Reporte 2: Análisis dinámico de un CSTR

Transcripción

Reporte 2:
Análisis dinámico de un CSTR
Laboratorio de Dinámica y Control
Primavera 2008
México D.F., 20 de febrero de 2008
Alumnos:
Francisco José Guerra Millán
[email protected]
Adelwart Struck Garza
[email protected]
Asesor:
M.C. Javier López Rubio
[email protected]
Resumen
En el presente reporte se estudia el comportamiento dinámico de un
reactor CSTR. El modelo utilizado [1] presenta tres estados estacionarios
y permite realizar un análisis tanto de la conducta lineal, como la no lineal
del sistema. Asimismo se obuvieron el diagrama de fase y el de bifuración
que permiten modelar los puntos de equilibrio y analizar su estabilidad.
Realizando variaciones en los parámetros del sistema se observaron las
diferentes respuestas y corroboró la estabilidad de algunos estados estacionarios. Un análisis de sensibilidad permite determinar los parámetros
que mayor influencia tienen en el sistema.
Universidad Iberoamericana
Laboratorio de Dinámica y Control, Primavera 2008
Índice
1. Introducción
3
2. Definición del Problema
3
3. Actividades, Resultados y Análisis
4
4. Conclusiones
A. Códigos de Matlab utilizados
A.1. Run Estados Estacionarios . . . . .
A.2. Function Estados Estacionarios . .
A.3. Diagrama de Bifurcación . . . . . .
A.4. Linealización . . . . . . . . . . . .
A.5. Archivo sys de Simulink . . . . .
A.6. Gráficas inciso 4. . . . . . . . . . .
A.7. Gráficas inciso 13. . . . . . . . . .
A.8. Archivo de Simulink para el inciso
F. J. Guerra, A. Struck
22
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
13.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
24
24
24
25
26
28
29
36
37
2
1.
Introducción
El modelo matemático para un CSTR descrito por [1] presenta tres estados estacionarios, de los cuales, el de menor conversión es estable. El análisis
dinámico permite observar la sensibilidad del sistema respecto a los diferentes
parámetros que se analizan ası́ como la estabilidad de los estados estacionarios.
La comparación gráfica de los modelos lineal y no lineal permite determinar si
la aproximación lineal se ajusta correctamente al comportamiento esperado.
2.
Definición del Problema
El modelo matemático de un CSTR descrito por Shacham y col.[1] está dado
por:
dCA
dt
dT
ρCpV
dt
dTj
ρj Cpj Vj
dt
V
= Fo (CAo − CA ) − V kCA
(2.1)
= ρCpFo (To − T ) − λV kCA − U A (T − Tj )
(2.2)
= ρj Cpj Fj (Tjo − Tj ) + U A (T − Tj )
(2.3)
(2.4)
donde:
k
= α exp
−E
RT
(2.5)
El sistema presenta tres estados estacionarios bajo los valores nominales de
operación que se muestran a continuación:
Tabla 2.1: Información de diseño y operación para el reactor CSTR.
Fo
CAo
V
Fj
R
Vj
α
E
U
=
=
=
=
=
=
=
=
=
40
0.50
48
49.9
1.99
3.85
7.08E10
30000
150
ft3 /h
mol/ft3
ft3
ft3 /h
BTU/mol-R
ft3
1/h
BTU/mol
BTU/h-ft2 -R
λ
A
Tjo
To
Cp
Cpj
ρ
ρj
=
=
=
=
=
=
=
=
-30000
250
530
530
0.75
1.0
50
62.3
BTU/mol
ft2
R
R
BTU/lb-R
BTU/lb-R
lb/ft3
lb/ft3
3
3.
Actividades, Resultados y Análisis
Análisis de la conducta no lineal del sistema
1. Obtener los tres estados estacionarios presentes y determinar su
estabilidad.
Los estados estacionarios (EE) se obtuvieron con los códigos de Matlab que
se muestran en los Apéndices A.1 y A.2. Los resultados obtenidos se muestran
en la Tabla 3.1.
Tabla 3.1: Estados Estacionarios.
A
C
mol
ft3
EE1
EE2
EE3
0.4739
537.1641
536.6157
T
[R]
0.2451
599.9909
594.6328
Tj
[R]
0.0591
651.0596
641.792
Para determinar la estabilidad de los estados estacionarios, es necesario obtener los valores propios de la matriz A. Si la parte real de todos los valores
propios es estrictamente negativa, el estado es estable. De lo contrario, el estado
estacionario en cuestión será inestable. Los eigenvalores obtenidos se muestran
en la Tabla 3.2.
Tabla 3.2: Valores propios de la matriz A para los estados estacionarios.
Estado Estacionario 1
-188.7001
-1.2667
-0.9757
-188.0728
3.0497
-0.5321
-187.72
0.07 - 0.0275i
0.07 + 0.0275i
Dado que la parte real de todos los valores propios para el EE1 es estrictamente negativa, el estado es estable. Dado que la parte real de uno de los
valores propios para el EE2 es positiva, el estado es inestable. Dado que dos
de los valores propios para el EE3 son positivos, el estado es inestable. Cabe
destacar que dos de los valores propios del EE3 son muy cercanos a cero, lo que
indica la presencia de un punto de Hoff. Esto se analizará a detalle a lo largo
del reporte.
2. Obtener el diagrama de fase entre CA y T .
Con ayuda del código pplain7.m, e introduciendo el modelo matemático des-
4
crito por [1], correctamente despejado, se obtiene el diagrama que se muestra
en la Figura 3.1.
