´Orbitas periódicas de sistemas planos* 1. Introducción y preliminares

´Orbitas periódicas de sistemas planos* 1. Introducción y preliminares

AVANZA. Vol. I. FM - IIT, UACJ (2011) 19–34.
Órbitas periódicas de sistemas planos*
Osvaldo Osuna, Gabriel Villaseñor-Aguilar **
Resumen
En este trabajo presentamos un resumen de los principales criterios para
determinar la existencia o no-existencia de soluciones periódicas para ecuaciones
diferenciales en el plano; discutimos además en cada caso ejemplos para ilustrar
aplicaciones de estos resultados.
2000, Números de Clasificación AMS. 34-02, 34-01, 34C25.
Palabras clave: Órbita periódica, Índice de curvas, Teorema de BendixsonDulac.
1.
Introducción y preliminares
Las ecuaciones diferenciales, como es bien conocido, modelan una gran cantidad de situaciones de las matemáticas, fı́sica, ingenierı́a y otras ciencias aplicadas. Sin embargo, muchas preguntas y problemas básicos siguen sin responderse.
En este trabajo realizamos una revisión de criterios para determinar la existencia o no existencia de órbitas periódicas e incluimos varios ejemplos ilustrativos.
Esperamos que estas notas sean de utilidad como material de apoyo didáctico y muestren algunas preguntas abiertas que existen en torno a las órbitas
periódicas, por ejemplo: se desconocen cotas sobre el número de órbitas periódicas aisladas, su localización y expresiones analı́ticas de éstas (ver última
sección para otras cuestiones); por supuesto también esperamos que motiven su
futuro estudio. Empezamos recordando material básico necesario para nuestro
desarrollo.
Las ecuaciones que estudiaremos serán ecuaciones diferenciales ordinarias
autónomas, en forma más precisa. Si Ω es una región abierta (i.e., un conjunto
abierto y conexo) de Rn , y f : Ω → Rn es una función continua, decimos
entonces que una ecuación de la forma
ẋ = f (x), x ∈ Ω,
(1)
* Este trabajo se presentó en el Seminario de Ecuaciones Diferenciales y Sistemas
Dinámicos.
** Instituto de Fı́sica y Matemáticas, Universidad Michoacana, [email protected], [email protected]
20
O. Osuna, G. Villaseñor-Aguilar
es una ecuación diferencial ordinaria. La incógnita x es una función diferenciable
x(t) y ẋ denota su derivada dx
dt (t), es decir, una solución de la ecuación (1) es
una función diferenciable x : I → Rn , definida en un intervalo abierto acotado
o no I, tal que ∀t ∈ I, x(t) ∈ Ω, y
ẋ(t) =
dx
(t) = f (x(t)).
dt
Si t0 ∈ I, x0 ∈ Ω diremos que una solución x de (1) que satisface x(t0 ) = x0
es una solución con condición inicial x0 en t = t0 .
Recordemos un resultado que asegura la existencia y unicidad de soluciones
con condiciones iniciales, imponiendo una condición Lipschitz que definimos a
continuación:
Def inición 1.1. (Lipschitz). Diremos que f : Ω ⊂ Rn → Rn es localmente
Lipschitz si para cada x0 ∈ Ω existe una constante K > 0 y un abierto V ⊂ Ω
que contiene x0 , tales que
||f (x) − f (y)|| ≤ K||x − y|| ∀x, y ∈ V.
Ası́, por el Teorema del Valor Medio, si f : Ω → Rn es C 1 (i.e., diferenciable
y con derivada continua sobre Ω), entonces f es localmente Lipschitz.
Teorema 1.2. (Existencia y Unicidad). ([7], [4]) Sea Ω ⊂ Rn una región
abierta, f : Ω → Rn localmente Lipschitz, x0 ∈ Ω, entonces existe a > 0 y una
única solución x : I := (−a, a) → Rn del problema
ẋ = f (x),
x(t0 ) = x0 .
Del Teorema de existencia y unicidad, tenemos que para cada x0 ∈ Ω existe
un intervalo abierto maximal conteniendo 0, Ix0 = (αx0 , βx0 ) sobre el cual existe
una única solución (posiblemente el intervalo sea no acotado).
