Operador superposición actuando sobre espacios de funciones

Operador superposición actuando sobre espacios de funciones

UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NÚCLEO DE SUCRE
ESCUELA DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
OPERADOR DE SUPERPOSICIÓN ACTUANDO SOBRE ESPACIOS DE
FUNCIONES ANALÍTICAS
Lic. Miguel D. Salazar
TRABAJO DE GRADO PRESENTADO COMO REQUISITO PARCIAL
PARA OPTAR AL TÍTULO DE MAGISTER SCIENTIARUM EN MATEMÁTICAS
CUMANÁ, MARZO DE 2012
Índice general
Pág.
ÍNDICE DE FIGURAS
IV
1. FUNCIONES COMPLEJAS
4
1.1. Sistema de los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.1. Operaciones fundamentales con los números complejos . . . . . . . .
6
1.1.2. Módulo de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.3. El plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.4. Forma polar de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.5. Fórmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.6. Forma exponencial de un número complejo . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.7. Logaritmo complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.1.8. Proyección estereográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1.9. Conjuntos relevantes en el plano complejo . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.2. Funciones complejas de una variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.2.1. Representación gráfica de una función compleja . . . . . . . . . . . .
17
1.2.2. Diferenciabilidad de funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.2.3. Integración de funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.2.4. Funciones analı́ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.2.5. Convergencia de sucesiones de funciones complejas . . . . . . . . . .
23
1.3. Transformaciones conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.4. Funciones Enteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
II
2. ESPACIOS TIPO BLOCH DE FUNCIONES ANALÍTICAS
2.1. Espacios tipo Bloch
33
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.2. Los espacios de Bloch-Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.2.1. Ejemplos de funciones en B ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.3. El espacio de Bloch-Orlicz como espacio normado . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.4. Relación de los espacios de Bloch-Orlicz con otros espacios tipo Bloch . . .
44
2.5. El pequeño espacio de Bloch-Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3. OPERADOR DE SUPERPOSICIÓN SOBRE ESPACIOS TIPO BLOCH 50
3.1. Operadores de superposición sobre espacios de funciones analı́ticas . . . . .
50
3.2. Operadores de superposición desde el espacio B α sobre Bβ . Caso 0 < β < α.
51
3.3. Operadores de superposición Sϕ , actuando desde el espacio B α sobre B β .
Caso 0 < α ≤ β. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.4. Operador de superposición entre los espacios α-Bloch y Bloch-Orlicz. . . . .
61
3.5. El caso del espacio de Bloch con peso
64
BIBLIOGRAFÍA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
III
Índice de figuras
1.1. La esfera de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2. Proyección estereográfica de rectas y circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.3. Representación de una función compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
IV
INTRODUCCIÓN
En muchas áreas de la ciencia Matemática, es común para resolver ciertos problemas
considerar clases de funciones cuyo crecimiento esté dominada por ciertas funciones de
pruebas con caracterı́sticas o propiedades bien especiales. Por poner un ejemplo, en el área
de las ecuaciones diferenciales, es normal considerar funciones con crecimiento controlado
por una función exponencial para garantizar la existencia de soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales. En el caso del espacio de las funciones analı́ticas, A. Bloch en 1925,
para demostrar el célebre teorema, que hoy lleva su nombre, sobre la constante de Bloch,
considera una clase especial de funciones holomorfas sobre el disco unitario D del plano
complejo C, cuyo módulo de la derivada en un punto z ∈ D, está dominada por el inverso
multiplicativo de la distancia de ese elemento z a la frontera del disco ∂D, el cual se denota
por δ D (z). Resulta que esta clase de funciones presenta la estructura de un espacio vectorial y es actualmente conocido como el espacio de Bloch, en honor a quien lo trabajó por
vez primera. Este espacio se denota por B y ha sido objeto de un estudio exhaustivo hasta el dı́a de hoy. Cabe destacar que este espacio resulta ser el espacio dual del espacio
de Bergman L1a de las funciones analı́ticas sobre D que están en el clásico espacio L1 de
las funciones absolutamente integrables. También, es conocido la relación existente entre
el espacio de Bloch y la clase de las transformaciones conformes sobre D, de hecho, una
función f ∈ B si y sólo si existe una transformación conforme g definida sobre D tal que
f = log(g 0 ), este último hecho se debe a Pommerenke (véase Pommerenke (1992)). Un
estudio completo sobre este espacio y sus propiedades se puede encontrar en el excelente
texto de Zhu (1990).
Con la finalidad de extender o generalizar la gran cantidad de resultados que se han
encontrados en los espacios de Bloch, otros autores han considerados otros espacios tipo
1
Bloch, donde la distancia a la frontera del disco δ D se ha sustituido por una función más
general; pero con propiedades similares, es decir, por una función µ definida sobre D, la cual
es continua, acotada y positiva. Sobre este tema destaca el trabajo de Zhu (1993), donde
se definen y se estudian las propiedades de los espacios α-Bloch, aquı́ el autor considera
µ(z) = δ αD (z), donde α es un parámetro positivo y fijo. Casi que simultáneamente al trabajo
de Zhu (1993) aparece una publicación de Attele (1992), donde se prueba que el operador de
Hankel inducido por una función f en el espacio de Bergman es acotado si y sólo si f ∈ B µ1 ,
donde µ1 (z) = δ D (z) log(f rac2δ D (z)). Actualmente, la clase de funciones encontradas por
Attele, se conoce como el espacio de Bloch con peso o espacio log-Bloch. Desde entonces
han aparecidos muchos espacios espacios tipo Bloch que generalizan los anteriores, por
mencionar algunos, se tiene los espacios de Bloch-logarı́tmicos introducidos por Krantz y
Stević en el (2009), donde la función peso viene dada por
µ
¶
e
α
β
µ(z) = δ D (z)Ln
,
δ D (z)
con α > 0 y β ≥ 0 fijos. Y los espacios de Bloch-Orlicz introducidos por Ramos en el
2010, estos últimos espacios son parte del objeto de este estudio y se dan los detalles de su
construcción en el Capı́tulo 2 de este trabajo, donde además se mencionan algunas de las
propiedades de los espacios tipo Bloch previamente mencionados.
Dados dos espacios métricos X (D) y Y (D) de funciones analı́ticas sobre el disco unitario complejo D y una función analı́tica Φ de valor complejo en el plano. El operador de
superposición SΦ sobre X (D) se define por:
SΦ : X (D) → Y (D)
f → SΦ (f ) := Φ ◦ f.
Si SΦ (f ) ∈ Y para f ∈ X, se dice que Φ actúa por superposición desde X sobre Y ,
algunas veces, el operador SΦ se llama operador de sustitución, u operador de Nemytskij.
Uno de los objetivos, cuando se estudian este tipo de operador, es analizar sus propiedades
tales como: continuidad, acotación, compacidad, norma, entre otras; haciendo uso de las
propiedades funcionales del sı́mbolo Φ y recı́procamente, de la inmersión por el operador
de un espacio a otro, para obtener propiedades del sı́mbolo Φ que lo induce. Un aspecto
que hace interesante el estudio de estos operadores de superposición entre estos espacios
lo constituye el hecho de que esta teorı́a construye un puente entre la teorı́a de operadores
2
y la teorı́a de funciones entre estos espacios, esta fusión ha producido una cantidad de
resultados como puede verse, por ejemplo, en la base de datos de la Sociedad Americana
de Matemáticas (AMS,www.ams.org/mathscinet).
El problema sobre la acotación del operador superposición en el contexto de las variables
reales han sido estudiadas por largo tiempo y una referencia obligatoria para el estudio
de este tema es el excelente texto de Appell y Zabrejko (1990). Sin embargo, el estudio
de tales cuestiones sobre los espacios de funciones analı́ticas, solamente se han realizado
recientemente. Los operadores de superposición Sφ que transforma un espacio de Bergman
dentro de otro, o dentro de las clases de área Nevalinna fueron caracterizados en término de
sus sı́mbolos por Cámera y Giménez en 1994. Los resultados de Cámera y Giménez han sido
extendido por Vukotić y otros autores a otros espacios de funciones analı́ticas en (véase, por
ejemplo, Álvarez, Márquez y Vukotić (2004), Buckley y Vukotić (2008) y las referencias que
allı́ aparecen). En particular, los operadores de superposición que transforman un espacio
α-Bloch, con α en otro del mismo tipo fueron caracterizados por Xu (2007) y los detalles
de sus resultados lo hemos desglosados en las tres primeras secciones del Capı́tulo 3 de este
trabajo.
En el Capı́tulo 2 del presente trabajo, se mencionan algunas propiedades topológicas
de los espacios de Bloch, α-Bloch y µ-Bloch y se define y estudia en profundidad las
propiedades del espacio de Bloch-Orlicz, el cuál será el espacio donde se estudiaran las
condiciones para ver cuando el operado SΦ actúa acotadamente sobre los espacios antes
mencionados y viceversa; que es la parte central de este trabajo. Esto se desarrolla en
el Capı́tulo 3. El trabajo se completa con un capı́tulo de preliminares, donde se recuerda la definición del sistema de los números complejos y se mencionan sus operaciones,
propiedades, representación gráfica y su representación estereográfica. En las secciones 2 y
3 se definen y se estudian algunas propiedades de las transformaciones conformes y de las
funciones enteras respectivamente que serán de gran utilidad en el desarrollo del Capı́tulo
3.
3
Capı́tulo 1
FUNCIONES COMPLEJAS
En este capı́tulo, se da un resumen sobre los aspectos más importantes de las funciones
analı́ticas que se requiere y se estarán usando en el transcurso del siguiente trabajo.
1.1.
Sistema de los números complejos
En esta sección, se da la definición y se mencionan algunas propiedades de los números
complejos, ası́ como sus diferentes representaciones, se define el plano complejo y se estudia
la relación entre el plano complejo extendido y la esfera de Riemann la cual da origen a
la proyección estereográfica, cuyos resultado serán de gran utilidad en el desarrollo del
Capitulo 3. Los resultados de esta sección han sido tomado de los textos Churchill y Ward
(1992) y Conway (1978).
Sobre R × R = {(x, y) : x ∈ R, y ∈ R} se considera las siguientes operaciones:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ,
(a, b) . (c, d) = (ac − bd, ad + bc) ,
para todo (a, b) , (c, d) ∈ R × R. Se observa que
1. Identidad: (a, b) . (1, 0) = (a, b) = (1, 0) . (a, b),
2. Neutro: (a, b) + (0, 0) = (0, 0) + (a, b) = (a, b),
3. Opuesto: (a, b) + (−a, −b) = (0, 0) = (−a, −b) + (a, b),
4
4. Inverso multiplicativo: para todo (a, b) ∈ R × R \ {(0, 0)}, se cumple
µ
¶
µ
¶
a
−b
a
−b
(a, b) .
,
= (1, 0) =
,
. (a, b) .
a2 + b2 a2 + b2
a2 + b2 a2 + b2
De donde, se puede afirmar que R × R con las operaciones anteriores tiene estructura de
cuerpo. Este cuerpo es justamente el cuerpo de los números complejos el cual se denota
por C.
Se puede verificar que {(a, 0) : a ∈ R} es un subcuerpo de C, y además que la aplicación a → (a, 0), es un isomorfismo de cuerpo. Bajo este isomorfismo se puede identificar
a = (a, 0), de esta manera C contiene un subcuerpo isomorfo a R. Además, con esta
identificación, también se tiene:
5. (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0).(0, 1) = a + b(0, 1),
6. (a, b) = a + b(0, 1), a, b ∈ R, y todavı́a más,
7. (0, 1).(0, 1) = (−1, 0) = −1, es decir, (−1, 0)2 = −1.
Se define
i = (0, 1) (i : unidad imaginaria).
En consecuencia resulta la representación :
(a, b) = a + b(0, 1) = a + bi(representación binómica).
Se nota que
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
(a + bi).(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i,
donde i2 = −1. También (a + bi) ∈ R, si y sólo si, b = 0. Si a = 0, al número 0 + bi
se le llama número imaginario puro. Además, si i2 = −1, es decir i2 + 1 = 0, entonces el
polinomio z 2 + 1 = 0, tiene raı́ces en C. (Note que z 2 + 1 no tiene raı́ces en R).
Sea z = (a, b) = a + bi (a, b ∈ R). Se denota
Re(z) = a (parte real de z),
Im(z) = b (parte imaginaria de z),
5
De donde, se puede escribir z, como
z = Re(z) + i Im(z).
Por otro lado, al número complejo (a − bi) se le llama conjugado del número complejo
(a + bi) y se le denota z. Y se dice que los números complejos (a, b) y (c, d) son iguales, si
y sólo si, a = c y b = d.
1.1.1.
Operaciones fundamentales con los números complejos
Sean z1 = a + bi , z2 = c + id ∈ C, entonces se definen las siguientes operaciones, donde
i2 = −1 :
1. Adición:
z1 + z2 = (a + bi) + (c + id) = (a + c) + (b + d)i.
2. Sustracción:
z1 − z2 = (a + bi) − (c + id) = (a − c) + (b − d)i.
3. Multiplicación:
z1 .z2 = (a + bi).(c + id) = (ac − bd) + (ad + bc)i.
4. División:
z1
z1 z2
(a + bi) (c − di)
ac + bd (bc − ad)i
= . =
.
= 2
+ 2
.
z2
z2 z2
(c + id) (c − id)
c + d2
c + d2
1.1.2.
Módulo de un número complejo
El valor absoluto o módulo de un número complejo z = a + bi se define por:
|z| = |a + bi| =
p
a2 + b2 .
El cual, tiene las siguientes propiedades:
Si z1 , z2 , · · · , zm son números complejos, entonces:
1. |z1 .z2 | = |z1 |.|z2 | ó |z1 .z2 ...zm | = |z1 |.|z2 |...|zm |,
¯ ¯
¯ ¯
2. ¯ zz12 ¯ =
|z1 |
|z2 | ,
si z2 6= 0.
6
3. |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | ó |z1 + z2 + ... + zm | ≤ |z1 | + |z2 | + ... + |zm |,
4. |z1 + z2 | ≥ |z1 | − |z2 | ó |z1 − z2 | ≥ |z1 | − |z2 |.
5. |z1 |2 = z1 .z1 , en particular, si z 6= 0, entonces
1
z
z
= 2 =
.
z
|z|
z.z
1.1.3.
El plano complejo
Como un número complejo z = x + iy se puede considerar como una pareja ordenada
de números reales (x, y), se puede representar estos números por puntos en un plano xy,
llamado plano complejo. El número complejo representado por P , por ejemplo, se puede
leer como (x, y) o (x + iy). Ası́, a cada número complejo le corresponde uno y solamente
un punto en el plano y viceversa. La distancia entre dos puntos z1 = x1 + y1 y z2 = x2 + y2
en el plano complejo, se define por:
|z1 − z2 | =
p
(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 .
(1.1)
Una propiedad fundamental de la distancia es que ésta satisface la desigualdad triangular.
En este caso, esta desigualdad viene dada por:
|z1 − z2 | ≤ |z1 − z3 | + |z3 − z2 | ,
para todo z1 , z2 , z3 ∈ C. Todavı́a más, resulta que el plano complejo es un espacio métrico
completo con la distancia definida en (1.1) y que la función módulo o valor absoluto de
números complejos define la norma que induce la distancia antes definida. De manera
entonces que el plano complejo es un espacio de Banach con la norma definida a través de
la función módulo.
1.1.4.
Forma polar de un número complejo
Si P es un punto en el plano complejo correspondiente al número complejo (x, y) ó z =
x + iy, entonces por trigonometrı́a elemental vemos que
x = r cos(θ),
y = rsen(θ),
7
donde, r =
p
x2 + y 2 = |z|. El cual representa el módulo de z = x + iy, y θ se le llama
amplitud o argumento de z (denotado por arg(z)), es el ángulo que forma la recta OP con
el eje positivo x. De aquı́ se deduce que
z = x + iy = r(cos(θ) + isen(θ),
llamada la forma polar de un número complejo, y r y θ se llaman coordenadas polares.
Algunas veces es conveniente la abreviatura cis(θ) por (cos(θ) + isen(θ)).
Comentario 1.1.1. Para cualquier número complejo z 6= 0, escrito en forma polar, le
corresponde solamente un valor de θ en 0 ≤ θ ≤ 2π. No obstante, cualquier otro intervalo
de longitud 2π, por ejemplo −π ≤ θ ≤ π, se puede emplear. Cualquier elección particular,
tomada anticipadamente, se llama la parte principal y el valor de θ se le llama su argumento
principal.
Ahora, se menciona algunas propiedades:
Proposición 1.1.1 (Teorema de De Moivre). Si z1 = x1 + iy1 = r1 (cos(θ1 ) + isen(θ1 )) y
z2 = x2 + iy2 = r2 (cos(θ2 ) + isen(θ2 )) , entonces
z1 .z2 = r1 .r2 (cos(θ1 + θ2 ) + isen(θ1 + θ2 )),
r1
z1
=
[cos(θ1 − θ2 ) + isen(θ1 − θ2 )] .
z2
r2
(1.2)
Una generalización de (1.2) conduce a
z1 .z2 ...zn = r1 .r2 ...rn [cos(θ1 + θ2 + ... + θn ) + isen(θ1 + θ2 + ... + θn )] ;
y si z1 = z2 = ... = zn = z, la expresión anterior queda de la forma:
z n = [r(cos(θ) + isen(θ))]n = rn [cos(nθ) + isen(nθ)] .
1.1.5.
Fórmula de Euler
2
3
Al suponer que el desarrollo de la serie infinita: ex = 1+x+ x2! + x3! +... (e = 2, 71828...)
del cálculo elemental se aplica cuando x = iθ, se puede llegar al resultado
eiθ = cos(θ) + isen(θ),
8
(1.3)
llamada fórmula de Euler. Es más conveniente, no obstante, tomar (1.3) como una definición
de eiθ . En general, se define
ez = ex+iy = ex .eiy = ex (cos(x) + isen(y)).
En el caso especial en que y = 0, se reduce a ex . Se puede ver que en términos de (1.3) el
teorema Moivre se reduce esencialmente a
(eiθ )n = einθ .
1.1.6.
Forma exponencial de un número complejo
La ecuación eiθ = cos(θ) + isen(θ) que define al sı́mbolo eiθ , o exp(iθ), para todo valor
real θ, se conoce como fórmula de Euler. Si se escribe un número complejo no nulo en
forma polar
z = r(cos(θ) + isen(θ)).
La fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial
z = reiθ .
Ahora, se menciona algunas propiedades. Sean z1 = r1 eiθ1 y z2 = r2 eiθ2 dos números
complejos, entonces:
1. Propiedad aditiva para el producto
z1 .z2 = r1 eiθ1 .r2 eiθ2 = r1 .r2 e(θ1 +θ2 )i .
2. Escribiendo e−iθ en lugar de ei(−θ) , se tiene que
eiθ .e−iθ = 1.
3. El inverso multiplicativo de un número complejo no nulo z = reiθ es
1
1
z −1 = .ei(−θ) = .e−i(θ)
r
r
en notación exponencial.
9
4. La división viene dada por
z1
r1
=
exp((θ1 − θ2 )i).
z2
r2
5. Dado que ez+2πi = ez .e2πi y e2πi = 1, la función exponencial es periódica con
perı́odo imaginario puro de 2πi: esto es,
exp(z + 2πi) = exp(z),
para todo z ∈ C.
1.1.7.
Logaritmo complejo
Para cualquier número no nulo dado w = ρeiθ (−π < θ ≤ π), la ecuación ez = w tiene
raı́ces
z = ln(ρ) + i(θ + 2nπ)(n = 1, 2, 3, ...).
Luego, si se escribe
log(w) = ln(ρ) + i(θ + 2nπ)(n = 0, 1, 2, 3...)
se observa que exp(log(w)) = w. Esto motiva a definir el logaritmo de un número complejo.
El logaritmo se define en los puntos no nulos z = reiθ , (−π < θ ≤ π) del plano z como
log(z) = ln(r) + i(θ + 2nπ)(n = 0, 1, 2, 3, ...).
El valor principal de log(z) es el valor obtenido de la ecuación anterior, cuando n = 0, y
se denota por Log(z). Ası́, pues
Log(z) = ln(r) + i(θ + 2nπ)(n = 0, 1, 2, 3, ...),
o sea Log(z) = ln(|z|)+ i arg(z), (z 6= 0). Note que
log(z) = Log(z) + 2nπi(n = 0, 1, 2, 3, ...).
El valor Log(z) esta bien definido.