Figura 3.1: Diagrama de Fase entre CA y T .
A partir del diagrama que se muestra en la Figura 3.1 se obtienen los puntos de equilibrio. Los estados estacionarios estn indicados con un punto en el
Diagrama de Fase.
Si se observa detalladamente la Figura 3.1 es posible notar que los puntos
de equilibrio encontrados se localizan donde convergen muchas lı́neas. El punto
que se encuentra en (0.0591,651.0596) corresponde al punto de Hoff.
Los valores propios de cada punto de equilibrio se muestran en la Figura 3.2.
De esta forma se confirma que hay tres estados estacionarios de los cuales uno
es estable y los otros dos inestables.
3. Obtener el diagrama de continuación de la temperatura (T ) empleando el ujo del medio de enfriamiento (Fj ) como parámetro de
bifurcación.
El diagrama de bifurcación fue obtenido mediante el programa de Matlab
que se muestra en el Apéndice A.3 y se muestra en la Figura 3.3.
5
Figura 3.2: Valores propios de los puntos de equilibrio.
Figura 3.3: Diagrama de Bifurcación.
6
El diagrama de bifurcación obtenido presenta histéresis. Los tres cambios de
pendiente que se observan, indica la presencia de tres estados estacionarios. Los
tres estados estacionarios del sistema se muestran como puntos sobre la curva.
El estado estacionario estable es el de menor conversión ya que presenta una
pendiente ligeramente negativa, y se localiza en la parte inferior de la gráfica. Los
otros dos estados estacionarios son inestables, el segundo se encuentra en la parte
de la gráfica con pendiente positiva y el tercero en la parte superior en el tercer
cambio de pendiente. El punto correspondiente al EE3 es un punto de Hoff,
pues si bien estrictamente se considera inestable debido al criterio aplicable a los
valores propios, el sistema dinámico oscilará alrededor del estado estacionario.
4. Tomando como punto nominal de operación el estado estacionario
de menor conversión obtener la respuesta dinámica del sistema no
lineal para los siguientes casos:
(a) los valores iniciales de CA , T y Tj corresponden al estado estacionario
(b) el valor inicial de CA es ±10 % el valor nominal
(c) el valor inicial de Fj es ±15 % el valor nominal
(d) el valor inicial de Fo es ±15 % el valor nominal.
Mostrar grácamente las respuestas dinámicas de los estados CA y T .
En las dos primeras grácas unir los resultados de los incisos 4a y 4b
y en otras dos grácas los resultados de los incisos 4a, 4c y 4d.
El estado estacionario de menor conversión (EE1) es cuando CA =0.4739 mol
ft3 ,
T =537.1641R y Tj =536.6157R. En las Figuras 3.4 - 3.7 se muestran los resultados obtenidos.
En la Figura 3.4 se observa la respuesta dinámica para CA con variaciones
de ±10 % para valores de CA . Cabe mencionar que incluso con las variaciones
mencionadas el sistema tiende al estado estacionario, situación que es alcanzada
trás aproximadamente 5 horas.
En la Figura 3.5 se observa la respuesta dinámica para T con variaciones de
±10 % para valores de CA . Si bien al inicio la respuesta tiende a alejarse del
estado estacionario, incluso con las variaciones mencionadas el sistema tiende
al estado estacionario, situación que es alcanzada trás aproximadamente 7 horas.
En la Figura 3.6 se observa la respuesta dinámica para CA con variaciones de
±15 % para valores de Fj y Fo . Estas variaciones conducen al sistema a un nuevo
estado estacionario muy similar al original e igualmente estable. Si se observa
minuciosamente la escala, se puede concluir que el sistema prácticamente no se
mueve del estado estacionario. Con base en los resultados es posible afirmar que
la concentración CA es un poco más sensible a Fo , puesto que una variación de
la misma magnitud produce mayores cambios que Fj .
7
Figura 3.4: Respuesta dinámica no lineal de CA para el EE1.
Figura 3.5: Respuesta dinámica no lineal de T para el EE1.
8
9
estado estacionario muy similar al original e igualmente estable. Si se observa
minuciosamente la escala, se puede concluir que el sistema prácticamente no se
mueve del estado estacionario. Con base en los resultados es posible afirmar que
la temperatura T es un poco más sensible a Fj , puesto que una variación de la
misma magnitud produce mayores cambios que Fo .
Las respuestas discutidas anteriormente corresponden a un estado estacionario estable. Repitiendo el inciso, con el estado estacionario de mayor conversión,
se observa el comportamiento dinámico para un estado estacionario inestable.
El estado estacionario de mayor conversión (EE3) es cuando CA =0.0591 mol
ft3 ,
T =651.0596R y Tj =641.792R. Este estado estacionario corresponde al punto
de Hoff y con base en los resultados se podrá corroborar lo mencionado con
anterioridad respecto a este punto. Los resultados obtenidos se muestran en las
Figuras 3.8 - 3.11.
Como se ha mencionado con anterioridad, un punto de Hoff, es aquél, en el
que al menos uno de los valores propios sea igual a 0. Si bien los valores propios
del EE3 no son iguales a 0, se puede considerar como tal, al presentar valores
muy cercanos.
En la Figura 3.8 se observa la respuesta dinámica para CA con variaciones de
10
11
±10 % para valores de CA . La gráfica muestra cómo el perfil de concentraciones
oscila alrededor del estado estacionario. Esto se conoce como un punto de Hoff.
