 7 −1 2
f = (3, 7, −1, 2)
g=
1 2 3 4 ♥ ♣ > 27
g = (♥, ♣, >, 27)
Definición 4.1.1. {Aα }α∈I familia de conjuntos. Entonces:
Y
[
0
Aα := {f : I −→
Aα f unci o n f (α) ∈ Aα ∀α ∈ I}
α∈I
α∈I
se llama producto cartesiano de {Aα }α∈I
Notación:. F familia de conjuntos, ponemos entonces:
Y
Y
A
F=
A∈F
Si f ∈
Q
α∈I
Aα se escribe:
f = f (α) α∈I = fα α = {fα }α∈I
Se tienen las siguientes funciones:
pβ :
Y
Aα −→ Aβ
α∈I
para cada β ∈ I, dada por:
pβ (f ) := f (β).
O sea,
pβ fα
α∈I
= fβ
4.1. Producto Cartesiano
53
pβ es la proyección β-ésima.
En otras palabras:
f = fα
Se cumple que, f, g ∈
Q
α∈I
α∈I
= pα (f ) α∈I .
Aα
f = f ⇐⇒pβ f = pβ g ∀β ∈ I
⇐⇒fβ = gβ ∀β ∈ I ,
O sea, el conjunto
4.1.1.
Q
α∈I
Aα se proyecta en los Aβ ∀β ∈ I.
Propiedad Universal del Producto Cartesiano
Y
q
Aα Y
qβ
α∈I
◦
pβ
-
Aβ
q es tal que:
pβ ◦ q = qβ ∀β
suponiendo que tenemos qβ ∀β
Esta se llama la Propiedad Universal del Producto Cartesiano.
q
Y
y
−→
7
→
Q
Aα qα (y) α∈I
q es función y
pβ qα (y) α∈I = qβ (y).
Si
r : Y −→
Y
Aα
es tal que
pβ r = qβ ∀β,
54
entonces si r(y) = rα
α∈I
pβ (r(y)) = rβ = qβ (y) ,
O sea,
r(y) = qβ (y) = q(y)
Proposición 4.1.1. Supongamos que Z es un conjunto y πα : Z −→ Aα funciones ∀α ∈ I
tales que:
∃!q
Y
qβ
Z
πβ
◦
-
Aβ
Q
Entonces Z ∼
= α∈I Aα
Demostración.
P
Z
πβ
Y
Aα
-
Aα
pβ
◦
Y
Aβ
y
π
Z
-
-
pβ
πβ
◦
Aβ
Componiendo tenemos:
4.1. Producto Cartesiano
55
p◦π
Z
πβ
Z
πβ
◦
-
Aβ
y
1
Z
πβ
Z
-
πβ
◦
Aβ
Por lo que tenemos:
(πβ ◦ p) ◦ π = pβ ◦ π = πβ
∴ p ◦ π = 1Z .
Análogamente π ◦ p = 1Q Aα .
De acuerdo con este teorema, el producto cartesiano de {Aα }α∈I es {pβ :
Aβ }β∈I .
Q
α∈I
Aα −→
Lo que nos
Q dice esto es que debemos pensar en las proyecciones si queremos darle la
topologı́a a α∈I Aα .
Si {(Aα , aα )}α∈I familia de espacios topológicos.
4.1.2.
Producto Topológico
¿Que topologı́a le damos a
Q
Aα ?
pβ :
Y
Aα −→ (Aβ , aβ )
α∈I
0
τ = Inf {b topolog i a de
Y
Y
Aα pβ : ( Aα , β) −→ (Aβ , aβ ) es continua}
56
se llama la topologı́a producto de {aα }, y
Y
Aα , τ
α∈I
se llama el producto topológico de {(Aα , aα )}α∈I .
4.2.
Fuente entre Espacios Topológicos
Definición 4.2.1. Una familia {fα : X −→ Aα }α∈I de funciones con dominio común se llama
una fuente con dominio X.
Definición 4.2.2. {(Aα , τα )}α∈I familia de espacios topológicos, {fα : X −→ Aα } fuente.
