El problema de la curvatura escalar prescrita para dominios en S2
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El problema de la curvatura escalar prescrita para dominios en S2
El problema de la curvatura escalar prescrita para dominios en S 2 Rafael López-Soriano∗ and David Ruiz † Departamento de Análisis Matemático, Universidad de Granada Abstract. El objetivo del siguiente estudio es el de demostrar la existencia de solución para un cierto problema de curvatura escalar prescrita, con condición de borde tipo Neumann. Consideraremos un cierto dominio Σ dentro de S 2 y K : Σ → R la curvatura de Gauss a prescribir. Entonces, el problema es: ( u −∆u + 2 = 2A(Σ) R Ke in Σ u, Ke Ω (1) ∂u on ∂Σ. ∂n = 0, Para el caso en que A(Σ) < 2π, el funcional de energı́a asociado es acotado inferiormente y coercivo. Chang y Yang demostraron la existencia de solución en [1]. Si A(Σ) = 2π el problema resulta muy delicado. Tal y como plantea Wang en [3], nos centraremos en el caso supercrı́tico, A(Σ) ∈ (2π, 4π), para el que el funcional no es acotado inferiormente y hemos de emplear una estructura minimax. References [1] Chang, A., Yang, P. Conformal deformation of metrics on S 2 J. Diff. Geom. 27, (1988), no. 2, 259–296. [2] Chen W. X., Li C., Prescribing Gaussian curvatures on surfaces with conical singularities J. Geom. Anal. 1-4, (1991), 359-372. [3] Wang, C. Niremberg’s problem on domains in the 2-sphere. J. Geom. Anal. 11 (2001), no. 4, 717-726. ∗ [email protected] † [email protected]