±10 % para valores de CA . La gráfica muestra cómo el perfil de temperatura
oscila alrededor del estado estacionario. Esto se conoce como un punto de Hoff.
En la Figura 3.10 se observa la respuesta dinámica para CA con variaciones
de ±15 % para valores de Fj y Fo . Estas variaciones conducen al sistema a un
nuevo estado estacionario diferente al original. Con base en los resultados es
posible afirmar que la concentración CA es más sensible a variaciones positivas
en Fj y negativas en Fo . Para estos casos la ganancia es positiva.
estado estacionario diferente al original, pero igualmente estable. Con base en
los resultados es posible afirmar que la concentración CA es más sensible a variaciones positivas en Fj y negativas en Fo . Para estos casos la ganancia es negativa.
5. Con base en los resultados obtenidos en el inciso 4 analizar los
siguientes puntos:
(a) la estabilidad de cada estado estacionario
12
Observando las Figuras 3.4 - 3.7 se puede afirmar que se está operando en un
estado estacionario estable, ya que aunque se observan variaciones con respecto
al estado estacionario, éstas son muy pequeñas. Con esto se corrobora lo que
se habı́a mencionado en el inciso 1. respecto a la estabilidad de cada estado
estacionario.
Para el caso de la variación en la concentración (Figuras 3.4 y 3.5) es posible
observar cómo después de 5 y 7 horas la concentración CA y la temperatura T
respectivamente, regresan a los valores del estado estacionario. Esto es. En la
Figura 3.5 se observa cómo en un principio, los alores se alejan considerablemente del valor del estado estacionario, sin embargo, estos vuelven a converger.
En las Figuras 3.6 y 3.7 pareciera que los valores obtenidos con modificaciones a Fj y Fo , distan del estado estacionario, sin embargo observando cuidadosamente la escala se lee que la variación es menor a 0.004 mol
ft3 y ligeramente
mayor a 1R para la concentración y temperatura respectivamente. Esto también
prueba que se trabaja en un estado estacionario estable ya que se queda muy
próximo a las valores del mismo.
Para el caso de las temperaturas al cambiar las concentraciones se puede
observar en la grfica 2 que las temperaturas aumentan en un principio pero a
partir de la hora siete vuelven a converger en el valor del estado estacionario. As
se vuelve a comprobar que estamos trabajando con un estado estacionario estable. Al modificar los flujos se observa un cambio en la temperatura de nicamente
1 R, al quedarse muy cercano al valor del estado estacionario se comprueba que
es un estado estacionario estable.
En las Figuras 3.8 y 3.9 se observa cómo si se realizan modificaciones a CA ,
el perfil de concentración y temperatura oscilan alrededor del estado estacionario. Esto se debe a que el EE3 es un estado estacionario inestable, considerado
como punto de Hoff, gracias a la presencia valores igual a cero (o muy cercanos)
en los valores propios de la matriz A.
En las Figuras 3.10 y 3.11 se puede observar cómo una variación en cualquiera de los flujos Fj y Fo , ya sea positiva o negativa, lleva a valores lejanos al
estado estacionario.
Para el perfil de concentración la mı́nima variación se obtiene variando Fo en
un 15 %, mientras que la mayor variación se produce al variar Fj en un 15 %. Esta variación produce un cambio en la concentración de aproximadamente 900 %.
En el primer caso, la respuesta es inversa, mientras que en el segundo resulta
proporcional.
Para el perfil de temperatura la mı́nima variación se obtiene variando Fo en
un 15 %, mientras que la mayor variación se produce al variar Fj en un 15 %.
13
Esta variación produce un cambio de aproximadamente -15 %. En el primer
caso, la respuesta es proporcional, mientras que en el segundo resulta inversa.
(b) la dependencia de CA y T a cambios en Fo y Fj
Como se menciona en el inciso 5. (a) y se observa en la Figura 3.6, un incremento en los flujos Fo y Fj se traduce en un incremento de la concentración.
Asimismo se puede observar un mayor cambio en CA cuando se varı́an los valores de Fo
Para el caso de la temperatura se observa en la Figura 3.7 que un incremento
en Fo o Fj se traduce en una disminución de la temperatura y viceversa. La
respuesta es más sensible a Fj , pues un incremento de la misma magnitud se
traduce en una variación mayor.
(c) ¿cómo se relacionan las respuestas dinámicas obtenidas con la información proporcionada por el diagrama de continuación obtenido
en el inciso 3?
El diagrama de bifurcación obtenido en el inciso 3. presenta histéresis, es
decir, es un sistema que puede estar en un determinado número de estados.
Cada cambio de pendiente representa un estado diferente. La pendiente ligeramente negativa indica la presencia de un estado estacionario estable. Es decir,
dentro de esa zona, una variación en Fj dará como resultado un ligero incremento en T . Sin embargo, la pendiente positiva indica la presencia de un estado
inestable. Variaciones en Fj se traducirán en cambios de magnitud considerable en T . Dentro de la zona de pendiente fuertemente negativa se encuentra lo
que se conoce como punto de Hoff. Esto se manifiesta de forma gráfica en una
simulación lineal, como oscilaciones del perfil analizado alrededor del estado estacionario.
Este análisis corresponde al comportamiento obtenido gráficamente para las
respuestas dinámicas que se muestran en las Figuras 3.4 - 3.11. Como se ha
mencionado, el EE1 es un estado estacionario estable, e incluso las variaciones
aplicadas son insuficientes para llevar al sistema a otro estado estacionario. En
el caso del EE3 se sabe que es un estado estacionario inestable, que se comporta
como punto de Hoff, lo que se hace manifiesto en las Figuras 3.8 y 3.9, donde los
perfiles correspondientes oscilan alrededor de los valores del estado estacionario.
