Caracterización Experimental del Sistema de Propulsión de un Mini

Transcripción

2do Simposio Mexicano en Vehículos Aéreos No Tripulados,
29 y 30 de septiembre de 2014, Veracruz, Ver.
Caracterización Experimental del Sistema de Propulsión de un
Mini-Vehículo-Aéreo
R. Fabela, C. Santana, A. Naranjo, L. Amezquita-Brooks, E. Liceaga-Castro, J.U. Liceaga-Castro#
Universidad Autónoma de Nuevo León
Facultad de Ingeniería Eléctrica y Mecánica-Centro de Investigación e Innovación en Ingeniería Aeronáutica
Monterrey, Nuevo León
# Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Azcapotzalco, Cd. de México
[email protected], [email protected]
Resumen—Los micro vehículos multirotor han tomado la
atención de muchas y diferentes aplicaciones civiles y militares.
En este contexto los algoritmos de navegación y estabilidad son
componentes cruciales para asegurar la operación de los
vehículos. Por lo que un programa experimental siempre será
requerido con el fin de sintonizar numerosos sistemas. Por lo
tanto, es necesario tener modelos matemáticos adecuados así
como herramientas de diseño que nos permitan acceso a las
capacidades de operación de vehículo antes de ponerlo en vuelo
de manera real. Esto nos permitirá reducir costos así como los
riesgos de mano de obra. Los sistemas de propulsión en un
vehículo multirotor es uno de los componentes más complejos
debido a distintos factores como la aerodinámica o la geometría
del vehículo. Normalmente, los sistemas de propulsión son
modelados
con aproximaciones las cuales
pueden estar
omitiendo características dinámicas importantes o carecen de un
proceso claro de caracterización. En este artículo se evalúa y
caracteriza el modelo simplificado del sistema de propulsión de
un quad-rotor experimentalmente. Esta comparación permitirá
juzgar la manera correcta de utilizar dicho modelo de propulsión
simplificado en la etapa de diseño de navegación y estabilización
del sistema. Finalmente, el proceso propuesto podrá ser utilizado
para distintas configuraciones permitiendo una comparación
experimental directa de diferentes esquemas de propulsión sin la
necesidad de un vuelo real.
Palabras Clave— Small-Micro UAV, Sistemas de Propulsión,
Vehículos Multirotor
Introduccion
Los mini vehículos aéreos no tripulados han tomado la
atención de diferentes aplicaciones civiles y militares. Distintas
configuraciones multirotor han sido utilizadas de manera
exitosa. Quad-rotors y tri-rotors son algunas de las
configuraciones más comunes [9-11]. Sin embargo, existen
muchas otras configuraciones. Por ejemplo, en [12-14]
distintas configuraciones de tri-rotors son estudiadas, mientras
que en [15]
se presenta un vehículo mono-rotor.
Adicionalmente, existen distintas configuraciones alternativas
de sistemas de propulsión que también podrían ser utilizadas
como el vehículo cyclo-copter presentado en [16]. Toda esta
variedad en las configuraciones de los sistemas de propulsión
nos lleva a la necesidad de herramientas apropiadas para
análisis y pruebas.
Por otra parte los algoritmos de navegación y estabilidad
son cruciales para asegurar la confiabilidad y seguridad del
vehículo, ya que estos algoritmos están muy asociados con la
configuración del sistema de propulsión. Por ejemplo, la
configuración tradicional de un quad-rotor utiliza la conocida
estrategia mostrada en la Fig. 1 para la activación de sus
cuatro rotores. Es decir, con el fin de inducir el momento
deseado (primeros 2 casos) o elevación (tercer caso). Las 4
hélices se activan con un patrón específico. Por otra parte,
nuevas configuraciones requieren distintas estrategias [20] con
el fin de obtener una adecuada optimización del vehículo.
Fig. 1. Patron de Activacion para un quad-rotor tradicional (una flecha
mas larga indica un incremento en la velocidad de la helice)
No obstante, un procedimiento efectivo de diseño requiere el
uso de modelos matemáticos adecuados y herramientas de
diseño que nos permitan acceso a la dinámica del vehículo
antes de cualquier vuelo real. Esto permitirá reducir costos,
mano de obra y experimentos riesgosos.