Entonces la topologı́a inicial respecto a {fα }α∈I , {τα }α∈I es:
0
τ := Inf {τ topolog i a de X fα : (X, σ) −→ (Aα , τα ) es continua}
Teorema 4.2.1. {fi : (X, τ ) −→ (Xi , τi )}i∈I fuente entre espacios topológicos. Son equivalentes:
a) τ es la topologı́a inicial con respecto a {fi }, {τi }
S
b) i∈I {fi−1 (U ) : U ∈ τi } es subbase de τ .
S
c) Si γi es subbase de τi ∀i =⇒ i∈I {fi−1 (G) : G ∈ γi } es subbase de τ
d) fi es continua ∀i ∧ si fi ◦ g es continua ∀i=⇒ g es continua.
e) fi es continua ∀i ∧ si el siguiente diagrama conmuta ∀i
fi
- (Xi , τi )
◦
gi
-
(X, τ )
h
-
(Z, η)
gi continua, h continua y biyectiva =⇒ h es homeomorfismo.
Ejemplo 4.2.1. {fi : X −→ (Xi , τi )}i∈I fi constante ∀i, τ la topologı́a inicial fi−1 (U ) =
entonces (X, τ ) es indiscreta.
n ∅ X
4.2. Fuente entre Espacios Topológicos
57
Figura 4.1: Ejemplo de una fuente que no separa puntos
Ejemplo 4.2.2. {fi : X −→ (Xi , τi )}i∈I τi indiscreta ∀i, τ la topologı́a inicial de X. Entonces
(X, τ ) es indiscreta.
Definición 4.2.3. {fi : (X, τ ) −→ (Xi , τi )}i∈I fuente =⇒ {fi }i∈I separa puntos de cerrados
ssi ∀F ⊂ X, x ∈
/ F cerrado ∃i ∈ I tal que fi (x) ∈
/ fi (F ).
Teorema 4.2.2. {fi : (X, τ ) −→ (Xi , τi )}i∈I . Son equivalentes:
i) {fi }i∈I separa puntos de cerrados.
S
ii) i∈I f −1 τi es base de τ
Corolario 4.2.3. Si {fi : (X, τ ) −→ (Xi , τi )}i∈I separa puntos cerrados, entonces τ es inicial
con respecto a {fi }, {τi }.
Ejemplo 4.2.3. {p1 , p2 : (0, 1) × (0, 1) −→ (0, 1)} es inicial.
g : Z −→ (0, 1) × (0, 1)
”Si p1 ◦ g y p2 ◦ g son continuas, entonces g es continua.”
Demostración. ejercicio.
Y {p1 , p2 } no separa puntos de cerrados. Véase figura 4.1.
Proposición 4.2.4. Supongamos que el diagrama de funciones continuas:
fi
- (Xi , τi )
◦
h
-
(Z, η)
conmuta.
i) Si {fi } es inicial =⇒ h es inicial.
gi
-
(X, τ )
58
ii) Si h es inicial y {gi } es inicial =⇒ {fi } es inicial.
Definición 4.2.4. {(Xi , τi )}i∈I familia de espacios topológicos,
{pi :
Y
Xi −→ Xj }j∈I
i∈I
la fuente de las proyecciones.
τ la topologı́a inicial de
Q
Xi respecto a {pi }, {τi }. Entonces:
Y
Xi , τ
i∈I
se llama el producto topológico de {(Xi , τi )}i∈I .
Notación:. A veces se escribe:
τ=
Y
τi
i∈I
{(Xi , τi )}i∈I , (
Q
Xi , τ ) el producto topológico.
¿Como se ve un abierto de
Q
i∈I
Xi ?
U ∈τ
¿Como se ve p−1
i (U )?
” p−1
i (U ) = U ×
Q
j∈I−{i}
Xj ” está mal escrito, solo hay que poner orden diferente.
Lo que está bien escrito es:
p−1
i (U ) =
Y
Vj ,
j∈I
donde Vj = Xj si i 6= j, y Vi = U .