Comentario 1.1.2. El logaritmo de z se reduce al logaritmo natural usual del cálculo
cuando z es un número real positivo z = r. Para verlo, basta escribir z = reiθ , en cuyo caso
la ecuación Log(z) = ln(r)+ iθ, se convierte en Log(z) = ln(r), esto es, Log(r) = ln(r).
10
Ahora se enumera algunas propiedades del logaritmo.
1. Si z = 1, entonces log(1) = 2nπi (n = 0, 1, 2, 3, ...).
2. Si z = −1, entonces log(−1) = (2n + 1)πi (n = 0, 1, 2...). En particular, Log(1) = 0
y Log(−1) = πi.
3. Si z es un número complejo no nulo, con forma exponencial z = reiθ , entonces θ
toma uno de los valores θ = Φ + 2nπ con (n = 0, 1, 2, 3...), donde, Φ = arg(z). Por
lo tanto, Log(z) = ln(r)+ iθ es expresable en la forma
log(z) = ln(|z|) + i arg(z), (z 6= 0).
4. Sea cual sea el valor de z, exp(log(z)) = z, (z 6= 0). Pero, no es cierto, sin embargo,
que log(ez ) sea siempre igual a z. Esto es evidente del hecho de que log(ez ) tiene
infinitos valores para cada z dado. Ahora bien, si el número z = x + iy se restringe a
la franja horizontal −π ≤ y ≤ π y se toman valores principales del logaritmo, vemos
que
log(ez ) = ln(|ez |) + i arg(ez ) = x + iy.
Ası́, pues log(ez ) = z, −π ≤ Im(z) ≤ π .
5. Si z1 , z2 son dos números complejos no nulos, se cumple:
a) log(z1 .z2 ) = log(z1 ) + log(z2 ),
b) log( zz12 ) = log(z1 ) − log(z2 ),
c) z n = exp(n log(z)), (n = 0, 1, 2, 3...),
1
d ) z n = exp( n1 log(z)) (n = 0, 1, 2, 3...).
1.1.8.
Proyección estereográfica
Sea π el plano complejo y considérese una esfera unidad σ (de radio uno) tangente a
π en z = 0 (Fig. 1.1) El diámetro N S es perpendicular a π y llamaremos a los puntos N
y S los polos norte y sur de σ respectivamente. Ahora, para cualquier punto A sobre π se
←→
puede construir una recta N A que corta a la σ en el punto A0 . En este caso, a cada punto
11
Figura 1.1: La esfera de Riemann
del plano complejo π, le corresponde uno y solamente un punto de la esfera σ, y se puede
representar cualquier número complejo por un punto sobre la esfera. Para terminar, se
dice que N le corresponde el punto infinito del plano complejo π. El conjunto de todos los
puntos del plano, incluyendo el punto en el infinito, recibe los nombres del plano complejo
entero, el plano entero z o el plano complejo extendido. El método explicado anteriormente
para aplicar el plano sobre la esfera, se denomina proyección estereográfica. La esfera se
llama generalmente la esfera de Riemann.
Se puede obtener una relación entre los puntos del plano extendido C∞ y los puntos de
©
ª
la esfera σ. Sea σ = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 /x21 + x22 + (x3 − 1)2 = 1 la esfera unitaria centrada
en (0, 0, 1) donde, N = (0, 0, 2) es su polo norte y S = (0, 0, 0) su polo sur. También se
©
ª
identifica C = (x1 , x2 , 0) ∈ R3 /x1 , x2 ∈ R . Ahora, para cada punto z ∈ C, se considera
la linea recta en R3 a través de z y N . Esta intersecta a la esfera en exactamente un punto
Z 6= N . Ahora, ¿que ocurre con z, cuando |z| → ∞?, claramente Z se aproxima a N ,
debido a esto identificamos N y ∞. Ası́, C∞ se representa como la esfera σ.
Por otro lado, se puede obtener una relación entre los puntos del plano extendido C∞
y la esfera σ. Es decir, para z = x + iy ∈ C sea Z = (x1 , x2 , x3 ) el punto correspondiente
en la esfera σ. Entonces, se puede encontrar unas ecuaciones para x1 , x2 y x3 en términos
de x y y y viceversa. En efecto, la linea recta en R3 a través de z y N dada por
l = {tN + (1 − t)Z : −∞ < t < ∞} = {((1 − t) x, (1 − t)y, 2t) : −∞ < t < ∞} .
Por lo tanto, se puede encontrar las coordenadas de Z si se puede encontrar los valores de
12
t para la cual la linea intersecta a σ. Y esto es posible evaluando el punto ((1 − t) x, (1 −
t)y, 2t) en la ecuación de la esfera: (1−t)2 x2 +(1−t)2 y 2 +(2t−1)2 = 1, la cual simplificando
se obtiene que :
t=
|z|2
;
|z|2 + 4
de donde, se tiene las siguientes relaciones:
x1 =
4y
2 |z|2
4x
;
x
=
y
x
=
.
2
3
|z|2 + 4
|z|2 + 4
|z|2 + 4
Pero, de esto se puede escribir
2z + 2z
−i(2z − 2z)
2 |z|2
x1 = 2
; x2 =
y x3 = 2
.
|z| + 4
|z|2 + 4
|z| + 4
Por otro lado, para el punto Z dado Z 6= N se puede encontrar z en función de x1 , x2
y x3 haciendo t =
x3
2 .
En efecto,
2x1
,
2 − x3
2x2
= (1 − t)y ⇒ y =
,
2 − x3
x3
= 2t ⇒ t =
,
2
x1 = (1 − t)x ⇒ x =
x2
x3
de donde,
z = x + iy =
2x2
(x1 + x2 i)
2x1
+
i=2
.
2 − x3 2 − x3
2 − x3
Ahora, se define la función de distancia entre los puntos del plano extendido C∞ de
la siguientes manera: Para z, z 0 en C∞ se define la distancia de z a z 0 , por d(z, z 0 ), y de
aquı́ obtenemos la distancia de los puntos Z y Z 0 en la esfera σ. Si Z = (x1 , x2 , x3 ) y
Z 0 = (x01 , x02 , x03 ), entonces
£
¤1
d(Z, Z 0 ) = (x1 − x01 )2 + (x2 − x02 )2 + (x3 − x03 )2 2 .
Ahora, usando el hecho de que Z y Z 0 están en σ, de lo anterior se tiene que
d(Z, Z 0 )2 = 2 − 2(x1 x01 + x2 x02 + x3 x03 ).
Luego, se obtiene
2 |z − z 0 |
0
d(Z, Z 0 ) = h³
´³
´i 1 , z, z ∈ C.
2
1 + |z|2 1 + |z 0 |2
13
De manera similar, obtenemos para z ∈ C que
2
d(z, ∞) = ³
2
1 + |z|
´1 .
2
Comentario 1.1.3. De lo visto anteriormente en la proyección estereográfica, para cada
punto P sobre la esfera, excepto el polo norte N , le corresponde exactamente un punto
z del plano y viceversa. Haciendo corresponder el polo norte N al punto infinito ∞ del
plano. Y ası́ obtenemos una correspondencia uno a uno entre los puntos de la esfera y los
puntos del plano complejo extendido C∞ . Ahora, por medio de la transformación w =
1
z
el punto z = 0 (el origen) es aplicado en w = ∞, llamado el punto en el infinito en el plano
w. Análogamente denotamos por z = ∞ el punto en el infinito en el plano z.
Ahora bien, se observa, en la esfera de Riemann, que la proyección estereográfica de
una circunferencia con centro en el eje Z (del plano tridimensional) y paralela al plano
XY es también una circunferencia en el plano complejo con centro en el origen y que el
radio de ésta se hace bastante grande a medida que nos acercamos al polo norte N (véase
la Fig.1.2). Esto significa que los puntos que están en un casquete polar alrededor del polo
Figura 1.2: Proyección estereográfica de rectas y circunferencias
norte se proyectan estereográficamente en el exterior de un disco en el plano complejo con
centro en el origen; y dado que el polo norte se identifica con el sı́mbolo ∞, entonces es
natural la siguiente definición.
Definición 1.1.2 (ε−entorno de ∞). Para ε > 0, el conjunto
D (∞; ε) = {z ∈ C : |z| > ε}
14
se llama un ε−entorno de ∞.
Como aplicación de la notación anterior, se tiene el siguiente concepto: Se dice que una
sucesión de números complejos {wn } diverge a ∞, denotado por wn → ∞, cuando n → ∞,
si para cada ε > 0, se puede encontrar un n0 ∈ N tal que
wn ∈ D (∞; ε)
siempre que n ≥ n0 . Claramente esto significa que las proyecciones estereográficas de los
puntos wn en la esfera de Riemann se acercan al polo norte N cuando la n es suficientemente
grande; en particular, cada casquete polar tiene una cantidad infinita de puntos que son
proyecciones de los wn . Todavı́a más, dado que la proyección estereográfica transforma
rectas que pasan por el origen de coordenadas en el plano complejo P , en circunferencias
que pasan por el polo norte y el polo sur (llamados meridianos) en la esferas δ (véase Fig.
1.2). Entonces al dividir el plano complejo en varios sectores, todo casquete polar queda
también dividido en la misma cantidad de sectores; por tanto, si existe una sucesión {wn }
de números complejo tal que wn → ∞, cuando n → ∞, entonces se puede asegurar que en
algunos de eso sectores (muy cercano a ∞), éste contiene una subsucesión {wn0 } de {wn }
tal que wn0 → ∞ cuando n → ∞. Este hecho lo utilizaremos en el presente trabajo y por
tal motivo se enuncia formalmente.
Proposición 1.1.3. Si {wn } es una sucesión de números complejo tal que wn → ∞,
cuando n → ∞ y θ es un ángulo menor que 2π, entonces esta sucesión contiene una
subsucesión {wn0 } cuyos elementos pertenecen todos a un sector angular de longitud angular
menor que θ y tal que wn0 → ∞ cuando n → ∞.
1.1.9.
Conjuntos relevantes en el plano complejo
Se finaliza esta sección, recordando la definición de algunos conjuntos relevantes en el
plano complejo. En virtud de que el conjunto de los números complejos resulta un espacio
métrico con la distancia definida a través de la función módulo, entonces las siguientes
definiciones son conocidas en general:
(Vecindad). Una vecindad de radio δ > 0, de un punto z0 , denotado por D (z0 , δ), no
es más que el disco Euclı́deo con centro en z0 y radio δ, es decir, es el conjunto de todos
15
los puntos z tales que |z − z0 | < δ. Una vecindad reducida δ de z0 , denotado por
D0 (z0 , δ), es una vecindad de z0 en la que el punto z0 se omite, es decir, D0 (z0 , δ) =
D (z0 , δ) \ {z0 }.
(Puntos lı́mites). Un punto z0 se llama un punto lı́mite o punto de acumulación de
un conjunto S si cada vecindad δ reducida de z0 contiene puntos de S. Puesto que
δ puede ser cualquier número positivo, se deduce que S debe tener infinitos puntos.
Obsérvese que z0 puede pertenecer o no al conjunto S.
(Conjunto cerrado). Un conjunto S se dice cerrado si cada punto lı́mite de S pertenece
a S, esto es, si S contiene todos sus puntos lı́mites. Por ejemplo, el conjunto de todos
los z tales que |z| ≤ 1.
(Conjuntos acotados). Un conjunto S se dice acotado si se puede encontrar una
constante M > 0 tal que |z| < M , para cada z ∈ S. Un conjunto que es cerrado y
acotado se le llama compacto.
(Punto interior,exterior y frontera). Un punto z0 se llama un punto interior de un
conjunto S si se puede encontrar una vecindad de z0 cuyos puntos pertenecen todos a
S. Si cada vecindad δ de z0 contiene puntos pertenecientes a S y también puntos no
pertenecientes a S, entonces z0 se le llama punto frontera. Si un punto no es punto
interior ni punto frontera de un conjunto S, es un punto exterior de S.
(Conjunto abierto). Un conjunto abierto S es un conjunto que consiste solamente de
puntos interiores. Es decir, el conjunto S se dice abierto si para cada z ∈ S se puede
encontrar un δ > 0 tal que D (z0 , δ) ⊂ S.
(Conjunto conexo). Un conjunto abierto S es conexo si cualquier par de puntos de
conjunto puede ser unidos por un camino formado por segmentos de rectas (esto es,
un camino poligonal contenido en S).
(Regiones abiertas o dominios). Un conjunto abierto S conexo es llamado una región
abierta o dominio.
16
1.2.
Funciones complejas de una variable compleja
En esta sección, se da un resumen sobre los aspectos más importantes de las funciones
complejas de variables complejas, entre ellas se estudian la diferenciabilidad, integrabilidad,
convergencia y se mencionan algunos teoremas clásicos como el teorema de la fórmula
integral de Cauchy. Las definiciones y resultados que se presentan en esta sección han sido
tomados de los textos Rudin (1974), Howie (2003) y Krantz y Greene (2006).
Sea Ω un conjunto de números complejos. Una función f definida sobre Ω es una regla
que asigna a cada z en Ω un número complejo w. El número w se le llama el valor de f en
z y se denota por f (z); esto es,
f
:Ω → C
z → w = f (z) .
El conjunto Ω se le llama el dominio de definición de f . Si a cada valor de z corresponde
sólo un valor de w, se dice que w es una función univalente de z o que f (z) es unı́voca.
Si más de un valor de w corresponde a cada valor de z, se dice que w es una función
multivaluada o multiforme de z. Una función multivaluada puede considerarse como una
colección de funciones unı́vocas; cada miembro de esta colección será llamada una rama de
la función. Se acostumbra considerar un miembro particular como una rama principal de
la función multivaluada y el valor de la función correspondiente a esta rama como el valor
principal. Por ejemplo, si w = z 2 , entonces para cada valor de z existe sólo un valor de w.
1
Por esto w = f (z) = z 2 es una función unı́voca de z; pero si w = z 2 , entonces para cada
1
valor de z existen dos valores un w. De donde w = f (z) = z 2 es una función multivaluada
(bivaluada en este caso) de z. Cuando se hable de función se supone, a menos que se diga
lo contrario, que es una función unı́voca.
1.2.1.
Representación gráfica de una función compleja
Un número complejo z = x+iy puede ser representado en un plano llamado el diagrama
de Argand como se ilustra en la figura 1.3. Sin embargo, no se puede dibujar los valores de
x, y y y f (z) en un mismo plano, como podemos hacerlo para funciones reales y = f (x).
Por tanto, se representa los valores de w = f (z) = u(x, y) + v(x, y)i en un segundo plano
como se ilustra en la figura 1.3. El plano que contiene a la variable independiente z es
17
llamado el plano z y el plano que contiene a la variable dependiente w es llamado plano
w. Ası́, la función compleja w = f (z) puede verse como un mapeo o transformación del
punto P dentro de una región en el plano z (llamada el dominio) a los puntos imagen
correspondiente P 0 dentro de una región en el plano w (llamado el rango).
Figura 1.3: Representación de una función compleja
Al pensar en una función f de esta manera, se refiere a ella como aplicación o transformación. Se utilizan términos tales como traslación, rotación y reflexión para referirse
a caracterı́sticas geométricas dominantes de ciertas aplicaciones. En tales casos, suele resultar convenientes considerar los planos z y w como coincidentes. Por ejemplo, como
w = z + 1 = (x + 1) + iy, la aplicación w = z + 1 puede verse como una traslación de cada
punto z a una posición situada una unidad más a la derecha. La aplicación w = iz gira
cada punto no nulo z en el sentido contrario al de las agujas de un reloj un ángulo recto
en torno al origen, y w = z transforma cada punto z en su reflejado respecto del eje real.
18
1.2.2.
Diferenciabilidad de funciones complejas
Una función compleja de variable compleja definida sobre un dominio Ω se dice diferenciable en un punto z◦ ∈ Ω, si existe el siguiente lı́mite
f (z) − f (z◦ )
.
z→z◦
z − z◦
lı́m
En este caso, el lı́mite se denota por f 0 (z◦ ) y se le llama derivada de f en z◦ . Se dice que
una función f es holomorfa o analı́tica en un punto z◦ ∈ Ω, si existe un entorno abierto,
D (z◦ , r) de z◦ tal que f sea diferenciable en cada punto de D (z◦ , r). De igual manera
se dice que f es analı́tica u holomorfa en un conjunto Ω, si f es analı́tica en cada punto
z ∈ Ω. Una función f analı́tica en todo el plano complejo C, se le llama función entera.
Ya que la derivada de un polinomio existe en todas partes, entonces los polinomios son
funciones enteras. El conjunto de las funciones analı́ticas sobre el conjunto Ω se denota por
H (Ω) y debido a las reglas de derivación es claro que éste es un espacio vectorial sobre el
campo de los números complejos. Por otro lado, las funciones f ∈ H (Ω) cumplen con los
siguientes resultados:
Teorema 1.2.1 (Ecuaciones. de Cauchy-Riemann). Sea f ∈ H (Ω) definida por f (z) =
u (x, y) + iv (x, y), con z = x + iy ∈ Ω, donde u, v son funciones de valores reales. Se
0
supone que f (z◦ ) existe en un punto z◦ = x◦ + iy◦ . Entonces, las derivadas parciales
de primer orden de u y v deben existir en (x◦ , y◦ ) y deben satisfacer las ecuaciones de
Cauchy-Riemann a saber:

 ux (x◦ , y◦ ) = vy (x◦ , y◦ ) ,
 u (x , y ) = −v (x , y ) ,
y
◦
◦
x
◦
◦
donde, ux y uy denotan las derivadas parciales de la función u con respecto a las variables
x y y, respectivamente. Además, f 0 (z◦ ) = ux (x◦ , y◦ ) + ivx (x◦ , y◦ ).
Comentario 1.2.1. Por el contrarecı́proco, es claro que si las funciones u y v no satisfacen
las ecuaciones de Cauchy-Riemann en un punto, entonces la función f = u + iv no es
diferenciable en ese punto; pero existen funciones u y v que satisfacen las ecuaciones de
Cauchy-Riemann en un punto, sin que la función f sea diferenciable en ese punto.
Estrictamente hablando, las funciones que tienen un desarrollo en serie de potencias,
se conocen como funciones analı́ticas. Se puede demostrar que toda función que tiene
19
un desarrollo en serie de potencia alrededor de un punto es derivable en el mismo, es
decir, toda función analı́tica en un punto es también derivable en ese punto. Sin embargo,
existen ejemplos de funciones derivables en un punto que no tienen un desarrollo en serie
de potencias alrededor de ese punto. Pero si la función es derivable en todos los puntos
interiores a un cı́rculo con centro en un punto dado, entonces la función se puede desarrollar
en serie de potencia alrededor de dicho punto. Por eso a toda función derivable en todos los
puntos de una región se le dice función analı́tica. También se tiene la siguiente propiedad
importante.
Teorema 1.2.2. Sea Ω un dominio. Si f ∈ H (Ω) y f 0 (z) = 0, para todo z ∈ Ω, entonces
f es una función constante en Ω.
1.2.3.
Integración de funciones complejas
En esta sección se estudia algunos conceptos sobre integración compleja. Se comienza
por definir lo que es un contorno parametrizado.
Definición 1.2.3. Un contorno parametrizado γ es una función compleja definida en un
intervalo [a, b] la cual es continua en [a, b] y diferenciable a trozos; es decir, tal que existe
un conjunto finito de números a1 < a2 < · · · < ak tal que a1 = a y ak = b y con la
propiedad de que para cada 1 ≤ j ≤ k − 1, γ [aj ,aj+1 ] es una curva en C 1 . Si el contorno γ
es una función inyectiva, entonces se dice simple; mientras que si γ (a) = γ (b), entonces el
contorno se llama cerrado; si el contorno γ es cerrado y γ|[a,b) es inyectiva, entonces se le
dice simple y cerrado.
Definición 1.2.4 (Integración de una función continua). La integral de una función continua f de valores complejos definida en un dominio Ω ⊂ C que contiene a un contorno γ
se define por:
Z
Z
b
f (z) =
γ
0
f (γ (t)) γ (t) dt.
a
Note que el lado derecho de esta expresión es la integral de una función compleja de
variable real. Similarmente, la integral de f sobre γ con respecto a la longitud de arco
viene dada por:
Z
Z
f (z) |dz| =
γ
b
¯ 0 ¯
¯
¯
f (γ (t)) ¯γ (t)¯ dt.
a
20
La integral sobre un contorno y la integral con respecto a la longitud de arco se relacionan
mediante la expresión:
¯ Z
¯Z
¯
¯
¯ f (z)¯ ≤ |f (z)| |dz|
¯
¯
γ
(1.4)
γ
También se conoce que si f es analı́tica en un dominio simplemente conexo Ω (Ver Rudin
(1974) para la definición y propiedad de los dominios simplemente conexos) y z1 , z2 ∈ Ω
entonces
Z
f (z1 ) − f (z2 ) =
f 0 (s) ds
(1.5)
γ
para todo contorno γ contenido en Ω con punto inicial z1 y punto final z2 .