Tenemos que para cada x ∈ Ω existe una única solución (llamémosle φ)
definida en Ix = (αx , βx ), al variar la x tenemos una función φt (x) := φ(t, x),
para x ∈ Ω y t ∈ Ix , tal función se llama el flujo local asociado a (1) y podemos
ver que satisface las siguientes propiedades:
Lema 1.3. (ver [4]) El flujo local asociado a la ecuación (1) cumple:
i) φt+s (x) = φt (φs (x)) = φs (φt (x)), ∀s, t ∈ Ix , tal que s + t ∈ Ix ∀x ∈ Ω,
ii) φ0 (x) = x, ∀x ∈ Ω,
iii) La función φt (·) : Ω → Ω es continua, para cada t donde esté definida.
Órbitas periódicas de sistemas planos
21
En el presente trabajo asumiremos que las soluciones están definidas para
todo tiempo, es decir, para todo x ∈ Ω suponemos que Ix = R y en tal caso
llamaremos flujo al flujo local antes definido.
Dada una ecuación diferencial de la forma (1) pueden existir dos trayectorias
especiales y de sumo interés (pues como se puede ver son fundamentales en el
estudio del comportamiento global de las trayectorias de ecuaciones en el plano),
éstas son: puntos crı́ticos y órbitas periódicas.
Def inición 1.4. Para una ecuación como en (1), decimos que un punto p ∈ Ω
es un punto crı́tico, si φt (p) = p, para todo t ∈ R. También decimos que una
solución φt (x) es una órbita periódica, si x no es punto fijo y existe T > 0, tal
que φT (x) = x.
Como ya fue mencionado, nuestro interés se centrará en el estudio de la
existencia o no de órbitas periódicas; como la mayorı́a de tales resultados sólo
son válidos en dimensión dos (aunque hay valiosos avances en dimensiones mayores, ver [2], [10]) nos restringiremos a este contexto. En tal caso la ecuación
diferencial (1) se escribe como:
ẋ1 = f1 (x1 , x2 ),
0
(1 )
ẋ2 = f2 (x1 , x2 ),
con x1 , x2 ∈ R y f1 , f2 : Ω ⊂ R2 → R.
Recordemos que una curva de Jordan en el plano es un subconjunto de R2
homeomorfo a la frontera del cı́rculo S 1 . Notemos entonces que por el Teorema
de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales una curva periódica es una
curva de Jordan.
2.
Criterios de
periódicas
no-existencia
de
órbitas
Dada una órbita periódica γ ⊂ R2 nos interesa saber qué tipo de órbita hay
en la región acotada por la curva, denotémosla por int(γ). Enunciemos primero
un resultado que nos será útil:
Teorema 2.1. (De punto fijo de Brouwer, [8]). Sea U ⊂ R2 homeomorfo a una
bola cerrada en R2 y g : U → R2 una función continua, tal que g(∂U ) ⊂ U .
Entonces g tiene al menos un punto fijo en U , es decir, existe un punto x ∈ U ,
tal que g(x) = x.
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O. Osuna, G. Villaseñor-Aguilar
Teorema 2.2. Sea γ ⊂ R2 una curva periódica para φt (x). Entonces int(γ)
contiene al menos un punto crı́tico.
Demostración. Si γ ⊂ R2 es una curva de Jordan, entonces int(γ) es homeomorfo a una bola cerrada en R2 . Del Lema 1.3 el flujo es continuo y satisface
φt (int(γ)) = int(γ), ası́ podemos aplicar el Teorema anterior.
Dado un punto p ∈ int(γ) tenemos que φt (γ) ∈ int(γ) para todo t ≥ 0, en
particular esto implica que cualquier t1 > 0 se tiene que φt1 : int(γ) → int(γ).
Por el Teorema anterior existe un punto p1 ∈ int(γ), tal que φt1 (p1 ) = p1 . Escogemos una sucesión decreciente {tn } con lı́mn→∞ tn = 0 y la correspondiente
sucesión de puntos fijos {pn }, es decir, φtn (pn ) = pn .