Los sistemas de propulsión en los vehículos multirotor es
uno de los componentes más complejos debido a los distintos
factores involucrados, como la aerodinámica, balance
mecánico y geometría del vehículo. No obstante, en estos
sistemas es comúnmente utilizada una aproximación de un
modelo estático simple y simétrico por lo que se pueden estar
dejando a un lado características dinámicas importantes.
Además, el procedimiento de caracterización experimental para
determinar los parámetros del modelo simplificado
normalmente carece de datos. Si bien esta práctica puede ser
justificada, es decir,
se pueden omitir las dinámicas
adicionales, siempre y cuando se utilize un método de
experimentación adecuado.
Este artículo presenta la evaluación experimental del
sistema de propulsión de un quad-rotor. Los resultados
1
obtenidos permitirán determinar las diferencias entre el modelo
simplificado y las mediciones experimentales. A través de esta
experimentación encontramos
que existen importantes
aspectos dinámicos que no son normalmente tomados en
cuenta en un modelo tradicional.
El procedimiento propuesto puede ser utilizado con
diferentes configuraciones de rotores, permitiendo realizar una
comparación directa de los diferentes esquemas de propulsión,
sin la necesidad de un vuelo completamente real.
Modelo Dinamico Tradicional de un Quad-rotor
El quad-rotor puede ser modelado utilizando las ecuaciones
de movimiento de un cuerpo rígido. Es decir, considerando la
dinámica trasnacional y rotacional en el marco de referencia
inercial, el cual está alineado al marco de referencia del
vehículo y en base a la regla de la mano derecha (Fig. 2). Para
este caso, las ecuaciones de Newton-Euler de movimiento
están dadas por [17, 18, 19]:
mV&b + mωb × Vb = Fb
J ω&b + ωb × ( J ωb ) = Mb
T
Donde Vb = [u v w]
T
y ωb = [ p q r ]
(1)
(2)
son las velocidades
angulares y lineales de los vectores, Fb = [ Fx Fy Fz ] es el
vector de fuerzas externas, m es la masa, J es la matriz de
momentos de inercia M b = [ M p M q M r ] es el vector de
momentos externo.
F1
Donde S es el área del disco de la hélice, CT es el coeficiente de
empuje, ρ es la densidad del aire y ω es la velocidad angular
de la hélice [19].
La velocidad angular de cada hélice es una señal variante
en el tiempo que depende de distintos factores incluyendo la
fuente de alimentación del motor y la carga aerodinámica. La
aproximación más común para modelar esta velocidad consiste
en negar la dinámica producida por carga aerodinámica y el
transitorio del motor electrico, el cual se asume que es más
rápido que la dinámica principal del vehículo. Por lo que, la
velocidad angular de la hélice se considera como:
ωi = kVi
Donde k es una constante que es caracterizada para cada
combinación de hélice-motor.
La ecuación (4) asume que la hélice es operada mediante
un motor de DC con una Fuente de voltaje continua. Sin
embargo, en la práctica, las hélices son operadas con motores
de DC sin escobillas y son controlados mediante un módulo de
ancho de pulso (PWM) el cual tiene si propia dinámica [21].Se
considera normalmente
que con una frecuencia de
conmutación lo suficientemente grande, la relación entre el
PWM y el promedio resultante de voltaje estaría dado por[21]:
Vi = VdcUi
Combinando (3)-(5) se tiene que:
Fi = k f Ui 2
Donde k f =
T2
F4
p
xb
yb
T4
F3
r
zb
Fig. 2 Configuración de Hélices del Quad-rotor.
Las ecuaciones (1)-(2) deben ser complementadas con el
modelo del sistema de propulsión y la aerodinámica del
vehiculo. Para el sistema de propulsión típico de un quad-rotor
se deriva la siguiente ecuación.
El trust para cada hélice está dado por:
F=
1
2
ρ SCT (ω )
2
(6)
1
2
ρ SCT ( kVdc ) .
2
La ecuación (6) tiene la ventaja de ser muy simple debido
a que kf es una constante que puede ser caracterizada
experimentalmente sin requerir todos los parámetros del
sistema.
q
T3
l
(5)
Donde Vdc es el voltaje del bus de DC del módulo PWM y
U i ∈ [0, 1] es el índice de modulación.