14
Análisis de conducta lineal
Tomando como salida la temperatura (T ) y como entradas el flujo de
alimentación (Fo ) y el flujo del medio de enfriamiento (Fj ):
6. Representar el sistema en términos de notación de espacio de estado alrededor del punto nominal de operación (estado estacionario
de menor conversión).
El estado estacionario de menor conversión (EE1) es cuando CA =0.4739 mol
ft3 ,
T =537.1641R, Tj =536.6157 R.
La notación de espacio de estado se define como:
dx̄
dt
ȳ
donde:
= Ax̄ + Bū
(3.1)
= Cx̄ + Dū
(3.2)


CA
x̄ =  T 
Tj
ȳ = T
ū =
Fo
Fj
Las matrices A, B, C y D para el EE1 se presentan a continuación.


−0.8792
−0.0011
0
20.8333 
A =  36.7077 −20.7578
0 156.3445 −169.3055


0.0005
0
0 
B =  −0.1493
0 −1.7184
C = 0 1.0000 0
D=
0
0
15
7. Obtener las funciones de transferencia de la respuesta del sistema
a lazo abierto con respecto a cada entrada.
Las funciones de transferencia, obtenidas con la función de Matlab SS2TF
se muestran a continuación:
T (s)
Fo (s)
T (s)
Fj (s)
=
=
−0.1493s2 − 25.38s − 18.84
s3 + 190.9s2 + 424.4s + 233.2
−35.8s − 31.84
s3 + 190.9s2 + 424.4s + 233.2
(3.3)
(3.4)
(3.5)
8. Calcular los polos, los ceros, la ganancia en estado estacionario y
el orden global de cada respuesta del sistema.
Con ayuda del código de Matlab presentado en el Apéndice A.4 se obtienen
los siguientes resultados para el EE1.
Polos
Los valores obtenidos para los polos se muestran a continuación.


−188.7001
−1.2667 
polos = 
−0.9757
Los valores de los tres polos son negativos, lo cual indica como ya se habı́a
predicho con los eigenvalores, que el estado estacionario es estable. El sistema
es estable a lazo abierto.
Ceros Los valores obtenidos para los ceros de la función de transferencia
se muestran a continuación.
−169.3055
ceros =
−0.7455
T (s)
Fo (s)
Los valores obtenidos para los ceros de la función de transferencia
muestran a continuación.
ceros =
−0.8792
T (s)
Fj (s)
se
Todos los ceros que se obtuvieron son negativos. Por ende, los sistemas son
de fase mı́nima, esto decir, no cambian. La primera función de transferencia,
16
T (s)
Fo (s) ,
presenta dos ceros, lo que indica que es doblemente inversa o bien que
cambia dos veces de pendiente.
Ganancia en estado estacionario Las ganancias para las funciones de
T (s)
transferencia FTo(s)
(s) y Fj (s) respectivamente se muestran a continuación.
G T (s)
=
−0.0808
(3.6)
=
−0.1350
(3.7)
Fo (s)
G T (s)
Fj (s)
Al analizar el valor absoluto de las ganancias, se observa que la mayor, es
aquella con respecto al flujo Fj . Esto quiere decir que la entrada que más afecta
a la salida es Fj .
Órdenes globales El orden global se calcula restando el orden del polinomio del numerador al orden del polinomio del denominador de las funciones
de transferencia correspondientes. Los resultados se muestran a continuación.
O T (s)
=
3−2=1
(3.8)
=
3−2=1
(3.9)
Fo (s)
O T (s)
Fj (s)
Ambas funciones son de primer orden.
9. Obtener el diagrama de bloques del sistema lineal en términos de
las funciones de transferencia obtenidas en el inciso 7.
El diagrama se muestra en la Figura 3.12.
10. Aproximar la respuesta del sistema no lineal a un sistema de funciones de transferencia de primer orden (puede emplearse el paquete
Control Station).
Con ayuda del código de Matlab que se muestra en el Apéndice A.4 y utilizando las funciones PADE y STEP se obtienen los siguientes resultados.
Para el caso de Fo se obtienen los resultados de la Figura 3.13. Para el caso
de Fj se obtienen los resultados de la Figura 3.14.
Como se observa en las Figuras 3.13 y 3.14 los ajustes realizados corresponden de forma bastante precisa a las respuestas originales.
17
Figura 3.12: Diagrama de bloques del sistema lineal en Simulink.
Figura 3.13: Aproximación del sistema lineal a una FT de 1er orden para Fo .
18
Figura 3.14: Aproximación del sistema lineal a una FT de 1er orden para Fj .
Las funciones de transferencia (FT) ajustadas se muestran en las ecuaciones
(3.10) y (3.11).
T (s)
Fo (s)
T (s)
Fj (s)
=
=
−0.0810
e(−0.0384·s)
0.5160 · s + 1
−0.1348
e(−0.0256·s)
0.6717 · s + 1
(3.10)
(3.11)
11. Determinar la ganancia y la constante de tiempo de cada respuesta a lazo abierto.
Con ayuda del código de Matlab que se presenta en el Apéndice A.4 se
obtiene la ganancia y la constante de tiempo para cada función de transferencia. Los resultados se muestran en la Tabla 3.3.
