Solución - IES Francisco Ayala
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Solución - IES Francisco Ayala
IES Francisco Ayala Granada Modelo 3 de COU I del libro_98_99 Solución Germán-Jesús Rubio Luna Análisis Ejercicio 1 Modelo 3 de COU I del libro_98_99 x Sea f : R → R la función definida por f(x) = e . (1) [1 punto]. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa, x = a. (2) [1 punto]. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f que es paralela a la recta de ecuación 2x - 2y + 1 = 0. (3) [1 punto]. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 0) y es tangente a la gráfica de f. Solución x Sea f : R → R la función definida por f(x) = e . (1) x Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = e , en el punto de abscisa x = a. La ecuación de la recta tangente (R.T.) en x = a es y – f(a) = f ‘(a)(x – a) x a f(x) = e , de donde f(a) = e . x a f ‘(x) = e , de donde f(a) = e . a a La R.T. en x = a es y – e = e . (x – a) (2) [1 punto]. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f que es paralela a la recta de ecuación 2x - 2y + 1 = 0. (2) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f que es paralela a la recta de ecuación 2x - 2y + 1 = 0. a a La R.T. en x = a es y – e = e . (x – a) Como es paralela a la recta 2x - 2y + 1 = 0, que en forma explícita es y = x + (1/2), sus pendientes son iguales. a La pendiente de la recta tangente es e . La pendiente de la recta y = x + (1/2), es y ‘ = 1. a Igualando pendientes tenemos e = 1, de donde a = Ln(1) = 0, por tanto me están pidiendo la R.T. en x = 0 0 0 que sería y – e = e . (x – 0), es decir y = x + 1 (3) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 0) y es tangente a la gráfica de f. La ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 0) es y – 0 = m. (x – 1). 1 Como es tangente a la gráfica de f el punto (1,0) su pendiente m es f ‘(1) = e , luego la recta pedida es y = e. (x – 1) Ejercicio 2 Modelo 3 de COU I del libro_98_99 2 x + x2 Sea f : R -> R la función definida por f(x) = representa la raíz cuadrada positiva. donde 2 (1) [1'25 puntos]. Estudia la continuidad y la derivabilidad de f en x = 0. (2) [1 punto]. Determina los intervalos de crecimiento de f. 3 (3) [0'75 puntos]. Calcula ∫ -3 [ 3.f(x) ] dx. Solución 2 x + x2 Sea f : R -> R la función definida por f(x) = donde √ , representa la raíz cuadrada positiva. 2 (1) 2 x + x2 Estudia la continuidad y la derivabilidad de f(x) = en x = 0. 2 -x si x < 0 Recordamos que (x)2 = |x| = , luego +x si x ≥ 0 x + x2 f(x) = 2 x + x2 f(x) = 2 nos que ver su 2 x-x 2 2 = 2 x+x 2 si x < 0 si x ≥ 0 0 = 2 x si x < 0 si x ≥ 0 2 , es continua en todo R por suma y producto de funciones continuas, por tanto sólo derivada en x = 0 [email protected] 1 IES Francisco Ayala Granada Modelo 3 de COU I del libro_98_99 Solución Germán-Jesús Rubio Luna 0 si x < 0 f(x) = 2 x si x ≥ 0 0 si x < 0 f '(x) = 2x si x > 0 + Veamos si f ‘(0 ) = f ‘(0 ) f ‘(0 ) = lim x -> 0- f ‘(x) = lim x -> 0- (0) = 0 + + f ‘(0 ) = lim x -> 0+ f ‘(x) = lim x -> 0+ (2x) = 0, como f ‘(0 ) = f ‘(0 ) = 0, existe f ‘(0) = 0 (2) Determina los intervalos de crecimiento de f. Estudiamos su primera derivada, puesto que la función es continua y derivable en todo R. 0 si x < 0 f '(x) = 2x si x ≥ 0 De f ‘(x) = 0, tenemos 2x = 0, de donde x = 0 Como f ‘(1) = 2 > 0, la función f(x) es estrictamente creciente si x > 0 0 si x < 0 Realmente viendo la función f(x) = 2 , se observa que para x < 0, es la constante 0, y para x si x ≥ 0 2 x > = 0, es la parábola x . (3) 3 Calcula ∫ -3 [ 3.f(x) ] dx. 3 0 -3 0 -3 2 ∫ -3 [ 3.f(x) ] dx = ∫ -3 [ 3.f(x) ] dx + ∫ 0 [ 3.f(x) ] dx = ∫ -3 [ 0 ] dx + ∫ 0 [ 3.x ] dx = 0 3 -3 = [ K ] -3 + [ x ] 0 = ( 0 ) + [ (– 27 ) – (0) ] = – 27. Ejercicio 3 Modelo 3 de COU I del libro_98_99 (1) [1 punto]. Enuncia