U1 ∈ τi1 , U2 ∈ τi2 , ... Un ∈ τin
−1
−1
p−1
i1 (U1 ) ∩ pi2 (U2 ) ∩ ... ∩ pin (Un ) = U1 × U2 × ... × Un ×
Y
j∈I−{i1 ,....,in }
Xj
59
{pi :
Y
Xj −→ Xi }i∈I
j∈I
debe ser una fuente ”inyectiva”.
¿Que es una fuente ”inyectiva”.
Mala definición:
Definición 4.2.5. 1.{fi : X −→ Xi {fi } inyectiva ssi {fi } tiene inversa por la izquierda.
Buenas definiciones:
Definición 4.2.6. 2.{fi : X −→ Xi {fi } inyectiva ssi:
∀g, h : Z −→ X fi ◦ g = fi ◦ h ∀i=⇒g = h
Definición 4.2.7. 3.{fi : X −→ Xi {fi } inyectiva ssi:
x, y ∈ X si x 6= y=⇒∃i ∈ I tal que fi (x) 6= fi (y)
Df n, 1⇐⇒Df n,2
Demostración.
i
=⇒
Sean x, y ∈ X tal que x 6= y.
P.d ∃i ∈ I tal que fi (x) 6= fi (y).
Supongamos que ∀i ∈ I, fi (x) = fi (y).
Definamos g, h : X −→ X, g(u) = x y h(u) = y ∀u ∈ X.
∴ g 6= h, pero:
∀i∀u ∈ X fi ◦ g(u) = fi (x) = fi (y) = fi ◦ h(u)
60
∴ ∀i ∈ I fi ◦ g = fi ◦ h
∴g=h v!
i
”⇐ ”
Sea fi ◦ g = fi ◦ h∀i.
P.d. g = h.
Sea u ∈ Z.
P.d. g(u) = h(u) (tienen el mismo dominio y contradominio, solo hay que ver la regla de correspondencia).
Supongamos que g(u) 6= h(u) ∈ X.
∴ ∃a ∈ I tal que fa (g(u)) 6= fa (h(u)).
Como a ∈ I, ∴ fa ◦ g = fa ◦ h, por hipótesis.
En particular fa (g(u)) = fa (h(u)) v!.
Corolario 4.2.6.
{fi }es monofuente⇐⇒{fi }separa puntos
{pu :
Y
Xi −→ Xu }u∈I es monofuente
i∈I
pu es supra si Xi 6= ∅ ∀i
Si Xa = ∅, a ∈ I, entonces
¿
Q
i∈I
Q
i∈I
Xi = ∅.
Xi = ∅=⇒∃i ∈ I tal que Xi = ∅?
¿∀i ∈ I, Xi 6= ∅=⇒
Sı́.
Q
Xi ∅?
Demostración. Supongamos
que Xi 6= ∅∀i.
S
P.d. ∃f : I −→ i∈I Xi tal que f (i) ∈ Xi ∀i.
Tomamos ai ∈ Xi para cada i ∈ I, que hay al menos uno, pues Xi 6= ∅ y por el Axioma de
Elección.
61
Definimos:
f (i) = ai
{(Xi , τi )} familia de espacios topológicos.
Y
[ Xi = {f : I −→
f (i) ∈ Xi ∀i ∈ I}
i∈I
i∈I
Q
pj
i∈I
−→
7
→
Xi
Xi
xi
xi i∈I
Y Y
τ = Inf {βtopologı́a de
Xi pj :
Xi , β −→ (Xj , τj ) es continua ∀j}
Observación: 4.2.3. Recordatorio:
τ tiene como subbase a:
[
{p−1
i (U ) : U ∈ τi }
i∈I
Si Xj = ∅ para algún j ∈ I=⇒
Q
i∈I
Xi = ∅.