Un resultado que hay que tener presente cuando se trabaja en espacio de funciones
analı́ticas, es el teorema de la fórmula integral de Cauchy que se enuncia a continuación:
Teorema 1.2.5 (Fórmula integral de Cauchy). Sea f analı́tica en el interior y en los
puntos de un contorno cerrado simple γ, orientado positivamente. Si z◦ es un punto interior
a γ, entonces
1
f (z◦ ) =
2πi
Z
γ
f (z)
dz
z − z◦
(1.6)
f (z)
dz
(z − z◦ )n+1
(1.7)
y en general para cada n ∈ N ∪ {0} se cumple
f
(n)
n!
(z◦ ) =
2πi
Z
γ
La expresión (1.7) se conoce como la fórmula integral de Cauchy para las derivadas de
la función analı́tica f .
Comentario 1.2.2. Como consecuencia inmediata del resultado anterior, surge que si f
es analı́tica en un abierto Ω, entonces la derivada f 0 también es analı́tica en Ω; es decir,
f ∈ H (Ω) ⇒ f 0 ∈ H (Ω) ;
de manera entonces que toda función analı́tica sobre un abierto Ω pertenece a la clase
C ∞ (Ω) de las funciones infinitas y continuamente diferenciables en Ω.
En la siguiente sección, se darán algunas definiciones y resultados que juegan un papel
importante en la teorı́a de funciones de variables complejas:
21
1.2.4.
Funciones analı́ticas
Las funciones holomorfas o analı́ticas coinciden con su serie de Taylor como se establece
en el siguiente resultado:
Teorema 1.2.6 (Teorema de Taylor). Si f ∈ H (Ω) con Ω un subconjunto abierto de C,
entonces para cada a ∈ Ω, existe R > 0 tal que
∞
X
f (n) (a)
f (z) =
n=0
n!
(z − a)n
para todo z ∈ D (a, R).
Ahora, se enunciaran algunos teoremas clásicos sobre las funciones analı́ticas:
Teorema 1.2.7 (Teorema de Morera). Si una función f es continua en un dominio Ω ⊂ C
y si
Z
f (z) dz = 0
γ
para cada contorno γ ⊂ Ω, entonces f es analı́tica en todo Ω.
Teorema 1.2.8 (Principio del módulo máximo). Sea Ω ⊂ C abierto y f ∈ H (Ω). Si existe
un punto z◦ ∈ Ω tal que
|f (z◦ )| ≥ |f (z)|
para todo z ∈ Ω. Entonces, f es constante en Ω.
Como consecuencia del Teorema 1.2.8, se tiene los siguientes resultados:
Corolario 1.2.9. Sea f una función continua en una región acotada cerrada R, y analı́tica
y no constante en el interior de R. Entonces, el máximo valor de |f (z)| en R que se alcanza
siempre, y ocurre en algún lugar de la frontera de R, nunca en su interior.
Corolario 1.2.10. Si f es analı́tica sobre y en el interior de la curva simple y cerrada γ y
f (z) 6= 0, para toda z en el interior de la región cuya frontera es γ, entonces |f (z)| asume
su valor mı́nimo sobre γ.
Teorema 1.2.11 (Teorema de Liouville). Si f es entera y acotada en todo el plano complejo, entonces f es constante en el plano.
22
El siguiente resultado permite realizar acotaciones muy finas del módulo de funciones
analı́ticas, definidas sobre el disco unitario complejo D con centro en el origen y radio 1.
Teorema 1.2.12 (Lema de Schwarz). Sea f analı́tica sobre el disco unitario complejo D.
Se supone que
1) |f (z)| < 1, para todo z ∈ D y que
2) f (0) = 0.
¯
¯
¯ 0
¯
Entonces, |f (z)| < |z|, para todo z ∈ D y ¯f (0)¯ = 1. Si además, |f (z)| = |z| para algún
z 6= 0 ó si |f 0 (0)| = 1, entonces f es una rotación de la identidad; es decir, f (z) = αz,
para alguna constante α de módulo igual a 1 y para todo z ∈ D.
También, se requiere del famoso teorema de la función inversa, que dice que, las funciones analı́ticas con derivadas no nulas en un punto, es inyectiva en un entorno de ese
punto.
Teorema 1.2.13 (Teorema de la función inversa). Se supone que f es analı́tica en un
conjunto abierto que contiene a c y que f 0 (c) 6= 0. Entonces existe η > 0 tal que f es uno
a uno sobre N = D (c, η). Sea g la función inversa de f |N (la restricción de f sobre N ).
Sea z ∈ N y f (z) = w. Entonces
g 0 (w) =
1.2.5.
1
f 0 (z)
.
Convergencia de sucesiones de funciones complejas
En esta sección se estudia algunos resultado sobre la convergencia de sucesiones de
funciones de variables complejas.
Definición 1.2.14 (Convergencia sobre subconjuntos compactos). Una sucesión de funciones {fj } definidas en un dominio Ω ⊂ D, se dice que converge uniformemente a f sobre
subconjunto compactos de Ω, si para cada subconjunto compacto K ⊂ Ω y cada ε > 0,
existe un n◦ ∈ N (que depende de K y de ε) tal que
sup |fj (z) − f (z)| < ε,
z∈K
siempre que j ≥ n◦ .
23
El siguiente resultado dice que el espacio de las funciones analı́ticas H (Ω), con Ω un
dominio de C es completo con la métrica de la convergencia uniforme sobre subconjuntos
compactos.
Teorema 1.2.15 (Convergencia uniforme sobre subconjuntos compactos). Sea {fj } ⊂
H (Ω) con Ω un dominio y se supone que {fj } converge uniformemente a f sobre subconjuntos compactos de Ω. Entonces, f ∈ H (Ω) y fj0 → f 0 uniformemente sobre subconjuntos
compactos de Ω.
1.3.
Transformaciones conformes
En esta sección se recuerda el concepto de las transformaciones conformes ası́ como algunas propiedades y aplicaciones, las cuales dan origen a algunos resultados clásicos como
el teorema de la transformación de Riemann, el teorema de distorsión y los automorfismos
del disco que se estará utilizando en el resto de este trabajo. Para un estudio completo de estas transformaciones conformes se recomiendan los textos de Conway (1978), Pommerenke
(1975), y la Tesis de Grado de Antón (2008).
Definición 1.3.1 (Transformaciones conformes). Se dice que una función f es conforme
en un punto z0 ∈ Ω ⊂ C (Ω dominio), si es analı́tica en el y f 0 (z0 ) 6= 0. Además, f es
conforme en Ω, si es conforme en todo punto de Ω. Es decir, f es conforme en Ω si es
analı́tica en Ω y su derivada no tiene ceros en Ω.
Ejemplo 1.3.2. La aplicación w = ez es conforme en todo el plano z porque w0 = ez 6= 0
para todo z.
Una de las propiedades importantes que tienen las transformaciones conforme es que
preservan ángulos. Se conoce además que si una función analı́tica f , satisface que f 0 (z0 ) 6= 0
para algún z0 ∈ Ω, entonces f es 1 − 1 en un entorno de z0 .
En vista, de que en los capı́tulos siguientes se trabajará con funciones analı́ticas definidas
sobre el disco unitario complejo D, a continuación se define y se enuncian algunas propiedades
de los automorfismo del disco, las cuales son transformaciones conformes biyectivas que
aplican el disco unitario D con centro en el origen y radio 1 en sı́ mismo.
24
Definición 1.3.3. Los automorfismos del disco son aquellas funciones analı́ticas y biyectivas que transforman el disco unitario D en sı́ mismo. Al conjunto de todas estas funciones
se denota por
Aut (D) := {ϕ ∈ H (D) /ϕ : D → D, biyectiva} .
Definición 1.3.4 (Transformaciones de Möbius). La transformación
w=
az + b
, con (ad − bc 6= 0),
cz + d
(1.8)
donde, a, b, c y d son constantes complejas, se llama una transformación racional lineal o
transformación de Möbius.
Se nota que la ecuación (1.8) se puede expresar en la forma
Azw + Bz + Cw + D = 0, con (AD − BC 6= 0)
(1.9)
y recı́procamente, toda ecuación del tipo (1.9) se puede poner en la forma (1.8). Debido
a esto, a la transformación racional lineal se le llama transformación bilineal. Y dentro
de sus propiedades se puede destacar que éstas son funciones biyectivas y analı́ticas en
C \ {−d/c} que aplican circunferencias en circunferencias, donde una recta se considera
una circunferencia. Entre las transformaciones de Möbius, destacan las siguientes:
ϕa : D → D
z
→ ϕa (z) =
a−z
1−az ,
donde a ∈ D es fijo. Se tiene que ϕa es una función biyectiva del disco D en sı́ mismo. En
efecto, si |a| < 1, entonces ϕa es una función analı́tica en el conjunto |z| <
1
|a| ,
por lo tanto,
es analı́tica en un disco abierto que contiene a D. También se tiene que
ϕa (ϕa (z)) = z,
para todo z ∈ D; lo cual dice que ϕa es una función biyectiva del disco D en sı́ mismo;
además, si θ es un número real, entonces
¯ ¯
¯
¯ ³ ´¯ ¯¯ a − eiθ ¯¯ ¯¯ a − eiθ
¯ ¯ a − eiθ ¯
¯
iθ ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ = 1,
=
=
¯ϕa e ¯ = ¯
1 − aeiθ ¯ ¯ eiθ (e−iθ − a) ¯ ¯ a − e−iθ ¯
pues un número complejo y su conjugado tienen igual módulo. También, para cada a ∈ D
y ϕa ∈ Aut (D), se tienen las siguientes propiedades:
25
Proposición 1.3.5. Para cada a ∈ D y ϕa ∈ Aut (D), se cumplen las siguientes propiedades:
1) ϕa (0) = a, ϕa (a) = 0;
2) ϕ−1
a (z) = ϕa (z);
2
|a| −1
3) ϕa (z) = (1−az)
2;
¯
¯
¯
¯ ³
´−1
¯ 0
¯
¯ 0
¯
4) ¯ϕa (0)¯ = 1 − |a|2 y ¯ϕa (a)¯ = 1 − |a|2
;
¯
³
´¯ 0
¯
¯
5) 1 − |z|2 ¯ϕa (z)¯ = 1 − |ϕa (z)|2 ;
0
6) El determinante Jacobiano de ϕa en z es:
³
´2
2
¯ 0
¯2
|a|
−
1
¯
¯
.
Jϕa (z) = ¯ϕa (z)¯ =
|1 − az|4
7) Fórmula del cambio de variable de la integral:
Z
Z
f (z) dA (z) =
D
ZD
=
D
f (ϕa (z)) Jϕa (z) dA (z)
³
´2
f (ϕa (z)) f rac |a|2 − 1 |1 − az|4 dA (z)
Ahora, se enuncia algunos teoremas sobre estas funciones conformes, entre ellos el
célebre teorema de la transformación de Riemann, el cual establece que toda región simplemente conexa es conformemente equivalente al disco unitario complejo D.
Definición 1.3.6 (Dominios simplemente conexos). Un dominio Ω se llama simplemente
conexo, si cada curva cerrada en Ω encierra sólo puntos de Ω. En caso contrario el dominio
se llama multiplemente conexo.
Teorema 1.3.7 (Teorema de la transformación de Riemann). Dado un dominio simplemente conexo Ω estrictamente contenido en C. Si z◦ ∈ Ω, existe una función f que es
analı́tica en Ω y que transforma uno a uno sobre D, con f (z◦ ) = 0. Además, si se pide que
f 0 (z◦ ) > 0, entonces la función es única.
Por otro lado, si se denota por δ Ω (w) = dist(w, ∂Ω) la distancia Euclı́dea del punto w
a la frontera del dominio Ω, la transformación de Riemann f , cumple con las propiedades
dadas a través del teorema de Koebe, llamado teorema de distorsión, el cual se enuncia a
continuación:
26
Teorema 1.3.8 (de distorsión de Koebe). Para cada transformación conforme f del disco
D en un dominio simplemente conexo Ω ⊂ C y para cada z ∈ D, se cumple que:
|z|
|z|
0
1) |f 0 (0)| (1+|z|)
,
2 ≤ |f (z) − f (0)| ≤ |f (0)|
(1−|z|)2
1−|z|
1+|z|
0
0
2) |f 0 (0)| (1+|z|)
.
3 ≤ |f (z)| ≤ |f (0)|
(1−|z|)3
Como consecuencia importante del Teorema de distorsión de Koebe, se tiene la siguiente
estimación en la cual se establece que δ Ω (f (z)), la distancia Euclı́dea f (z) a la frontera
de Ω, es comparable con la distancia de z a la frontera del disco D multiplicado, donde
el módulo de f 0 (z) es el valor variable de comparación. Esta propiedad será especialmente
útil para establecer cuando una transformación conforme f se encuentra en los espacios de
Bloch que se definen en el próximo capı́tulo.
Corolario 1.3.9. Para cada transformación conforme f del disco D en un dominio simplemente conexo Ω ⊂ C y z ∈ D, se cumple
¯
¯
¯
¯
1
(1 − |z|2 ) ¯f 0 (z)¯ ≤ δ Ω (f (z)) ≤ (1 − |z|2 ) ¯f 0 (z)¯ .
4
Finalmente, en vista de que se trabajará con transformaciones conformes que aplican
el disco unitario D en un dominio simplemente conexo Ω, es conveniente estudiar algunos
preliminares acerca de las distancias hiperbólicas.
Definición 1.3.10 (Distancia hiperbólica). Se define la distancia hiperbólica entre los
puntos z, w ∈ D como
½Z
ρ (z, w) = ı́nf
γ
donde, ϕa (z) =
a−z
1−az
γ
ds
1 − |s|2
¾
=
1
log
2
µ
1 + |ϕz (w)|
1 − |ϕz (w)|
¶
,
denota el automorfismo del disco D, que intercambia el punto 0 y a
y el ı́nfimo se toma sobre todas las curvas rectificables γ en D que unen z y w.
Si Ω es un dominio simplemente conexo (el cual no puede ser el mismo plano), y f
es una transformación de Riemann de D sobre Ω, entonces la métrica hiperbólica ρΩ se
define como
ρΩ (f (z), f (w)) := ρ (z, w) ;
esta definición es independiente de la transformación de Riemann f . Además, si sucede
que f (0) = 0, entonces
1
ρΩ (0, f (z)) = ρ (0, z) ≥ log
2
27
µ
1
1 − |z|
¶
,
para todo z ∈ D.
Se finaliza esta sección con la construcción de un dominio simplemente conexo el cual
jugará un papel muy importante en muchos de los resultados que se obtienen en el Capı́tulo
3 de este trabajo. Esta construcción se debe a Álvarez, Márquez y Vukotić (2004).
Proposición 1.3.11. Dado un número positivo δ, y una sucesión {wn }∞
n=1 de números
complejos, tales que w0 = 0; |w1 | ≥ 5δ; arg (w1 ) < π2 ; arg (wn ) & 0 y
(
)
n−1
X
|wn | ≥ máx 3 |wn−1 | ,
|wk − wk−1 | ,
k=1
para todo n ≥ 2. Existe un dominio Ω con las siguientes propiedades:
i) Ω es simplemente conexo ;
ii) Ω contiene una linea poligonal infinita L = ∪∞
n=1 [wn−1 , wn ], donde [wn−1 , wn ] denota
el segmento de lineal desde wn−1 hasta wn ;
iii) Existe una función conforme de D sobre Ω, la cual toma el origen y lo lleva a un punto
b ∈ Ω;
iv) La distancia dist(w, ∂Ω) = δ, para cada punto w sobre L;
Se observa por la Propiedad iv) de esta Proposición y del Teorema de distorsión que
cualquiera transformación de Riemann f de D sobre Ω pertenece a B (véase la definición del espacio de Bloch en el próximo capı́tulo). Todavı́a más, recientemente Buckley y
Vukotić (2008) mostraron que, si Ω es el dominio simplemente conexo
∞
[
Rn ,
n=1
donde
[
Rn =
D (w, rn ) ,
w∈[wn−1 ,wn ]
con n ∈ N y siendo {rn } una sucesión decreciente de números positivos con r1 ≤ 1 y
{wn } una sucesión de números complejos tal que w0 = 0, |w1 | > 1, |wn+1 | > 2 |wn | y
0 ≤ arg (wn ) ≤ π4 . Entonces, la transformación de Riemann f de D sobre Ω pertenece a B0
(el pequeño espacio de Bloch) y satisface
µ
|f (zn )| ≥ crn log
1
1 − zn
n ∈ N, para alguna constante c y donde f (zn ) = wn .
28
¶
,
1.4.
Funciones Enteras
Se finaliza este capı́tulo recordando algunas de las propiedades de las funciones enteras
las cuales serán de gran utilidad para establecer los resultados que se han obtenidos en
esta investigación y que se presentan en el Capı́tulo 3 de este trabajo. El lector interesado
en este tema puede consultar los excelentes textos de Conway (1978) y Greene y Krantz
(2006).
En primer lugar se recuerda el concepto de funciones enteras.
Definición 1.4.1. Una función que es analı́tica en cada parte del plano finito, es decir, en
todas partes excepto en ∞, se llama una función entera.
Ejemplo 1.4.2. Las funciones ez y sen(z), cos(z) y todas las funciones polinómicas son
funciones enteras.
Una función entera se puede representar por una serie de Taylor de radio de convergencia infinito. Recı́procamente, toda serie de potencia que tiene radio de convergencia
infinito, representa una función entera.
Comentario 1.4.1. Por el Teorema de Liouville, una función que es analı́tica en toda
parte incluyendo ∞ debe ser constante.
Con la finalidad de analizar el crecimiento de una función entera, se introducen los
conceptos de orden y el tipo de una función entera, los cuales se utilizan en el desarrollo
del presente trabajo para caracterizar cuando ciertos espacios de Bloch-Orlicz se aplica por
superposición en algún espacio α-Bloch (véase el Capı́tulo 3).
Definición 1.4.3 (Orden y Tipo). Sea φ una función entera y no constante.
1. El orden de la función φ se define por
ρ := lı́m sup
r→∞
Ã
= ı́nf
²>0
log(log(M (r, φ)))
log(r)
log(log(M (r, φ))
sup
log(r)
|r|>²
donde M (r, φ) := max{|φ(z)| : |z| = r}.
29
!
,
2. Si φ tiene orden finito (ρ < ∞) entonces el tipo de φ se define por
σ := lı́m sup
r→∞
log(M (r, φ))
.
rρ
3. Si φ no es de orden finito entonces se dice que es de orden infinito.
Comentario 1.4.2. Si se considera fijo t > 0 y se define E(t) como el conjunto de todas
las funciones enteras de orden ρ más pequeño que t, o de orden t y tipo σ finito. Entonces,
de la definición, se tiene que φ ∈ E(t) si y sólo si existe una constante α > 0 y r0 > 0 tal
que
|φ(z)| ≤ exp(α|z|t )
para todo |z| > r0 , suficientemente grande.
También se puede ver que si φ es de orden finito entonces el número
©
¡
¢
ª
x = ı́nf t : |φ(z)| < exp α|z|t , para |z| suficientemente grande
¡
¢
coincide con el orden de φ. Todavı́a más, se observa que si |φ(z)| < exp α|z|t para
|z| > rt > 1 y s > t, entonces
|φ(z)| < exp (α|z|s ) .
Para ilustrar las definiciones de orden y tipo de una función entera, a continuación se
describe algunos ejemplos de como calcular estos valores.
Ejemplo 1.4.4. Se Considera la función φ(z) = exp (ez ). Entonces
|φ(z)| = exp (Re (ez )) = exp (er cos(θ)) ,
donde z = reiθ . Por tanto M (r, φ) = exp (er ) y
r
log (log (M (r, φ)))
=
;
r
log(r)
de donde
λ = lı́m sup
r→∞
r
log(log(M (r, φ))
= lı́m sup
r→∞
r
log(r)
= lı́m sup(r) = +∞,
r→∞
donde en la penúltima desigualdad se ha utilizado la regla de L’Hospital para calcular
lı́mites. Se concluye entonces que φ es de orden infinito.