F2
T1
(4)
(3)
Cada hélice induce un momento reactive debido a la
aerodinámica producida por el arrastre. De manera similar que
la fuerza de empuje (6), este modelo es normalmente obtenido
del siguiente modelo simplificado:
Ti = kmU i 2
(7)
Donde km es una constante similar a kf.
Considerando el arreglo de hélices mostrado en la Fig. 2 y
la eq. (6), las fuerzas y momentos totales inducidas por el
sistema de propulsión tenemos que:
2
⎡ Fz ⎤ ⎡ −k f
⎢ M ⎥ ⎢ 0
⎢ p ⎥ = ⎢
⎢ M q ⎥ ⎢ kt
⎢
⎥ ⎢
⎣ M r ⎦ ⎣ −km
−k f
− kt
0
km
−k f
0
− kt
−km
−k f ⎤ ⎡U12 ⎤
⎡U12 ⎤
⎢ 2 ⎥
⎢ 2 ⎥
⎥
kt ⎥ ⎢U 2 ⎥
⎢U 2 ⎥ (8)
=
P
⎢U 32 ⎥
0 ⎥ ⎢U 32 ⎥
⎢ 2 ⎥
⎥ ⎢ 2 ⎥
km ⎦ ⎢⎣U 4 ⎥⎦
⎢⎣U 4 ⎥⎦
Donde kt = l k f es la constante que determina el torque
debido al empuje de cada motor.
La ecuación (8) permite calcular las fuerzas y momentos
resultantes para cualquier hélice actuando en un motor.
Adicionalmente, la matriz de propulsión P es invertible por lo
que es posible calcular los voltajes requeridos para cualquier
fuerza de empuje requerida así como los momentos presentes
en el vehículo, es decir, [Fz Mp Mq Mr]T. Esta estrategia se
traduce de forma natural al patrón de activación de cada hélice
Fig. 1.
Plataforma Experimental
En general la ecuación (8) es aceptada como un modelo de
propulsión adecuado. No obstante, existen distintos
componentes que se han despreciado. Por ejemplo:
•
Dinámica del Controlador del Motor: En la ecuación
(8) no se consideran los transitorios del controlador del
motor.
•
Hélices y motor desbalanceados: Estos desbalances
inducen vibraciones, si no se controlan, puede inducir
oscilaciones debido a la sensibilidad del controlador.
•
Hélice y motor desalineados: En la ecuación (8) se
asume que el sistema de propulsión está alineado como
en la Fig. 2. Cada mala alineación o cambio en el
centro de gravedad del vehículo introduce cambios en
la matriz.
•
Fuerzas aerodinámicas: Fuerzas y momentos
aerodinámicos y giroscópicos. Por ejemplo,
desplazamientos de la pala sobre los planos
perpendiculares al plano de rotación: flapping and
lead-lag [22-23].
Las fuerzas aerodinámicas adicionales aparecen solo en
presencia de movimientos traslacional y rotacional del
vehículo. En este artículo, solo se consideraron mediciones
estacionarias. En próximos reportes se cubrirán vuelos no
estacionarios.
Con el fin de medir las fuerzas y momentos producidas por
el sistema de propulsión se implementó un banco de pruebas
(Figs. 3 and 4). Este banco de pruebas está compuesto por:
•
•
Cuatro controladores de
manipulación de los motores.
velocidad
•
Sistema de adquisición basado en National Instruments
hardware.
•
Una seria de celdas de carga radiales y traslacionales
localizadas en cada eje con el fin de medir todos los
momentos y fuerzas.
Propulsion system
Sensor system
Data processing and
filtering
Data acquisition
para
la
3
10
2
10
1
10
0
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Fig. 3. Diagrama de Bloques del banco de pruebas experimental
Todas las variables fueron capturadas utilizando una
frecuencia de muestreo de 20kHz.
Caracterizacion de los modos de vibracion del Banco
de Pruebas
La interacción entre el Sistema de propulsión con los
soportes de la base inducen momentos de vibración. Estas
vibraciones pueden interactuar con los mecanismos
desbalanceados de motor-hélice; como consecuencia,
vibraciones adicionales que no son representativas del sistema
de propulsión pueden aparecer. En esta sección se presenta la
caracterización de los modos de vibración del banco de
pruebas.
