Representaciones en Coeficientes Continuos para Operadores

Representaciones en Coeficientes Continuos para Operadores

Representaciones en Coeficientes Continuos para
Operadores Singulares Integrales con
Desplazamiento
Edixon M. Rojas
Resumen
En esta charla consideraremos una clase de operadores singulares integrales con desplazamiento la cual es usada para modelar diferentes situaciones en matemáticas aplicadas. Los operadores en consideración tienen
funciones continuas a trozos como coeficientes. Nuestro objetivo principal
es reducir la complejidad de estos operadores al introducir una nueva clase
de operadores singulares integrales, la cual está relacionada con la primera pero con funciones continuas como coeficientes en lugar de funciones
continuas a trozos como en la clase inicial.
Introducción
El objetivo de esta charla es obtener representaciones simples para operadores singulares integrales con desplazamiento de la forma:
Ð := aP+ + bP− + cP+ J + dP− J,
(1)
2
actuando en el espacio de Hilbert L (T) sobre el círculo unitario T := {t ∈
C : |t| = 1}, y con coeficientes continuos a trozos a, b, c, d ∈ P C(T). Aquí
P± := 21 (IT ± ST ) denota las proyecciones de Riesz, IT el operador identidad en
L2 (T) y ST el operador singular de Cauchy a lo largo de T, definido casi siempre
mediante
Z
1
f (τ )
(ST f )(t) :=
p.v.
dτ,
πi
τ
−t
T
el cual es un operador lineal acotado en L2 (T). Adicionalmente, J es el operador
de desplazamiento de tipo Carleman en L2 (T), dado por la fórmula
(Jφ)(t) = φ(α(t)),
donde α : T −→ T homomorfismo el cual revierte la orientación en T y satisface
la condición de Carleman α2 (t) = (α ◦ α)(t) = t.
1
Resultados
El resultado principal de esta charla es el siguiente teorema de representación:
Teorema 1 Consideremos el operador Ð = aP+ + bP− + cP+ J + dP− J con
coeficientes a, b, c, d ∈ P C(T) que satisfacen
a(t+0)
a(t−0) µ
+
b(t+0)
b(t−0) (1
− µ) ∈
/ R− := (−∞, 0],
c(t+0)
c(t−0) µ
+
d(t+0)
d(t−0) (1
− µ) ∈
/ R− ,
para
y
0 ≤ µ ≤ 1,
t ∈ T.
Entonces, el operador Ð admite una representación de la forma
Ð = D(a1 P + b1 P− + c1 P+ J + d1 P− J) + K,
donde K es un operador compacto, kI − Dk < 1 y las funciones a1 , b1 , c1 , d1 son
continuas y no se anulan en T.
Conclusiones
Los problemas de valor inicial para funciones analíticas fueron introducidos
por C. Newmann in 1870. Sin embargo, las técnicas de análisis numérico para
resolver este tipo de problemas han sido desarrolladas apenas en las últimas dos
décadas. Esto se debe principalmente a que los operadores acotados integrales
asociados a estos problemas no son de la forma el operador identidad más un
operador compacto, o de la forma el operador identidad más un operador de norma pequeña. El teorema de representación 1 aporta condiciones que garantizan
poder reescribir los operadores singulares integrales con desplazamiento de la
forma (1) en una forma conveniente de modo de poder resolver numéricamente
las correspondientes ecuaciones asociadas a este tipo de operadores.
Referencias
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Edixon M. Rojas
Departamento de Matemáticas
Pontificia Universidad Javeriana
[email protected]
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