30
Ejemplo 1.4.5. Si se toma g(z) = exp (z n ) con n ≥ 1, entonces
|g(z)| = exp (Re (z n )) = exp (rn cos (nθ)) ,
donde se ha usado que z = reiθ . Por tanto M (r, φ) = exp (rn ) y ası́
log (log (M (r)))
= n,
log(r)
de donde
λ = lı́m sup
r→∞
log (log (M (r, φ)))
log(r)
= lı́m sup(n) = n.
r→∞
Esto dice que g es de orden finito ρ = n.
Por otra parte, la función g es de tipo σ = 1. En efecto, se tiene que g(z) = exp (z n ) ,
n ≥ 1, M (r, φ) = exp (rn ) y ρ = n < ∞; por tal motivo,
log (M (r, φ))
log (exp (rn ))
rn
=
=
=1
rρ
rn
rn
y por tanto
σ = lı́m sup
r→∞
log(M (r, φ)
= lı́m sup(1) = 1.
r→∞
rn
Comentario 1.4.3. Sea E0 (t) el conjunto de todas las funciones enteras φ de orden mas
pequeño que t, o de orden t y tipo σ = 0 entonces φ ∈ E0 (t), si y sólo si para todo ² > 0,
existe un R > 0 tal que
¡
¢
|φ(z)| ≤ exp ²|z|t ,
para todo |z| > R.
El concepto de orden y tipo de una función entera se relaciona con la noción de convergencia y de O-grande de una función real el cual se incluye por completitud.
Definición 1.4.6 (O Grande). Sea φ : (0, a) → R y g : (0, b) → R dos funciones con
a, b ∈ (0, +∞). Se dice que φ es una función ”O” grande de g cuando ² → 0+ , si existen
constantes ²0 > 0 y M > 0 tales que
|φ(²)| ≤ M |g(²)|
para todo ² ∈ (0, ²0 ). En este caso se escribe φ(²) = O(g(²)).
31
Se finaliza este capı́tulo mencionando otra propiedad importante que cumplen las funciones enteras y que se utilizan en el desarrollo de este trabajo, a saber, que el orden y el
tipo no cambian con la diferenciabilidad, en la siguiente proposición se enuncia este hecho.
Proposición 1.4.7. Si f es una función entera de orden λ y tipo α, entonces f 0 también
tiene orden λ y tipo α.
32
Capı́tulo 2
ESPACIOS TIPO BLOCH DE
FUNCIONES ANALÍTICAS
Este capı́tulo tiene por finalidad introducir los espacios donde se han realizados las
investigaciones de este trabajo.
2.1.
Espacios tipo Bloch
En primer lugar y a manera de preliminares se definen los espacios y se enumeran
algunas de las propiedades de los espacios tipo Bloch que serán usados en el transcurso de
este trabajo. Como antes, D denota el disco unitario en el plano complejo C, H (D), denota
el espacio de las funciones analı́tica sobre D y H ∞ = H ∞ (D) será el espacio de las funciones
analı́tica acotadas sobre D. Para un estudio más completos sobre los espacios que se van
a definir en esta sección, se recomienda los excelentes textos de Zhu (1990), Hedenmalm,
Korenblum y Zhu (2000) y Duren y Schuster (2004). También se puede consultar la Tesis
de Grado de Maestrı́a de Malavé (2011).
El espacio de Bloch
Definición 2.1.1. Una función analı́tica f definida sobre D se dice que una función tipo
Bloch, denotado por f ∈ B, si satisface la relación:
³
´¯
¯
kf kB = sup 1 − |z|2 ¯f 0 (z)¯ < ∞.
z∈D
33
(2.1)
De la definición, se verifica que para f, g ∈ B y α ∈ C
kαf + gkB ≤ |α| kf kB + kgkB < ∞,
lo cual dice que, B es un subespacio del espacio de las funciones analı́ticas sobre D, H (D),
denominado espacio de Bloch, es decir,
B = {f ∈ H (D) / kf kB < ∞} .
Este espacio tiene las siguientes propiedades:
1. La relación k·kB es una semi-norma para el espacio B.
2. la relación: kf k = |f (0)| + kf kB , para f ∈ B, define una norma para el espacio B.
3. (B, k·k) es un espacio de Banach.
4. H ∞ ⊂ B y kf kB ≤ kf k∞ , para toda f ∈ H ∞ .
5. Para toda f ∈ B, se tiene que
1
|f (z) − f (0)| ≤ log
2
µ
1 + |z|
1 − |z|
¶
.
Por otra parte, B contiene un subespacio llamado pequeño espacio de Bloch, denotado
B0 , y definido por:
f ∈ B0 ⇔ lı́m
|z|→1−
³
´¯
¯
1 − |z|2 ¯f 0 (z)¯ = 0.
Éste subespacio es cerrado en B, y cumple con las siguientes propiedades:
1. B0 * H ∞ y H ∞ * B0 .
2. B0 es la clausura de los polinomios en B, es decir, P [(z)] = B0 .
Espacios α-Bloch
Definición 2.1.2. Para 0 < α < ∞, una función analı́tica f definida sobre D, se dice que
es una función α-Bloch, denotada f ∈ B α , si satisface la relación:
³
´α ¯
¯
kf kα = sup 1 − |z|2 ¯f 0 (z)¯ < ∞.
z∈D
34
(2.2)
Como antes, se verifica que para toda f, g ∈ B α y θ ∈ C:
kθf + gkα ≤ |θ| kf kα + kgkα < ∞.
lo cual, dice que B α es un subespacio del espacio de las funciones analı́ticas sobre D, H (D),
denominado espacio α− Bloch, es decir,
Bα = {f ∈ H (D) / kf kα < ∞} .
Este espacio tiene las siguientes propiedades:
1. La relación k.kα es una semi-norma para el espacio Bα ,
2. la relación: kf kBα = |f (0)| + kf kα , para f ∈ B α , define una norma para Bα .
3. (B α , k.kBα ) es un espacio de Banach.
4. Si 0 < α < β, entonces B α
Bβ y kf kβ ≤ kf kα , para toda f ∈ B α .
5. Si α = 1, entonces B1 = B, es el espacio de Bloch.
6. Para f ∈ B α y z ∈ D, se cumple:



Cα kf kBα ,
si 0 < α < 1,


³
³
´´

1
kf kB 1 + log 1−|z|
, si α = 1,
|f (z)| ≤


 Cα kf kBα

si α > 1.

α−1 ,
(1−|z|2 )
(2.3)
Espacios µ-Bloch
Definición 2.1.3. Sea µ una función peso, es decir, una función continua positiva definida
sobre D. Una función analı́tica f definida sobre D, se dice que es una función µ -Bloch,
denotada por f ∈ B µ , si satisface la relación:
¯
¯
kf kµ = supµ (z) ¯f 0 (z)¯ < ∞
z∈D
Se verifica que para toda f, g ∈ B µ y θ ∈ C:
kθf + gkµ ≤ |θ| kf kµ + kgkµ < ∞,
35
(2.4)
lo cual, dice que B µ es un subespacio del espacio de las funciones analı́ticas sobre D,
denominado espacio µ-Bloch. Esto es,
n
o
B µ = f ∈ H (D) : kf kµ < ∞ .
Además, este espacio cumple con las siguientes propiedades:
1. La relación k·kµ es una semi-norma para el espacio Bµ .
2. la relación: kf kBµ = |f (0)| + kf kµ , para f ∈ B µ , define una norma para B µ .
3. (B µ , k·kBµ ) es un espacio de Banach.
4. Si µ (z) = [ω (z)]α , con α > 0
y
ω (z) = 1 − |z|2 , entonces B µ coincide con el
espacio Bα .
De manera similar a los espacios de Bloch, Bµ contiene un subespacio llamado pequeño
espacio µ-Bloch, denotado B0µ , y que se define por:
¯
¯
f ∈ B0µ ⇔ lı́m µ(z) ¯f 0 (z)¯ = 0.
|z|→1−
Éste subespacio es cerrado en Bµ , y cumple con las siguientes propiedades:
1. B0µ es la clausura de los polinomios en Bµ , es decir, P [(z)] = B0µ .
Los detalles de estas afirmaciones se pueden encontrar en Malavé (2011).
2.2.
Los espacios de Bloch-Orlicz
En vista de que los resultados que se han obtenidos en esta investigación concierne
sobre el operador de superposición actuando sobre ciertos espacios tipo Bloch (véase el
Capı́tulo 3), en esta sección, se hace un estudio exhaustivo de los espacios de Bloch-Orlicz,
lo cuales han sido introducidos recientemente por Ramos (2010), como una generalización
del espacio de Bloch, utilizando, para su definición, N -funciones, las cuales se definen de
la siguiente manera:
Definición 2.2.1. Sea ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) una función. ϕ es una N -función, si cumple las
siguientes condiciones:
36
1. ϕ es estrictamente creciente,
2. ϕ (0) = 0,
3. ϕ es convexa (por lo tanto continua),
4.
lı́m ϕ(t)
t→∞ t
= ∞ y lı́m
t→0+
ϕ(t)
t
= 0.
Dada una N -función ϕ y una función analı́tica f sobre D, se define la cantidad
³
´ ¡¯
¯¢
Nϕ (f ) = sup 1 − |z|2 ϕ ¯f 0 (z)¯ .
z∈D
Con esta noción, se puede ahora definir los espacios de Bloch-Orlicz, de manera similar a
como se definen los espacios de Orlicz (véase Rao y Ren (1991)).
Definición 2.2.2. Una función analı́tica f definida sobre D, se dice que es del tipo BlochOrlicz, si cumple la siguiente relación:
µ ¶
f
< ∞,
Nϕ
λ
(2.5)
para algún λ > 0, dependiendo de f .
Al conjunto de todas estas funciones lo denotaremos por Bϕ , es decir,
½
µ ¶
¾
f
ϕ
B = f ∈ H (D) : Nϕ
<∞ .
λ
Se demuestra que Bϕ es un espacio vectorial. En efecto, sean f y g ∈ B ϕ , se demostrará que
θf, f + g ∈ B ϕ , con θ ∈ C. Como f, g ∈ B ϕ , entonces existen λ1 , λ2 > 0 tales que
³
´ µ |f 0 (z)| ¶
2
I1 = sup 1 − |z| ϕ
< ∞,
λ1
z∈D
³
´ µ |g 0 (z)| ¶
I2 = sup 1 − |z|2 ϕ
< ∞.
λ2
z∈D
Tomando λ = |θ| λ1 , se tiene que
´ µ |θ| |f 0 (z)| ¶
sup 1 − |z| ϕ
= I1 < ∞,
λ
z∈D
³
2
ası́ que θf ∈ B ϕ . También, por la desigualdad triangular y el hecho que ϕ es una función
creciente, se tiene que
¶
µ
¯¢
¡ 0¯ 0
|g 0 (z)|
|f 0 (z)|
0
0
0
¯
¯
+ λ λ2
.
ϕ λ f (z) + g (z) ≤ ϕ λ λ1
λ1
λ2
37
Ahora, tomando λ0 =
1
λ1 +λ2 ,
se obtiene
µ
¯¢
¡ 0¯ 0
0
¯
¯
ϕ λ f (z) + g (z) ≤ ϕ
Además, θ =
λ1
λ1 +λ2
λ1 |f 0 (z)|
λ2 |g 0 (z)|
+
λ1 + λ2 λ1
λ1 + λ2 λ2
¶
.
∈ (0, 1) y también se tiene que
1−θ =1−
λ1
λ1 + λ2
=
λ1 + λ2 − λ2
λ2
=
,
λ1 + λ2
λ1 + λ2
de donde, por la convexidad ϕ se puede escribir
¶
µ 0
¶
µ
λ2 |g 0 (z)|
|f (z)|
|g 0 (z)|
λ1 |f 0 (z)|
+
= ϕ θ
+ (1 − θ)
ϕ
λ1 + λ2 λ1
λ1 + λ2 λ2
λ1
λ2
µ 0
¶
µ 0
¶
|f (z)|
|g (z)|
≤ θϕ
+ (1 − θ) ϕ
.
λ1
λ2
³
´
Ahora, multiplicando por 1 − |z|2 > 0, se obtiene
³
´ ¡ ¯
¯¢
1 − |z|2 ϕ λ0 ¯f 0 (z) + g 0 (z)¯
³
³
´ µ |f 0 (z)| ¶
´ µ |g 0 (z)| ¶
2
2
≤ θ 1 − |z| ϕ
+ (1 − θ) 1 − |z| ϕ
,
λ1
λ2
luego, si se toma supremo sobre z ∈ D, se consigue que
³
´ ¡ ¯
¯¢
sup 1 − |z|2 ϕ λ0 ¯f 0 (z) + g 0 (z)¯
z∈D
³
´ µ |g 0 (z)| ¶
´ µ |f 0 (z)| ¶
2
+ (1 − θ) sup 1 − |z| ϕ
.
≤ θsup 1 − |z| ϕ
λ1
λ2
z∈D
z∈D
³
2
Ahora, con λ = λ10 , se tiene que
³
´ µ |f 0 (z) + g 0 (z)| ¶
2
sup 1 − |z|
ϕ
≤ θI1 + (1 − θ) I2 < ∞.
λ
z∈D
lo que implica que : f + g ∈ B ϕ .
De aquı́ se puede concluir que Bϕ es un subespacio vectorial de H(D), que se denomina
espacio de Bloch-Orlicz asociado a la función ϕ. Se puede ver que cuando ϕ (t) = t, con
t ≥ 0, la clase B ϕ coincide con el espacio de Bloch. Por esta razón, los espacios de BlochOrlicz son generalizaciones del espacio de Bloch.
2.2.1.
Ejemplos de funciones en B ϕ
A continuación se enumeran algunos ejemplos de funciones en los espacios de BlochOrlicz.
38
Las funciones constantes.
Sea f (z) = k , k ∈ C y z ∈ D, entonces
³
´ µ |f 0 (z)| ¶ ³
´
2
1 − |z| ϕ
= 1 − |z|2 ϕ (0) = 0,
λ
para todo z ∈ D, y f ∈ B ϕ .
La identidad.
Sea f (z) = z, entonces con λ = 1, se tiene que
µ ¶
´ µ |f 0 (z)| ¶
´ µ1¶
³
³
1
2
2
1 − |z| ϕ
=
1 − |z| ϕ
≤ϕ
< ∞,
λ
λ
λ
para todo z ∈ D y f ∈ B ϕ .
Los polinomios de la forma f (z) = z n con n ∈ N.
En efecto, sea f (z) = z n , entonces |f 0 (z)| = n |z|n−1 y como |z| < 1, se tiene que
|f 0 (z)| ≤ n. Ahora, si se toma λ = n, es claro que
|f 0 (z)|
≤ 1,
λ
y como la función ϕ es creciente se tiene
µ 0
¶
|f (z)|
ϕ
≤ ϕ (1)
λ
³
´
y dado que 1 − |z|2 < 1 para todo z ∈ D, se obtiene
³
´ µ |f 0 (z)| ¶
≤ ϕ (1) ,
1 − |z|2 ϕ
λ
para todo z ∈ D. Esto significa que f ∈ B ϕ .
Comentario 2.2.1. En la definición de los espacios de Bloch-Orlicz, se puede suponer,
sin pérdida de generalidad, que ϕ−1 es continuamente diferenciable en (0, ∞). En caso
contrario, se define para t ≥ 0, la función
Z
t
Ψ (t) =
0
La cual, tiene las siguientes propiedades:
39
ϕ (x)
dx
x
(2.6)
ϕ(t)
t
1. Ψ (0) = 0 y Ψ ∈ C (0, ∞), pues la función
2. Como
ϕ(t)
t
es continua para todo t > 0.
> 0, para todo t > 0, entonces para 0 < t1 < t2 se cumple
Z
Ψ (t1 ) =
t1
0
ϕ (x)
dx <
x
Z
t2
ϕ (x)
dx = Ψ (t2 ) ,
x
0
es decir, Ψ es estrictamente creciente en [0, ∞).
3. Ψ es convexa. Para ver esto, es suficiente probar que la función :
h (t) =
ϕ (t)
t
(2.7)
es creciente pues Ψ0 (t) = h (t), para todo t > 0. En efecto, si 0 < t1 < t2 , entonces
podemos seleccionar λ ∈ (0, 1) tal que t2 = λ1 t1 y entonces
h (t1 ) =
ϕ (t1 )
ϕ (λt2 )
ϕ (t2 )
ϕ (t2 )
=
≤λ
<
= h (t2 ) ,
t1
t1
t1
t2
donde, en la desigualdad se ha usado el hecho de que ϕ es convexa y que ϕ (0) = 0.
4. Para t ≥ 0, se cumple:
µ ¶
t
ϕ
≤ Ψ (t) ≤ ϕ (t)
2
(2.8)
En efecto, como la función h definida (2.7) es creciente y positiva, entonces
Z
Z
t
Ψ (t) =
h (x) dx ≤ h (t)
0
t
dx = th (t) = ϕ (t) .
0
También
Z
Ψ (t) =
Z
t
h (x) dx ≥
0
t
t
2
µ ¶Z t
µ ¶
µ ¶
t
t
t
t
h (x) dx ≥ h
dx = h
=ϕ
t
2
2
2
2
2
y la desigualdad (2.8) está probada.
5. Finalmente, como Ψ0 es positiva y continua en (0, ∞) se concluye, por la regla de
la cadena, que Ψ0 es continuamente diferenciable en (0, ∞). Además, de la relación
(2.8) se deduce que B ϕ = BΨ .
40
2.3.
El espacio de Bloch-Orlicz como espacio normado
En esta sección se dotará al espacio de una norma que se define a través del funcional
de Minkowski, se demostrará que este espacio con esta norma es isométricamente igual
a un cierto espacio µ-Bloch para una cierto peso µ. Como consecuencia de lo anterior se
deduce que B ϕ es un espacio de Banach con la norma definida a través del funcional de
Minkowski.
Para f ∈ B ϕ , se define
kf kBϕ = |f (0)| + kf kϕ ,
(2.9)
½
µ 0¶
¾
f
kf kϕ := ı́nf k > 0 : Nϕ
≤1 .
k
(2.10)
donde kf kϕ está dada por
Entonces se tiene la siguiente propiedad:
Lema 2.3.1. Para cualquier función f ∈ B ϕ no constante, se cumple que
Ã
!
f0
Nϕ
≤ 1.
kf kϕ
(2.11)
Demostración. Si f ∈ B ϕ \ {0}, entonces por definición de ı́nfimo, existe una sucesión
³ 0´
decreciente de números positivos {λn } tal que λn → kf kϕ cuando n → ∞ y Nϕ λfn ≤ 1
para todo n ∈ N. Luego, como la función ϕ es creciente, se debe tener
µ 0 ¶
µ 0¶
f
f
≤ Nϕ
=: N.
Nn := Nϕ
λn
kf kϕ
También se puede observar que la sucesión {Nn } es creciente y acotada, por tal motivo,
debe existir N 0 ∈ R tal que lı́mn→∞ Nn = N 0 , de hecho, se tiene que N 0 = supn∈N {Nn } ≤ 1
and N 0 ≤ N . Todavı́a más,
¡
¢
1 − |z|2 ϕ
µ
|f 0 (z)|
λn
¶
≤ N0
para todo z ∈ D y para todo n ∈ N. Por tanto, tomando lı́mite cuando n tiende a ∞, se
concluye que
¡
¢
1 − |z|2 ϕ
µ
|f 0 (z)|
kf kϕ
¶
≤ N0
para todo z ∈ D, lo cual significa que N = lı́mn→∞ Nn ≤ 1. Esto completa la prueba del
lema.
41
Como consecuencia importante del lema anterior, se tiene el siguiente resultado.
Teorema 2.3.2. Para z ∈ D, sea
µϕ (z) =
Entonces se tiene que
ϕ−1
³
1
1
1−|z|2
´.
¯
¯
kf kµϕ = supµϕ (z) ¯f 0 (z)¯ = kf kϕ
(2.12)
(2.13)
z∈D
para toda función f ∈ B ϕ .
Comentario 2.3.1. El teorema anterior dice que el espacio de Bloch-Orlicz es isométricamente igual a un cierto espacio µ-Bloch. Este hecho, traerá una serie de consecuencias
que se señalan después de la demostración del mismo.
Demostración. Es claro que la relación (2.13) se cumple para toda función constante,
ası́ que se supone que f ∈ B ϕ no es constante.
