Laplace y las condiciones de frontera

Problemas con Valores en la Frontera
A. Zozaya S.
6 de marzo de 2006
1.
Introducción
H
asta ahora habíamos resuelto problemas de electrostática en los que se especificaba explicitamente la distribución de cargas en forma de una ρν (r 0 ) y mediante
un procedimiento de integración se calculaba el potencial eléctrico V (r): V (r) =
R ρν (r0 ) 0
1
dν (ver figura 1).
4πε V 0 |r−r 0 |
Existe, sin embargo, un conjunto de otros problemas en elecρν (r ') R
trostática denominados problemas con valores en la frontera, los
r
cuales consisten, definida cierta región R, delimitada por cierta
r
'
o
frontera ∂R, en encontrar una función potencial V = V (r) que
2
satisfaga en R, o la ecuación de Laplace: ∇ V = 0, o la ecuación de Poisson: ∇2 V = − ρεν , y que satisfaga, a su vez, ciertas Figura 1: Distribución de cargas en un espacio ilimitado.
condiciones dadas en ∂R.
S2
S1
an
V1 o
S1
∇ 2V = 0
∂V
∂n
an
∂V
V2 o
∂n
an
S2
V1 o
S1
(a) Región R delimitada por las superficies S1,2 –∂R–.
∇ 2V = −
ρν
ε
S2
ρν (r ') R
∂V
∂n
an
r V o ∂V
2
r' o
∂n
S2
S1
(b) Situación similar a la anterior con
una distribución de cargas presente.
Figura 2: Problemas con valores en la frontera.
En los problemas con valores en la frontera la región R consiste, en general, de un dieléctrico simple, y la frontera ∂R está conformada por las superficies exteriores de dos o más
conductores inmersos en el dieléctrico. En la figura 2(a) la zona en blanco, donde se ha escrito
la ecuación de Laplace, constituye la región R de interés, y las superficies S1,2 exteriores de
los dos cuerpos conductores presentes, constituyen la frontera ∂R de R. En la figura 2(b)
se ha recreado el mismo escenario y se ha añadido una distribución de cargas libres según
1
una ley ρν = ρν (r 0 ) creando un nuevo problema con valores en la frontera, que viene a ser
la superposición de los problemas representados por las figuras 1 y 2(a). Si se conviene en
denominar VH (r) la solución del problema con valores en la frontera de la figura 2(a), y
R ρν (r0 ) 0
1
VP (r) = 4πε
dν la solución del problema de la figura 1, la solución del problema de
V 0 |r−r 0 |
la figura 2(b) será:
V (r) = VH (r) + VP (r)
Z
ρν (r 0 )
1
= VH (r) +
dν 0
4πε V 0 |r − r 0 |
En los problemas con valores en la frontera, en general, existen ciertas distribuciones de
cargas sobre S1,2 , las cuales suelen llamarse «externas», porque no se encuentran en el interior
de R, que no se conocen explícitamente y que por tanto no pueden integrarse, pero que se
especifican indirectamente mediante las denominadas condiciones de borde.
Los problemas con valores en la frontera tienen una de la siguientes apariencias matemáticas:
¾
∇2 V = 0
(1)
V |S1,2 = V1,2
en el que en la frontera se especifica el valor de V , y se conoce como problema de Dirichlet
o del primer tipo.
¾
2
∇
V
=
0
¯
¯
(2)
∂V ¯
¯
= ∂V
∂n S1,2
∂n 1,2
en el que en la frontera se especifica el valor de la derivada direccional de V respecto de la
normal a la frontera, y se conoce como problema de Neumann o del segundo tipo.

∇2 V = 0 
V¯|S1 = V1 ¯
(3)
∂V ¯
∂V ¯ 
=
∂n S2
∂n 2
en el que en parte de la frontera se especifica el valor de V , y en el resto el de la derivada
direccional de V respecto de la normal a la frontera, y se conoce como problema mixto.
La solución de los problemas del tipo esquematizado en la figura 2(a) se reduce a resolver
la ecuación de Laplace, lo cual será posible analítica o numéricamente según sea la geometría
de R. Si la geometría de R es una geometría canónica, la solución del problema se podrá hallar
usando métodos analíticos. Si la geometría fuera arbitraria, sin simetría alguna, se deberá
estimar V (r) utilizando métodos numéricos. A los fines académicos tiene sentido revisar, por
ahora, solo aquellos problemas con solución analítica posible.
2.