Supongamos que lı́mn→∞ pn = p∗ , para cada t ∈ R y cualquier n ∈ Z existe
un kn ∈ Z, tal que kn tn ≤ t < (kn + 1)tn ; por lo tanto, 0 ≤ t − kn tn < tn ; ahora
sea > 0, entonces existe δ > 0, tal que si tn < δ, entonces ||φt−kn tn (pn )−pn || <
/3. Por la continuidad del flujo existe N1 ≥ 1, tal que si n > N1 , entonces
||φt (pn ) − φt (p∗ )|| < /3. Además, tenemos que existe N2 > 1, tal que si n > N2
se tiene ||pn − p∗ || < 3 . En consecuencia,
φt (pn ) = φt (φ−tn (pn )) = φt (φ−kn tn (pn )) = φt−kn tn (pn ),
entonces tomando N ≥ máx{N1 , N2 } se tiene que
|φt (p∗ ) − p∗ || ≤ ||φt (p∗ ) − φt (pn )|| + ||φt (pn ) − pn || + ||pn − p∗ || < .
Esto implica que φt (p∗ ) = p∗ para todo t ∈ R y por lo tanto, p es un punto
crı́tico. Ejemplo 2.3. Consideremos el sistema:
ẋ1 = 1 + x42 ,
ẋ2 = 4x1 x22 .
Este sistema no tiene puntos crı́ticos. De acuerdo al resultado previo, no
puede tener órbitas periódicas.
Teorı́a de Índice:
Consideremos f := (f1 , f2 ) y la ecuación (1’), es decir, el sistema
ẋ1 = f1 (x1 , x2 ),
ẋ2 = f2 (x1 , x2 ).
Si reescribimos la ecuación anterior como una ecuación escalar no
autónoma:
Órbitas periódicas de sistemas planos
(
dx2
dx1
23
f2 (x1 ,x2 )
f1 (x1 ,x2 ) ,
1 ,x2 )
:= ff21 (x
(x1 ,x2 ) ,
=
tan(θ)
donde θ es el ángulo que el campo vectorial f := (f1 , f1 ) tiene con el eje x
positivo.
Sea γ ⊂ R2 una curva de Jordan orientada positivamente que no contiene
puntos crı́ticos de f = (f1 , f1 ). El ı́ndice de f con respecto a γ está dado por:
I
I
1
f1 df2 − f2 df1
jf (γ) :=
dθ =
.
(2)
2π γ
f12 + f22
γ
Note que jf (γ) es un múltiplo entero de 2π. Intuitivamente representa el
número de vueltas que f da al recorrer γ, el ángulo que f tiene con respecto al
eje x cambia conforme γ es recorrido una vez; se puede probar ([11]) que
Lema 2.4. Sea γ ⊂ R2 una curva de Jordan orientada positivamente que no
contiene puntos crı́ticos de f , entonces:
a) Si int(γ) no contiene puntos crı́ticos, entonces jf (γ) = 0.
b) Sean γ1 y γ2 dos curvas de Jordan con γ1 ⊂ int(γ2 ), si no hay puntos
crı́ticos fuera de γ1 y dentro de γ2 , entonces jf (γ1 ) = jf (γ2 ).
El resultado anterior nos motiva a definir el ı́ndice de un punto crı́tico x0 en
la siguiente manera: sea γ una curva de Jordan, tal que x0 ∈ int(γ) y que no
contenga ningún otro punto crı́tico de f , entonces:
jf (x0 ) := jf (γ).
Si γ encierra una cantidad finita de puntos crı́ticos, una aplicación del Lema
anterior nos da:
Lema 2.5. Sea γ ⊂ R2 una curva de Jordan orientada positivamente cuyo
interior contiene los puntos crı́ticos x1 , . . . , xn , entonces
jf (γ) =
n
X
jf (xk ).
k=1
Recordemos que una función g : Ω → R2 continua es una deformación
continua de f , si existe una función continua F : [0, 1] × Ω → R2 , tal que
F (0, x) = f (x) y F (1, x) = g(x) para todo x ∈ Ω.
Para calcular el ı́ndice jf (x0 ) de un punto crı́tico aislado x0 , sean f y g
dos campos vectoriales, tales que f (x0 ) = g(x0 ) = 0 y supongamos que g es
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O. Osuna, G. Villaseñor-Aguilar
una deformación continua de f , entonces para > 0 suficientemente pequeño
existe δ > 0, tal que para γ := ∂B(x0 , δ) se tiene ||f (x) − g(x)|| < . Dado que
f (x) 6= 0 sobre γ, tomando > 0 suficientemente pequeño se puede garantizar
que f y g prácticamente apunten en la misma dirección a todo lo largo de γ.
Por definición esto implica que
jf (x0 ) = jg (x0 ).