Como se observa en la Tabla 3.3, las ganancias para Fo y Fj son negativas.
No obstante, en magnitud, los valores para Fj son mayores. Con base en esto
se puede afirmar que la temperatura es más sensible a cambios en el flujo del
refrigerante. La constante de tiempo a lazo abierto es menor para Fo , lo que
indica que si hay perturbaciones en esa entrada, el sistema regresará al estado
estacionario más rápido que si hay perturbaciones en Fj .
19
Tabla 3.3: Ganancia y constante de tiempo para las respuestas de Fo y Fj .
Fo
Fj
Ganancia
G
-0.0810
-0.1348
Constante de Tiempo
τ
0.5160
0.6717
12. Obtener el diagrama de bloques del sistema lineal en términos de
las funciones de transferencia obtenidas en el inciso 10.
El diagrama se muestra en la Figura 3.15.
Figura 3.15: Diagrama de bloques del sistema lineal en Simulink.
13. Obtener la respuesta dinámica de los sistemas lineales obtenidos
en los incisos 9 y 12 para cambios de ±15 % el valor nominal de cada
una de las entradas. Mostrar simultáneamente estas respuestas con
las obtenidas empleando el sistema no lineal (incisos 4c y 4d) para los
cambios de cada entrada (total de 2 grácas). Analizar detalladamente
los resultados.
Con ayuda del código de Matlab que se muestra en el Apéndice A.7 se
obtiene la respuesta dinámica de los sistemas lineales y no lineales. Los resultados se muestran en las Figuras 3.16 y 3.17, donde NL se refiere al sistema no
lineal, TF la función de transferencia y Ajustado al sistema ajustado.
En las dos gráficas anteriores se puede observar que cualquiera de los dos
métodos lineales, ya sea obteniendo las funciones de transferencia en Matlab
o utilizando el programa Control Station, son muy similares al sistema real.
Al observar la respuesta de la Figura 3.16 se observa que la respuesta de Fo
20
Figura 3.16: Respuesta dinámica de los sistemas lineales y no lineales.
Figura 3.17: Respuesta dinámica de los sistemas lineales y no lineales.
21
en los todos los casos es casi igual ya sea que se aumente el flujo de entrada
en un 15 % o que éste sea disminuido en un 15 %. Sin embargo, analizado de
forma minuciosa es posible notar que el perfil no lineal difiere ligeramente de los
perfiles de FT y Ajustado. No obstante, gracias a la escala se puede considerar
como una desviación despreciable.
En la Figura 3.17 se muestra que nuevamente el sistema lineal difiere ligeramente de los otros. Para el caso de Fj se puede observar que cuando se disminuye
el flujo de enfriamiento en un 15 % es cuando se obtiene una mayor variación
del sistema no lineal con respecto a los otros, sin embargo esta variación es menor a medio grado Rankine, con lo cual se puede considerar como una buena
aproximación.
4.
Conclusiones
Los diagrams de bifurcación son sumamente útiles para tener una idea visual
y de forma general sobre el comportamiento del sistema en cuestión. Permite de
forma rápida determinar una zona de operación estable y en su caso los puntos
de Hoff, que si bien son estados estacionarios estrictamente hablando inestables,
bajo ciertas condiciones podrı́an ser útiles, ya que oscilan al rededor del valor
del estado estacionario.
El modelo dinámico nos permite visualizar el comportamiento del CSTR y
su sensibilidad respecto a ciertos parámetros. Esto es importante, pues es prácticamente imposible operar un porceso sin sufrir variaciones en el sistema.
La linealización del modelo y su ajuste a una función de transferencia de primer orden resultan muy similares, lo que nos permite utilizar el modelo lineal
para cálculos y análisis posteriores. Con este modelo más sencillo, se esperarı́a
agilizar estos procesos.
Al graficar laas respuestas dinámicas de los modelos lineales y no lineales se
corrobora la afirmación respecto a la similitud entre los mismos, factor determinante para la aplicación de un mecanismo de control.
La herramienta Matlab resulta sumamente útil para realizar todo este tipo
de simulaciones y facilita cálculos que hace unos años hubieran tomado largas
sesiones de trabajo.
Al finalizar el reporte se pudo constatar la utilidad de las funciones de transferencia para poder realizar simulaciones dinmicas de un sistema y observar como pueden afectar las entradas de un sistema a sus salidas y cual las afecta en
mayor cantidad y as poderlo controlar de manera mas efectiva.
En condiciones ideales, cuando se opera un reactor, se busca obtener la mayor
22
conversión. No obstante, por lo general, los puntos de operación de alta conversión suelen ser inestables. Esto se puede observar perfectamente en referencia
al modelo discutido a lo largo del reporte, siendo el único estado estacionario
estrictamente estable, el de menor conversión. En este punto es donde entra la
aplicación de sistemas de control para forzar la operación de un determinado
proceso en estados inestables o parcialmente estables, como lo son los puntos de
Hoff.
Con base en lo analizado se reconoce la importanica de los sitemas de control y el papel fundamental del Ingeniero Quı́mico para lo optimiación de los
procesos.
23
Referencias
[1] M. Shacham, N. Brauner, and M.B. Cutlip. Exothermic CSTR - Just How
Stable are the Multiple Steady States? Chem. Eng. Educ., 28(1):30–35, 1994.
A.
A.1.
