Teoría - OCW Usal

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Teoría - OCW Usal

Transparencias de clase
Introducción
Errores
Aproximación de raíces
Interpolación
Resolución Numérica de EDO’s
Ecuaciones diferenciales ordinarias: EDO’s
Una ecuación diferencial ordinaria de orden k es una
relación entre la variable independiente x, la variable
dependiente y(x), y las sucesivas derivadas de esta última
hasta el orden k, y′(x),y′′(x),…,yk(x).
o bien
Se puede escribir : F ( x, y ( x), y '( x),..., y ( k ( x)) = 0
dy
(k
( k −1
y = f ( x, y ( x), y '( x),..., y ( x)) y ' = f ( x, y ) ⇔
= f ( x, y )
dx
Una ecuación en derivadas parciales es una relación del
tipo:
∂u ∂u ∂ 2u
... ) = 0
F =( x, y ( x), u ( x, y ), , ,
Introducción
Errores
Interpolación
Definición: Se denomina solución de una EDO de primer
orden, y′ = f (x,y), a toda función y = s(x) tal que satisface la
siguiente igualdad: y ' = f ( x, s( x))
Definición: Se denomina solución general de una EDO
de primer orden, y′ = f (x,y), a toda función y=s(x,C), donde
C∈ℝ, tal que satisface la siguiente igualdad: f (x,s(x,C))=y′
Para cada valor concreto de la constante C se obtendrá
una solución particular de la EDO.
∂x ∂y ∂x∂y
Departamento de Matemática Aplicada
Cálculo Numérico
Introducción
Errores
Interpolación
Definición: Se denomina sistema de ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden a una relación
del tipo:
y1' = f1 ( x, y1 , y2 ,..., ym )
y ' = ( y '1 , y '2 ,..., y 'm )
y = f 2 ( x, y1 , y2 ,..., ym )
'
2
y = ( y1 , y2 ,..., ym )
...
ym' = f m ( x, y1 , y2 ,..., ym )
f = ( f1 , f 2 ,..., f m ) : RxR m→ Rm
y ' = f ( x, y ) ⇒( y '1 , y '2 ,..., y 'm ) =
= ( f1 ( x, y1 , y2 ,..., ym ), f 2 ( x, y1 , y2 ,..., ym ),... f m ( x, y1 , y2 ,..., ym )
Cálculo Numérico
Introducción
Errores
Interpolación
Cálculo Numérico
Introducción
Errores
Interpolación
Definición: Se llama problema de Cauchy ó problema del
valor inicial (PVI) al conjunto formado por una EDO y una
condición inicial:
y ' = f ( x, y ), x ∈ [a, b]
{
y0 = y ( x0 )
• Métodos de paso simple o unipaso: Se calcula y(xi+1) a
partir de la información proporcionada por y(xi).
• Métodos de paso múltiple o multipaso: Se calcula y(xi+1) a
partir de la información proporcionada por los valores
y(xi), …, y(xi-p), y del teorema fundamental del cálculo,
x
según el cual:
y ( xi ) = y ( x j ) +
Introducción
Errores
Interpolación
∫ f ( x, y) dx
j
xi
Cálculo Numérico
Sistemas acoplados
Notación
xi = x0 + hi; 0 ≤ i ≤ n
b−a
h=
n
y(xi) = valor exacto
yi= valor aproximado
Error global: en el paso i-ésimo viene dado por Ei = y(xi) - yi.
Error local: en el paso i-ésimo es ei = ŷ (xi) – yi, donde ŷ(xi) es
la solución exacta del siguiente PVI:
y ' = f ( x, y )
)
(El error cometido en cada paso)
yi −1 = y ( xi −1 )
{
Cálculo Numérico
A.H.Encinas & Araceli Queiruga Dios
Definición: Se dice que un sistema está acoplado cuando
las funciones fi = yi′ dependen de todas las variables. En
otro caso se dice que el sistema está desacoplado.
Definición: Se llama solución del sistema acoplado a una
lista de funciones tales que al sustituirlas en el sistema se
obtenga una identidad.
Cálculo Numérico
1
Introducción
Errores
Interpolación
Definición: Dado un sistema de ecuaciones, si todas las
condiciones impuestas se refieren al mismo punto
tendremos un problema de valor inicial o problema de
Cauchy:
y (a) = η
1
1
...
ym ( a ) = η m
Definición: Si las condiciones impuestas se refieren a
diferentes puntos el problema se llama problema de
contorno.