Por el Lema 2.3.1, se tiene que para todo z ∈ D
¶
µ
µ 0
¶
¡
¢
|f 0 (z)|
1
|f (z)|
≤1 ⇔
≤ ϕ−1
1 − |z|2 ϕ
kf kϕ
kf kϕ
1 − |z|2
¯
¯
1
´ ¯f 0 (z)¯ ≤ kf kϕ ,
³
⇔
1
ϕ−1 1−|z|
2
donde se ha usado que la función ϕ es creciente. Esto prueba, por definición de supremo,
que
kf kµϕ ≤ kf kϕ
(2.14)
Por definición de kf kµϕ , se tiene que para cada z ∈ D las desigualdades
µ
¶
¯
¯
1
|f 0 (z)|
1
−1
³
´ ¯f 0 (z)¯ ≤ kf kµϕ ⇔
≤ϕ
1
kf kµϕ
1 − |z|2
ϕ−1 1−|z|
2
!
Ã
0 (z)|
¡
¢
|f
≤ 1,
⇔ 1 − |z|2 ϕ
kf kµϕ
donde se ha usado que la función ϕ es creciente. Luego, por definición de ı́nfimo, se obtiene
kf kϕ ≤ kf kµϕ .
Esto último, junto con la desigualdad (2.14) prueba el teorema.
42
Como consecuencia del teorema anterior se tiene los siguientes resultados:
Corolario 2.3.3. Sea ϕ una N -función y B ϕ su espacio de Bloch-Orlicz asociado.
1. La relación k · kϕ definida en (2.10) define una seminorma para el espacio B ϕ .
2. La relación k · kBϕ definida en (2.9) define una norma para el espacio B ϕ .
3. (B ϕ , k · kBϕ ) es un espacio de Banach.
Demostración. En efecto, este resultado es consecuencia, según el Teorema 2.13, de que
¡
¢
µ
realmente Bϕ = B µϕ , que k · kBϕ = k · kBϕ y que los espacios B µ , k · kµB son espacios
de Banach para cualquier función peso µ definido sobre D (véase el Trabajo de Grado de
Maestrı́a de Malavé (2011)).
Se finaliza esta sección demostrando que las funciones en los espacios de Bloch-Orlicz
tienen crecimiento controlado por cierta función peso. Más precisamente.
Teorema 2.3.4. Sea ϕ una N -función y B ϕ su espacio de Bloch-Orlicz asociado. Para
cada z ∈ D y cada f ∈ B ϕ se cumple que
µ
µ
Z 1
−1
|f (z)| ≤ 1 +
ϕ
0
1
1 − |z|2 t2
¶
¶
dt kf kBϕ .
Demostración. En efecto, por el Lema 2.3.1, se tiene que
¶
µ
¯ 0 ¯
1
¯f (z)¯ ≤ ϕ−1
kf kϕ ,
1 − |z|2
(2.15)
(2.16)
luego dado que la función f ∈ H(D) se tiene que
Z
f 0 (s)ds = f (z) − f (0).
[0,z]
Ası́ que tomando módulo, usando la desigualdad triangular y la relación (2.16) se puede
escribir,
Z
¯ 0 ¯
¯f (z)¯ |ds|
|f (z)| ≤ |f (0)| +
µ
Z
≤
1+
[0,z]
1
µ
ϕ−1
0
1
1 − |z|2 t2
¶
¶
dt kf kBϕ ,
donde se ha usado la parametrización s(t) = tz con 0 ≤ t ≤ 1. Esto finaliza la prueba del
teorema.
43
Comentario 2.3.2. La desigualdad (2.15) dice que el funcional evaluación definido por: Tz (f ) :=
f (z) , donde z ∈ D es fijo y f varı́a en Bϕ , es continuo sobre Bϕ . Ası́ que Bϕ es un espacio
de Banach funcional.
2.4.
Relación de los espacios de Bloch-Orlicz con otros espacios tipo Bloch
Ahora se establece las relaciones entre los espacios de Bloch-Orlicz y otros espacios tipo
Bloch. Se recuerda que los espacios de Bloch-Orlicz surgen como generalización del espacio
de Bloch que se obtiene cuando ϕ(t) = t (la cual no es una N -función pues no cumple
la Propiedad 4. de la definición, propiedad que no es necesaria para establecer que es un
espacio de Banach). En virtud del Teorema 2.12, se observa lo siguiente:
Comentario 2.4.1. Los espacios de Bloch-Orlicz se puede ver como generalización de
ciertos espacios α-Bloch y del espacio log-Bloch definidos en la primera sección de este
capı́tulo. En efecto, si ϕ (t) = tp , con p > 1 fijo y t ≥ 0, entonces el espacio de Bloch-Orlicz
coincide con el espacio α-Bloch con α =
µϕ (z) =
1
p
³
ϕ−1
∈ (0, 1), pues en este caso, ϕ−1 (t) = t1/p y
1
1
1−|z|2
¡
¢1
´ = 1 − |z|2 p .
Mientras que si ϕ (t) = t log (1 + t), con t ≥ 0, se puede demostrar que (véase la Sección
3.5) que el espacio de Bloch-Orlicz es igual al espacio tipo Bloch Bv con normas equivalentes
y donde
µ
v(z) = (1 − |z|) log
e
1 − |z|
¶
,
con z ∈ D.
Todavı́a más, se tiene la siguiente relación entre los espacios de Bloch-Orlicz y el
pequeño espacio de Bloch.
Teorema 2.4.1. Sea ϕ una N -función y Bϕ su espacio de Bloch-Orlicz asociado. Entonces
Bϕ ⊂ B0 , el pequeño espacio de Bloch.
Demostración. Por la desigualdad (2.16), para cualquiera f ∈ B ϕ , se tiene
µ
¶
³
´ ¯
´
¯ ³
1
2
2
0
−1
¯
¯
1 − |z|
f (z) ≤ 1 − |z| ϕ
kf kϕ .
1 − |z|2
44
Luego, aplicando lı́mite cuando |z| → 1− , se tiene que:
µ
³
´ ¯
³
´
¯
2
2
0
−1
¯f (z)¯ ≤ lı́m 1 − |z| ϕ
lı́m 1 − |z|
|z|→1−
|z|→1−
1
1 − |z|2
pero
µ
³
´
2
−1
lı́m 1 − |z| ϕ
|z|→1−
1
1 − |z|2
Ahora, haciendo el cambio de variable t = ϕ−1
t→∞ y
ϕ−1
³
lı́m
|z|→1−
³
1
1−|z|2
1
1−|z|2
¶
ϕ−1
³
= lı́m
1
1−|z|2
´
1
1−|z|2
1
1−|z|2
|z|→1−
³
³
´
¶
kf kϕ ;
´
.
, se tiene que cuando |z| → 1− ⇒
´
´
= lı́m
t
t→∞ ϕ (t)
= 0,
por la condición 4. de la definición de N -funciones. De aquı́ que
³
lı́m
|z|→1−
1 − |z|2
´ ¯
¯
¯f 0 (z)¯ = 0,
y est implica que f ∈ B0 , es decir, Bϕ ⊂ B0 .
Como consecuencia inmediata del teorema anterior y de la propiedad 4. de los espacios
α-Bloch, se tiene la siguiente relación:
Corolario 2.4.2. Sea ϕ una N -función y B ϕ su espacio de Bloch-Orlicz asociado. Entonces
para α ≥ 1 se cumple que B ϕ ⊂ B α .
Demostración. Esto surge debido a que B0 ⊂ B ⊂ Bα con α ≥ 1.
Pero, ¿cuál es la relación entre Bϕ y H ∞ , el espacio de las funciones analı́ticas acotadas?
sobre esta cuestión se tiene los siguientes asertos:
Proposición 2.4.3. Sea ϕ una N -función y sea
µ
¶
Z 1
1
−1
Iϕ (z) =
ϕ
dt.
1 − |z|2 t2
0
Si existe L > 0 tal que
sup Iϕ (z) ≤ L,
z∈D
entonces Bϕ ⊂ H ∞ (D).
45
Demostración. En efecto, por la relación (2.15), se tiene que si f ∈ B ϕ y z ∈ D, entonces
|f (z)| ≤ (1 + L)kf kϕ .
Ası́ que kf k∞ ≤ (1 + L)kf kϕ y la proposición está demostrada.
Comentario 2.4.2. Existen N -funciones para la cual Iϕ (z) no es una función acotada,
como por ejemplo la función ϕ (t) = t log (1 + t), con t ≥ 0. Todavı́a más, como se comentó anteriormente, para esta N -función se tiene que el espacio de Bloch-Orlicz es igual
al espacio Bv con
µ
v(z) = (1 − |z|) log
e
1 − |z|
¶
,
con z ∈ D. El cual contiene funciones no acotada, como por ejemplo, la función f (z) =
³ ³
´´
e
log log 1−z
, este hecho será demostrado en el capı́tulo siguiente (véase el Lema 3.5.3).
Ası́ que en general el espacio de Bloch-Orlicz no es un subespacio de H ∞ .
Debido a la importancia de la cantidad Iϕ (z) para establecer si un espacio de BlochOrlicz es un subespacio de H ∞ , y de lo difı́cil que puede resultar su cálculo, en el próximo
resultado se da una cantidad equivalente, el cual podrı́a ser más fácil de estimar en muchos
casos.
Proposición 2.4.4. Para z ∈ D, sea
Z
e ϕ (z) :=
L
1
µ
−1
ϕ
0
1
1 − t |z|
¶
dt,
entonces se cumple que
1e
e ϕ (z) .
Lϕ (z) ≤ Iϕ (z) ≤ L
2
Demostración. Sea z ∈ D, entonces para cualquier t ∈ (0, 1) se cumple t2 |z|2 ≤ t |z|, de
aquı́ se tiene que 1 − t2 |z|2 ≥ 1 − t |z| con lo cual
1
1
2 ≤ 1 − t |z| ;
2
1 − t |z|
luego, como ϕ es una función estrictamente creciente entonces, ϕ−1 existe y es creciente.
Por tal motivo, se puede escribir
µ
¶
¶
µ
1
1
−1
−1
ϕ
,
≤ϕ
1 − t |z|
1 − t2 |z|2
46
ası́ que integrando con respecto a t en (0, 1), se encuentra que
e ϕ (z).
Iϕ (z) ≤ L
(2.17)
Por otro lado, también es fácil ver que
1 − t2 |z|2 = (1 − t |z|) (1 + t |z|) < 2 (1 − t |z|)
(2.18)
para todo z ∈ D y para cualquier t ∈ (0, 1), luego, dado que ϕ es una función creciente y
convexa, entonces su inversa ϕ−1 es cóncava y creciente, y por tal motivo, para cualesquiera
par de números no negativos t1 y t2 y para λ ∈ (0, 1), se cumple que
¡
¢
ϕ−1 (λt1 + (1 − λ) t2 ) ≥ λϕ−1 t1 ) + (1 − λ) ϕ−1 (t2 .
En particular para t2 = 0, se tiene
¡
¢
ϕ−1 (λt1 ) ≥ λϕ−1 t1 ) + (1 − λ) ϕ−1 (0 ;
pero ϕ−1 (0) = 0, y esto implica que
ϕ−1 (λt1 ) ≥ λϕ−1 (t1 ).
Utilizando esta información y la condición (2.18) se obtiene
µ
¶
µ
¶
¶
µ
1
1
1 −1
1
−1
−1 1
ϕ
≥ ϕ
≥ϕ
2 1 − t |z|
2
1 − t |z|
1 − t2 |z|2
(2.19)
Por tanto, integrando con respecto a t desde 0 a 1 se concluye que
1e
Lϕ (z) ≤ Iϕ (z).
2
Esto último junto con la desigualdad (2.17) implica el resultado.
Como consecuencia de la proposición anterior se tiene el siguiente resultado el cual
será de gran utilidad en el próximo capı́tulo (véase el Teorema 3.4.2).
Corolario 2.4.5. Sea ϕ una N -función. Si
µ ¶
Z 1
−1 1
dt < ∞,
Lϕ :=
ϕ
t
0
entonces Bϕ ⊂ H ∞ (D).
47
(2.20)
Demostración. En efecto, si |z| < 1 y t ∈ (0, 1), entonces 1 − |z|t > 1 − t y ası́
µ
¶
Z 1
1
−1
e ϕ (z) ≤
L
ϕ
dt = Lϕ .
1−t
0
El resultado sigue, haciendo el cambio de variable τ = 1 − t y por las Proposiciones 2.4.4
y 2.4.3.
Comentario 2.4.3. Las funciones ϕ1 (t) = tp con p > 1 y ϕ2 (t) = et − 1, ambas definidas
para t ≥ 0 satisfacen la condición del Corolario 2.4.5, por tal motivo, para que una N función genere un espacio de Bloch-Orlicz que contenga funciones no acotadas, ésta no
debe estar muy alejada de la identidad, como por ejemplo, la función ϕ(t) = t log(1 + t).
2.5.
El pequeño espacio de Bloch-Orlicz
Debido a que el espacio de Bloch-Orlicz asociado a la N -función ϕ es isométricamente
igual al espacio Bµϕ con
µϕ (z) =
³
ϕ−1
1
1
1−|z|2
´,
se hace natural definir el pequeño espacio de Bloch-Orlicz, denotado por B0ϕ , como la clase
de las funciones analı́ticas f sobre D tales que
lı́m
|z|→1− ϕ−1
³
1
1
1−|z|2
¯
¯
´ ¯f 0 (z)¯ = 0.
Se observa que si f ∈ H (D) es tal que f 0 es una función acotada en D, entonces f ∈ B0ϕ ,
pues
lı́m
|z|→1− ϕ−1
³
1
1
1−|z|2
´ = 0.
Ası́ que las funciones constantes, los polinomios y los automorfismos del disco son elementos
de B0ϕ . Además se tiene las siguientes propiedades:
Proposición 2.5.1. Sea ϕ una N -función y B0ϕ su pequeño espacio de Bloch-Orlicz asociado. Entonces:
1. (B0ϕ , k · kϕ ) es un subespacio cerrado de (B ϕ , k · kϕ ),
48
2. Sea f ∈ B ϕ , entonces f ∈ B0ϕ si y sólo si kfr − f kϕ → 0, cuando r → 1− , donde
fr (z) = f (rz), para todo z ∈ D y r ∈ (0, 1).
3. B0ϕ es la clausura de los polinomios con la norma en Bloch-Orlicz.
µ
Demostración. Esto es consecuencia del hecho que B0ϕ es justamente B0 ϕ (véase la Tesis
de Grado de Maestrı́a de Malavé (2011)).
49
Capı́tulo 3
OPERADOR DE
SUPERPOSICIÓN SOBRE
ESPACIOS TIPO BLOCH
En este capı́tulo se describen los operadores de superposición continuos actuando sobre
los espacios de funciones analı́tica definidos en el capı́tulo anterior. Más precisamente, se
estudian en detalles los resultados que se presentan en el artı́culo de Wen Xu
(2007);
ası́ como los preliminares necesario para establecer sus demostraciones. Y por último los
resultados obtenidos cuando el operador de superposición Sϕ actúa sobre los espacios
Bloch-Orlicz. Estos últimos resultados han sido obtenidos por el autor de este trabajo en
colaboración con Castillo y Ramos en el año 2011.
3.1.
Operadores de superposición sobre espacios de funciones
analı́ticas
Sean X (D) y Y (D) dos espacio métrico de funciones analı́ticas sobre el disco unitario
D y Φ una función analı́tica de valor complejo en el plano. El operador de superposición
SΦ sobre X (D) se define por:
SΦ : X (D) → Y (D)
f
→ SΦ (f ) = Φ ◦ f .
50
Si SΦ (f ) ∈ Y para toda función f ∈ X, se dice que Φ actúa por superposición desde
X sobre Y . Algunas veces, el operador SΦ es llamado operador de composición, operador
de sustitución u operador de Nemytskij. Se observa que si X contiene funciones lineales,
entonces Φ debe ser una función entera y por tal motivo, a partir de ahora, se supondrá que
la función Φ es entera, es decir, analı́tica en todo el plano complejo C.
El gráfico del operador SΦ es generalmente cerrado, pero, ya que el operador es nolineal, esto no es suficiente para garantizar su acotamiento. Sin embargo, para un número
importante de espacios de funciones analı́tica de X y Y , tales como los espacios de Hardy,
Bergman, Dirichlet, Bloch, etc, la misma aplicación : SΦ : X (D) → Y (D), implica que Φ
debe pertenecer a una clase muy especial de funciones enteras, las cuales a su vez implican
su acotamiento. Nuestro objetivo en este capı́tulo, es el estudio de las siguientes cuestiones:
a) ¿Cuándo las funciones enteras pueden transformar un espacio de funciones analı́ticas
sobre otro por superposición.?
b) ¿Existen espacios (del tipo considerado) los cuales son transformados uno sobre
otro por las clases de funciones enteras especificadas (polinomios de cierto grado, funciones
enteras de orden y tipo dado, etc.)?
En las secciones siguientes, se realiza un estudio en detalles de las condiciones que
debe cumplir una función entera Φ para que el operador de superposición SΦ , aplique un
espacio tipo Bloch sobre otro del mismo tipo; más precisamente, se dan los detalles de los
resultados obtenidos por Xu en el 2007 y de Castillo, Ramos y Salazar en el 2011.
3.2.
Operadores de superposición desde el espacio B α sobre
B β . Caso 0 < β < α.
En esta sección se analiza las condiciones debe satisfacer una función entera Φ para
que el operador de superposición SΦ aplique el espacio B α en B β cuando 0 < β < α. Se
observa que para estos valores de los parámetros α y β se cumple que Bβ es un subespacio
propio de Bα y por tal motivo se espera el siguiente resultado el cual se debe a Xu (2007).
Teorema 3.2.1. Sea 0 < β < α y Φ una función entera. Entonces, el operador de
superposición SΦ aplica B α en B β , si y sólo si , Φ es una función constante.
51
Demostración. Si Φ es una función constante, es obvio que SΦ (Bα ) ⊂ Bβ .
Ahora, se asume que Φ no es una función constante. Se distingue tres casos para
demostrar que SΦ (B α ) " Bβ .
i) α < 1. Si la función Φ no es constante, entonces existe un disco |w − w0 | < r en la
cual |Φ0 (w)| > δ > 0. Se considera la función f (z) = w0 + r (1 − z)1−α ∈ B α . Ası́, para
todo z ∈ D, se tiene f 0 (z) = −r (1 − α) (1 − z)−α y dado que |Φ0 (w)| > δ > 0 se debe
tener |Φ0 (f (z))| > δ > 0 , de donde
³
1 − |z|2
´β ¯
´β ¯
³
¯
¯¯
¯
¯(Φ ◦ f )0 (z)¯ =
1 − |z|2 ¯Φ0 (f (z))¯ ¯f 0 (z)¯
³
´β δr (1 − α)
≥
1 − |z|2
|1 − z|α
³
´β
δr (1 − α) 1 − |z|2
→ ∞.
=
|1 − z|α
El lado derecho de la desigualdad anterior tiende a infinito cuando z → 1− , pues β < α.
Esto muestra que SΦ (f ) = Φ ◦ f ∈
/ B β con lo cual SΦ (B α ) " Bβ y la prueba de este caso
sigue por contrarecı́proco.
ii) α = 1. Si la función Φ es entera y no es una constante, entonces por el Teorema de
Liouville, resulta una función no acotada, por tal motivo, existe una sucesión de números
complejos wn → ∞ tal que |Φ (wn )| → ∞, cuando n → ∞. Sin pérdida de generalidad, se
puede asumir que wn satisface las condiciones de la Proposición 1.3.11, con δ > 0, añadiendo
w0 = 0 y tomando una subsucesión si es necesario. Por la Proposición 1.3.11, existe un
dominio Ω y una función conforme f de D sobre Ω tal que wn ∈ Ω , para n = 0, 1, 2, ... y
f ∈ B. Todavı́a más, por la parte iv) de la Proposición 1.3.11 y el Teorema de distorsión
(véase el Corolario 1.3.9), se puede inferir que f ∈ B. También, por la expresión (2.3),
se tiene que cualquier función en B β es acotada y entonces, SΦ (f ) = (Φ ◦ f ) ∈
/ Bβ y
SΦ (B) " B β . ya que (Φ ◦ f ) no es acotada.
iii) α > 1. Si la función Φ no es constante, entonces escribiendo la función Φ en su serie
de Taylor y tomando el lı́mite al infinito, se tiene que existe una sucesión wn → ∞ tal
que |Φ0 (wn )| ≥ δ para algún δ > 0, fijo y n ∈ N. Se puede asumir por una rotación y la
Proposición 1.1.3 que
n
π πo
|arg (wn )| < mı́n (α − 1) ,
4 2
52
y |wn | > 1 para n ∈ N; seleccionando una subsucesión si es necesario. Se considera ahora
la función f (z) = (1 − z)−(α−1) ∈ B α . La pre-imagen de wn a través de la función f es
−
1
zn = 1 − wn α−1 , el cual pertenece al dominio
n
πo
S = z ∈ D : |1 − z| < 1, |arg (1 − z)| <
.