Axioma de elección:
Y
Xi 6= ∅
∀j ∈ I, Xj 6= ∅ =⇒
i∈I
Si ∀i ∈ I, Xi 6= ∅, entonces pj es suprayectiva ∀j ∈ I
{pj :
Y , τ −→ (Xj , τj )}j∈I
i∈I
es monofuente inicial.
Demostración. Es inicial por definición.
Si xi
i∈I
6= yi
i∈I
. Entonces xj 6= yj para algún j ∈ I.
∴ pj xi
i∈I
6= pj yi
i∈I
∀j ∈ I, pj :
es abierta.
Y
Xi , τ −→ (Xj , τj )
62
Demostración. Sea
U∈
[
{p−1
i (V ) : V ∈ τi }i∈I
i∈I
subbase de τ .
P.d. pj (U ) ∈ τj
U = p−1
i (V ) para algún V ∈ τj para algún i ∈ I.
V, si i = j;
pj (U ) =
Xi , si i 6= j.
Y
p−1
Xr
i (V ) = V ×
r∈I−{i}
∴ pj (U ) ∈ τj
4.3.
Propiedad Universal de los Productos
Teorema 4.3.1. (Propiedad Universal de los Productos). Si qj : (Y, σ) −→ (Xj , τj ) son
continuas ∀j ∈ I.
∃!q
Xi (Y, σ)
◦
qj
-
Y
pj
-
(Xj , τj )
Entonces ∃! q : (Y, σ) −→
Q
Xi , τ continua tal que:
pj ◦ q = qj ∀j ∈ I
q:
Como pj ◦ q = qj es continua ∀j ∈ I.
∴ q es continua, pues τ es inicial.
Y
y
Q
Xi qi (u) i∈I
4.3. Propiedad Universal de los Productos
63
F = {(Xu , τu )}u∈µ
familia de espacios topológicos.
Q
a) ∃h :
X
,
τ
es producto topológico de F. Son equivalentes:
u
u∈µ
Q
Xu , τ −→ (Y, σ) homeomorfismo.
b) ∃{qu : (Y, σ) −→ (Xu , τu )}u∈µ fuente de funciones continuas tales que:
∃!r
(Z, η)
ru
(Y, σ) qu
◦
-
(Xu , τu )
∃!p
(Y, σ) Y
Xv , τ
Xv , τ
v∈µ
-
pu
qu
◦
(Xu , τu )
y
∃!q
(Y, σ)
-
Y
v∈µ
-
pu
qu
◦
(Xu , τu )
p◦q
- (Y, σ)
qu
(Y, σ)
-
qu
◦
(Xu , τu )
64
y
1r
(Y, σ)
qu
(Y, σ) qu
◦
-
(Xu , τu )
Proposición 4.3.3. Sea ϕ : µ −→ µ biyectiva. Entonces:
Y
Y
Xu , τ ∼
Xϕ(u) , σ ,
=
u∈µ
u∈µ
donde τ y σ son las topologı́as iniciales con respecto a las proyecciones.
ϕ : {1, 2} −→ {1, 2}
1 7→ 2
2 7→ 1
Y
Xi = X1 × X2
i∈{1,2}
Y
Xϕ(i) = Xϕ(1) × Xϕ(2) = X1 × X2
i∈{1,2}
xu
Y
Xu , τ
u∈µ
7→ xϕ(u)
∼
=
-
u∈µ
Y
u∈µ
u∈µ
◦
qv
pv
-
Xv
Proposición 4.3.4. Ley Asociativa:
Sea {Mi }i∈K partición de µ.
Xϕ(u) , σ
[
M=
65
Mi y Mi ∩ Mj = ∅ si i 6= j
i∈K
Y
Xu , τ ∼
=
Y
Y
u∈Mi
i∈k
Xu , σ ,
u∈M
donde τ y σ son las topologı́as iniciales respecto a las proyecciones.
Demostración. Para cada i ∈ K, cada u ∈ Mi , se tiene:
Q
pu :
v∈M
i
xv
Xv
v∈Mi
−→
7
→
Xu
xu
−→
7
→
Q
Para cada i ∈ K:
qi :
Q
Q
i∈K
(xu )
u∈Mi
Xu
i∈K
u∈M
i
xu
Xu
u∈Mi
Y Y
Xu )
(
h
i∈K u∈Mi
qi
-
◦
-
pv
Xu
qi
Y
pu
?