Cálculo Numérico
Introducción
Errores
Interpolación
Definición: Un método numérico es una ecuación en
diferencias que contiene un cierto número de
aproximaciones sucesivas y consecutivas yn+j que permiten
calcular secuencialmente la sucesión yn.
Clasificación: Si llamamos fn = f (xn, yn) y tenemos yn, yn+1,
yn+2, ..., yn+k, llamamos k al número de paso del método
numérico.
• Si k=1, es un método de paso simple o unipaso. Si k>1,
se llama método de paso múltiple o multipaso
• Si se puede calcular explícitamente el término más alto
Método explícito, sino Método implícito.
Cálculo Numérico
Introducción
Errores
Interpolación
Teorema de DAHLQUIST (1956): La condición necesaria y
suficiente para que un método numérico sea convergente es
que sea consistente y sea cero-estable.
yn
→
h→0
Ecuaciones diferenciales de orden superior
En general una ecuación diferencial de orden superior se
transforma en un sistema de ecuaciones de primer orden.
Teorema de existencia y unicidad de Picard
Enunciado: Sea U un abierto de Rⁿ y f : (a,b) × Rⁿ→Rⁿ
una aplicación diferenciable.
Dado un punto y0∈U, para cada x0 ∈(a,b) y para todo ɛ >0,
suficientemente pequeño, existe una única función
h : [x0-ɛ, x0+ɛ]→B(y0,r) solución del problema de valor inicial
(P.V.I.) cuyo sistema es: y ' = f ( x, y )
y ( x0 ) = y0
Introducción
Errores
Interpolación
Cálculo Numérico
Definición: Un método numérico se dice que es lineal
cuando aparecen únicamente combinaciones lineales de
yi, los coeficientes de éstas son números y no funciones
∑
α j yn + j = hφ f ( yn + k , yn + k −1 ,..., yn , xn , h )
j = 0, k
1. Si f ≡ 0⇒φ f = 0.
2. φ f ( yn + k , yn+ k −1 ,..., yn , xn , h ) − φ f ( y*n+ k , y *n+ k −1 ,..., y*n , xn , h )
≤
≤ M ∑ yn+ j − yn*+ j
j = 0, k
Introducción
Errores
Interpolación
Cálculo Numérico
Cero-estabilidad
Definición: Se llama polinomio característico del método
numérico al polinomio cuyos coeficientes son los αj: p ( x) =∑ α j x j
Definición: La ecuación característica del método será:
y (xn)
j = 0, k
p ( x ) =∑ α j x j = 0
Definición: Un método numérico es cero-estable (estable)
cuando pequeñas perturbaciones de las condiciones iniciales
del problema, producen pequeñas perturbaciones de la
solución.
Introducción
Errores
Interpolación
Cálculo Numérico
j = 0, k
Teorema: La condición necesaria y suficiente para que un
método numérico sea cero-estable es que todas las raíces del
polinomio característico sean de módulo ≤ que 1, y las de módulo
1 deben ser simples (i.e., no pueden ser raíces de la derivada).
Cálculo Numérico
2
Introducción
Errores
Interpolación
Introducción
Errores
Interpolación
Consistencia
Métodos de paso simple
Métodos de paso simple
∑ α j yn+ j = hφ f ( yn + k , yn + k −1 ,..., yn , xn , h )
yn
j = 0, k
→
h→0
y (xn)
∑ α j y ( xn + j ) − hφ f ( y ( xn + k ), y ( xn + k −1 ),..., y ( xn ), xn , h ) = Rn + k
Se calcula y(xi+1) a partir de la información proporcionada
por y(xi).
Métodos de Taylor
j = 0, k
Error de truncamiento local
Métodos de Runge-Kutta
Definición: Un método numérico es consistente si:
lim
h→0
{
Rn + k
=0
h
p (1) = 0
y '( xn ) =
φ f ( y( xn ), y ( xn ),... y ( xn ), xn , 0)
p '(1)
Cálculo Numérico
Introducción
Errores
Interpolación
Métodos de paso simple: M. Taylor
Métodos de Taylor
2
n
h
h n
y ''( xi ) + ... +
y ( xi ) + Rn ; h = xi +1 − xi
2!
n!
h2
h n n −1
y ( xi +1 ) = yi + hf ( xi , yi ) +
f '( xi , yi ) + ... +
f ( xi , yi ); h = xi +1 − xi
2!
n!