(3)
En otras palabras, el ı́ndice es igual para pequeñas perturbaciones del campo
vectorial f ; por lo tanto, tenemos:
Lema 2.6. Consideremos el sistema
ẋ = Ax + r(x),
donde ||r(x)|| = O(||x||2 ), x ∈ R2 , entonces tenemos que:
jAx (0) = jAx+r(x) (0).
Como consecuencia del Lema 2.6, para calcular el ı́ndice de un punto crı́tico es suficiente calcular el ı́ndice del sistema linealizado asociado. Usando la
definición de ı́ndice, tenemos:
I
det(A)
x1 dx2 − x2 dx1
jAx (0) =
.
(4)
2π
(a
x
+
a
x2 )2 + (a21 x1 + a22 x2 )2
11
1
12
γ
Asumiendo que det(A) 6= 0, se puede ver que el ı́ndice es invariante bajo
transformaciones lineales no singulares. Por lo tanto, cuando calculamos jAx (0)
es suficiente con considerar las matrices con la forma canónica de Jordan:
a 0
a 1
a −b
Ar :=
, Ad :=
, Ac :=
.
0 b
0 b
b a
Suponiendo que a 6= 0, tenemos que existe una deformación continua de Ad
a alguna matriz de la siguiente forma:
a + 1
0
0
a + 2
a+
b
,
−b
a+
sign(a + 1 ) = sign(a + 2 ) = sign(a),
,
sign(a + ) = sign(a), b ∈ R+ .
En consecuencia de la ecuación (2), tenemos que jAd x (0) = jAr x (0) en el
caso de que sign(b) = sign(a), o jAd x (0) = jAc x (0). Por lo tanto, es suficiente
calcular el ı́ndice para los casos Ar , Ac .
Órbitas periódicas de sistemas planos
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Primero para Ar . Evaluamos la ecuación (3) sobre la elipse
1
1
γ := {(x1 , x2 ) =
cos(t), sen(t) : 0 ≤ t ≤ 2π}.
a
b
Observemos que la curva es orientada positiva si ab > 0 y orientada negativa
si ab < 0; evaluando obtenemos:
−1, si ab < 0,
jAr x (0) =
+1, si ab > 0.
Para Ac evaluamos la ecuación (3) sobre el cı́rculo unitario positivamente
orientado y obtenemos que jAc x (0) = +1.
Recordemos que el origen para un sistema lineal se dice punto silla si tiene
dos valores propios reales de signo diferente, por lo que tenemos como consecuencia el siguiente resultado:
Lema 2.7. Consideremos A ∈ M2×2 (R) bajo la condición que det(A) 6= 0,
tenemos que jAx (0) = −1 si 0 es un punto silla; jAx (0) = +1 en otro caso.
Como consecuencia de los Lemas 2.6 y 2.7, obtenemos el siguiente resultado
para puntos crı́ticos de sistemas no lineales:
Corolario 2.8. Consideremos el sistema:
ẋ = f (x),
Donde f (x0 ) = 0. Supongamos que det(Df (x0 )) 6= 0, entonces
−1, si x0 es un punto silla,
+1, en otro caso.
El siguiente resultado puede encontrarse en [11]:
Teorema 2.9. Si γ es una órbita periódica para el flujo de ẋ = f (x), entonces
jf (γ) = +1.
Por el Corolario 2.8 y el Teorema 2.9, tenemos:
Corolario 2.10. Si γ es una órbita periódica de ẋ = f (x), la cual encierra un
único punto crı́tico, entonces éste punto no puede ser punto silla.
Demostración. Supongamos que el punto crı́tico es punto silla. Por el Teorema
2.9 se tiene que jf (γ) = +1 y por el Corolario 2.8 el ı́ndice de un punto silla es
−1, pues el ı́ndice es invariante bajo deformaciones continuas de γ. 26
O. Osuna, G. Villaseñor-Aguilar
Ejemplo 2.11. Sea
ẋ1 = x1 + x2 ,
ẋ2 = x1 − 2x2 + x31 + x32 .
El único punto crı́tico es (0,0), éste es punto
√ silla, pues los eigenvalores del
sistema linealizado asociado son λ1,2 = (−1 ± 13)/2. Por lo tanto, no existen
órbitas periódicas para el sistema.
De hecho, se cumple el siguiente resultado más general:
Lema 2.12. Sea
ẋ = f (x)
Supongamos que para cada punto crı́tico x0 , se tiene que det(Df (x0 )) 6= 0. Sea
γ una órbita periódica para el flujo. Entonces:
a) int(γ) debe contener una cantidad impar de puntos crı́ticos.
b) De los 2n + 1 puntos crı́ticos contenidos en int(γ), n son puntos silla.