?
Xv
v ∈ M porque M =
S
Xu
u∈µi
u∈M
pv
Y
Xv
Mi .
Si logramos la existencia de la función en la lı́nea punteada, ya acabamos.
ejercicio.
Notación:.
Y
∃!f
Xu Y
fv
u∈µ
◦
pv
-
X
pv ◦ f = fv .
66
Se escribe
f = fu
u∈µ
Para y ∈ Y :
f (y) = fu
u∈µ
(y) = fu (y) u∈µ
∃!f
Xu Y
u∈µ
Y
Yu
u∈µ
pv
?
?
Xv fv
Yv
∃!f tal que pv ◦ f = fv ◦ qv ∀v.
Se escribe:
f=
Y
fu
u∈µ
u∈µ
∈
Q
Xu ,
f (yu )u∈µ = fu (yv ) v∈µ
6 X1 × X2
p1
(f1 , f2 )
p2
-
Si yu
X2
X1
-
f1
f2
Y
(f1 , f2 )(y) = (f1 (y), f2 (y))
67
6
X1 × X2
p1
p2
-
X1
X2
6
6
f1
f2
Y1
Y2
-
q1
q2
(f1 × f2 )
Y1 × Y2
Ejemplo 4.3.1. X = {0}, Y espacio topológico. ¿Como se ve X × Y ?
X ×Y ∼
=Y
-
∃!f
p2
p1
6 X ×Y
Y
X
-
1
0
Y
Ejemplo 4.3.2. X = ({0, 1}, P({0, 1})).
X ×Y ∼
= {0} × Y ∪ {1} × Y
Véase figura 4.2.
Las siguientes figuras tratan sobre ejemplos de productos topológicos.
En la figura 4.3 se muestra el producto I × I.
En la figura 4.4 se muestra el producto de la figura ”Y ”×I y en diferente orden (homeomorfos).
68
Figura 4.2: Ejemplo de Productos Topológicos
Figura 4.3: I × I
Figura 4.4: La figura ”Y ” ×I
Figura 4.5: S 1 × I y I × S 1
69
Figura 4.6: S 1 × S 1
Figura 4.7: I × (S 1 × I) y S 1 × (S 1 × I)
En la figura 4.5 tenemos S 1 = {x ∈ R2 : |x| = 1} y hacemos el producto con I por ambas
partes.
En la figura 4.6 se muestra el producto S 1 × S 1 , conocido como el toro.
En la figura 4.8 se muestran los productos I × (S 1 × I) y S 1 × (S 1 × I).
Sin embargo, ya no podemos imaginar S 1 ×S 1 ×S 1 , hay que pegar las caras correspondientes
en el cubo, ver figura 4.9.
Figura 4.8: I × (S 1 × I) y S 1 × (S 1 × I)
70
Figura 4.9: Hay que pegar las caras correspondientes del cubo para S 1 × S 1 × S 1
Capı́tulo 5
Cocientes e Identificaciones
En este capı́tulo entraremos en el mundo de la matemática pura.
5.1.
Topologı́as Finales
Definición 5.1.1. (X, τ ) espacio topológico, Y conjunto.
f : X −→ Y
y σ topologı́a para Y . Entonces σ se llama la topologı́a final de Y con respecto a τ y a f ssi:
σ = Sup{β topologı́a de Y f : (X, τ ) −→ (Y, σ)es continua}
Teorema 5.1.1. f : (X, τ ) −→ (Y, σ). Son equivalentes:
a) σ es la topologı́a final con respecto a τ y f .
b) σ = {U ⊂ X : f −1 (U ) ∈ τ }
c) ¿Si β es base de τ , {V ⊂ Y : f −1 (V ) ∈ β} es base de σ?
d) f es continua ∧ g : (Y, σ) −→ (Z, η) tal que g ◦ f es continua =⇒ g es continua.
e) f continua ∧ si conmuta el diagrama:
f
(Y, σ) (X, τ )
g
h
(Z, η)
Donde h es biyectiva y continua, g es continua =⇒ h es homeomorfismo.