Cálculo Numérico
Introducción
Errores
Interpolación
Métodos de paso simple: Runge-Kutta
Definición: Se define el método general de Runge-Kutta
de s etapas para el problema de valor inicial
y ' = f ( x, y )
y ( x0 ) = y0
y ( xi +1 ) = y ( xi ) + hy '( xi ) +
}
f : RxR m → R m
yn +1 = yn + h ∑ bi ki
por la expresión:
i = 1, s
Método de Euler: yi +1 = yi + hf ( xi , yi )
donde
ki = f
(x
n
+ ci h, yn + h ∑ aij k j
j = 1, s
)
i = 1,..., s
2
Cota del error local:
ei ≤
hM
; M = sup y '' (ξ )
2
ξ ∈ ( xi−1 , xi )
Llamamos
ci = ∑ aij
i = 1,..., s
j = 1, s
Introducción
Errores
Interpolación
Cálculo Numérico
Introducción
Errores
Interpolación
Cálculo Numérico
Diagrama o Esquema de Butcher
Teorema. La condición necesaria y suficiente para que un
c1
c2
a11
a21
a12 ... a1s
a22 ... a2 s
0
c2
0
a21
...
...
...
cs
a s1
b1
as 2 ... ass
b2 ... bs
...
cs
...
as1
... ... ...
as 2 ... 0
Definición: Se llama error de truncamiento local, y se
b1
b2
representa por Tn+1 a la siguiente expresión:
...
...
0
0
...
...
0
0
... bs
método de Runge-Kutta de s etapas sea convergente es
que b0 + b1 + ... + bs =1
Tn+1 = y (xn+1) - yn+1, suponiendo que yn = y(xn), es decir
métodos explícitos o clásicos de Runge Kutta.
Cálculo Numérico
que es exacto en la etapa anterior.
Cálculo Numérico
3
Introducción
Errores
Interpolación
Introducción
Errores
Interpolación
Método general de Runge-Kutta
yn+1 = yn+ h ∑ biki
ki = f
j = 1, s
(x
n
Métodos de Runge Kutta de 2 etapas:
+ ci h, yn + h ∑ aij k j
j = 1, s
Método modificado de Euler
0 0 0
)
1
yn +1 = yn + hk2
0
2
0 1
Método mejorado de Euler
1
2
b1 = 1
Método de Runge Kutta de 1 etapa: (s = 1)
yn +1 = yn + hf
Métodos de Runge Kutta de 2 etapas: (s = 2)
b1 + b2 = 1
0
0
0
1
b2 c2 =
2
1
1
0
1
2
1
2
Métodos de Runge Kutta de 3 etapas:
Método de Kutta de tercer orden
b1 + b2 + b3 = 1
1
2
1
2
2
b2 c2 + b3c3 =
3
1
a32b3c2 =
6
0
1
2
1
0
0
0
0
1
3
2
3
1
3
0
0
0
2
3
0
0
3
4
1
4
k2 = f
{
h
( k1 + k2 )
2
Introducción
Errores
Interpolación
b2 c2 + b3c3 =
yn +1 = yn +
{
k1 = f ( xn , yn )
0 0
1
0
2
−1 2
0
1
6
1
6
2
3
0
( x + h2 , y + h2 k )
n
n
1
k1 = f ( xn , yn )
k2 = f ( xn + h, yn + hk1 )
Cálculo Numérico
Introducción
Errores
Interpolación
Cálculo Numérico
Ejercicio: Resolved mediante un método de Runge Kutta
de orden 3, el siguiente P.V.I, comparando el resultado
con los obtenidos antes:
1 y
− − y2
x2 x
y (1) = −1
0
y'=
1≤x≤2
Método de Heun de tercer orden
Cálculo Numérico
Introducción
Errores
Interpolación
Introducción
Errores
Interpolación
Métodos de Runge Kutta de orden 4:
h
yn+1 = yn + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )
6
0
0
1
2
1
2
1
1
2
k1 = f ( xn , yn )
0
( x + h2 , y + h2 k )
h
h
= f ( x + ,y + k )
2
2
k2 = f
0
1
2
0
1
0
1
6
1
3
1
3
1
6
0
0 ≤ i ≤ n −1
0
k3
n
n
n
n
k4 = f ( xn + h, yn + hk3 )
Cálculo Numérico
1
2
Cálculo Numérico
Métodos multipaso
• Métodos de paso simple o unipaso: Se calcula y(xi+1) a
partir de la información proporcionada por y(xi).