Pn
Demostración. (a) Por el Lema 2.5 tenemos que jf (γ) = k=1 jf (xj ) y el ı́ndice
de cada punto crı́tico es ±1. Ası́, si tenemos una cantidad par de puntos crı́ticos
la suma es diferente de +1, lo cual contradice al Teorema 2.9, que dice que una
órbita periódica bajo el flujo tiene jf (γ) = +1. Por lo tanto, debe contener una
cantidad impar.
(b) Como un punto crı́tico que es punto silla tiene ı́ndice -1 y si no es punto
silla su ı́ndice es +1. La única forma en que la suma de ı́ndices sea +1 es de que
se tengan n puntos silla. Resultados de no existencia del Tipo Bendixson:
Continuamos discutiendo otros resultados para la no-existencia de soluciones
periódicas [4], [3], pero primero recordemos el siguiente Teorema clásico:
Teorema 2.13. (Green). Sea f = (f1 , f2 ) : D → R2 de clase C 1 , i.e., funciones con primeras derivadas parciales continuas en un dominio simplemente
conexo D (i.e., D no posee hoyos), sea γ ⊂ D una curva de Jordan y int(γ) la
región limitada por la curva, entonces se cumple
I
ZZ
∂f1
∂f2
−
dx1 dx2 .
f1 dx1 + f2 dx2 =
∂x2
γ
int(γ) ∂x1
Órbitas periódicas de sistemas planos
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Teorema 2.14. (Criterio de Bendixson). Sea f = (f1 , f2 ) : D → R2 de
clase C 1 en un dominio simplemente conexo D ⊂ R2 , tal que la divergencia de
∂f1
∂f2
f, div(f ) := ∂x
+ ∂x
no es idénticamente cero, y no cambia de signo en D,
1
2
entonces el sistema
ẋ1 = f1 (x1 , x2 ),
ẋ2 = f2 (x1 , x2 ), x1 , x2 ∈ R,
no tiene órbitas periódicas en D.
Demostración. Supongamos que el sistema tiene una órbita periódica γ con
periodo T > 0 en D, entonces por el Teorema de Green tenemos
Z
ZZ
∂f1
∂f2
dx1 dx2 = (f1 dx2 − f2 dx1 )
+
∂x2
γ
int(γ) ∂x1
Z T
Z T
=
(f1 ẋ2 − f2 ẋ1 )dt =
(f1 f2 − f2 f1 )dt = 0.
0
∂f1
∂x1
0
∂f2
∂x2
Pero como
+
no es idénticamente cero, y no cambia de signo en el
int(γ), esto no es posible. Ejemplo 2.15. Consideremos
ẋ1 = x2 ,
ẋ2 = (1 + x21 )x2 .
Calculamos la divergencia de este sistema
∂f2
∂x2
∂[(1 + x21 )x2 ]
∂f1
+
=
+
= 1 + x21 > 0, ∀x1 ∈ R,
∂x1
∂x2
∂x1
∂x2
por el criterio de Bendixson el sistema no tiene órbitas periódicas.
Ejemplo 2.16. Determinar si el siguiente sistema tiene órbitas periódicas en
el plano:
ẋ1 = (x2 − 2)x21 ,
ẋ2 = ax1 + 4x2 .
Obsérvese que
∂f1 ∂f2
∂[(x2 − 2)x21 ] ∂(ax1 + 4x2 )
+
=
+
= (x2 −2)2x1 +4 = 2x1 x2 −4x1 +4.
∂x1 ∂x2
∂x2
∂x2
Note que el criterio de Bendixson no aplica en este caso.
Un resultado más general al criterio de Bendixson, se muestra en el siguiente
Teorema (su demostración es similar a la anterior):
28
O. Osuna, G. Villaseñor-Aguilar
Teorema 2.17. (Criterio de Bendixson-Dulac.) Sean f1 (x1 , x2 ) , f2 (x1 , x2 )
y h(x1 , x2 ) funciones con primera derivada parcial continua en un dominio sim∂(f2 h)
1 h)
no es idénticamente cero, y
plemente conexo D ⊂ R2 , tales que ∂(f
∂x1 + ∂x2
no cambia de signo en D, entonces el sistema
ẋ1 = f1 (x1 , x2 ),
ẋ2 = f2 (x1 , x2 ), x1 , x2 ∈ R,
no tiene órbitas periódicas en D.