el Teorema del Valor Medio de Lagrange. (2) [2 puntos]. De una función f : [2,5] → R se sabe que es derivable y que los valores mínimo y máximo de su función derivada f ' son, respectivamente, 7 y 9. Justifica razonadamente cuál o cuáles de los siguientes casos no pueden darse: (i) f( 2) = 6 y f( 5) = 8, ( ii) f (2) = 6 y f ( 5) = 30, ( iii) f( 2) = 6 y f( 5) = 300, Solución (1) Enuncia el Teorema del Valor Medio de Lagrange: Si f(x) es continua en [a,b] y derivable en (a,b) entonces existe al menos un nº c de (a,b) tal que f ´’(c)(b – a) = f(b) – f(a), que a veces se suele escribir en la forma f ‘(c) = [ f(b) – f(a) ]/(b – a) (2) De una función f : [2,5] -> R se sabe que es derivable y que los valores mínimo y máximo de su función derivada f ' son, respectivamente, 7 y 9. Justifica razonadamente cuál o cuáles de los siguientes casos no pueden darse: (i) f( 2) = 6 y f( 5) = 8, ( ii) f (2) = 6 y f ( 5) = 30, ( iii) f( 2) = 6 y f( 5) = 300, Le aplicamos el Teorema del Valor Medio de Lagrange a f(x) en [2,5], sabiendo que en dicho intervalo se verifica 7 < f ‘(x) < 9 f(2) = 6 y f(5) = 8, tenemos: En el caso: (i) [ f(5) – f(2) ]/(5 – 2) = f ‘(c) = 2/3 que no verifica 7 < f ‘(x) < 9. En el caso: (ii) f(2) = 6 y f(5) = 30, tenemos: [ f(5) – f(2) ]/(5 – 2) = f ‘(c) = 8 que si verifica 7 < f ‘(x) < 9. En el caso: (iii) f(2) = 6 y f(5) = 300, tenemos [ f(5) – f(2) ]/(5 – 2) = f ‘(c) = 98 que no verifica 7 < f ‘(x) < 9. Ejercicio 4 Modelo 3 de COU I del libro_98_99 [3 puntos]. Sea f : (0, + ∞) → R la función definida por f(x) = x(1 – Ln(x)), donde Ln(x) es e l logaritmo neperiano de x. Encuentra una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (1,1) Solución Encuentra una primitiva de f(x) = x(1 - Ln(x)), cuya gráfica pase por el punto (1,1) [email protected] 2 IES Francisco Ayala Granada Modelo 3 de COU I del libro_98_99 Solución Germán-Jesús Rubio Luna f(x) = x(1 – Ln(x)) = x – x.Ln(x) 2 Una primitiva es F(x) = ∫ [ x – x.Ln(x) ]dx = ∫ xdx – ∫ [ x.Ln(x) ]dx = x /2 – ∫ [ x.Ln(x) ]dx ∫ [ x.Ln(x) ]dx es una integral por partes u = Ln(x), de donde du = (1/x)dx 2 dv = (x)dx, de donde v = ∫ xdx = (x ) /2 2 ( ∫ u.dv = u.v - ∫ v.du ) 2 2 ∫ [ x.Ln(x) ]dx = [(x ) /2].Ln(x) - ∫ [(x ) /2]. (1/x)dx = [(x ) /2].Ln(x) – (1/2). ∫ [(x)dx = 2 2 = [(x ) /2].Ln(x) – (1/4).x 2 2 2 Por tanto F(x) = x /2 – [((x ) /2).Ln(x) – (1/4).x ] + K Como pase por el punto (1,1) tenemos F(1) = 1, de donde 1 = 1/2 – [((1 /2).Ln(1) – (1/4) ] + K, luego resulta que K = 1 – 1/2 – 1/4 = 1/4. 2 2 2 La primitiva pedida es F(x) = x /2 – [((x ) /2).Ln(x) – (1/4).x ] + 1/4. Álgebra Lineal y Geometría Ejercicio 5 Modelo 3 de COU I del libro_98_99 a a (1) [2 puntos]. Sabiendo que los vectores 11 y 12 son linealmente independientes, prueba que el a 21 a22 sistema de ecuaciones lineales a 11x + a 12 y = b 1 a 21x + a22 y = b 2 a 31x + a32 y = b 3 es compatible y determinado si, y sólo si, se verifica que a11 a12 b1 a21 a22 a31 a32 b2 = 0 b3 (2) [2 puntos]. Determina para qué valor, o valores, del parámetro “a” tiene solución única el sistema 2x - 3y = 2 3x - 3y = a 5x + ay = -13 hallando dicha solución para cada valor de “a” encontrado. Solución (1) a a Sabiendo que los vectores 11 y 12 son linealmente independientes, prueba que el sistema de a 21 a22 ecuaciones lineales a 11x + a 12 y = b 1 a 21x + a22 y = b 2 a 31x + a32 y = b 3 a11 a12 es compatible y determinado si, y sólo si, se verifica que a21 a22 a31 a32 a11 a12 La matriz de los coeficientes es A = a21 a22 y la a 31 a32 a a a Como 11 12 ≠ 0 , al ser los vectores 11 y a21 a22 a21 b1 b2 = 0 b3 a11 a12 b1 matriz ampliada A = a21 a22 b2 . a 31 a32 b3 a12 son linealmente independientes resulta que a22 * * rango(A) = 2. Por tanto para que el sistema sea compatible rango(A ) tiene que ser 2, es decir se tiene