• Métodos de paso múltiple o multipaso: Se calcula y(xi+1)
a partir de la información proporcionada por los valores
y(xi), …, y(xi-p), y del teorema fundamental del cálculo,
x
según el cual:
y ( xi ) = y ( x j ) + ∫ f ( x, y )dx
j
xi
xp+1
[ x p −k , x p +1 ]
y ( x p +1 ) = y ( x p − k ) + ∫ x f ( x, y ) dx
p-k
Se sustituye f (x, y) por un polinomio de interpolación.
Cálculo Numérico
4
Introducción
Errores
Interpolación
Métodos multipaso: Adams-Bashford
Métodos de Adams-Bashford
Introducción
Errores
Interpolación
Métodos multipaso
Métodos de predicción-corrección
Corresponden al caso en el que k = 0
xp+1
y ( x p +1 ) = y ( x p ) + ∫x Pq ( x )dx
Utilizan de modo combinado dos métodos multipaso.
p
y ( x p +1 ) = y ( x p ) + h( A0 f p + A1 f p −1... + Aq f p − q ) 0 ≤ p ≤ n-1
1. Orden 2: q = 1
xp+1
y ( x p +1 ) = y ( x p − k ) + ∫x f ( x, y ) dx
p-k
xp+1
y p +1 = y p +
y ( x p +1 ) = y ( x p ) +∫x P1 ( x )dx
p
h
( 3 f p − f p−1 )
2
xp+1
1. Orden 4: q = 3
y ( x p +1 ) = y ( x p ) +∫x P3 ( x )dx
Es un método implícito, se necesita f p+1= f (xp+1,yp+1) para
calcular yp+1.
p
h
y p +1 = y p + ( 55 f p − 59 f p −1 + 37 f p − 2 − 9 f p −3 )
24
Cálculo Numérico
Introducción
Errores
Interpolación
Métodos multipaso
Métodos de predicción-corrección
Este obstáculo se salva de la siguiente manera:
1. Se calcula por algún método explícito una primera
estimación y p+1 de yp+1, (valor predicho de yp+1). La fórmula
que lo proporciona se denomina fórmula predictora.
2. Dada una estimación y p+1, se calcula f p+1 = f (xp+1, yp+1), y
una nueva estimación para ỹp+1. La fórmula que lo
proporciona se denomina fórmula correctora
Introducción
Errores
Interpolación
Cálculo Numérico
Métodos multipaso: Predicción-Corrección
Métodos de Adams- Moulton de orden 4:
xp
y p = y p −1 + ∫x f ( x, y )dx
p-1
La fórmula predictora es la de Adams-Bashford de orden 4
y p +1 = y p +
h
(55 f p − 59 f p−1 + 37 f p−2 − 9 f p −3 )
24
La fórmula correctora es:
y% p +1 = y p +
h
( 9 f p+1 + 19 f p − 5 f p−1 + f p−2 )
24
Cálculo Numérico
Cálculo Numérico
Introducción
Errores
Interpolación
Método de predicción-corrección de orden 2.
En este método la fórmula predictora que se utiliza es la
fórmula de Adams-Bashford de orden 2:
y p +1 = y p +
h
( 3 f p − f p−1 )
2
La fórmula correctora que se usa viene dada por la siguiente
expresión:
y% p +1 = y p +
h
( f p+1 − f p )
2
Introducción
Errores
Interpolación
Cálculo Numérico
Métodos de Milne de orden 4
La fórmula predictora es la dada por un método multipaso
de orden 4 con p=3
y p +1 = y p −3 +
4h
( 2 f p − f p −1 + 27 f p−2 )
3
La fórmula correctora utiliza un método multipaso con p=1
y r = 2:
y% p +1 = y p −1 +
h
( f p+1 + 4 f p + f p−1 )
3
Cálculo Numérico
5
Introducción
Errores
Interpolación
Observaciones:
Observaciones:
Métodos multipaso:Predicción-Corección
1. Existen otros métodos multipaso derivados de la integración
numérica:
• Método de Nyström
• Método de Milne-Simpson generalizado
2. Existen métodos multipaso sustituyendo f (x, y) por otro tipo
de polinomios, especialmente para enfrentarse a
ecuaciones diferenciales cuya solución tiene componentes
altamente oscilatorios, como polinomios trigonométricos, es
decir, aproximando f(x,y(t)) por funciones exponenciales
convenientes
Introducción
Errores
Interpolación
Cálculo Numérico
Métodos multipaso:Predicción-Corección
Existen también métodos basados en derivación numérica,
sustituyendo y(x) por un polinomio de interpolación y
derivándolo en y′(x) = f (x, y(x))
Cálculo Numérico
6

Teoría - OCW Usal

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