Notemos que si la función h(x1 , x2 ) = 1, entonces estamos en el caso del
Teorema 2.14. Ahora aplicamos este resultado al ejemplo 2.16.
Ejemplo 2.18. Tenemos el sistema
ẋ1 = (x2 − 2)x21
ẋ2 = ax1 + 4x2
y consideremos h(x1 , x2 ) = x−2
1 , entonces
∂(x2 − 2)x21 x−2
∂(ax1 + 4x2 )x−2
∂(f1 h) ∂(f2 h)
−2
1
1
+
=
+
= 0 + 4x−2
1 = 4x1 :
∂x1
∂x2
∂x1
∂x2
por lo tanto, puesto que el resultado no es idénticamente cero y no cambia de
signo, por el criterio de Bendixson-Dulac el sistema no tiene órbitas
periódicas.
Usualmente se propone una función h(x1 , x2 ) en la forma 1, xs1 xr2 , e(sx1 +rx2 ) ,
r, s ∈ R o algunas combinaciones de éstas.
Ejemplo 2.19. Consideremos el sistema
ẋ1 = x2 ,
ẋ2 = −x1 − x2 + x22 .
Obsérvese que el criterio de Bendixson no aplica. Sea h(x1 , x2 ) = e−2x1 ,
entonces
∂(f1 h) ∂(f2 h)
∂x2 e−2x1
∂(−x1 − x2 + x22 )e−2x1
+
=
+
= −e−2x1 < 0,
∂x1
∂x2
∂x1
∂x2
ası́ el sistema no tiene órbitas periódicas en el plano.
Una variante del Teorema de Bendixson-Dulac es la siguiente:
Órbitas periódicas de sistemas planos
29
Corolario 2.20. Sea U0 ⊂ U un conjunto abierto anular (i.e., homeomorfo a
un anillo del plano), supongamos que existe una función con derivadas parciales
∂(hf2 )
1)
continuas h : U0 → R, tal que la divergencia ∂(hf
∂x1 + ∂x2 no es idénticamente
0, ni cambia de signo en U0 . Entonces el sistema tiene a lo más una órbita
periódica enteramente contenida en U0 .
Demostración. Nótese que si hubiera alguna órbita periódica, ésta debiera contener en su interior a la frontera interior de U0 , pues, de no ser el caso, tendrı́amos
una contradicción con el Teorema de Bendixson-Dulac. Ahora, supóngase que
existen 2 órbitas periódicas γ1 , γ2 , por la observación anterior podemos suponer
que γ1 está contenida en el interior de γ2 y el resto de la prueba se sigue en
forma similar al Teorema de Bendixson-Dulac, pues al integrar sobre la frontera
a (−hf2 , hf1 ) obtenemos cero, pero por el Teorema de Green esto coincide con
∂(hf2 )
1)
la integral ∂(hf
∂x1 + ∂x2 sobre la región limitada por las curvas γ2 y γ1 , lo cual
es diferente de 0. Esta contradicción prueba que no puede haber dos órbitas
periódicas; por lo tanto, a lo más hay una. 3.
Criterios afirmativos para la existencia de soluciones periódicas
Dado un punto x ∈ Ω, supongamos que la solución de (1’), φt (x) está definida para todo tiempo, entonces su órbita positiva (negativa) se define como
{φt (x)}t≥0 ({φt (x)}t≤0 ).
Decimos que un conjunto D en el plano es positivamente (negativamente)
invariante por el flujo φt de la ecuación (1’), si φt (x) ∈ D, ∀x ∈ D, ∀t ≥ 0 (∀t ≤
0).
Por [9] otro lado, un resultado positivo para la existencia de órbitas periódicas es dado por la siguiente Proposición, la cual es una consecuencia del Teorema
de Poincaré-Bendixson ([9], [1], [7], [5], [4]):
Teorema 3.1. Un conjunto cerrado, acotado y no vacı́o K ⊂ R2 , que es positivamente (negativamente) invariante por el flujo φt de (1’) contiene una órbita
periódica o un punto crı́tico.
Para ilustrar su uso, veamos algunos casos:
Ejemplo 3.2. Consideremos la ecuación
ẋ1 = (1 − x21 − x22 )x1 − x2 ,
ẋ2 = x1 + (1 − x21 − x22 )x2 .
