Índice 1. Repaso - Instituto de Matemáticas | UNAM

Índice 1. Repaso - Instituto de Matemáticas | UNAM

ÁLGEBRA MODERNA
DANIEL LABARDINI FRAGOSO
TOMÓ ESTAS NOTAS: LILIA MONTSERRAT VITE ESCOBEDO
FECHA: MIÉRCOLES 2 DE MARZO DEL 2016
Índice
1. Repaso
2. Teoremas de Sylow
1
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1.
Repaso
En esta sección recordaremos algunos resultados anteriores que se ocuparán para la demostración de los
teoremas de Sylow, por lo que se omitirán las demostraciones.
Ecuación Fundamental
|X| = | FijX (G)| + ΣOi ∈I |Oi |.
Donde I es el conjunto de órbitas de la acción dada que tienen cardinal estrictamente mayor que uno.
Lema 1.
(Lema Fundamental) Dado G un grupo nito, tal que |G| = pn para algún primo p y
• : G × X → X una acción de G sobre un conjunto X , entonces
|X| ≡p | FijX (G)|.
Teorema 2.
(Teorema de Cauchy) Si G es un grupo nito y p es un número primo positivo que divide
al orden de G, entonces G tiene un subgrupo de orden p.
Denición 3. Sea
p un número primo positivo. Un p-grupo es un grupo con la propiedad de que cada
uno de sus elementos tiene por orden una potencia de p. Dado un grupo G, un subgrupo H de G es un
p-subgrupo, si H visto como grupo es un p-grupo.
Corolario 4. Sea p un número primo positivo. Un grupo nito es un p-grupo si y sólo si su orden es una
potencia de p.
Lema 5. Si G es un grupo nito y H un p-subgrupo de G entonces [G : H] ≡p [NG (H) : H].
Corolario 6. Sean G un grupo nito y H un p-subgrupo de G. Escribamos |G| = pn m con mcd(m, p) = 1
y |H| = pk . Si k < n entonces H
NG (H).
Lema 7. Sean G un grupo y • : G × X → X una acción de G sobre un conjunto X , entonces para cualquier
x ∈ X se tiene que
|{g • x | g ∈ G}| = [G : Gx ].
Es decir, el cardinal de cualquier órbita es igual al índice de el estabilizador de algún elemento de la órbita
en G.
Date :
8 de marzo de 2016.
Key words and phrases.
Grupo, anillo, campo, teoría de Galois.
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TOMÓ ESTAS NOTAS: LILIA MONTSERRAT VITE ESCOBEDO FECHA: MIÉRCOLES 2 DE MARZO DEL 2016
2.
Teoremas de Sylow
El teorema de Lagrange indica que en un grupo nito, el orden de un subgrupo divide al orden del grupo.
En está sección se enunciarán y demostrarán los teoremas de Sylow, los cuales tratan de dar respuesta al
problema recíproco de este teorema, garantizando para algunos divisores del orden del grupo, la existencia
de un subgrupo del orden correspondiente.
Teorema 8.
(Primer teorema de Sylow) Sea G un grupo nito y p un número primo positivo. Si
|G| = p m con mcd(m, p) = 1, jamos k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Entonces todo subgrupo de G que tenga orden
pk está contenido en algún subgrupo de G que tiene orden pk+1 .
Consecuentemente, para toda k ∈ {0, 1, . . . , n − 1} se tiene que G tiene un subgrupo de orden pk .
n
Denición 9. Sean G un grupo y p un número primo positivo. Un p-subgrupo de Sylow de G es un p-
subgrupo que es máximal respecto a la propiedad de ser p-subgrupo, es decir, no está contenido propiamente
en ningún otro p-subgrupo.
Teorema 10.
(Segundo teorema de Sylow) Dado un grupo G y número primo p, cualesquiera dos
Teorema 11.
(Tercer teorema de Sylow) Sean G un grupo nito y p un número primo positivo. El
p-subgrupos de Sylow de G son conjugados en G.
número de p-subgrupos de Sylow de G es congruente con 1 módulo p y divide al orden de G.
Observación 1. El primer teorema de Sylow nos garantiza la existencia de p-subgrupos de Sylow, más aún,
si |G| = pn m con mcd(m, p) = 1, entonces cualquier p-subgrupo de Sylow tiene orden pn .