En [24] se muestra que la respuesta en frecuencia de un
vehículo quad-rotor, debida las fuerzas y momentos externos
Mb and Fb, pueden ser aproximados por una serie de dobles y
cuádruples integradores. Debido que los integradores tienen
una respuesta en frecuencia baja, solo las fuerzas y momentos
de baja frecuencia inducida por desbalances en las hélices y el
motor son relevantes para el control del vehículo y la
estabilidad. Por ejemplo, para un micro quad-rotor el ancho de
banda de estos integradores es menor a 100rad/s = 628 Hz.
Por lo que solo los modos debajo de estas frecuencias (menores
a (300Hz)/2*π= 48 rad/s) son estudiados aquí.
Cuatro hélices y motores para un quad-rotor típico con
una configuración estándar en X.
3
Caracterisacion de la Vibracion del Sistema de
Propulsion
En esta sección la caracterización de las vibraciones
inducidas por el Sistema de propulsión serán estudiadas
utilizando el banco de pruebas.
Se realizó una serie de experimentos, en los cuales se
mantuvo una hélice a velocidad constante. En la Fig. 6 se
muestra el contenido de frecuencia acumulativa para bajas
frecuencias, mientras que en las Fig. 7 and 8 se muestra el
contenido para altas frecuencias.
Fig. 4. Experimental test bench
La frecuencia acumulativa de Fz considerando una
respuesta impulso para el banco de pruebas se obtiene
utilizando la transformada rápida de fourier (FFT) (Fig. 5).
Descartando el ruido de la línea eléctrica (60Hz) y su tercer
armónico (180Hz) el banco de pruebas tiene dos modos de
vibración de baja frecuencia a 42Hz y a 64Hz. En la Fig. 4
también se muestra que el Segundo modo (64Hz) tiene un
fuerte contenido armónico (128Hz) mientras que el primero
tiene un bajo contenido armónico
Fig. 6. Contenido de frecuencias bajas acumulativas para una serie de
experimentos a velocidad constante.
Se obtuvieron resultados similares para los otros dos ejes
del banco de pruebas. En particular, se encontró que en el eje y
y x está presente un modo de vibración adicional alrededor de
24Hz. En la siguiente sección se mostrara el análisis para
determinar las vibraciones inducidas por las hélices y las
correspondientes a los modos de vibración del banco de
pruebas.
Fig. 7. Contenido de frecuencia acumulativa a frecuencias medias.
(A-baja velocidad, E alta velocidad)
Fig. 5 Frecuencia acumulativa contenida en la respuesta al
impulse para el eje z del banco de pruebas con el Sistema de
propulsión apagado.
4
Caracterisacion del sistema de propulsion
Comparacion
Fig. 8. Contenido de frecuencia acumulativa a frecuencias altas. (Abaja velocidad, E alta velocidad)
Para el rango de bajas frecuencias esta claro que los
componentes tienen baja amplitud fuera del ancho de banda de
los esfuerzos de control del sistema. También se observa que
las variaciones de los esfuerzos de control que se presentaron
en los experimentos son debido al ruido en los sistemas de
comunicación del controlador del motor.
En el caso de la vibraciones a frecuencias medias se pueden
reconocer fácilmente los componentes en la Fig. 7. En esta
figura la secuencia de los experimentos se denota como A-BC-D-E donde A es el experimento a velocidad baja y E a
velocidad alta. Está claro que la vibración de los componentes
es debida a los sistemas de propulsión ya que los picos de
frecuencia van de una frecuencia baja a una más alta. En el
experimento A, se pueden observar dos picos a 90Hz y 140Hz.
Estos dos picos se mueven uniformemente a la derecha en los
siguientes experimentos. En el experimento C aparece una
componente a una baja frecuencia de 52Hz. Esta componente
excita el modo de vibración del banco de pruebas localizado
alrededor de 70Hz. En el experimento D la tercera componente
de baja frecuencia está muy cerca de la frecuencia de
resonancia del banco de pruebas por lo que induce un pico de
gran amplitud. Finalmente, en el experimento E, la tercera
componente de baja frecuencia se mueve a la derecha
alejándose de la banda de resonancia del banco de pruebas.
Finalmente, en la Fig. 8 se muestra que para altas
frecuencias podemos negar el nivel de vibraciones.