30
O. Osuna, G. Villaseñor-Aguilar
Para aplicar el resultado anterior trabajaremos en coordenadas polares: tomamos x1 := rcos(θ), x2 := rsen(θ) con (r ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π). Recordemos que
se cumple r2 = x21 + x22 , θ = arctan( xx21 ); derivando respecto a t, por la regla de
la cadena obtenemos
rṙ = x1 ẋ1 + x2 ẋ2 ,
(5)
θ̇ = W (xr12,x2 ) .
Donde W (x1 , x2 ) es el Wronskiano, i.e.,
x1 ẋ1
W (x1 , x2 ) := det
= x1 ẋ2 − x2 ẋ1 .
x2 ẋ2
Sustituyendo x1 , x2 , ẋ1 y ẋ2 de la ecuación en las ecuaciones (5), se obtiene
ṙ = (1 − r2 )r,
θ̇ = 1.
Integrando la segunda ecuación obtenemos θ(t) = t+θ0 , es decir, no hay otro
punto crı́tico diferente del origen. De la primera ecuación del sistema anterior
tenemos que { 12 ≤ r ≤ 2} es un conjunto negativamente invariante y sin puntos
crı́ticos; ası́, del Teorema de Poincaré-Bendixson la región { 12 ≤ r ≤ 2} contiene
una órbita periódica.
Ejemplo 3.3. Consideremos la ecuación
ẋ1 = −x2 + x1 (r4 − 3r2 + 1),
ẋ2 = x1 + x2 (r4 − 3r2 + 1),
donde r2 = x21 + x22 , y asuma el hecho que el origen es el único punto crı́tico.
Procediendo como en el Ejemplo 3.2, usando coordenadas polares obtenemos
ṙ = (r4 − 3r2 + 1)r y podemos ver que {1 < r < 3} es negativamente invariante;
de nuevo por el Teorema de Poincaré-Bendixson {1 < r < 3} contiene al menos
una órbita periódica.
4.
Casos particulares y otros criterios
Existen además familias de ecuaciones diferenciales para las que es posible
probar resultados relativos a la existencia de órbitas periódicas, las cuales, a
pesar de su particularidad, son importantes en aplicaciones o para fines teóricos.
Por ejemplo, tenemos los sistemas gradiente.
Sistemas Gradiente
Órbitas periódicas de sistemas planos
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Def inición 4.1. Sea U ⊆ R2 abierto, un sistema gradiente es una ecuación de
la forma
ẋ = −gradv(x).
Donde v : U → R es una función C 2 y gradv(x) =
∂v
∂v
∂x1 , ∂x2
.
Ejemplo 4.2. Sea v(x1 , x2 ) = x21 x2 + x1 x22 , entonces grad v(x1 , x2 ) = (2x1 x2 +
x22 , x21 + 2x1 x2 ); ası́ el sistema gradiente asociado es
ẋ1 = −2x1 x2 − x22 ,
ẋ2 = −x21 − 2x1 x2 .
Def inición 4.3. Sea y := (y1 , y2 ) : I → U una función diferenciable y v : U →
R, entonces
∂v
∂v
ẏ1 +
ẏ2 ,
Dv(y) =
∂y1
∂y2
es la derivada de v a lo largo de y.
Proposición 4.4. Un sistema gradiente ẋ = −grad v(x) no posee órbitas
periódicas.
Demostración. Sea x : I → U una solución no trivial del sistema gradiente,
entonces
dv(x)
∂v
∂v
(t) = Dv(x)· ẋ =
· x˙1 +
· x˙2
dt
∂x1
∂x2
= − < gradv(x), gradv(x) >= −kgradv(x)k ≤ 0.
Es decir, el valor de la función v es decreciente a lo largo de trayectorias no
triviales; por lo tanto, no puede haber soluciones periódicas. Note que es posible definir sistemas gradientes en Rn y la Proposición 4.4
sigue siendo válida.
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O. Osuna, G. Villaseñor-Aguilar
Ecuación de Liénard
Una ecuación diferencial se llama de Liénard, si es una ecuación de la forma
ẍ + f (x)ẋ + g(x) = 0.
Pasando al sistema asociado, tomando x1 = x, x2 = ẋ1 , obtenemos
ẋ1 = x2 ,
ẋ2 = −f (x1 )x2 − g(x1 ).
