0 )X -i.P (T 2 T i = + Σ = ∂ ) ∆( Σ∂ 0 ).iX

0 )X -i.P (T 2 T i = + Σ = ∂ ) ∆( Σ∂ 0 ).iX

Curso sobre Estrellas Variables: Lección nro. 6
Parte II
VII) Método de los Cuadrados Mínimos para él calculo de los
elementos de una variable
Vamos a suponer que disponemos de una serie de fechas de máximos (mínimos) de
una variable periódica y deseamos encontrar los elementos: periodo y fase inicial, que
mejor representen esa serie de observaciones.
Sean Xi los instantes de máximos (mínimo) observados de una variable, y sean Ti los
correspondientes calculados mediante una expresión de esta forma:
Ti =To + i.P siendo To la fase inicial y P el periodo.
Debido a que la variable no es estrictamente periódica y a errores de observación,
habrá diferencias:
∆ i = Ti -Xi = To + i.P- Xi
Aceptando que estas diferencias se distribuyen al azar, podemos aplicar el Principio
de Legendre; o sea que tomaremos como valores más aceptables de To y P aquellos
que hagan mínima la suma de los cuadrados de las diferencias mencionadas:
Σ(∆i)2 = Σ ( To + i.P – Xi )2 = mínimo
Para que se cumpla esta condición es necesario que las derivadas parciales primeras
respecto de To y P sean nulas:
∂Σ( ∆i ) 2
= Σ 2 (To + i.P - Xi) = 0
∂To
∂Σ( ∆i ) 2
= Σ 2 (To + i.P - Xi).i = 0
∂P
1
o que es lo mismo
n.To + P.Σ i = ΣXi
To Σ i + P.Σ i2 = Σ i.Xi
(donde n es él numero total de máximos o mínimos de que se dispone)
ya que To y P son constantes respecto de la sumatoria.
Resolviendo este sistema obtenemos:
To = [ΣXi)(Σi2)-(Σi)(Σi .Xi)]:[n.Σi2 – (Σi)2]
P = [n.Σi.Xi) - (Σi)(Σ Xi)]:[n. Σi2 – (Σi)2]
Introduciendo estos valores en Ti = To + i.P , pueden calcularse nuevos máximos o
mínimos con otros valores de i (i son los ciclos).
VIII) MCM para la obtención de función magnitud vs tiempo
Ahora vamos a dar el método necesario para obtener una función polinomial que nos
muestre la curva magnitud vs. tiempo de una variable.
Esto es extremadamente útil, pues usando conceptos de Análisis Matemático,
podemos encontrar máximos, mínimos y puntos de inflexión de la curva.
Si tenemos después de nuestras observaciones la siguiente tabla:
2
J
Mag.
J: Día Juliano
x0
y0
Mag: Magnitud deducida
x1
y1
x2
y2
xN
yN
Hacemos:
N
sk = ∑ x i K
i =0
N
t = ∑ yx
i
k
K
i
i =o
⎧s 0 a 0 + ... + sNaN = t 0
⎪s1a 0 + ... + sN + 1aN = t 1
⎪⎪
⎨.
⎪.
⎪
⎪⎩sNa 0 + ... + s 2 NaN = tN
3
donde:
s0= Σxi0 = x00 + x10 + x20 + …
s1= Σxi = x0 + x1 + x2 + …
s2= Σxi2 = x02 + x12 + x22 + …
.
.
t0= Σyixi0 = y0x00 + y1x10 + y2x20 + ...
t1= Σyixi = y0x0 + y1x1 + y2x2 + ...
t2= Σyixi2 = y0x02 + y1x12 + y2x22 + ...
.
.
Resolviendo mediante Cramer, por ejemplo:
ai =
∆s1
∆sN
∆s0
∆si
, a1 =
, ..., aN =
, a0 =
∆s
∆s
∆s
∆s
queda la función polinomial magnitud versus tiempo.
M(T)=a0+a1T+a2T2+a3T3+…+aNTN
4
Con esta función podemos realizar los gráficos y el análisis matemático
Prof. Dr. Raúl Roberto Podestá
Presidente LIADA
Asesor Científico y Coordinador de Cursos.
5