Los experimentos de esta sección confirman la existencia
de una resonancia principal alrededor de 70Hz, como se
predijo en la sección anterior. Adicionalmente, los
experimentos demostraron que los propulsores inducen una
vibración de baja frecuencia, la cual puede despreciarse en este
estudio. Las componentes de vibración inducidas por el sistema
de propulsión se encuentran en una banda que va de 80Hz180Hz. El pico de resonancia del banco de pruebas alrededor
de 70Hz no permite trazar una conclusión apropiada de las
vibraciones inducidas por el sistema de propulsión alrededor de
esta frecuencia.
y
En esta sección se evalúan los parámetros de la matriz (8).
Cada parámetro de la matriz (i.e. kf, km and kt) es identificado
utilizando mínimos cuadrados con tres diferentes maniobras.
Estas maniobras fueron ejecutadas por un controlador
embebido en un quad-rotor típico. En todos los casos las
fuerzas y momentos medidos fueron filtradas utilizando un
filtro pasa bajas digital de 2° orden. De acuerdo con en análisis
de vibraciones, este filtro nos permite eliminar las vibraciones
producidas por el banco de pruebas y las hélices preservando la
información principal de baja frecuencia.
Tabla I: Parametros Identificados
Parameter
Value
kf
0.128
kt
0.051
km
0.0045
La constante principal de empuje, kf , fue caracterizada con
un incremento coordinado de las RPM de todos los motores.
Esto resulta en un movimiento de levantamiento. La constante
kf contiene la información de la hélice, el motor y el
controlador electrónico de velocidad combinados en un mismo
parámetro. La Figura 9 muestra las fuerzas medidas en este
experimento así como las fuerzas simulada Fz. En el modelo
(8) se indica que Ux=Uy=0 para cualquier entrada. Los
momentos medidos y simulados para este experimento se
muestran en la Fig. 10, donde los índices normalizados de
modulación producidos por los controladores del motor se
presentan en la Fig. 11. Estas figuras muestran que Fz
contiene características de transición que no están presentes en
el modelo (8). Sin embargo, el nivel y forma de la fuerza
principal están correctamente modelados. Adicionalmente, las
fuerzas en los otros ejes pueden ser ignoradas como se predijo
en el modelo. En el caso de los torques, las componentes Mp y
Mq son significativamente diferentes esto puede ser debido a
una desalineación en los motores. Sin embargo la mayoría de
estos torques se encuentran en un nivel bajo.
5
medidos. Sin embargo, utilizar un solo parámetro para ambas
componentes del torque resulta insuficiente. Por ejemplo, Mp
es subestimada mientras Mq es sobreestimada. Este
experimento nos muestra que es necesario un modelo con
mayor grado de libertad.
Fig. 9. Fuerza medida y simulada en la maniobra de empuje.
Fig. 12. Fuerza medida y simulada para la maniobra de cabeceo.
Fig. 10. Torques medidos y simulados en la Maniobra de empuje.
Fig. 13. Torques medidos y simulados para la maniobra de cabeceo.
Fig. 11. Índices PWM normalizados para maniobra de empuje.
Los torques de cabeceo y alabeo son modelados por la
constante kt. Esta constante es caracterizada induciendo un
cambio en la maniobra de cabeceo. Debido a que el quad-rotor
opera en una configuración en “X”, Por ejemplo el “frente”
del vehículo está a 45o del eje x, por lo que las componentes
Mp y Mq son excitadas en esta maniobra. La figura 12 muestra
las fuerzas resultantes, mientras que en la Fig. 13 presenta los
torques resultantes y Fig. 14 incluye los índices de modulación
de PWM. Pequeños cambios en la fuerza de empuje fueron
predichos correctamente por el modelo (8) que carecen de la
dinámica de transición adicional. En el caso de los torques, el
modelo (8) es bastante preciso en forma general a los torques
Fig. 14. Índices PWM normalizados para la maniobra de cabeceo
Finalmente, el momento alrededor de la guiñada Mr es
modelado por la constante km, por lo que se induce una
maniobra en la guiñada para la caracterización de este
parámetro. Los resultados de este experimento se muestran en
las Figs. 15-17. Nuevamente esta maniobra induce cambios en
la fuerza principal de empuje, la cual el modelo (8) predice con
un margen de error. En el caso de los torques, la maniobra
6
induce un torque bastante grande en Mp y Mq, de los cuales el
modelo (8) predice con menor amplitud y careciendo de
algunos torques de bajo nivel. En el caso Mr el modelo predice
de manera precisa el torque medido. Sin embargo, el torque Mr
muestra vibraciones adicionales (que se notan incluso con el
filtro pasa bajas) que no son presentadas en el modelo.
