Tomado de: Stewart, James. VPrecálculoV. Q

Tomado de: Stewart, James. VPrecálculoV. Q

MATEMÁTICAS BÁSICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN
CLASES #17 y #18
(Tomado de: Stewart, James. "Precálculo". Quinta Edición. Secciones 2.1 y 2.2)
Funciones De…nidas por Tramos
Se dice que una función está de…nida por tramos, si está de…nida mediante expresiones distintas en diferentes
subconjuntos de su dominio.
Ejemplo
Consideremos la función
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>
>
<
x 3 si
3
si
f (x) =
2
si
>
>
: 1
1
x
+
si
2
2
x
2
2<x<1
x=1
x>1
En el intervalo ( 1; 2]; la grá…ca de f es la línea recta y = x 3, con pendiente m = 1; además, para
x = 2, y = 1.
En el intervalo ( 2; 1); la grá…ca de f es la recta horizontal y = 3, que corta el eje y en el punto (0; 3).
1
1
1
En el intervalo (1; 1); la grá…ca de f es la línea recta y = x + , con pendiente m = ; además, para
2
2
2
x = 1; y = 1, pero el punto (1; 1) no está en la grá…ca, ya que por de…nición de la función, f (1) = 2, por lo
tanto, el punto (1; 2) está en la grá…ca de f .
Entonces la grá…ca de f es:
Como la función f está de…nida para cualquier número real, el dominio de f es R.
Además, de la grá…ca es claro que el conjunto de los posibles valores para y = f (x) es fy 2 R= y >
Por lo tanto, el rango de f es el intervalo [ 1; 1) :
Función Valor Absoluto
Recordemos que jxj =
x si x < 0
.
x si x 0
Por lo tanto, la función f (x) = jxj es una función de…nida por tramos.
Si x < 0, la grá…ca de f es la línea recta y = x.
Si x > 0, la grá…ca de f es la línea recta y = x.
1
1g :
Por lo tanto la grá…ca de f (x) = jxj es
De la grá…ca, es claro que el dominio de f es R y el rango de f es [0; 1).
Funciones de la Forma f (x) = xn para n 2 N
Si n = 1; la grá…ca corresponde a una línea recta que pasa por el origen y que tiene pendiente m = 1.
Veamos cómo es la grá…ca cuando n = 2:
Una primera aproximación a la grá…ca de la función, al igual que a la de una relación, se obtiene ubicando
en el plano cartesiano los puntos (x; f (x)), correspondientes a distintos valores de la función f en valores x
del dominio, que luego se unen por medio de una curva "suave".
Construimos una tabla de valores, ubicamos los correspondientes puntos en el plano cartesiano y los unimos
mediante una curva suave.
x
3
2
1
0
1
2
3
y = x2
9
4
1
0
1
4
9
La grá…ca obtenida es la grá…ca de una parábola.
2
Siguiendo el mismo procedimiento podemos trazar las grá…cas de f (x) = xn cuando n = 3; 4 y 5.
f (x) = x3
g (x) = x4
h (x) = x5
En general, cuando n es par, las grá…cas son similares a la de y = x2 , todas pasan por los puntos ( 1; 1) ;
(0; 0) y (1; 1). Si n es impar, las grá…cas son similares, a la de y = x3 ; todas pasan por los puntos ( 1; 1) ;
(0; 0) y (1; 1). En ambos casos, a medida que n crece, la grá…ca se vuelve más horizontal para 1 < x < 1 y
más vertical o "empinada" cuando jxj 1.
Funciones de la forma f (x) = x1=n para n 2 N, n
2
Si n es un número par, el dominio de la función es [0; 1), mientras que, si n es un número impar, el dominio
de la función es R.
p
Tracemos la grá…ca para n = 2, es decir, f (x) = x; y para ello construyamos una tabla de valores.
x
0
1
2
3
4
:
:
9
p
y= x
0
1
p
p2 t 1:41
3 t 1:73
2
:
:
3
En forma similar podemos trazar las grá…cas para n = 3; 4 y 5.
3
p
En general, cuando n es par, las grá…cas son similares a lapde y = x, todas contienen los puntos (0; 0) y
(1; 1). Si n es impar, las grá…cas son similares a la de y = 3 x, todas pasan por los puntos ( 1; 1) ; (0; 0)
y (1; 1).
TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
Traslaciones o Desplazamientos Verticales de Grá…cas
Sea c 2 R; c > 0.
Si los puntos de la grá…ca de la función y = f (x) son de la forma (x; y), entonces:
Para gra…car y = f (x) + c, trazamos la grá…ca de y = f (x) y la desplazamos c unidades hacia arriba,
ya que los puntos de la grá…ca y = f (x) + c, son de la forma (x; y + c) .
Para gra…car y = f (x) c, trazamos la grá…ca de y = f (x) y la desplazamos c unidades hacia abajo,
ya que los puntos de la nueva función son de la forma (x; y c):
4
Ejemplo
Consideremos la función f cuya grá…ca se muestra a continuación:
Tracemos la grá…ca de y = f (x) + 2:
El tamaño y la forma de las grá…cas y = f (x) y y = f (x) + 2 son los mismos, sólo que la grá…ca de la última
está desplazada 2 unidades hacia arriba.
Traslaciones o Desplazamientos Horizontales de Grá…cas
Sea c 2 R; c > 0.
Para gra…car y = f (x
c), tomamos la grá…ca y = f (x) y la desplazamos c unidades hacia la derecha.
En efecto, si f es una función cuyo dominio Df es [a; b] ; para comprobar que la grá…ca de f (x c) es
la grá…ca de f (x) desplazada c unidades a la derecha, de…namos una función h por h(x) = f (x c) y
veamos que la grá…ca de h es la grá…ca de f desplazada c unidades a la derecha.
Para encontrar el dominio de h; usamos el hecho de que la función h está de…nida si x c está en
el dominio de f; es decir, si (x c) 2 [a; b] () a
x c
b () a + c
x
b + c: Luego,
Dh = [a + c; b + c] :
Si w 2 Df ; entonces (w + c) 2 Dh y así h(w + c) = f (w + c
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c) = f (w):
Luego, la grá…ca de h es la grá…ca de f desplazada c unidades a la derecha, y la grá…ca de h es la
grá…ca de f (x c).
Para gra…car y = f (x + c), tomamos la grá…ca y = f (x) y la desplazamos c unidades hacia la izquierda.
Usando el argumento anterior podemos mostrar el efecto de esta transformación.
Ejemplo
Consideremos la grá…ca de la función f que se muestra a continuación:
Tracemos la grá…ca y = f (x + 3)
El tamaño y la forma de las grá…cas de y = f (x) y de y = f (x + 3) son los mismos, pero la última está
desplazada 3 unidades hacia la izquierda.
Ejemplo
2
Con base en la grá…ca de y = f (x) = x2 , trazar las grá…cas de y = (x + 1) y y = x2 + 1.
6
2
2
Como (x + 1) = f (x + 1), la grá…ca de y = (x + 1) , será la de f (x) = x2 desplazada 1 unidad hacia la
izquierda, y como x2 + 1 = f (x) + 1, la grá…ca de y = x2 + 1 es la de f (x) = x2 desplazada 1 unidad hacia
arriba.
Ejercicio
Trazar la grá…ca y = (x
2
1) + 3.
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