En este caso es posible dar condiciones relativamente generales sobre f, g
para probar la existencia de una única órbita periódica; en forma más precisa
se tiene:
Teorema 4.5. Sean f, g funciones C 1 , tales que:
a) g es una función impar y g(x) > 0 si x > 0.
Rx
b) F (x) = 0 f (s)ds tiene exactamente un cero positivo c, F (x) < 0, si 0 <
x < c, positiva y no decreciente si x > c, si además F (x) → +∞ cuando
x → +∞.
Entonces la ecuación de Liénard tiene exactamente una órbita periódica.
Un caso particular del sistema de Liénard es dado por la ecuación de Van
der Pol, que resulta de tomar f (x) = µ(x2 − 1) y g(x) = x, ver [5].
5.
El problema 16H
Aun cuando en el caso de ecuaciones diferenciales en dos dimensiones presenta muchos resultados fuertes, dista mucho de estar completa. El problema
de decidir la existencia de órbitas periódicas es en la actualidad un área muy
activa y vigorosa. Muestra de ello es el famoso problema 16 de Hilbert. Para
enunciarlo, diremos que una órbita periódica para un sistema plano es aislada
(también llamado ciclo lı́mite) si existe una región alrededor de la órbita que
no contiene otras órbitas periódicas.
Por ejemplo, las órbitas periódicas de la ecuación
ẋ1 = −x2 ,
ẋ2 = x1 ,
no son aisladas.
Órbitas periódicas de sistemas planos
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El problema 16 de Hilbert (la segunda parte) pregunta sobre el número de
órbitas aisladas que puede tener un sistema polinomial, es decir, una ecuación
de la forma
ẋ1 = p1 (x1 , x2 ),
ẋ2 = p2 (x1 , x2 ),
con p1 y p2 polinomios en dos variables del mismo grado. Esta pregunta sigue
sin tener respuesta, aun en el caso de que el grado de los polinomios es 2.
Sin embargo, este problema ha propiciado un desarrollo profundo y abundante
de varias áreas de las matemáticas contemporáneas. Para profundizar en este
interesante tema, ver [12] y las referencias allı́ contenidas.
Bibliografı́a
[1] Bendixson, I. Sur les curbes définiés par des équations différentielles. Acta
Math. No. 24 (1901), pp. 1-88.
[2] Busenberg, S.; Van Den Driessche. A Method for Proving the Nonexistence
of Limit Cycles. J. Math. Anal. Appl. 172 (1993), pp. 463-479.
[3] Dulac, H. Recherche des cycles limites. C. R. Acad. Sci. Paris No. 204
(1937), pp. 1703-1706.
[4] Guckenheimer, J.; Holmes, P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems,
and Bifurcations of Vector Fields. Springer-Verlag, New York (1983).
[5] Hirsch, M.; Smale, S. Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra. Academic Press (1997).
[6] McCluskey, C.; Muldowney, J. Bendixson-Dulac Criteria for Difference
Equations, J. Dyn. Diff. Equations No. 10 (1998), pp. 567-575.
[7] Perko, L. Differential Equations and Dynamical Systems. Springer-Verlag
(2006).
[8] Petrovski, I. Ordinary Differential Equations, Dover Publications, Inc
(1993).
[9] Poincaré, H. Sur les courbes définies par une équations différentielle. Oeuvres, 1, Paris (1892).
[10] Smith, R. An Index Theorem and Bendixson’s Negative Criterion for Certain Differential Equations of Higher Dimension. Proc. Royal Soc. Edinburgh Sect. A 91 (1981), pp. 63-77.
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O. Osuna, G. Villaseñor-Aguilar
[11] Strogatz, S. Nonlinear Dynamics and Chaos. Addison-Wesley (1994).
[12] Yu, Ilyashenko. Centennial History of Hilbert’s 16th Problem. Bulletin of
the American Mathematical Society, No. 39 (2002), pp. 301-354.
Osvaldo Osuna ([email protected]).
Instituto de Fı́sica y Matemáticas,
Universidad Michoacana.,
Edif. C-3, Cd. Universitaria, C.P. 58040,
Morelia, Mich., México.
Gabriel Villaseñor-Aguilar ([email protected])
Departamento de Ciencias Básicas,
Instituto Tecnológico de Morelia,
Edif. Z-3, Morelia Mich., México.