UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA

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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS
Mecánica de Fluidos I
Examen 110912
Mediante un compresor ideal de potencia W se toma aire del ambiente (presión pa y temperatura Ta )
y se introduce en un depósito, que a su vez se descarga al ambiente a través de una tobera convergente
de área mínima AT a la salida. La sección de descarga del compresor al depósito es grande frente AT .
Una vez que se ha alcanzado el régimen estacionario, se pide:
1.- Presión en el depósito cuando el Mach en la sección de salida de la tobera es MT = 0,5.
2.- Temperatura del aire en el depósito en las mismas condiciones del apartado anterior.
3.- Con MT = 0,5, determinar el gasto de aire a través de la tobera.
4.- Potencia del compresor cuando MT = 0,5.
5.- Potencia mínima del compresor, W = W ∗ para que la tobera esté adaptada.
6.- Presión en la sección de salida, pT , cuando la presión del depósito es el doble de la correspondiente
al apartado anterior.
NOTA: Consideren γ = 1,4 y utilicen las variables adimensionales
pd
;
pa
Td
;
Ta
√
G ha
g=
;
p a AT
ω=
donde ha = cp Ta es la entalpía a la temperatura ambiente.
W
√ ,
pa AT ha
RESPUESTAS VERSIÓN 1
P1 (1 punto) P2 (1 punto) P3 (2 puntos) P4 (2 puntos) P5 (2 puntos) P6 (2 puntos)
a)
b)
c)
d)
e)
pd
pa
pd
pa
pd
pa
pd
pa
= 3,051
= 1,620
= 2,000
= 1,186
Ninguna
Td
Ta
Td
Ta
Td
Ta
Td
Ta
= 2,212
= 1,521
= 1,050
= 1,200
Ninguna
g
g
g
g
= 2,214
= 1,107
= 1,715
= 0,252
Ninguna
ω
ω
ω
ω
= 1,027
= 0,055
= 0,123
= 0,713
Ninguna
ω∗ = 0,700
ω∗ = 0,227
ω∗ = 0,443
ω∗ = 1,223
Ninguna
pT
pa
pT
pa
pT
pa
pT
pa
= 3,012
= 2,525
= 2,000
= 1,118
Ninguna
RESPUESTAS VERSIÓN 2
P1 (1 punto) P2 (1 punto) P3 (2 puntos) P4 (2 puntos) P5 (2 puntos) P6 (2 puntos)
a)
b)
c)
d)
e)
pd
pa
pd
pa
pd
pa
pd
pa
= 3,051
= 1,620
= 1,186
= 2,000
Ninguna
Td
Ta
Td
Ta
Td
Ta
Td
Ta
= 2,212
= 1,521
= 1,200
= 1,050
Ninguna
g
g
g
g
= 2,214
= 1,715
= 1,107
= 0,252
Ninguna
ω
ω
ω
ω
= 1,027
= 0,713
= 0,123
= 0,055
Ninguna
ω∗ = 0,443
ω∗ = 0,227
ω∗ = 0,700
ω∗ = 1,223
Ninguna
pT
pa
pT
pa
pT
pa
pT
pa
= 3,012
= 2,000
= 2,525
= 1,118
Ninguna
RESPUESTAS VERSIÓN 3
P1 (1 punto) P2 (1 punto) P3 (2 puntos) P4 (2 puntos) P5 (2 puntos) P6 (2 puntos)
a)
b)
c)
d)
e)
pd
pa
pd
pa
pd
pa
pd
pa
= 1,186
= 1,620
= 3,051
= 2,000
Ninguna
Td
Ta
Td
Ta
Td
Ta
Td
Ta
= 2,212
= 1,050
= 1,200
= 1,521
Ninguna
g
g
g
g
= 2,214
= 1,715
= 0,252
= 1,107
Ninguna
ω
ω
ω
ω
= 1,027
= 0,055
= 0,123
= 0,713
Ninguna
ω∗ = 0,227
ω∗ = 0,443
ω∗ = 0,700
ω∗ = 1,223
Ninguna
pT
pa
pT
pa
pT
pa
pT
pa
= 3,012
= 1,118
= 2,525
= 2,000
Ninguna
SOLUCIÓN
La potencia de la bomba proporciona
T0e
h0e
− 1 = Gha
−1 ,
W = G (h0e − ha ) = Gha
ha
Ta
" γ−1
#
Te
pd γ
W ≈ Gha
− 1 = Gha
−1 ,
Ta
pa
ya que el proceso es isentrópico a través del compresor ideal, lo que implica
Te
=
Ta
pe
pa
γ−1
γ
=
pd
pa
γ−1
γ
,
ya que pe = pd es la condición de contorno a la salida del compresor por ser el ujo subsónico allí. La
ecuación de la energía aplicada entre la entrada y la salida del depósito proporciona
h0e ≈ he = hd =⇒ Te = Td ,
donde las en talpías estáticas y de remanso son prácticamente iguales (h0e ≈ he ) por ser despreciable
la energía cinética a la entrada del depósito, ya que el área de entrada es muy grande frente a AT . De
acuerdo con esto tenemos
γ−1
Td
=
Ta
pd
pa
γ
.
El gasto está dado por
γ+1
√
γpd AT
γ − 1 2 − 2(γ−1)
G= p
MT 1 +
,
MT
2
Rg Td
o bien
√
γ+1
γ+1
G ha
pd 2γ
γ
γ − 1 2 − 2(γ−1)
g=
=√
MT 1 +
MT
,
p a AT
2
γ − 1 pa
que cuando MT < 1 se reduce a
√
v "
#
u γ−1
γ
γMT
γ u
p
G ha
d
t2
g=
=√
=
−1 ,
p a AT
γ−1
pa
γ−1
ya que en ese caso la presión en la garganta es la exterior y por lo tanto
pd
=
pa
γ
γ − 1 2 γ−1
1+
MT
.
2
Cuando MT = 0,5 se tiene pd /pa = 1,186 y como Td /Ta = (pd /pa )
γ−1
γ
= 1,050.
Cuando la tobera está bloqueada se tiene MT = 1 y por lo tanto ω = 0,027
√
γ+1 γ+1
2(γ−1)
G ha
γ
2
pd 2γ
g=
=√
.
p a AT
pa
γ−1 γ+1
En todos los casos puede escribirse
#
" γ−1
#
√ " γ−1
pd γ
W
G ha
pd γ
√
=
−1 =g
−1 .
p a AT
pa
pa
pa ha AT
El valor mínimo de W para que la tobera esté bloqueada se obtiene de la expresión anterior con
pd
=
pa
por lo tanto
pd
pa
∗
=
γ+1
2
γ
γ−1
≈ 1,893
W∗
√
= 2,214 × 0,579 × 1,728 × (1,2 − 1) = 0,443.
pa ha AT
En la tabla y gráco siguientes se dan los valores de las distintas magnitudes.