72
f ) F ⊂ Y es cerrado ⇐⇒ f −1 (F ) es cerrado en X
Demostración. ”a)=⇒b)”
Supongamos que σ es topologı́a final.
σ0 = {U ⊂ X : f −1 (U ) ∈ τ }.
σ0 es topologı́a para Y .
f : (X; τ ) −→ (Y, σ0 ) es continua.
∴ σ0 ⊂ σ.
Si U ∈ σ=⇒f −1 (U ) ∈ τ , porque f : (X, τ ) −→ (Y, σ) es continua.
U ∈ σ0 .
”b)=⇒d)”
f es continua por la hipótesis sobre σ.
Supongamos que g ◦ f es continua.
U ∈ η.
P.d. f −1 (g −1 (U )) ∈ τ .
P.d. (g ◦ f )−1 (U ) ∈ τ .
Pues sı́, pues g ◦ f es continua.
”d)=⇒e)=⇒a)” Igualito.
5.2.
Identificaciones
¿Cuales son las funciones mas importantes y que nos van a interesar? Son las siguientes:
Definición 5.2.1. f : (X, τ ) −→ (Y, σ) continua. Entonces f se llama submersión, identificación ssi σ es topologı́a final y f es función suprayectiva.
Teorema 5.2.1. Toda submersión es un cociente, salvo homeomorfismo.
Demostración. Por inciso e) y la proyección.
Sea f : X −→ Y función suprayectiva.
5.2. Identificaciones
73
Definamos:
∼f : X −→ X
∀x, y ∈ X, x ∼f y⇐⇒f (x) = f (y)
Proposición 5.2.2. ∼f es relación de equivalencia.
Demostración.
x ∼f x pues f (x) = f (x).
x ∼f y=⇒f (x) = f (y)=⇒f (y) = f (x)=⇒y ∼f x.
x ∼f y ∧ y ∼f z=⇒f (x) = f (y) = f (z)=⇒x ∼f z.
Definición 5.2.2. Para x ∈ X y ∼ relación de equivalencia en X:
[x] := {y ∈ X : y ∼ x}
X
.
∼:= [x]x ∈ X
y
π:
X
x
−→
7
→
.
X ∼
[x]
X
x
−→
7
→
.
X ∼f
[x]
se llama la proyección natural.
∼f es relación de equivalencia en X.
πf :
la proyeciión natural.
f
-Y
πf
-
X
.
∼f
fe
-
X
74
fe[x] = f (x)
Teorema 5.2.3. (Propiedad Universal de los Cocientes)
X conjunto, ∼: X −→ X relación de equivalencia. Supongamos además que f : X −→ Y es
función tal que:
x ∼ y=⇒f (x) = f (y)
Entonces ∃!fe : X
.
∼−→ Y función continua tal que:
fe ◦ π = f
f
-Y
π
∃!
fe
-
X
-
X
.
∼
fe :
.
X ∼
[x]
−→
7
→
Y
f (x)
Supungamos que [x] = [y] (x ∼ y).
P.d. f (x) = f (y) trivial
Corolario 5.2.4. Con las hipótesis anteriores, fe es isomorfismo ⇐⇒ (x ∼ y ⇐⇒ f (x) =
f (y))
Definición 5.2.3. Si (X, τ ) es espacio topológico, ∼: X −→ X relación de equivalencia y σ
la topologı́a final con respecto a τ y:
.
π : X −→ X ∼ .
.
Entonces (X ∼, σ) se llama el cociente topológico de (X, τ ) bajo σ.
Notación:. Usualmente se escribe σ = τ
.
∼
A ⊂ X , x ∼ y ⇐⇒ (x = y) ó x, y ∈ A
Llamamos:
75
Figura 5.1: Cociente sobre un subconjunto de un espacio topológico
.
