Hoja 10 Axiomas d - Universidad de Zaragoza
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Hoja 10 Axiomas d - Universidad de Zaragoza
UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA FACULTAD DE CIENCIAS Sección de Matemáticas Curso 2002/2003 TOPOLOGÍA GENERAL II– Hoja 10 Axiomas de recubrimiento [1] Estudia si los siguientes espacios son compactos: i) La recta de Sorgenfrey. ii) El intervalo [0, 1] como subespacio de la recta de Sorgenfrey. iii) R con la topologı́a conumerable. iv) R con la topologı́a cofinita. [2] Sea (X, τ ) espacio topológico T2 y S = {xn }n∈N una sucesión de X convergente a s ∈ X. Prueba que el conjunto K = S ∪ {s} es compacto. [3] Estudia la compacidad de los siguientes subconjuntos de R: i) A = {1/2, 2, 1/3, . . . , 1/n, n, . . . }. ii) B = {n + 2/n + 1|n ∈ N}. iii) C = {(−1)n + 1/n|n ∈ N}. iv) D = {1, 2/1, 3/2, . . . , n + 1/n, . . . }. [4] Sea X un espacio pseudométrico que contenga una sucesión S = {xn }n∈N ⊂ X de modo que d(x0 , xn ) ≥ n ∀n ∈ N. Prueba que X no es compacto. Ayuda: Prueba previamente que S = {xn | n ∈ N} es un cerrado no compacto. [5] Sea E la topologı́a en R dada por: E = {(−r, r) | r > 0} ∪ {∅, R}. Demuestra que K = {0} es compacto pero no es cerrado. [6] Sea (X, τ ) un espacio topológico T2 y K ⊆ X compacto; prueba que el conjunto derivado K 0 también es compacto. Ayuda: Observa que K es cerrado. [7] Demuestra que el toro T2 , definido como el espacio cociente de R2 por la relación de equivalencia: (x, y) ∼ (x + n, y + m) ∀(n, m) ∈ Z2 , es un compacto. [8] Sea Sn = S(0; 1) ⊂ Rn+1 la esfera unidad de Rn+1 centrada en el origen. Se pide: a) Demuestra que Sn es compacto. b) Utiliza a) para probar que Pn es compacto. [9] Demuestra que (R, τcn ) no es un espacio topológico sucesionalmente compacto ni numerablemente compacto. [10] Sea I = [0, 1] el intervalo unidad cerrado de la recta real y consideremos el espacio topológico producto dado por: X= Y Xt con Xt = (I, τu ) t∈I (abreviadamente X = I I ). Consideremos la sucesión S = {ξn }n∈N en X dada por ξn = (xn (t))t∈I donde t = P∞ tm m=1 2m con xn (t) = πt (ξn ) = tn 2n es el desarrollo binario de t. Demuestra: a) lı́mn→∞ πt (ξn ) = 0 ∀t ∈ I (Observa que πt (ξn ) = de ceros y unos en (I, τu )) tn 2n donde {tn }n∈N es una sucesión b) El lı́mite de la sucesión S = {ξn }n∈N es: ξ= lı́m (πt (ξn )) n→∞ t∈I = 0 t∈I c) Dada S 0 = {ηnk }k∈N la sucesión dada por : ηn = (yn (t))t∈I con yn (t) = πt (ηn ) = tn . Utiliza el punto: ∞ X δn t0 = 2n n=1 con δn = 0 si n = nk con k impar 1 en otro caso para demostrar que cualquier subsucesión {ηnk }k∈N de S 0 no es convergente. d) Observa que el apartado c) implica que X no es un espacio sucesionalmente compacto; mientras que por el teorema de Tychonoff, X es compacto y por tanto numerablemente compacto. [11] Dado p un número primo, se denomina entero p-ádicoP a una serie geométrica P formal de razón p y coeficiente xn ∈ {0, . . . , p − 1}; esto es x = n∈N xn · pn (donde indica una serie formal y no tiene porque cumplir ninguna noción de convergencia). El conjunto de todos los enteros p-ádicos se denota: X Zp = x = xn · pn | xn ∈ {0, . . . , p − 1} n∈N P P n n Dos enteros p-ádicos x = n∈N xn · p , y = n∈N yn · p son iguales si y sólo si xn = yn ∀n ∈ N (los enteros p-ádicos se pueden sumar sin mas que sumar las series formales componente a componente). Se define una distancia δ en Zp dada por: δ(x, y) = 0 p −m si x = y si x = 6 y donde m = min{n | xn 6= yn }. Demuestra: a) δ es una métrica y por tanto induce una topologı́a τ (δ) llamada topologı́a p-ádica y el espacio topológico (Zp , τ (δ)) se denomina espacio de los enteros p-ádicos. b) (Zp , τ (δ)) es completo. c) (Zp , τ (δ)) es totalmente acotado. d) (Zp , τ (δ)) es compacto.