4
Además, existe una constante M > tal que
|1 − zn | ≤ M |1 − |zn ||
para n ∈ N. Ası́, finalmente se tiene las siguientes desigualdades:
³
´β ¯
³
´β ¯
¯¯
¯
¯
1 − |zn |2 ¯(Φ ◦ f )0 (zn )¯ =
1 − |zn |2 ¯Φ0 (f (zn ))¯ ¯f 0 (zn )¯
³
´β ¯
¯ |α − 1|
=
1 − |zn |2 ¯Φ0 (f (zn ))¯
|1 − zn |α
³
´β
δ (α − 1) 1 − |zn |2
≥
|1 − zn |α
³
´β
δ (α − 1) 1 − |zn |2
≥
M α (1 − |zn |)α
≥
≥
≥
δ (α − 1) (1 − |zn |)β (1 + |zn |)β
M α (1 − |zn |)α
δ (α − 1) . (1 + |zn |)β
M α (1 − |zn |)α−β
δ (α − 1)
→ ∞,
α
M (1 − |zn |)α−β
cuando n → ∞, debido a que
¯
¯
¯
¯
1 ¯
1 ¯
¯
¯ − α−1
− α−1
¯ ≤ 1 + ¯wn
¯,
|zn | = ¯¯1 − wn
¯
¯
¯
y como |wn | → ∞, cuando n → ∞ y |zn | → 1− implica que
(1 − |zn |) → 0 ⇒
1
(1 − |zn |)α−β
→∞
por que 0 < β < α. Esto prueba que (Φ ◦ f ) ∈
/ B β y SΦ (B α ) " Bβ . Y esto completa la
demostración del teorema.
53
3.3.
Operadores de superposición Sϕ , actuando desde el espacio B α sobre B β . Caso 0 < α ≤ β.
El Teorema 3.2.1 dice, que las funciones enteras las cuales transforman por superposición un espacio α-Bloch, sobre un espacio del mismo tipo Bloch más pequeño, tiene que ser
una función constante. Es natural preguntarse ¿qué pasa en el otro caso?, es decir, ¿qué se
puede decir si los parámetros α y β satisfacen la relación 0 < α ≤ β?
Con la finalidad de darle respuesta a esta última pregunta, se recuerda que un operador (posiblemente no lineal ) actuando entre espacios métricos se dice ser acotado, si éste
transforma, conjuntos acotados en conjuntos acotados. En el caso del operador de superposición, se dice que es acotado si A ⊂ B α es acotado implica que SΦ (A) es acotado en
Bβ . Con esta noción se tiene el siguiente resultado el cual fue establecido por Xu (2007) y
da respuesta parcial al problema antes planteado.
Teorema 3.3.1. Sea 0 ≤ α ≤ 1 y α ≤ β. Entonces para toda función entera Φ, el operador
SΦ es acotado desde B α en Bβ .
Demostración. Sean α ≤ 1, α ≤ β, y Φ una función entera. Sea M ≥ 0 y se supone que f
es una función analı́tica tal que kf kBα ≤ M , por la expresión (2.3), se tiene que existe una
constante Cα > 0 tal que
|f (z)| ≤ Cα M,
luego, por el principio del módulo máximo para funciones analı́ticas (véase el Teorema
1.2.8), existen constantes positivas M1 y M2 , que dependen sólo de α, Φ y M , tales que
|Φ (f (0))| ≤ M1 =
y
¯ 0
¯
¯Φ (f (z))¯ ≤ M2 =
54
máx |Φ (w)| ,
|w|=Cα M
¯
¯
máx ¯Φ0 (w)¯
|w|=Cα M
para todo z ∈ D. Ası́, se puede escribir las siguientes desigualdades
³
´β ¯
¯
kΦ ◦ f kBβ = |(Φ ◦ f ) (0)| + sup 1 − |z|2 ¯(Φ ◦ f )0 (z)¯
z∈D
³
´β ¯
¯¯
¯
= |Φ (f (0))| + sup 1 − |z|2 ¯Φ0 (f (z))¯ ¯f 0 (z)¯
z∈D
³
´β
¯
¯
≤ M1 + sup 1 − |z|2 M2 ¯f 0 (z)¯
z∈D
´α ¯
³
¯
≤ M1 + M2 sup 1 − |z|2 ¯f 0 (z)¯
z∈D
≤ M1 + M2 kf kBα
≤ M1 + M2 M < ∞,
donde en la segunda desigualdad se ha usado que α ≤ β. Con esto, queda establecido el
teorema.
Ahora se considera el caso cuando α > 1. El resultado que se obtiene aquı́, el cual
también se debe a Xu (2007), es el siguiente.
Teorema 3.3.2. Sea 1 < α ≤ β y sea Φ una función entera. Entonces, las siguientes
proposiciones son equivalentes:
1. SΦ transforma a Bα en B β ;
2. SΦ es un operador acotado de Bα en Bβ ;
3. Φ es un polinomio de grado a lo más (β − 1) / (α − 1).
Demostración. El esquema de demostración es el siguiente: (1.) =⇒ (3.) =⇒ (2.) =⇒ (1.).
[(3.) =⇒ (2.)] Primero se asume que (3.) se cumple. Es suficiente verificar la proposición
(2.) para Φ (z) = z n , donde n ≤ (β − 1) / (α − 1) es un entero positivo.
En efecto, se supone que f ∈ B α , por la selección de n, se tiene que (β − α) >
(n − 1) (α − 1). Ası́, para cualquier z ∈ D, se puede escribir
³
´β ¯
³
´β
¯
¯
¯
1 − |z|2 ¯(Φ ◦ f )0 (z)¯ = n 1 − |z|2 |f (z)|n−1 ¯f 0 (z)¯
³
´α
´β−α
¯
¯³
= n 1 − |z|2 |f (z)|n−1 ¯f 0 (z)¯ 1 − |z|2
³
´β−α
≤ n kf kBα |f (z)|n−1 1 − |z|2
³
´(n−1)(α−1)
≤ n kf kBα |f (z)|n−1 1 − |z|2
≤ n Cα kf knBα ,
55
donde, en la penúltima desigualdad se ha usado nuevamente la desigualdad (2.3). Luego,
se obtiene que
kΦ ◦ f kBβ
³
´β ¯
¯
= |(Φ ◦ f ) (0)| + sup 1 − |z|2 ¯(Φ ◦ f )0 (z)¯
z∈D
≤ |Φ (f (0))| + n Cα kf knBα
≤ kf knBα + n Cα kf knBα
= (1 + n Cα ) kf knBα < ∞.
Esto demuestra que SΦ es un operador acotado desde B α sobre Bβ . Y esto prueba la
implicación (3.) =⇒ (2.).
[(1.) =⇒ (3.)] Ahora se supone que Φ no es un polinomio de grado a lo sumo
β−1
α−1
o
equivalentemente que la expansión de Taylor de Φ alrededor del cero tiene un coeficiente
distinto de cero de orden m ≥ (β − 1) / (α − 1). Entonces, tomando el lı́mite al infinito
en la serie de Taylor de Φ, se puede ver que existe una constante δ > 0 y una sucesión
wn → ∞ tal que
¯ 0
¯
¯ϕ (wn )¯ ≥ δ |wn |m−1 ,
para cada n ∈ N. Se va a encontrar una función f ∈ B α tal que (Φ ◦ f ) ∈
/ B β . En virtud de
la Proposición 1.1.3, se puede asumir que |wn | > 1 y que
n
π πo
|arg (wn )| ≤ mı́n (α − 1) ,
,
4 2
para todo n ∈ N.
Entonces, por cálculo elemental, la función f (z) = (1 − z)−(α−1) pertenece al espacio
Bα y siguiendo el argumento de la demostración del Teorema 3.2.1, se tiene que el punto
−
1
zn = 1 − wn α−1 satisface que |1 − zn | < 1 y |arg (1 − zn )| <
|1 − zn | ≤ M (1 − |zn |)
56
π
4
y consecuentemente que,
para todo n ∈ N. Ası́, tenemos la siguiente cadena de desigualdades:
³
´β ¯
³
´β ¯
¯
¯¯
¯
1 − |zn |2 ¯Φ0 (f (zn ))¯ ¯f 0 (zn )¯
1 − |zn |2 ¯(Φ ◦ f )0 (zn )¯ =
³
´β
¯
¯
≥
1 − |zn |2 δ. |f (zn )|m−1 ¯f 0 (zn )¯
³
´β
|α − 1|
=
1 − |zn |2 δ. |f (zn )|m−1 .
|1 − zn |α
¯m−1 |α − 1|
¯
³
´β
¯
2
−(α−1) ¯
=
1 − |zn |
δ. ¯(1 − zn )
.
¯
|1 − zn |α
³
´β
−(α−1)(m−1)
|α − 1|
=
1 − |zn |2 δ. |1 − zn |
.
|1 − zn |α
´β
³
1 − |zn |2 δ. (α − 1)
=
|1 − zn |α+(α−1)(m−1)
³
´β
1 − |zn |2 δ. (α − 1)
.
≥
α+(α−1)(m−1)
M
. (1 − |zn |)m(α−1)+1−β
Además, ya que m >
(β−1)
(α−1)
, se tiene que
(β − 1)
. (α − 1) + 1 − β
(α − 1)
= (β − 1) + 1 − β = 0.
m (α − 1) + (1 − β) >
Por tanto
1
m(α−1)+1−β
(1 − |zn |)
→ ∞,
cuando n → ∞. Se concluye que (Φ ◦ f ) ∈
/ Bβ y SΦ (Bα ) " Bβ . Esto culmina la demostración de la implicación (1.) =⇒ (3.).
[(2.) =⇒ (1.)] Finalmente, si SΦ es un operador acotado desde B α en B β , entonces dado
M > 0 tal que kf kBα ≤ M ; se puede encontrar M 0 > 0 tal que kΦ ◦ f kBβ ≤ M 0 , esto
último dice que SΦ transforma a B α en Bβ . Esto culmina la demostración del teorema.
Finalmente se considera el caso restante, es decir, cuando 1 = α < β. Se recuerda (véase
la Sección 1.4) que el orden ρ de una función entera Φ viene dado por
ρ := lı́m sup
r→∞
log (log (M (r)))
,
log (r)
donde r ≥ 0 y
M (r) = máx |Φ (z)| .
|z|=r
57
y si 0 < ρ < ∞, el tipo τ está definido por
τ := lı́m sup
r→∞
log (M (r))
.
rρ
Está establecido el hecho de que el orden y el tipo de una función entera, no cambia bajo
el signo de diferenciación (véase la Proposición 1.4.7). Con esta noción se tiene el siguiente
resultado el cual fue establecido por Xu (2007)
Teorema 3.3.3. sea β > 1 y Φ una función entera. Entonces, las siguientes proposiciones
son equivalentes:
1. SΦ transforma B en B β ;
2. SΦ es un operador acotado desde B en Bβ ;
3. Φ es una función entera de orden más pequeño que uno, o de orden uno y tipo cero.
Demostración. Necesitamos demostrar solamente que: (1.) =⇒ (3.) =⇒ (2.) pues la implicación (2.) ⇒ (1.) es evidente, según lo que se ha visto en la parte final de la demostración
del teorema anterior.
Primero se demuestra que (3.) =⇒ (2.). Con este fin, sea M > 0 cualquiera y sea
σ = (β − 1) /M . Ya que Φ es una función entera de orden uno y de tipo cero, lo mismo se
cumple para Φ0 . Entonces, por la definición de orden y tipo de una función entera (véase
la Sección 1.4), existe M1 > 0 tal que
¯ 0
¯
¯Φ (w)¯ , |Φ (w)| ≤ M1 .eσ|w| ,
para todo w ∈ C. Entonces para una función f la cual kf kB ≤ M , se cumple, por la
expresión (2.3), que
¶¶
µ
µ
1
|f (z)| ≤ kf kB 1 + log
1 − |z|
µ
µ
¶¶
1
≤ M 1 + log
1 − |z|
para todo z ∈ D. Ası́,
|Φ (f (0))| ≤ M1 exp (σ |f (0)|) ≤ M1 exp (σM ) = M1 .eβ−1 .
58
Por otro lado, se tiene que
³
´β ¯
³
´β ¯
¯¯
¯
¯
sup 1 − |z|2 ¯(Φ ◦ f )0 (z)¯ = sup 1 − |z|2 ¯Φ0 (f (z))¯ ¯f 0 (z)¯ ,
z∈D
z∈D
³
´β ¯
¯
≤ M1 sup 1 − |z|2 ¯f 0 (z)¯ . exp (σ |f (z)|)
z∈D
µ
³
´β ¯
¯
2
0
¯
¯
≤ M1 sup 1 − |z|
f (z)
z∈D
≤ M1 sup
z∈D
= M1 sup
e
1 − |z|
¶β−1
´β
³
1 − |z|2 |f 0 (z)| .eβ−1
(1 − |z|)β−1
´β
³
1 − |z|2 |f 0 (z)| .eβ−1 (1 + |z|)β−1
(1 − |z|)β−1 (1 + |z|)β−1
³
´β
1 − |z|2 |f 0 (z)| .eβ−1 (1 + |z|)β−1
= M1 sup
´β−1
³
z∈D
1 − |z|2
³
´¯
¯
= M1 sup 1 − |z|2 ¯f 0 (z)¯ .eβ−1 (1 + |z|)β
z∈D
z∈D
≤ M1 kf kB eβ−1 2β .
De donde,
kΦ ◦ f kBβ
³
´β ¯
¯
= |(Φ ◦ f ) (0)| + sup 1 − |z|2 ¯(Φ ◦ f )0 (z)¯
z∈D
³
´β ¯
¯¯
¯
= |Φ (f (0))| + sup 1 − |z|2 ¯Φ0 (f (z))¯ ¯f 0 (z)¯
z∈D
β−1
≤ M1 .e
+ M1 M 2β .eβ−1
³
´
= M1 1 + M 2β eβ−1 < ∞.
Esto muestra que SΦ es un operador acotado desde B en B β . La implicación (3.) =⇒ (2.)
está demostrada .
[(1.) =⇒ (3.)] Para demostrar esta implicación, se supone que (3.) no se cumple. Entonces, Φ0 es de orden más grande que uno o de orden uno y de tipo positivo. Ası́, por
definición del orden y tipo de una función entera, debe existir un η > 0 y una sucesión de
números complejos wn → ∞, tal que
¯ 0
¯
¯Φ (wn )¯ ≥ eη|wn | ,
para n ∈ N. Ahora se selecciona δ > 0 de tal manera que ηδ/6 > β − 1. Como en la
demostración del Teorema 3.2.1, se puede asumir que wn satisface las condiciones de la
59
Proposición 1.3.11, con el δ > 0 seleccionado. Ası́, debe existir un dominio Ω y una función
conforme f que satisface f (0) = 0 y todas las propiedades en la Proposición 1.3.11, en
particular, esta función pertenece al espacio de Bloch, en virtud de iv) y del Teorema de
Distorsión.
Sean l = f −1 (L) y zn = f −1 (wn ), donde L = ∪∞
n=1 [wn−1,wn ] y [wn−1,wn ] denota el
segmento de recta desde wn−1 a wn y denotamos la parte de l que va de 0 hasta zn por
ln (ln = [0, zn ]) para n ∈ N. Se tiene por construcción que zn → ∂D ya que wn → ∞. Para
w0 ∈ L , sea z 0 = f −1 (w0 ) y Ψ1 (z) =
está contenido en Ω , sea Ψz (w) =
z 0 −z
, para todo z ∈ D.
1−z 0 z
0
w−w
y F = Ψ1 ◦ f −1 ◦
δ
Ya que el disco |w − w0 | < δ
Ψ−1
2 . Entonces, |F (z)| ≤ 1,
para todo z ∈ D y F (0) = 0. Ası́ que por el Lema de Schwarz (véase el Teorema 1.2.12),
se obtiene que
¯¡
¢ ¡ 0 ¢¯¯ 1
¯
−1 0
Ψ
◦
f
w ¯≤
¯ 1
δ
y consecuentemente
Esto demuestra que
³
¯ ¯2 ´ ¯ ¡ ¢¯
1 − ¯z 0 ¯ ¯f 0 z 0 ¯ ≥ δ.
³
´
1 − |z|2 |f 0 (z)| ≥ δ para todo z ∈ l. Ası́, dado que wn satisface
todas las hipótesis de la Proposición 1.3.11, para n ∈ N se puede escribir
3 |wn | ≥
n
X
Z
|wk − wk−1 | =
k=1
ln
¯ 0 ¯
¯f (z)¯ |ds|
Z ³
¯ ¯2 ´ ¯
¯
|ds|
´
=
1 − ¯z 0 ¯ ¯f 0 (z)¯ ³
ln
1 − |z 0 |2
Z |zn |
dt
≥ δ
1 − t2
0
µ
¶
δ
1 + |zn |
≥
log
2
1 − |zn |
60
Ahora, se tiene la siguiente cadena de desigualdades
³
´β ¯
³
´β ¯
¯¯
¯
¯
1 − |zn |2 ¯Φ0 (f (zn ))¯ ¯f 0 (zn )¯
1 − |zn |2 ¯(Φ ◦ f )0 (zn )¯ =
³
´β ¯
¯¯
¯
=
1 − |zn |2 ¯Φ0 (wn )¯ ¯f 0 (zn )¯
³
´β ¯
¯
≥
1 − |zn |2 ¯f 0 (zn )¯ eη|wn |
³
´β−1 ³
´¯
¯
1 − |zn |2
1 − |zn |2 ¯f 0 (zn )¯ eη|wn |
´β−1
³
δeη|wn |
≥
1 − |zn |2
³
´β−1 µ 1 + |z | ¶ δη6
n
2
≥ δ 1 − |zn |
1 − |zn |
´β−1− δη
³
δη
6
= δ 1 − |zn |2
(1 + |zn |) 3 → ∞
=
cuando n → ∞ pues
δη
6
> (β − 1) y |zn | → 1− . Esto demuestra que (Φ ◦ f ) ∈
/ B β , SΦ (B α ) "
Bβ y la implicación (1.) ⇒ (3.) está probada.
Se finaliza esta sección comentando que para que un operador de superposición aplique
el espacio de Bloch B en sı́ mismo se debe tener que la función Φ es lineal la demostración
de este hecho es similar a la prueba del Teorema 3.5.8 y por tal motivo se omite.
3.4.
Operador de superposición entre los espacios α-Bloch y
Bloch-Orlicz.
Debido a la existencia de otros espacios tipo Bloch, que se estudiaron en el Capı́tulo
2, como por ejemplo los espacios de Bloch-Orlicz, es natural preguntarse: ¿para cuáles
funciones enteras Φ, el operador SΦ aplica un espacio α-Bloch dentro de un espacio de
Bloch-Orlicz y viceversa? Este problema fue el objetivo principal de este trabajo y fue
resuelto por el autor de este texto en colaboración con Castillo y Ramos y se encuentra
publicado en la revista ”Applied Mathematics and Computation” en el 2011.
Desde ahora, ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) denota una N -función y Bϕ será el espacio de BlochOrlicz asociado. Se observa que para α ≥ 1 se tiene que Bϕ ⊂ Bα , ası́ que deberı́a ser obvio
intuitivamente que una superposición previa entre ellos deberı́a ser posible vı́a función
constante solamente.
61
Teorema 3.4.1. Sea α ≥ 1 y sea Φ una función entera. El operador de superposición SΦ
aplica B α sobre B ϕ , si y sólo si, Φ es una función constante.
Demostración. Es claro que si Φ es una función constante, el operador de superposición
SΦ aplica Bα con α ≥ 1, sobre B ϕ .
Para mostrar el otro sentido, se supone, por contradicción, que la función Φ no es
constante, entonces escribiendo la serie de Taylor de la función Φ y tomando lı́mite al
infinito, se obtiene que existe una sucesión de números complejos {wn } tal que wn → ∞,
cuando n → ∞ y |Φ0 (wn )| ≥ δ, para algún δ > 0 y para todo n ∈ N.