Figura 5.2: Cociente I {0, 1}
.
X A := X
.
∼
.
X espacio topológico, ¿Como se ve X A?. Véase figura 5.1.
Ejemplo 5.2.1. I = [0, 1]
.
I {0, 1} ∼
= S1
Véase figura 5.2.
Recordatorio:
f : (X, τ ) −→ (Y, σ)
continua. f se llama identificación ssi f es función suprayectiva y σ es final con respecto a τ, f .
Proposición 5.2.5. f : (X, τ ) −→ (Y, σ) identificación.
∀g continua, si
f (x) = f (y)=⇒g(x) = g(y)
Entonces ∃!g continua tal que:
g◦f =g
76
Figura 5.3: Diagrama de Identificación
g
- (Z, η)
f
∃!
g
-
(X, τ )
-
(Y, σ)
Demostración. Definamos primero g : Y −→ Z.
Sea y ∈ Y . Como f es suprayectiva,
∴ f −1 (y) 6= ∅ (como conjuntos).
Tomamos:
xy ∈ f −1 (y) := f −1 ({y})
g : y 7→ g(xy )
Con esto, vemos que ”g es función.” Véase figura 5.3.
Sea x ∈ f −1 (y).
P.d. g(x) = g(xy ).
Como x, xy ∈ f −1 (y),
∴ f (x) = y = f (xy ), y por hipótesis g(x) = g(xy ).
Claramente g ◦ f = g.
77
Si h ◦ f = g = g ◦ f , como f es función suprayectiva,
h = g.
∴ g es ”única”.
Como g ◦ f = g es continua y σ es final,
∴ g es continua.
Ahora demostraremos lo que ya dijimos antes:
.
I {0, 1} ∼
= S1
Demostración. COnstruimos g : I −→ S 1 continua que identifique lo mismo que:
.
π : I −→ I {0, 1}
Definamos las funciones:
g:
I
t
−→
7
→
S1
e2πit = (cos2πit, sen2πit)
g es continua y:
π(x) = π(y)=⇒g(x) = g(y)
g(0) = g(1) = (1, 0)
.
∴ ∃!g : I {0, 1} −→ S 1 continua tal que:
g◦π =g
g
- S1
π
π
I
-
.
I {0, 1}
78
g
- S1
π
∃!
g
-
I
-
.
I {0, 1}
Como g ◦ π = g y g es suprayectiva
∴ g es suprayectiva.
Notemos que:
g(x) = g(y)=⇒π(x) = π(y)
Entonces hay que probar que la topologı́a de S 1 es final con respecto a g.
P.d. U es abierto en S 1 ⇐⇒ g −1 (U ) es abierto en I.
Intuitivamente es cları́simo.
Tenemos que ∃π tal que:
g◦π =1
g
- S1
g
g
◦
π
-
I
-
S1
g
- S1
g
1
-
I
-
S1
∴ g es isomorfismo.
Ejemplo 5.2.2. En
R
G
R = R × {0}
[
R × {1}
79
Figura 5.4: Identificaciones
Figura 5.5: Identificación D
2
.
S1 ∼
= S2
(x, 1) ∼ (y, 0)⇐⇒x, y < 0
(x, 0) ∼ (x, 0) ∧ (y, 1) ∼ (y, 1)
En la figura 5.4 podemos ver cual es la identificación. π es este caso es un ejemplo de una
identificación que no es una función abierta.
Ejemplo 5.2.3.
D2 ∼ 2
=S
S1
Véase figura 5.5.
Demostración. Construimos g : D2 −→ S 2 que identifique lo mismo que π.
¿Quien es g?
g va a ser la proyección.
80
Figura 5.6: Ejemplos de Identificaciones (El Toro)
g(la proyección)
D2
π
- S2
eo
m
g
ho
-
.
D2 S 1
Ejemplo 5.2.4.
g:
[0, 1)
t
−→
7
→
S1
e2πit
no es identificación.
En las figuras 5.6, 5.7 y 5.8 se muestran más ejemplos de identificaciones.