a11 a12 b1 que verificar que a21 a22 a31 a32 b2 = 0. b3 * Como rango(A) = rango(A ) = 2 = nº de incógnitas el sistema es compatible y determinado y tiene solución única. [email protected] 3 IES Francisco Ayala Granada Modelo 3 de COU I del libro_98_99 Solución Germán-Jesús Rubio Luna (2) Determina para qué valor, o valores, del parámetro “m” tiene solución única el sistema 2x - 3y = 2 3x - 3y = m 5x + my = -13 hallando dicha solución para cada valor de “m” encontrado. * Según hemos visto en el apartado (1) para que el sistema tenga solución rango(A ) = 2, para lo cual el 2 −3 2 determinante 3 −3 5 m m tiene que ser 0. −13 2 −3 2 2 −3 2 Adjuntos 3 −3 m F2 − F1 = 1 0 m − 2 segunda = (-1)(51 – 2m – 12) – (m – 2)(2m + 12 + 3) = fila 5 m −13 F3 − 2F1 1 m + 6 −17 2 = – 2m – 9m – 9 = 0. 2 La ecuación de 2º grado 2m + 9m + 9 = 0, tiene de soluciones m = -3/2 y m = - 3. Para esos dos valores el sistema es compatible y determinado. Como el rango es 2 que coincide con el nº de incógnitas sólo necesitamos dos ecuaciones, tomaremos en cada caso loas dos primeras. Si m = - 3 nuestro sistema es 2x - 3y = 2 3x - 3y = -3. F2 – F1 nos dá x = -5, de donde y = -4 y la solución del sistema es (x,y) = (-3, -4) Si m = - 3/2 nuestro sistema es 2x - 3y = 2 3x - 3y = -3/2. F2 – F1 nos dá x = -7/2, de donde y = -3 y la solución del sistema es (x,y) = (-7/2, -3) Ejercicio 6 Modelo 3 de COU I del libro_98_99 Sea “r” la recta que pasa por el punto A(0,2,1) y tiene como vector director el vector v = (1,-1,1). (1) [1'5 puntos]. Halla el punto P de la recta r que está más cerca del punto B(4, 7, 5). (2) [1'5 puntos]. Halla el cuarto vértice Q del paralelogramo con vértices consecutivos APBQ. (3) [1 punto]. ¿Puedes especificar qué tipo de paralelogramo es APBQ? Solución Sea “r” la recta que pasa por el punto A(0,2,1) y tiene como vector director el vector v = (1,-1,1). (1) Halla el punto P de la recta “r” ( que pasa por el punto A(0,2,1) y tiene como vector director el vector v = (1,-1,1).), que está más cerca del punto B(4,7,5). El punto P de “r” mas próximo al B(4,7,5), es el punto proyección ortogonal de B sobre “r”. Ponemos la recta “r” en paramétricas x=0+λ y=2-λ x = 1 + λ, con λ de R. Calculamos el plano π perpendicular a la recta “r” ( su vector normal n coincide con el director de la recta u = (1, -1, 1) ) que pasa por el punto B(4,7,5), y después hallamos el punto P, pedido, como intersección de la recta “r” con el plano π. Un plano paralelo a π es x – y + z + d = 0, como pasa por B(4,7,5), sustituyendo tenemos 4 – 7 + 5 + d = 0, de donde d = - 2, y el plano π es x – y + z – 2 = 0 Sustituimos “r” en π (λ) – (2 – λ) + (1 + λ) – 2 = 0, de donde 3λ – 3 = 0, luego λ = 1 y el punto es P((1), 2–(1),1+(1)) = P(1,1,2) (2) Halla el cuarto vértice Q del paralelogramo con vértices consecutivos APBQ. A(0,2,1), P(1,1,2), B(4,7,5) y Q(x,y,z) [email protected] 4 IES Francisco Ayala Granada Modelo 3 de COU I del libro_98_99 Solución Germán-Jesús Rubio Luna Si APBQ es un paralelogramo los vectores AP y QB son equipolentes y por tanto sus coordenadas son iguales AP = (1, -1, 1) QB = (4 - x, 7 - y, 5 - z). Igualando coordenadas tenemos (1, -1, 1) = (4 - x, 7 - y, 5 - z), de donde 1 = 4 – x, luego x = 3 -1 = 7 – y, luego y = 8 1 = 5 – z, luego z = 4, y el punto Q es Q(x,y,z) = Q(3, 8, 4) (3) ¿Puedes especificar qué tipo de paralelogramo es APBQ? Calculamos el producto escalar de AP y AQ, así como sus módulos 2 2 2 AP = (1, -1, 1), || AP || = √(1 +1 +1 ) = √(3) u.l. 2 2 2 AQ = (3, 6, 3), || AP || = √(3 +6 +3 ) = √(54) u.l., por tanto es un romboide o un rectángulo. Veamos su producto escalar .Si es 0, forman un ángulo de 90º. AP. AQ = (1, -1, 1). (3, 6, 3) = 3 – 6 + 3 = 0, por tanto forman un ángulo de 90º y el paralelogramo es un rectángulo. [email protected] 5