Ahora, se estudia los casos α = 1 y α > 1 separadamente:
i) Si α = 1, entonces particionando el plano complejo en 4 sectores angulares con vértices
común en el origen y de abertura
π
2,
rotando y tomando una subsucesión, si es necesario,
se puede suponer que la sucesión {wn } satisface las condiciones de la Proposición 1.3.11.
Por tal motivo, existe un dominio simplemente conexo Ω que contiene la linea poligonal
L = ∪∞
n=1 [wn−1, wn ] y tal que δ Ω (w) = δ, para todo w en L. Además, por construcción,
cada transformación de Riemann f del disco D sobre el dominio Ω, pertenece al espacio de
Bloch B.
Ahora, para cada n ∈ N se toma zn = f −1 (wn ) y entonces es claro que |zn | → 1−
cuando n → ∞. También, se cumplen las siguientes desigualdades:
||SΦ (f )||ϕ ≥
≥
ϕ−1
ϕ−1
≥ δ
2
³
³
1
1
1−|zn |2
δ
1
1−|zn |2
´
1
1−|zn |2
³
ϕ−1
¯ 0
¯¯
¯
¯Φ (f (zn ))¯ ¯f 0 (zn )¯
´
δ Ω (f (zn ))
1 − |zn |2
1
1−|zn |2
´
→ ∞,
cuando n → ∞ , ya que limt→∞ ϕ (t) /t = ∞, donde en la segunda desigualdad se ha
usado el teorema de distorsión (véase el Corolario 1.3.9). Por lo tanto, se concluye que
SΦ (B) * B ϕ y la prueba del teorema está completa en este caso.
ii) Si α > 1, entonces, sin pérdida de generalidad, se puede suponer que la sucesión
©
ª
{wn } satisface |arg (wn )| < mı́n (α − 1) π4 , π2 y |wn | > 1. Entonces, la función f (z) =
62
(1 − z)−(α−1) con z ∈ D pertenece al espacio Bα y se tiene
||SΦ (f )||ϕ ≥
≥
ϕ−1
³
1
1
1−|zn |2
(α − 1) δ
ϕ−1
³
1
1−|zn |2
´
¯ 0
¯¯
¯
¯Φ (f (zn ))¯ ¯f 0 (zn )¯
´
·
1
|1 − zn |α
1
donde, zn = f −1 (wn ) = 1−wnα−1 . Pero, por la construcción de {wn }, es claro que |zn | → 1−
´
³
2
1 − |zn |2 , para todo n ∈ N. Ası́, se sigue que
cuando n → ∞ y que |1 − zn | ≤ √2−1
Ã√
!α
1
2−1
1
1−|zn |2
³
´ · ³
||SΦ (f )||ϕ ≥
(α − 1) δ
´α−1 → ∞
1
2
ϕ−1
2
1−|zn |2
1 − |zn |
cuando n → ∞; ya que, limt→∞ ϕ (t) /t = ∞ y α > 1. Por lo tanto, se concluye que
SΦ (B α ) * Bϕ , con lo cual la demostración del teorema está completa.
Comentario 3.4.1. Ya que B ⊂ Bα para α > 1, entonces en la prueba anterior, es
suficiente el caso α = 1. Sin embargo, se incluye el caso (α > 1) porque no se necesita la
construcción del dominio Ω dado por Álvarez, Márquez y Vukotić (2004). La idea de este
caso fue tomado de Xu (2007).
Comentario 3.4.2. El caso α ∈ (0, 1) es el más complicado, por una parte se tiene que
Bα es un subespacio de H ∞ , el espacio de todas las funciones analı́ticas acotadas sobre D,
mientras que por otra parte B ϕ está contenido en B0 ası́, en general el espacio B α y B ϕ no
están relacionados. Sin embargo, si ϕ es una N -función tal que
1
ϕ (t) ≤ Ct α ,
cuando t → 0+ , para alguna constante C > 0, entonces se puede deducir que SΦ es un
operador acotado de Bα sobre B ϕ . La prueba de esta afirmación sigue como consecuencia
del próximo teorema y por tal motivo, se omite.
Ahora, se analiza cuando el operador de superposición SΦ aplica acotadamente el espacio Bloch-Orlicz Bϕ sobre el espacio de Bloch B. La situación aquı́ es mas complicada
porque dependiendo del sı́mbolo ϕ, el espacio B ϕ puede estar contenido en H ∞ o no. El
primer resultado, acerca de esta situación, obtenida por Castillo, Ramos y Salazar (2011),
puede ser enunciado como sigue:
63
Teorema 3.4.2. Sea α ≥ 1 y ϕ una N -función tal que
µ ¶
Z 1
−1 1
ϕ
Lϕ :=
dt < ∞.
t
0
(3.1)
Entonces, para cualquier función entera Φ , SΦ es un operador acotado de B ϕ en B α .
Demostración. Se considera Φ una función entera , M > 0 y se supone que f ∈ B ϕ es tal
que kf kBϕ ≤ M . Entonces del Corolario 2.4.5 y la hipótesis (3.1) se puede deducir que
existe una constante Cϕ > 0, que depende solamente de ϕ, tal que |f (z)| ≤ Cϕ M , para
todo z ∈ D. Ası́, por el principio del máximo para funciones analı́ticas (véase el Teorema
1.2.8), se puede encontrar constantes positivas M1 y M2 , dependiendo solamente de ϕ, M
y Φ , tal que
máx {|Φ (w)| : |w| = Cϕ M } = M1
y
¯
©¯
ª
máx ¯Φ0 (w)¯ : |w| = Cϕ M = M2 .
De aquı́, se sigue que |Φ (f (0))| ≤ M1 y |Φ0 (f (z))| ≤ M2 , para todo z ∈ D. Por lo tanto,
se tiene las siguientes desigualdades
³
´¯
¯¯
¯
||SΦ (f )||B = |Φ (f (0))| + sup 1 − |z|2 ¯Φ0 (f (z))¯ ¯f 0 (z)¯
z∈D
≤ M1 + M2 kf kBϕ ≤ M1 + M2 M,
donde, se ha usado que kf kBα ≤ kf kBϕ , para toda función f ∈ B ϕ ya que α ≥ 1. Esto
último muestra que el operador SΦ : B ϕ → B α es acotado.
Comentario 3.4.3. Si ϕ es una N -función y existen constantes p > 1, M > 0 y t0 ≥ 0
tal que ϕ (t) ≥ M tp , para todo t ≥ t0 , entonces ϕ satisface la condición (3.1). Sin embargo,
existen N -funciones que no satisfacen (3.1), por ejemplo, la función: ϕ3 (t) = t log (1 + t)
con t ≥ 0.
3.5.
El caso del espacio de Bloch con peso
En esta sección se caracterizan todas las funciones enteras Φ para la cual el operador
de superposición SΦ , aplica el espacio de Bloch-Orlicz asociado a la N -función
ϕ (t) = t log (1 + t) ,
64
(3.2)
con t ≥ 0, sobre el espacio α − Bloch, donde α > 0. Cabe destacar que esta N -función no
satisface la condición (3.1) de aquı́ el interés de considerar su espacio de Bloch-Orlicz asociado. Además, se tiene el siguiente resultado, el cual será de gran utilidad en lo que sigue,
donde se dice que dos funciones positivas ϕ1 y ϕ2 , definidas sobre [0, ∞) son equivalentes
cuando t → ∞, denotado por ϕ1 (t) ∼ ϕ2 (t) cuando t → ∞, si existen constantes positivas
K1 , K2 , t0 tales que
K1 ϕ2 (t) ≤ ϕ1 (t) ≤ K2 ϕ2 (t)
para todo t ≥ t0 .
Proposición 3.5.1. Sea ϕ (t) = t log (1 + t), con t ≥ 0, entonces
ϕ−1 (t) ∼
t
log (t)
cuando t → ∞.
Demostración. Es suficiente mostrar que el siguiente lı́mite
ϕ−1 (t) log (t)
= 1.
t→∞
t
L = lı́m
Haciendo el cambio de variable τ = ϕ−1 (t) o equivalentemente t = ϕ (τ ), se tiene que
τ → ∞ cuando t → ∞, por tal motivo, se puede escribir
τ log (ϕ(τ ))
ϕ−1 (t) log (t)
= lı́m
τ →∞
t→∞
t
ϕ(τ )
τ log (τ log(1 + τ ))
= lı́m
τ →∞
τ log (1 + τ )
log (τ ) + log(log(1 + τ ))
= lı́m
.
τ →∞
log (1 + τ )
L =
lı́m
Luego, separando el lı́mite y aplicando la regla de L’Hopital, se concluye que
ϕ−1 (t) log (t)
= 1.
t→∞
t
L = lı́m
Lo cual demuestra la proposición.
Como una consecuencia del resultado anterior se puede ver la función de peso µ, que
define el espacio de Bloch-Orlicz asociada a la N -función definida en (3.2) satisface
´
³
1
µ
¶
³
´
log
1
1
1−|z|2
2
³
´∼
µ (z) =
= 1 − |z| log
(3.3)
1
1
1 − |z|2
ϕ−1 1−|z|
2
1−|z|2
65
cuando |z| → 1− . Luego, como
µ
³
´
2
1 − |z| log
1
1 − |z|2
¶
µ
∼ v(z) = (1 − |z|) log
1
1 − |z|
¶
cuando |z| → 1− , se concluye que
µ (z) ∼ ν (z)
(3.4)
cuando |z| → 1− . Y por está razón, el espacio B ϕ , con ϕ (t) = t log (1 + t), coincide con el
espacio de Bloch con peso Bv con normas equivalentes. Todavı́a más, se tiene que Iϕ (z) ∼
Lϕ (z), para todo z ∈ D y en este caso se puede concluir que
µ µ
µ
¶¶¶
e
−1
Iϕ (z) ∼ log log 1 + ϕ
1 − |z|2
 

e
´
³
´  ,
∼ log log 1 + ³
e
1 − |z|2 log 1−|z|
2
(3.5)
cuando |z| → 1− . Ası́, en virtud de la relación (3.4), en el curso de esta sección, se reemplaza
la semi-norma kf kϕ por la expresión
kf kν
¯ 0
¯
¯
¯
= sup υ (z) ¯f (z)¯
z∈D
µ
= sup (1 − |z|) log
z∈D
(3.6)
e
1 − |z|
¶¯
¯
¯ 0
¯
¯f (z)¯
También, se usa B v para denotar el espacio de Bloch-Orlicz asociado con la N -función
ϕ (t) = t log (1 + t), donde t ≥ 0. Además, por un simple cálculo se demuestra que
½
µ µ
¶¶¾
e
|f (z)| ≤ 1 + log log
kf kBv ,
1 − |z|
(3.7)
para cualquier función f ∈ Bv . En particular, esta desigualdad implica que el funcional
evaluación es continuo sobre B v .
Ahora se completa el Teorema 3.4.1, para el caso de α ∈ (0, 1) y para el espacio de
¡ ¢
Bloch-Orlicz asociado con la N -función ϕ (t) = t log et , donde t > 0.
Teorema 3.5.2. Sea α ∈ (0, 1), entonces para cualquier función entera Φ, SΦ es un
operador acotado de Bα sobre Bv .
Demostración. Se considera Φ una función entera, M > 0 y se supone que f ∈ B α es tal
que kf kBα ≤ M . Entonces, por la relación (2.3) y como α ∈ (0, 1) se puede deducir que
66
existe una constante Cα > 0, que depende sólo de α tal que
|f (z)| ≤ Cα kf kB α ≤ Cα M,
para todo z ∈ D. Ası́, por el Principio del Máximo para funciones analı́ticas, se puede
encontrar constantes positivas M1 y M2 , dependiendo de α, M y Φ tal que
máx = {|Φ (w)| : |w| = Cα M } = M1 ,
y
¯
n¯ 0
o
¯
¯
máx = ¯Φ (w)¯ : |w| = Cα M = M2 .
En particular, se tiene que
¯
¯
|Φ (f (0))| ≤ M1 y ¯Φ0 (f (z))¯ ≤ M2 ,
para todo z ∈ D. Por lo tanto, se puede escribir
kΦ ◦ f kBυ
= |Φ (f (0))| + kΦ ◦ f kυ
=
=
≤
=
=
=
≤
¶¯
¯
0
e
¯
¯
|Φ (f (0))| + sup (1 − |z|) log
¯(Φ ◦ f ) (z)¯
1 − |z|
z∈D
µ
¶¯
¯¯ 0
¯
e
¯ 0
¯¯
¯
|Φ (f (0))| + sup (1 − |z|) log
¯Φ (f (z))¯ ¯f (z)¯
1 − |z|
z∈D
¶
µ
Cα M
e
´α
.M2 . ³
M1 + sup (1 − |z|) log
1
−
|z|
z∈D
1 − |z|2
´
³
e
(1 − |z|) log 1−|z|
³
´α
M1 + M2 .Cα .M sup
z∈D
1 − |z|2
³
´
e
(1 − |z|) log 1−|z|
M1 + M2 .Cα .M sup
α
α
z∈D (1 − |z|) (1 + |z|)
µ
¶
(1 − |z|)1−α
e
M1 + M2 .Cα .M sup
α . log
1 − |z|
z∈D (1 + |z|)
µ
¶
e
M1 + M2 .Cα .M sup (1 − |z|)1−α . log
.
1 − |z|
z∈D
µ
De aquı́ que solo resta acotar la expresión
µ
1−α
sup (1 − |z|)
. log
z∈D
67
e
1 − |z|
¶
.
En primer lugar, se observa que
µ
1−α
lı́m (1 − |z|)
|z|→1−
. log
e
1 − |z|
¶
= 0,
por que α ∈ (0, 1). En efecto, se hace el cambio de variable t = 1 − |z|, entonces t → 0+ ,
cuando |z| → 1− , de donde
µ
1−α
lı́m (1 − |z|)
|z|→1−
. log
e
1 − |z|
¶
³e´
lı́m (t)1−α . log
t
t→0+
¡e¢
log
t1−α
= lı́m α−1t = lı́m
= 0,
t→0+ t
t→0+ (α − 1)
=
donde en la penúltima igualdad se ha aplicado la regla de L’Hospital y se ha usado el hecho
que α > 1 en la última igualdad. Esto demuestra lo afirmado.
Con esta información se concluye que la función
µ
1−α
h(z) = (1 − |z|)
. log
e
1 − |z|
¶
es acotada en D y por tanto, existe una constante M3 > 0 tal que h(z) ≤ M3 para todo
z ∈ D. Ası́ que
kΦ ◦ f kBυ ≤ M1 + M2 Cα M M3 < ∞,
por lo tanto, SΦ aplica Bα , con α ∈ (0, 1) en B υ de manera acotada.
Ahora se estudia cuando el operador de superposición SΦ aplica el espacio de BlocOrlicz Bυ sobre el espacio α-Bloch con α > 0. Para establecer los resultados sobre este
tema, se necesita el siguiente lema elemental.
Lema 3.5.3. Existe una constante L > 0 tal que
µ
¶
e
1
¯ ³
(1 − |z|) . log
.
1 − |z| |1 − z| ¯¯log
e
1−|z|
´¯ ≤ L
¯
¯
(3.8)
para todo z ∈ D.
Demostración. El resultado se sigue ya que la función h (t) = t log
¡e¢
t
con t ≥ 0, es
creciente y considerando separadamente los casos |1 − z| < 1 y 1 ≤ |1 − z| < 2.
Ahora con este lema se puede establecer el siguiente resultado.
68
Teorema 3.5.4. Sean α ∈ (0, 1) y Φ una función entera. Entonces SΦ es un operador
acotado que aplica B υ sobre Bα si y sólo si Φ es una función constante.
Demostración. Se supone primero que Φ es una función constante. Sea f ∈ Bυ , entonces
existe una constante M > 0 tal que kf k ≤ M y Φ0 (w) = 0, para todo w ∈ C. De donde,
se tiene que
¯
¯¯
¯
kΦ ◦ f kBα = supυ (z) ¯Φ0 (f (z))¯ ¯f 0 (z)¯ = 0
z∈D
para todo z ∈ D. Esto implica que SΦ (f ) ∈ Bα y por tanto SΦ es un operador acotado
desde B υ en B α .
Para establecer la otra implicación, se supone que Φ no es una función constante,
entonces existe una constante positiva δ y una sucesión {wn } ⊂ C, tal que |wn | → ∞,
¯
¯
¯ 0
¯
cuando n → ∞ y ¯Φ (wn )¯ ≥ δ, para todo n ∈ N. Se selecciona ahora una sucesión
{zn } ⊂ D tal que
µ µ
log log
e
1 − |zn |
¶¶
= |wn | .
En particular, |zn | → 1− , cuando n → ∞ y se puede suponer que zn 6= 0, para todo n ∈ N.
Ahora, para cada n ∈ N, se considere la función fn definida por
!!
à Ã
e
i arg(wn )
,
fn (z) = e
log log
1 − |zznn | z
con z ∈ D. Entonces, para cada n ∈ N, se tiene que
!!
à Ã
e
fn (zn ) = ei arg(wn ) . log log
1 − |zznn | zn
µ µ
¶¶
e
i arg(wn )
= e
. log log
= ei arg(wn ) . |wn | = wn .
1 − |zn |
También
ei arg(wn ) |zznn |
µ
fn (z) =
zn
(1 − |zn | z) log
0
¶
e
1− |zzn | z
69
n
de donde,
¯ 0
¯
¯
¯
¯fn (z)¯ =
¯ i arg(w ) ¯ ¯¯ z ¯¯
n ¯
¯e
¯ |znn | ¯
¶¯
¯
¯ ¯¯ µ
¯
¯
zn ¯ ¯
e
¯1 − |zn | z ¯ ¯log 1− zn z ¯¯
|z |
n
¯ ¯¯
1
¶¯
¯
¯
zn
1− |z | z ¯
n
!¯−1
¯
¯−1 ¯¯ Ã
¯
¯
¯
z
e
¯
¯
n
= ¯¯1 −
z ¯¯ . ¯log
¯
¯
|zn |
1 − |zznn | z ¯
=
¯
¯
¯1 −
zn ¯ ¯
|zn | z ¯ ¯log
µ
e
para todo z ∈ D. Ası́, se obtiene que
µ
kfn kϕ
¶¯
¯
e
¯ 0
¯
= sup (1 − |z|) log
¯fn (z)¯
1
−
|z|
z∈D
³
´
e
(1 − |z|) log 1−|z|
¶¯ ≤ L
= sup ¯
¯ ¯¯ µ
¯
z∈D ¯
zn ¯ ¯
e
¯1 − |zn | z ¯ ¯log 1− zn z ¯¯
|z |
n
para todo n ∈ N, por el Lema 3.5.3. Ası́ {fn } es una sucesión de funciones acotadas en B υ .
Sin embargo, para cada n ∈ N, se tiene las desigualdades
¯¯ 0
¯
´α ¯ 0
¯
¯¯
¯
= sup 1 − |z|
¯Φ (fn (z))¯ ¯fn (z)¯
z∈D
¯¯ 0
¯
³
´α ¯ 0
¯
¯¯
¯
≥
1 − |zn |2 ¯Φ (wn )¯ ¯fn (zn )¯
!¯−1
¯−1 ¯¯ Ã
¯
³
´α ¯¯
¯
z
e
¯
¯
n
2
¯
¯
zn
. ¯log
≥
1 − |zn |
δ ¯1 −
¯
zn
¯
|zn | ¯
1 − |zn | zn ¯
³
kΦ ◦ fn kBα
=
2
δ
1−α
(1 − |zn |)
³
. log
e
1−|zn |
´ →∞
ya que para α ∈ (0, 1), se cumple que
lı́m t1−α . log (t) = 0.
t→0+
Esto culmina la demostración del teorema.
Ahora, se puede caracterizar todas las funciones enteras Φ para la cual el operador SΦ ,
aplica el espacio B υ sobre el espacio de Bloch. Este resultado se debe a Castillo, Ramos y
Salazar (2011).
70
Teorema 3.5.5. Sea Φ una función entera. Entonces SΦ es un operador acotado que aplica
Bυ sobre B si y sólo si Φ es una función entera de orden más pequeño que 1, o de orden 1
y tipo cero.