5.3.
Teorema de Schönflies
Teorema 5.3.1. f : S 1 −→ R2 continua, inyectiva y f (S 1 ) un polı́gono. Entonces:
R2 − f (S 1 )
tiene exactamente dos componentes.
Demostración. La idea de la demostración es probar que:
1) R2 − f (S 1 ) tiene al menos dos componentes.
2) R2 − f (S 1 ) tiene cuando mucho dos componentes.
5.3. Teorema de Schönflies
81
Figura 5.7: Ejemplos de Identificaciones
Figura 5.8: Ejemplos de Identificaciones
82
Figura 5.9: Podemos suponer que ninguna arista de J es horizontal
J = f (S 1 )
Vamos a dar una función:
g : R2 − J −→ D2
continua pero no constante.
Sin pérdida de generalidad , podemos suponer que ninguna arista de J es horizontal. Véase
figura 5.9.
Sea p ∈ R2 − J. Sea Lp la recta horizontal que pasa por p.
Primer caso:
Lp no tiene vértices de J. Definimos:
g(p) := ] Lp ∩ J a la derecha de p mod2
Segundo caso:
Si Lp tiene vértices de J.
0
0
Tomando L horizontal un poquito arriba de Lp tal que L no tiene vértices de J,
0
0
g(p) := ] L ∩ J a la derecha de p mod2
0
Entre Lp y L no hay vértices de J. V
ease figura 5.10.
”g es función”
En el primer caso se cumple, y en el segundo esta bien porque todo es módulo 2.
Claramente g es continua.
”g no es constante”
83
0
Figura 5.10: Entre Lp y L no hay vértices de J
Figura 5.11: La función g no es constante
Tenemos que ∃q de norma suficientemente grande de tal forma que g(q) = 0, y también
existe p de tal forma que g(p) = 1. Véase figura 5.11.
∴ R2 − J es disconexo.
Vamos a construir una vecindad N de J, como en la figura 5.12.
x ∈ N − J. Construimos:
α : I −→ N − J
que conecta a x con p o con q, como se muestra en las figuras 5.3 y 5.13.
Sea z ∈ R2 − J, se puede conectar con p o con q sin tocar J.
Figura 5.12: Vecindad N de J
84
Figura 5.13: Trayectoria que conecta a x con p ó con q
85
Figura 5.14: R2 − f (Θ) tiene exactamente tres componentes
∴ N − J tiene cuando mucho dos componentes.
Ejemplo 5.3.1. f : Θ −→ R2 continua e inyectiva. Entonces:
R2 − f (Θ)
tiene exactamente tres componentes, como en la figura 5.14.
Afirmación:
α : I −→ R2 continua e inyectiva, entonces R2 − α(I) es conexo.
Teorema 5.3.2. (Teorema de Schönflies). Si f : S 1 −→ R2 es continua e inyectiva y
f (S 1 ) es un polı́gono, entonces la parte de adentro de f (S 1 ) es un disco.
Demostración. Sea:
J = f (S 1 )
y A la parte de adentro de J.
A se puede triangular, como en la figura 5.15, y después se ”martilla”.
Todas las rectas descomponen a A en convexos.
Sea
A = σ1 ∪ σ2 ∪ ... ∪ σn ,
donde σi es triángulo.
∃k tal que σk ∩ J es exactamente una arista de σk o exactamente dos aristas.
86
Figura 5.15: Figura Triangulada
La demostración de esto es inductiva.
Voy a dar un homeomorfismo
h : R2 −→ R
tal que h(A) se puede triangular con n − 1 triángulos.
O sea, si J1 y J2 son curvas de Jordan poligonales, entonces existe h : R2 −→ R2 homeomorfismo tal que h(J1 ) = J2
terminar la demostración.
Para la bibliografia:
87
Bibliografı́a
[1] Salicrup. Introducción a la Topologı́a. Por Anunciar, first edition.

UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO FACULTAD DE MATEM´ATICAS

Transcripción

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