Códigos de Matlab utilizados
Run Estados Estacionarios
%% Run SS
clc; clear all;
%% SS1
x01 = [1 530 530];
[res1 feval1 flag1]= fsolve(’funcion_ss’,x01)
%% SS2
x02 = [0.25 590 590];
%% SS3
x03 = [3 800 800];
A.2.
Function Estados Estacionarios
%% Archivo de funcin para los EE
function f = funcion_ss(x)
%%
Ca
T
Tj
Definicin de variables
= x(1);
= x(2);
= x(3);
%% Definicin de parmetros constantes
F0 = 40;
Ca0 = 0.5;
V = 48;
Fj = 49.9;
R = 1.99;
Vj = 3.85;
alfa = 7.08e10;
E = 30000;
U = 150;
24
lambda = -30000;
A = 250;
Tj0 = 530;
T0 = 530;
Cp = 0.75;
Cpj = 1;
rho = 50;
rhoj = 62.3;
%% Definicn de ecuaciones auxiliares
k = alfa*exp(-E/(R*T));
%% Definicin de funciones
f(1) = (F0*(Ca0-Ca)-V*k*Ca)/V;
f(2) = (rho*Cp*F0*(T0-T)-lambda*V*k*Ca-U*A*(T-Tj))/(rho*Cp*V);
f(3) = (rhoj*Cpj*Fj*(Tj0-Tj)+U*A*(T-Tj))/(rhoj*Cpj*Vj);
A.3.
Diagrama de Bifurcación
%% Archivo para obtener el diagrama de bifurcacin
clc; clear all;
%% Declaracin de las variables de manera simblica.
syms Vj Cpj alfa Tj F0 lambda Ca0 A V Tj0 Fj T0 R Cp ...
rho E rhoj U Ca T
%% Parmetros
F0=40; %ft3/h
lambda=-30000; %BTU/mol
Ca0=0.50; %mol/ft3
A =250; %ft2
V =48; %ft3
Tj0=530; %oR
T0=530; %oR
R=1.99; %BTU/mol-oR
Cp=0.75; %BTU/lb-oR
Vj=3.85; %ft3
Cpj=1.0; %BTU/lb-oR
alfa=7.08E10; %1/h
rho=50; %lb/ft3
E=30000; %BTU/mol
rhoj=62.3; %lb/ft3
U=150; %BTU/h-ft2-oR
25
%% Ecuaciones auxiliares
k=alfa*exp(-E/(R*T));
%% Definicin de ecuaciones:
% Se deben igualar a 0
Ca=(Ca0*F0)/(F0+k*V);
Tj=((Cpj*Fj*rhoj*Tj0)+(A*T*U))/((Cpj*Fj*rhoj)+(A*U));
% Como el diagrama es de la T se declara como funcin
fun2=((rho*Cp*F0*(T0-T))-...
(lambda*V*k*Ca)-(U*A*(T-Tj)))/(rho*Cp*V);
%% Plot
% ezplot vara los valores de los ejes en x,y para
% poder construir el diagrama
figure(1)
ezplot(fun2,[20,60,480,800])
hold
%SS (Fj,Ti)
plot(49.9,537.1641,’ro’,...
49.9,599.9909,’gx’,...
49.9,651.0596,’k+’,’LineWidth’,2)
hold
title(’\bf Diagrama de Bifurcacin’,’FontSize’,12)
xlabel(’F_j [ft^3/h]’)
ylabel(’T [R]’)
legend(’Curva de Bifurcacin’,’EE1’,’EE2’,’EE3’,0)
grid
A.4.
Linealización
%% Archivo para linealizar un sistema no lineal
clc; clear all;
%% Entradas
u0 = [40 49.9];
%% SS
26
x0 = [0.00473906010232 ...
5.37164117705135 ...
5.36615674740771]*1e2; % ss1
% x0 = [0.00245070804692 ...
%
5.99990935763463 ...
%
5.94632838944146]*1e2; % ss2
% x0 = [0.00059062644133 ...
%
6.51059567590563 ...
%
6.41791954906443]*1e2; % ss3
[A B C D] = linmod(’linsim’,x0,u0)
valp = eigs(A)
%% Clculo de las funciones de trasnferencia
trans = tf(ss(A,B,C,D))
%% Otra forma de calcular las funciones de transferencia
[num1
[num2
g11 =
g21 =
den] = ss2tf(A,B,C,D,1)
den] = ss2tf(A,B,C,D,2)
tf(num1(1,:),den) % T/F0
tf(num2(1,:),den) % T/Fj
%% Polos
polos = roots(den)
%% Ceros
ceros1 = roots(num1(1,:))
ceros2 = roots(num2(1,:))
%% Ganancia
G0 = -C*(inv(A)*B)
%% Ajuste g11
[y t]=step(g11);
K1 = y(end)
t1 = interp1(y,t,0.353*K1)
t2 = interp1(y,t,0.853*K1)
theta1 = 1.3*t1-0.29*t2
tau1 = 0.67*(t2-t1)
% Ajuste del retardo
27
[num,den] = pade(theta1,1);
gr = tf(num,den);
gn = tf(K1,[tau1,1]);
g11n = gn*gr
figure(1)
step(g11); hold
step(g11n); hold
legend(’Original’, ’Ajustada’,0)
grid
%% Ajuste g21
[y t]=step(g21);
K21 = y(end)
t1 = interp1(y,t,0.353*K21)
t2 = interp1(y,t,0.853*K21)
theta21 = 1.3*t1-0.29*t2
tau21 = 0.67*(t2-t1)
% Ajuste del retardo
[num,den] = pade(theta21,1);
gr = tf(num,den);
gn = tf(K21,[tau21,1]);
g21n = gn*gr
figure(2)
step(g21); hold
step(g21n); hold
legend(’Original’, ’Ajustada’,0)
grid
A.5.