Demostración. Se supone primero que Φ es una función entera de orden más pequeño
que 1, o de orden 1 y tipo cero. Sea M > 0 fijo y sea f cualquier función en B υ tal que
kf kBυ ≤ M . Ya que el orden y el tipo de una función entera no cambia con la diferenciación
entonces por hipótesis podemos encontrar una constante M1 > 0 tal que
µ
¶
¯
¯ 0
¯Φ (w)¯ , |Φ (w)| ≤ M1 exp 1 |w| ,
M
(3.9)
para todo w ∈ C. Mostraremos que existe un constante k > 0, dependiendo sólo de M y
Φ, tal que
kΦ ◦ f kB ≤ k.
Por la relación (3.9), es claro que |Φ (f (0))| ≤ M1· e, ya que |f (0)| ≤ M . Luego, falta
estimar la expresión
³
´¯
¯¯
¯
kΦ ◦ f kB = sup 1 − |z|2 ¯Φ0 (f (z))¯ ¯f 0 (z)¯ .
z∈D
Ahora, para f ∈ B υ , se tiene que
kf kBυ
¯
¯
= supυ (z) ¯f 0 (z)¯
z∈D
µ
= sup (1 − |z|) log
z∈D
e
1 − |z|
¶
¯ 0 ¯
¯f (z)¯ .
Esto implica que
¯ 0 ¯
¯f (z)¯ ≤
kf kBυ
M
³
´≤
³
´,
e
e
(1 − |z|) log 1−|z|
(1 − |z|) log 1−|z|
y por la relación (3.7), se tiene que
½
µ µ
¶¶¾
e
|f (z)| ≤
1 + log log
kf kBυ
1 − |z|
¶¶¾
½
µ µ
e
M.
≤
1 + log log
1 − |z|
71
De donde, se obtiene las siguientes desigualdades
³
´¯
¯¯
¯
kΦ ◦ f kB = sup 1 − |z|2 ¯Φ0 (f (z))¯ ¯f 0 (z)¯
z∈D
µ
¶
³
´
¯
¯
1
2
≤ sup 1 − |z| .M1 exp
|f (z)| ¯f 0 (z)¯
M
z∈D
³ n
³
´o ´
e
1
³
´
exp M
1 + log(log 1−|z|
) M M
³
´
≤ sup 1 − |z|2 M1
e
z∈D
(1 − |z|) log 1−|z|
³
³
´´
e
³
´ exp 1 + log(log 1−|z|
) M
³
´
= M1 M sup 1 − |z|2
e
z∈D
(1 − |z|) log 1−|z|
µ
¶
³
´
e
1
2
³
´
= M1 .M.sup 1 − |z| .e. log
e
1 − |z| (1 − |z|) log
z∈D
1−|z|
µ
¶
e
1
³
´
= e.M1 .M.sup (1 − |z|) (1 + |z|) log
e
1 − |z| (1 − |z|) log
z∈D
1−|z|
= e.M1 .M.sup (1 + |z|) ≤ e.M1 .M. (2) < ∞.
z∈D
Esto implica que SΦ ∈ B, y SΦ es un operador acotado desde B υ en B.
Para demostrar la otra implicación, se supone que φ es una función entera de orden
más grande que 1 o de orden 1 y tipo positivo. Entonces lo, mismo es cierto para la función
Φ0 , y por lo tanto, existen una constante η > 0 y una sucesión {wn } de números complejos,
tal que |wn | → ∞ cuando n → ∞ y
¯ 0
¯
¯Φ (wn )¯ ≥ exp (η |wn |) ,
para todo n ∈ N.
Definamos la función:
µ µ
¶¶
2
e
h (t) := log log
,
η
1−t
con 0 < t < 1; la cual, es continua y es tal que h (t) → ∞,cuando t → 1− , entonces, para
cada n ∈ N, se puede seleccionar un único real tn ∈ (0, 1) tal que
µ µ
¶¶
e
2
log log
= |wn | .
η
1 − tn
(3.10)
Sea zn = tn exp (i arg (wn )). Se observa que |zn | → 1− ,cuando n → ∞; ası́, que se puede
suponer que zn 6= 0, para todo n ∈ N. Ahora, para cada n ∈ N y z ∈ D se define la siguiente
72
función
2
fn (z) :=
η
Z
0
z
Ã
!
µ
¶−1
zn
e
−1
1−
s
. log
ds
|zn |
1 − |zzn | s
(3.11)
n
la cual, tiene las siguientes propiedades:
i) fn (0) = 0, para todo n ∈ N.
ii) Integrando
à Ã
!!
2 |zn |
e
fn (z) =
log log
.
η zn
1 − |zzn | z
n
iii) Derivando
2
fn0 (z) =
η
Ã
!
¶−1
µ
e
zn
1−
z
. log−1
.
|zn |
1 − |zzn | z
n
Además, por el Lema 3.5.3, se tiene que existe una constante L > 0, tal que
¯
¯
µ
¶
¯
e
e ¯¯−1
−1 ¯
sup (1 − |w|) log
|1 − w| . ¯log
≤ L < ∞,
1 − |w|
1 − w¯
w∈D
de donde, haciendo w =
zn
|zn | z,
se obtiene que
µ
kfn kυ
¶
¯ 0
¯
e
¯fn (z)¯
= sup (1 − |z|) log
1 − |z|
w∈D
³
´
e
(1
−
|z|)
log
1−|z|
2
2
¯ µ
¶¯ ≤ L.
= sup ¯
¯
¯
η
¯¯
z∈D η ¯
¯1 − |zznn | z ¯ ¯¯log 1− ezn z ¯¯
|z |
n
Ası́ que fn ∈ B υ y además kfn kυ ≤ η2 L para todo n ∈ N. Todavı́a más, también se tiene
por construcción que fn (zn ) = wn para todo n ∈ N. De hecho,
!!
à Ã
2 |zn |
e
fn (zn ) =
log log
η zn
1 − |zznn | zn
zn
=
|wn | = exp (i arg (wn )) |wn | = wn
|zn |
y, similarmente, se cumple que
fn0 (zn )
2
2 1
= (1 − |zn |)−1 . log−1
=
η υ (zn )
η
73
µ
e
1 − |zn |
¶
.
Finalmente, por construcción se tienen las siguientes desigualdades
³
´¯
¯¯
¯
1 − |zn |2 ¯Φ0 (fn (zn ))¯ ¯fn0 (zn )¯
³
´
η 1
≥
1 − |zn |2 exp(η |wn |)
2 ν (zn )
³
´
2
2 1 − |zn | exp(η |wn |)
=
e
)
η (1 − |zn |) log( 1−|z
n|
kΦ ◦ fn kB ≥
≥
=
=
2 exp(η |wn |)
e
η log( 1−|z
)
n|
2
1
exp(η |wn |)
η exp( η2 |wn |)
2
η
exp( |wn |) → ∞,
η
2
por que |wn | → ∞, cuando n → ∞, y de aquı́ se concluye que SΦ no es un operador
acotado desde Bυ en B. La prueba está completa.
Ahora se analiza cuando el operador de superposición SΦ aplica el espacio Bυ sobre
el espacio α-Bloch, con α > 1. En virtud de las estimaciones (2.3) y (3.7), el siguiente
resultado se espera:
Teorema 3.5.6. Sea Φ una función entera y α > 1. Si el orden de la función Φ es finito,
entonces SΦ es un operador acotado desde Bυ en B α .
Demostración. Se supone primero que Φ es una función entera de orden finito. Sean M > 0
y f ∈ B υ tal que kf kB υ ≤ M , entonces, existen constantes positivas L y ρ tal que
¯ 0
¯
¯
¯
ρ
¯Φ (w)¯ ≤ L exp (|w| ) ,
(3.12)
para todo w ∈ C.
Ası́, por (3.7), se tiene que
½
µ µ
|f (z)| ≤ 1 + log log
e
1 − |z|
¶¶¾
M
y como kf kBυ ≤ M , entonces
¯ 0 ¯
¯f (z)¯ ≤
kf kBυ
M
³
³
´≤
´,
e
e
(1 − |z|) log 1−|z|
(1 − |z|) log 1−|z|
74
de donde, se tiene las siguientes desigualdades:
³
´α ¯
¯¯
¯
kφ ◦ f kα = sup 1 − |z|2 ¯φ0 (f (z))¯ ¯f 0 (z)¯
z∈D
³
´α
¯
¯
≤ sup 1 − |z|2 .L. exp (|f (z)|ρ ) ¯f 0 (z)¯
z∈D
³
´α
≤ L.sup 1 − |z|2 exp (|f (z)|ρ )
M
³
´
e
(1 − |z|) log 1−|z|
³n
³
´
oρ ´
e
´α exp (1 + log(log 1−|z|
³
))M
³
´
L.M sup 1 − |z|2
e
z∈D
(1 − |z|) log 1−|z|
³n
³
´
oρ ´
e
exp (1 + log(log 1−|z|
))M
³
´
L.M sup (1 − |z|)α (1 + |z|)α
e
z∈D
(1 − |z|) log 1−|z|
´
oρ ´
³n
³
e
))M
exp (1 + log(log 1−|z|
³
´
L.M ,2α sup (1 − |z|)α
e
z∈D
(1 − |z|) log 1−|z|
³n
³
´
oρ ´
e
(1 − |z|)α−1 exp (1 + log(log 1−|z|
))M
³
´
L.M ,2α sup
e
z∈D
log 1−|z|
³n
³
´
oρ ´
e
exp (1 + log(log 1−|z|
))M
³
´
L.M ,2α sup
,
e
z∈D
(1 − |z|)1−α log 1−|z|
z∈D
≤
=
≤
=
=
y el resultado sigue del hecho de que
³n
lı́m (1 − |z|)α−1
exp
|z|→1−
³
´
oρ ´
e
(1 + log(log 1−|z|
))M
³
´
= 0,
e
log 1−|z|
ya que α > 1.
Comentario 3.5.1. Revisando la demostración del resultado anterior, se puede observar
que el operador SΦ puede aplicar el espacio Bυ sobre el espacio α-Bloch aún cuando el
orden de la función Φ sea infinito. En efecto, si la función Φ satisface
µ
µ
¶¶
¯ 0
¯
1
¯
¯
|w|
¯Φ (w)¯ ≤ L exp exp
M
para todo w ∈ C, entonces se tiene que
kΦ ◦ f kα ≤ 2α .L.M.e.sup (1 − |z|)α−1 < ∞,
z∈D
75
(3.13)
ya que α > 1. En efecto, si la función Φ satisface la expresión (3.13), entonces por el
argumento usado en la demostración del teorema anterior, se tiene que
¡1
¢
α−1
(1
−
|z|)
exp
|f
(z)|
M
³
´
kΦ ◦ f kα ≤ 2α .L.M sup
e
z∈D
log 1−|z|
³ n
³
´o ´
1
e
1 + log(log 1−|z|
) M
(1 − |z|)α−1 exp M
³
´
≤ 2α .L.M sup
e
z∈D
log 1−|z|
³
³
´´
e
(1 − |z|)α−1 .e1 . exp log(log 1−|z|
)
³
´
= 2α .L.M sup
e
z∈D
log 1−|z|
³
´
e
(1 − |z|)α−1 log 1−|z|
´
³
= 2α .e1 .L.M sup
e
z∈D
log 1−|z|
= 2α .e1 .L.M sup (1 − |z|)α−1 ≤ 2α .e1 .L.M,
z∈D
ya que α > 1.
Esto último, motivó a establecer las siguientes definiciones: Si Φ es una función entera,
entonces se define
ρ∞ = ρ∞ (Φ) = lı́m sup
r→∞
log (log (log (M (r))))
,
log (r)
donde, como antes, para r > 0 se tiene que
M (r) := máx {|Φ (w)| : |w| = r}
y si ρ∞ < ∞, entonces se define:
τ ∞ = τ ∞ (Φ) = lı́m sup
r→∞
log (log (M (r)))
;
rρ∞
los cuales, se denomina el orden y el tipo infinito respectivamente de la función Φ. Con
esta notación, se tiene el siguiente resultado el cual también se debe a Castillo, Ramos y
Salazar (2011).
Teorema 3.5.7. Sea Φ una función entera y α > 1 fijo. Entonces SΦ es un operador
acotado de B υ sobre Bα si y sólo si ρ∞ < 1 ó ρ∞ = 1 y τ ∞ = 0.
76
Demostración. En efecto, si ρ∞ < 1 ó ρ∞ = 1 y τ ∞ = 0, entonces para cualquier ε > 0 se
puede encontrar una constante L > 0 tal que
¯ 0
¯
¯Φ (w)¯ ≤ L exp (exp (ε |w|)) ,
para todo w ∈ C.
Se considera ahora M > 0 y f ∈ B υ tal que kf kBυ ≤ M . Entonces, se tiene las siguientes
desigualdades:
³
´α ¯
¯
¯¯
kΦ ◦ f kα = sup 1 − |z|2 ¯Φ0 (f (z))¯ ¯f 0 (z)¯
z∈D
µ
µ
¶¶
³
´α
¯ 0 ¯
1
2
¯f (z)¯ ,
≤ sup 1 − |z|
.L. exp exp
|f (z)|
M
z∈D
con ε =
1
M
y por el Comentario 3.5.1, se tiene que
kΦ ◦ f kα ≤ 2α .e1 .L.M sup (1 − |z|)α−1 ≤ 2α .e1 .L.M,
z∈D
ya que α > 1. Esto implica que SΦ (f ) ∈ B α y SΦ (Bυ ) ⊂ B α , lo cual dice que SΦ aplica B υ
dentro de Bα de manera acotada.
Se supone ahora que ρ∞ > 1 ó ρ∞ = 1 y τ ∞ > 0, entonces existen una constante η > 0
y una sucesión {wn } ⊂ C tal que |wn | → ∞ y
¯ 0
¯
¯Φ (wn )¯ ≥ exp (exp (η |wn |))
para todo n ∈ N. Ası́, considerando la sucesión {zn } ⊂ D y {fn } ⊂ B υ , definidas en (3.10)
y (3.11) respectivamente, se tiene las siguientes desigualdades:
kΦ ◦ fn kβ α
³
´α ¯
¯¯
¯
1 − |zn |2 ¯φ0 (fn (zn ))¯ ¯fn0 (zn )¯
³
´α
¯¢¢ ¯
¯
¡
¡ ¯
≥
1 − |zn |2 exp exp η ¯fn0 (zn )¯ ¯fn0 (zn )¯
≥
¯ µ
¶¯−1
³
´α
¯
¯
¯¢¢ 2
¡
¡ ¯
e
¯
|1 − |zn ||−1 ¯¯log
1 − |zn |2 exp exp η ¯fn0 (zn )¯
η
1 − |zn | ¯
¯¢¢
¡
¡ ¯
2 (1 − |zn |)α−1
¯ ³
´¯ exp exp η ¯fn0 (zn )¯
=
¯
e
η ¯¯log
1−|zn | ¯
≥
=
2 (1 − |zn |)α−1
¯ ³
´¯ exp (exp (η |wn |))
¯
e
η ¯¯log
¯
1−|zn |
77
Ahora, teniendo en cuenta de que
µ
log
e
1 − |zn |
¶
= exp
³η
2
´
|wn |
y que
(1 − |zn |)α−1 =
eα−1
¡
¡
¢¢α−1 ,
exp exp η2 |wn |
para todo n ∈ N, se tiene que
kΦ ◦ fn kBα
≥
=
=
=
=
=
=
2 (1 − |zn |)α−1
¡
¢ . exp (exp (η |wn |))
.
η exp η2 |wn |
h
i
2
η
. (1 − |zn |)α−1 exp exp (η |wn |) − |wn |
η
2
h
i
α−1
η
2
e
.
exp
exp
(η
|w
|)
−
.
|w
|
¡
¡
¢¢
n
n
η exp exp η |wn | α−1
2
2
³
³η
´´1−α
h
i
η
2 α−1
.e
. exp exp
|wn |
. exp exp (η |wn |) − |wn |
η
2
2
³
³
´´
h
i
2 α−1
η
η
.e
. exp (1 − α) exp
|wn | . exp exp (η |wn |) − |wn |
η
2
2
h
i
η
2 α−1
η
.e
. exp (1 − α) e 2 + eη|wn | − |wn |
η
2
h
i
³
´ η
η
η
2 α−1
.e
. exp e 2 |wn | e 2 |wn | − (α − 1) − |wn | → ∞,
η
2
cuando n → ∞, ya que |wn | → ∞. Y esto implica que SΦ no es un operador acotado desde
Bυ dentro de Bα con α > 1. Esto finaliza la demostración del teorema.
Se concluye este trabajo , caracterizando todos los sı́mbolos Φ para la cual el operador
de superposición SΦ aplica el espacio de Bloch-Orlicz en sı́ mismo. Este resultado se debe
al autor de este trabajo en colaboración con Castillo y Ramos.
Teorema 3.5.8. Sea Φ una función entera. Las siguientes proposiciones son equivalentes:
1. SΦ aplica Bυ en sı́ mismo;
2. SΦ : Bυ → B υ es un operador acotado;
3. Φ es una función lineal.
Demostración. [(3) ⇒ (1)] Sea Φ una función lineal, entonces esta función tiene la forma:
Φ (w) = aw + b, con a, b ∈ C y su derivada es Φ0 (w) = a para todo w ∈ C. Sea f ∈ Bυ ,
78
entonces existe M > 0 tal que kf kBυ ≤ M , de donde se tiene las siguientes desigualdades:
µ
¶
¯ 0
¯¯
¯
e
¯Φ (f (z))¯ ¯f 0 (z)¯
kΦ ◦ f kBυ = sup (1 − |z|) log
1 − |z|
z∈D
µ
¶
¯ 0 ¯
e
¯f (z)¯ = |a| kf k υ
= |a| sup (1 − |z|) log
B
1 − |z|
z∈D
≤ |a| M < ∞.
Esto demuestra que SΦ (f ) ∈ B υ y SΦ aplica Bυ en sı́ mismo de manera acotada.
[(1) ⇒ (3)] Se supone ahora que Φ es una función entera no lineal, entonces se puede
encontrar constantes positivas δ y R tal que
¯ 0
¯
¯Φ (w)¯ ≥ δ |w| ,
para todo w ∈ C, que satisface |w| > R. Además, por el Lema 3.5.3, la función
µ µ
¶¶
e
f (z) = log log
,
1−z
(3.14)
(3.15)
con z ∈ D, pertenece a Bυ . También, si {zn } es una sucesión en (0, 1) tal que zn → 1− ,
cuando n → ∞, entonces se debe tener que |f (zn )| → ∞, cuando n → ∞. Ası́, para n ∈ N
suficientemente grande, la siguiente desigualdad se cumple:
¯ 0
¯
¯Φ (f (zn ))¯ ≥ δ |f (zn )| .
Además,
µ
kΦ ◦ f kBυ
≥ (1 − |zn |) log
e
1 − |zn |
¶
¯ 0
¯¯
¯
¯Φ (f (zn ))¯ ¯f 0 (zn )¯
¯ µ
¶
¶¯−1
¯
¯
e
e
−1 ¯
¯
δ |f (zn )| . |1 − zn | ¯log
≥ (1 − |zn |) log
1 − |zn |
1 − zn ¯
µ
¶
µ
¶
e
e
−1
−1
= (1 − zn ) log
δ |f (zn )| (1 − zn ) log
1 − zn
1 − zn
= δ |f (zn )| → ∞,
µ
cuando n → ∞. De aquı́ se obtiene que SΦ (f ) ∈
/ B υ . Y la implicación (1 ⇒ 3) está demostrada.
[(3) ⇒ (2)] Similarmente, se supone que Φ es una función entera no lineal, entonces
existen constantes positivas δ y R tal que (3.13) se cumple. Se considera una sucesión {zn }
de puntos no nulos en D tal que |zn | → 1− y se define para cada n ∈ N, la función:
¶
µ
zn
z ;
fn (z) = f
|zn |
79
donde f es la función definida en (3.15). Entonces por el Lema 3.5.3, la sucesión {fn } es
acotada en B υ , ya que kfn kBυ ≤ kf kBυ ≤ L < ∞. Además, para n ∈ N suficientemente
grande, se tienen las siguientes desigualdades:
¶
µ
¯ 0
¯¯
¯
e
¯Φ (fn (zn ))¯ ¯fn0 (zn )¯
kφ ◦ fn kBυ ≥ (1 − |zn |) log
1 − |zn |
¯ µ
µ
¶¯−1
¶
¯
¯
e
e
−1 ¯
¯
≥ (1 − |zn |) log
δ |fn (zn )| . |1 − zn | ¯log
1 − |zn |
1 − zn ¯
= δ |fn (zn )| → ∞,
cuando n → ∞. Esto muestra que el operador SΦ : B υ → B υ no es acotado y la prueba del
teorema está completa.
80
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