Demostración: (Primer teorema de Sylow)
Tomemos k ∈ {0, 1, . . . , n − 1} y supongamos que H es un p-subgrupo que tiene orden pk .
Por el corolario 6 se tiene que H NG (H) y por el lema 4, [G : H] ≡p [NG (H) : H], además tenemos
que
pn m = |G| = |H|[G : H] = pk [G : H].
Pero por hipótesis k < n. Así p|[G : H]. De la congruencia anterior nos implica que p|[NG (H) : H].
Como H G podemos formar el grupo cociente NG (H)/H cuyo orden es [NG (H) : H]. Por el teorema
de Cauchy podemos asegurar que NG (H)/H tiene un subgrupo de orden p digamos Γ. Usando el lema
de la correspondencia tenemos que existe un subgrupo K de NG (H) que contiene a H y Γ = K/H .
Consideremos π : NG (H) → NG (H)/H la proyección natural, entonces tenemos que π −1 (Γ) = K .
Por lo tanto, |K| = |Γ|| Nuc(π)| = p · pk = pk+1 .
%
Demostración: (Segundo teorema de Sylow)
Sean P1 y P2 p-subgrupos de Sylow de G.
Por la observación 1 tenemos que |P1 | = |P2 | = pn .
Consideremos la acción
• : P1 × G/≡iP → G/≡iP
2
2
(p1 , xP2 ) 7→ (p1 x)P2 .
Ejercicio 12. Probar que la acción anterior está bien denida.
Así, por el lema fundamental
|G/≡iP | ≡p | FijG/
2
Pero |G/≡iP | =
2
|G|
|P2 |
=
pn m
pn
dice que FijG/≡i (P1 ) 6= ∅.
P2
≡i
P2
(P1 )|
= m y mcd(m, p) = 1, en consecuencia p - | FijG/
≡i
P2
(P1 )|, lo cual nos
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Tomemos un elemento xP2 ∈ FijG/≡i (P1 ) con x ∈ G, este elemento satisface que para cualquier
P2
p1 ∈ P1 , p1 • xP2 = xP2 = p1 xP2 así P2 = x−1 p1 xP2 para cualquier p1 ∈ P1 .
Lo anterior nos dice que el elemento x ∈ G satisface que x−1 p1 x ∈ P2 para todo p1 ∈ P1 , es decir,
x−1 P1 x ⊆ P2 , pero |x−1 P1 x| = |P1 | = |P2 | lo cual implica que x−1 P1 x = P2 que es la denición de
que P1 y P2 sean conjugados.
Demostración: (Tercer teorema de Sylow)
Sea X = {P | P es p-subgrupo de Sylow de G}.
Tomemos P0 ∈ X y consideremos la acción
%
F : P0 × X → X
(g, P ) 7→ gP g −1
está bien denida ya que el segundo teorema de Sylow nos asegura que todos los p-subgrupos de
Sylow son conjugados.
Por el lema fundamental tenemos que
|X| ≡p | FijX (P0 )|.
Sea T ∈ FijX (P0 ), observemos que gT g −1 = T para todo g ∈ P0 , es decir, P0 ⊆ NG (T ). Así P0
y T son p-subgrupos de Sylow de NG (T ) y el segundo teorema de Sylow nos permite deducir que
son conjugados, es decir, existe g ∈ NG (T ) tal que P0 = gT g −1 . Por lo tanto | FijX (P0 )| = 1 y en
consecuencia |X| ≡p 1.
Ahora denamos la acción
∗:G×X →X
(g, P ) 7→ gP g −1
Notemos que la acción F denida anteriormente es una restricción de ∗.
Nuevamente por el segundo teorema de Sylow la acción ∗ tiene una única órbita, pues todos los
p-subgrupos de Sylow son conjugados.
Por el lema 7 se tiene que el cardinal de una órbita, que en nuestro caso es todo X , es exactamente
[G : Gx ], pero el indice siempre divide al orden del grupo, por lo tanto el el número de p-subgrupos
de Sylow divide al orden del grupo.
Instituto de Matemáicas, Universidad Nacional Autónoma de México
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