Archivo sys de Simulink
function [sys,x0] = rep2sys(t,x,u,flag)
if flag==0
sys= [3 0 1 2 0 0]; %[#estados 0 #salidas #entradas 0 0];
x0 = [0.00473906010232 ...
5.37164117705135 ...
5.36615674740771]*1e2; % ss1
% x0 = [0.00245070804692 ...
%
5.99990935763463 ...
%
5.94632838944146]*1e2; % ss2
% x0 = [0.00059062644133 ...
%
6.51059567590563 ...
%
6.41791954906443]*1e2; % ss3
28
elseif flag==1
% Declaracin de parmetros
F0 = u(1);
Fj = u(2); % F0=40; Fj=49.9;
Ca = x(1);
T = x(2);
Tj = x(3);
% Definicin de parmetros
Ca0 = 0.5;
V = 48;
R = 1.99;
Vj = 3.85;
alfa = 7.08e10;
E = 30000;
U = 150;
lambda = -30000;
A = 250;
Tj0 = 530;
T0 = 530;
Cp = 0.75;
Cpj = 1;
rho = 50;
rhoj = 62.3;
% Definicn de ecuaciones auxiliares
% Definicin de funciones
f(1) = (F0*(Ca0-Ca)-V*k*Ca)/V;
sys = f’;
elseif flag==3
sys=[x(2)];
elseif flag==9
sys=[];
end
A.6.
Gráficas inciso 4.
function graficasinciso4
clear all; clc; format long
tr = linspace(0,10,100);
% EE1
x0 = [0.00473906010232 ...
5.37164117705135 ...
5.36615674740771]*1e2;
29
x01 = [0.00473906010232*1.1 ...
5.37164117705135 ...
5.36615674740771]*1e2;
x02 = [0.00473906010232*0.9 ...
5.37164117705135 ...
5.36615674740771]*1e2;
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
% EE3
x0 = [0.00059062644133 ...
6.51059567590563 ...
6.41791954906443]*1e2;
x01 = [0.00059062644133*1.1 ...
6.51059567590563 ...
6.41791954906443]*1e2;
x02 = [0.00059062644133*0.9 ...
6.51059567590563 ...
6.41791954906443]*1e2;
[t11,res11]=
[t12,res12]=
[t13,res13]=
[t14,res14]=
[t15,res15]=
[t16,res16]=
[t17,res17]=
ode15s(@funcion_in4a,tr,x0);
ode15s(@funcion_in4d,tr,x0);
ode15s(@funcion_in4e,tr,x0);
ode15s(@funcion_in4f,tr,x0);
ode15s(@funcion_in4g,tr,x0);
figure(1)
plot(t11,res11(:,1),’-o’,...
t12,res12(:,1),’-x’,...
t13,res13(:,1),’-+’)
title(’EE1: Respuesta dinmica del sistema no lineal.’,...
’FontWeight’,’Bold’,’FontSize’,12)
xlabel(’Tiempo [h]’)
ylabel(’C_A [mol/ft^3]’)
legend(’EE’,’C_{A,EE} +10%’,’C_{A,EE} -10%’,0)
grid
figure(2)
plot(t11,res11(:,3),’-o’,...
t12,res12(:,3),’-x’,...
t13,res13(:,3),’-+’)
title(’EE1: Respuesta dinmica del sistema no lineal.’,...
ylabel(’T [R]’)
legend(’EE’,’C_{A,EE} +10%’,’C_{A,EE} -10%’,0)
30
grid
figure(3)
plot(t11,res11(:,1),’-.’,...
t14,res14(:,1),’-o’,...
t15,res15(:,1),’-x’,...
t16,res16(:,1),’-+’,...
t17,res17(:,1),’-*’)
title(’EE 1: Respuesta dinmica del sistema no lineal.’,...
ylabel(’C_A [mol/ft^3]’)
legend(’EE’,’F_j +15%’,’F_j -15%’,’F_o +15%’,’F_o -15%’,0)
grid
figure(4)
plot(t11,res11(:,3),’-.’,...
t14,res14(:,3),’-o’,...
t15,res15(:,3),’-x’,...
t16,res16(:,3),’-+’,...
t17,res17(:,3),’-*’)
title(’EE 1: Respuesta dinmica del sistema no lineal.’,...