Conclusiones
En este artículo se caracterizó el sistema de propulsión
complete de un vehículo quad-rotor típico. Esta caracterización
se realizó utilizando un banco de pruebas estático equipado con
distintos sensores de fuerza. También se realizó un estudio de
vibraciones para poder caracterizar los modos de vibración del
banco de pruebas así como las vibraciones inducidas por los
motores.
Se mostró que el modelo tradicional simplificado de un
quad-rotor captura de manera general las características de
propulsión de sistema, anqué existen fenómenos adicionales
que no son considerados por este modelo. Los experimentos
mostraron que las diferencias principales son:
•
Las vibraciones en los sistemas de propulsión están fuera
del ancho de banda relevante del vehículo. Sin embargo,
se debe tener cuidado en el diseño del sistema de control
tal que se tenga un alto rechazo a perturbaciones en la
banda de vibración, para este caso 80Hz-180Hz.
•
La dinámica no modelada que está en el rango relevante de
ancho de banda. La razón de estos efectos puede ser de
naturaleza aerodinámica, dinámica del controlador del
motor y mala alineación.
•
La carencia de los grados de libertad en el modelo del
sistema de propulsión. Esto puede ser debido a diferencias
en el mecanismo hélice-motor. En este caso se asume que
todos los motores y hélices son exactamente iguales pero
no lo son para este caso.
Fig. 15. Fuerzas medidas y simuladas para maniobra de guiñada.
Fig. 16. Torques medidos y simulados para la maniobra de guiñada.
El procedimiento presentado puede ser aplicado a otros
sistemas de propulsión complejos, lo que permitirá refinar las
especificaciones del sistema de control. Lo que se traducirá en
una mejora en las características de rechazo a perturbaciones.
Agradecimientos
Nos gustaria agradecer a [PROMEP-SEP project
103.5/13/6644] por apotar este proyecto de investigacion.
Fig. 17. Índices PWM Normalizados para la maniobra de guiñada
7
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Nuevo Leon. He is currently studing M.Sc in Aeronautics.
He is participating in different research and developing
project at the CIIIA, UANL.
Carlos Santana was born in Torreon city Mexico. He has a
first degree in Automation and Electronics Eng. (2009) from
the Universidad Autonoma de Nuevo Leon. Currently he is
a M.Sc student in Aeronautics. He held a senior design
officer position in HD Machining.
Angel Aryok Naranjo was born in Mexico City. He is
currently studying Eng. in Aeronautics at Universidad
Autonoma de Nuevo Leon. He is participating in different
research and developing project at the CIIIA, UANL.
Luis Amezquita-Brooks was born in Mexico City. He
received the B. Eng. in Electronic Systems (2003), the M.
Sc. in Control and Automation (2005), and the Ph. D. in
Autonomous Systems (2010) from the Instituto Tecnológico
y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM), Mexico.
He is currently a full time professor on the electrical and
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Advanced Studies (CINVESTAV) (1984), Mexico and the
Ph. D. from the department of aerospace engineering of the
University of Glasgow (1988), Scotland. He has held
academic posts at the University Carlos III (Spain), National
Polytechnic Institute (Mexico), Glasgow Caledonian
University (Scotland), Glasgow University (Scotland) and
Strahclyde University (Scotland). He is currently a full time
professor on the Universidad Autónoma de Nuevo León,
Mexico.
Jesus Liceaga-Castro was born in Mexico. He received the
B. Eng. in Electronic Engineering from the Iberoamericana
University (1985),Mexico, the M. Sc. degree on Automatic
Control from the Centre of Research and Advanced Studies
(CINVESTAV) (1988), Mexico and the
Ph. D. degree from the department of electronics and
electrical engineering of the University of Glasgow (1995),
Scotland.He was full time professor and leader of the
electric-machines-control research group at the Instituto
Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
(ITESM). He currently is a full time professor at the
Universidad Autónoma Metropolitana in the department of
electronic engineering.
Eduardo Licéaga-Castro was born in Mexico. He received
the B. Eng. in Aerospace Engineering from the National
8

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