ylabel(’T [R]’)
legend(’EE’,’F_j +15%’,’F_j -15%’,’F_o +15%’,’F_o -15%’,0)
grid
%% Valores Originales
function f = funcion_in4a(t,x)
% Definicin de variable
Ca = x(1);
T = x(2);
Tj = x(3);
% Definicin de parmetros constantes
F0 = 40;
Ca0 = 0.5;
V = 48;
Fj = 49.9;
R = 1.99;
Vj = 3.85;
alfa = 7.08e10;
E = 30000;
U = 150;
lambda = -30000;
A = 250;
31
Tj0 = 530;
T0 = 530;
Cp = 0.75;
Cpj = 1;
rho = 50;
rhoj = 62.3;
f(1) = (F0*(Ca0-Ca)-V*k*Ca)/V;
f = f’;
%% + 10% Ca
function f = funcion_in4b(t,x)
Ca = x(1);
T = x(2);
Tj = x(3);
F0 = 40;
Ca0 = 0.5*1.1;
V = 48;
Fj = 49.9;
R = 1.99;
Vj = 3.85;
alfa = 7.08e10;
E = 30000;
U = 150;
lambda = -30000;
A = 250;
Tj0 = 530;
T0 = 530;
Cp = 0.75;
Cpj = 1;
rho = 50;
rhoj = 62.3;
f(1) = (F0*(Ca0-Ca)-V*k*Ca)/V;
f = f’;
32
%% - 10% Ca
function f = funcion_in4c(t,x)
Ca = x(1);
T = x(2);
Tj = x(3);
F0 = 40;
Ca0 = 0.5*0.9;
V = 48;
Fj = 49.9;
R = 1.99;
Vj = 3.85;
alfa = 7.08e10;
E = 30000;
U = 150;
lambda = -30000;
A = 250;
Tj0 = 530;
T0 = 530;
Cp = 0.75;
Cpj = 1;
rho = 50;
rhoj = 62.3;
f(1) = (F0*(Ca0-Ca)-V*k*Ca)/V;
f = f’;
%% +15% Fj
function f = funcion_in4d(t,x)
Ca = x(1);
T = x(2);
Tj = x(3);
F0 = 40;
Ca0 = 0.5;
V = 48;
Fj = 49.9*1.15;
R = 1.99;
Vj = 3.85;
alfa = 7.08e10;
33
E = 30000;
U = 150;
lambda = -30000;
A = 250;
Tj0 = 530;
T0 = 530;
Cp = 0.75;
Cpj = 1;
rho = 50;
rhoj = 62.3;
f(1) = (F0*(Ca0-Ca)-V*k*Ca)/V;
f = f’;
%% -15% Fj
function f = funcion_in4e(t,x)
Ca = x(1);
T = x(2);
Tj = x(3);
% DEfinicin de parmetros constantes
F0 = 40;
Ca0 = 0.5;
V = 48;
Fj = 49.9*0.85;
R = 1.99;
Vj = 3.85;
alfa = 7.08e10;
E = 30000;
U = 150;
lambda = -30000;
A = 250;
Tj0 = 530;
T0 = 530;
Cp = 0.75;
Cpj = 1;
rho = 50;
rhoj = 62.3;
f(1) = (F0*(Ca0-Ca)-V*k*Ca)/V;
34
f = f’;
%% + 15% F0
function f = funcion_in4f(t,x)
Ca = x(1);
T = x(2);
Tj = x(3);
F0 = 40*1.15;
Ca0 = 0.5;
V = 48;
Fj = 49.9;
R = 1.99;
Vj = 3.85;
alfa = 7.08e10;
E = 30000;
U = 150;
lambda = -30000;
A = 250;
Tj0 = 530;
T0 = 530;
Cp = 0.75;
Cpj = 1;
rho = 50;
rhoj = 62.3;
f(1) = (F0*(Ca0-Ca)-V*k*Ca)/V;
f = f’;
%% - 15% F0
function f = funcion_in4g(t,x)
Ca = x(1);
T = x(2);
Tj = x(3);
F0 = 40*0.85;
Ca0 = 0.5;
V = 48;
35
Fj = 49.9;
R = 1.99;
Vj = 3.85;
alfa = 7.08e10;
E = 30000;
U = 150;
lambda = -30000;
A = 250;
Tj0 = 530;
T0 = 530;
Cp = 0.75;
Cpj = 1;
rho = 50;
rhoj = 62.3;
f(1) = (F0*(Ca0-Ca)-V*k*Ca)/V;
f = f’;
A.7.
Gráficas inciso 13.
load res_rep2
figure(1)
plot(TcompF0(:,1),TcompF0(:,2),’.-’,...
TcompF0(:,1),TcompF0(:,3),’o-’,...
TcompF0(:,1),TcompF0(:,4),’x-’,...
TcompF0(:,1),TcompF0(:,5),’+-’,...
TcompF0(:,1),TcompF0(:,6),’*-’,...
TcompF0(:,1),TcompF0(:,7))
title(’Respuesta dinmica (+/-15% F_o)’,...
’FontSize’,12,’FontWeight’,’Bold’)
ylabel(’Temperatura [R]’)
legend(’F_o +15% NL’,’F_o +15% FT’,’F_o +15% Ajustado’,...
’F_o -15% NL’,’F_o -15% FT’,’F_o -15% Ajustado’,0)
grid
figure(2)
plot(TcompFj(:,1),TcompFj(:,2),’.-’,...
TcompFj(:,1),TcompFj(:,3),’o-’,...
TcompFj(:,1),TcompFj(:,4),’x-’,...
TcompFj(:,1),TcompFj(:,5),’+-’,...
36
TcompFj(:,1),TcompFj(:,6),’*-’,...
TcompFj(:,1),TcompFj(:,7))
title(’Respuesta dinmica +/- 15% F_j’,...
’FontSize’,12,’FontWeight’,’Bold’)
ylabel(’Temperatura [R]’)
legend(’F_j +15% NL’,’F_j +15% FT’,’F_j +15% Ajustado’,...
’F_j -15% NL’,’F_j -15% FT’,’F_j -15% Ajustado’,0)
grid
A.8.
Archivo de Simulink para el inciso 13.
37

Reporte 2: Análisis dinámico de un CSTR

Transcripción

Documentos relacionados

(N) = (Kg) . (m/sg2)

VEHÍCULO: NÚMERO DE SERIE: GRIS MARCA: MODELO