Teorema de la unicidad
El teorema de la unicidad establece que dos soluciones de la ecuación de Laplace (o
de Poisson) que satisfacen las mismas condiciones en la frontera son idénticas si se trata
2
de un problema de contorno de Dirichlet o mixto, o difieren a lo sumo en una constante
aditiva si se trata de un problema de contorno de Neumann [1, 2, 4]. Para demostrar este
teorema supóngase que se dispone de dos soluciones de la ecuación de Laplace (o de Poisson):
φ1 = φ1 (r) y φ2 = φ2 (r):
∇2 φ 1 = 0
∇2 φ 2 = 0
o:
ρν
ε
ρν
2
∇ φ2 = −
ε
tales que las mismas satisfacen ciertas condiciones de borde. Estas condiciones de contorno
pueden ser del primer tipo (problema de Dirichlet):
∇2 φ 1 = −
φ1 |S1,2 = V1,2
(4)
φ2 |S1,2 = V1,2
(5)
del segundo tipo (problema de Neumann):
¯
¯
∂φ1 ¯¯
∂V ¯¯
=
∂n ¯S1,2
∂n ¯S1,2
¯
¯
∂φ2 ¯¯
∂V ¯¯
=
∂n ¯S1,2
∂n ¯S1,2
(6)
(7)
o mixtas.
Se define una nueva función Φ = Φ(r) dada por: Φ(r) = φ1 (r) − φ2 (r). Facilmente se
comprueba que la nueva función satisface la ecuación de Laplace (ya no la de Poisson):
∇2 Φ = ∇2 (φ1 − φ2 )
= ∇2 φ1 − ∇2 φ2
=0
Si se toma el gradiente de la función Φ y se multiplica por la propia función Φ se comprueba, aplicando el Teorema de la Divergencia, que la integral de la divergencia de la función
producto resultante, ∇ · (Φ∇Φ), en la región R del problema es nula:
Z
Z
∇ · (Φ∇Φ) dν =
Φ∇Φ · dsan
R
S1,2
Z
=
Φ (∇Φ · an ) ds
S1,2
Z
∂Φ
ds
=
Φ
∂n
S1,2
Ã
¯ !
Z ³
´ ∂φ ¯¯
∂φ
2 ¯¯
1¯
=
φ1 |S1,2 − φ2 |S1,2
−
ds
¯
∂n S1,2
∂n ¯S1,2
S1,2
=0
(8)
3
La divergencia ∇ · (Φ∇Φ) puede, además, expandirse en la suma de dos términos:
∇ · (Φ∇Φ) = Φ∇2 Φ + (∇Φ)2
pero como ∇2 Φ = 0 sigue, tomando en cuenta la ecuación 8, que:
Z
(∇Φ)2 dν = 0
R
resultado que solo puede ser posible si ∇Φ = 0 en todos los puntos de R, lo cual implica, a
su vez, que Φ sea constante en R, e inclusive sobre la frontera S1,2 . Que Φ sea constante en
R + S1,2 , y llamando k esta constante, significa que φ1 − φ2 = k.
En un problema de Dirichlet o mixto el valor de esta constante se puede determinar
evaluando esta diferencia en algún punto donde se conozcan de antemano los valores φ1,2 .
Este punto puede ser uno cualquiera sobre la frontera y facilmente se comprueba que k es
nula, resultando idénticas las funciones φ1,2 : φ1 = φ2 .
En un problema de Neumann resulta obvio, después de derivar:
¯
∂Φ ¯¯
∂k
=
¯
∂n S1,2 ∂n
¯
¯
∂φ1 ¯¯
∂φ2 ¯¯
−
=0
∂n ¯
∂n ¯
S1,2
S1,2
que la diferencia entre las dos soluciones de la ecuación de Laplace φ1,2 es precisamente una
constante aditiva, k, indeterminada.
3.
Problemas con valores en la frontera en una dimensión
Existen en su totalidad 5 diferentes problemas con valores en la frontera en una dimensión
tomando como referencia los sistemas de coordenadas Cartesianas, cilíndricas y esféricas.
A saber [1, 4]:
Geometría del problema
Ecuación de Laplace
Solución
∆V
∆x
d2 V
dx2
=0
V (x) = Ax + B
∆V
∆ρ
1 d
ρ dρ
³
ρ dV
dρ
4
´
=0
V (ρ) = A ln ρ + B
Geometría del problema
Ecuación de Laplace
Solución
∆V
∆ϕ
1 d2 V
ρ2 dϕ2
=0
V (ϕ) = Aϕ + B
¢
r2 dV
=0
dr
V (r) = − Ar + B
∆r
1 d
r2 dr
∆V
∆ϑ
¡
∆V
r2
1
d
sin θ dθ
¡
¢
sin θ dV
=0
dθ
¡
¢
V (θ) = A ln tan 2θ + B
Las constantes indeterminadas A y B se han de resolver evaluando la solución en la
frontera para los problemas de contorno de Dirichlet y mixto. En el problema de contorno
de Neumann la constante B no se podrá resolver. Esta limitación no impide, sin embargo, el
calculo del campo eléctrico como E = −∇V en este tipo de problema.
Ejercicio
Se desea calcular la capitancia del sistema que se muestra en la figura 3.
Dicho sistema consiste de dos esferas conductoras concéntricas rellenas con dos dieléctricos homogéneos distintos.
c
El cálculo de C se efectuará suponiendo conocida la difeb
rencia de potencial ∆V entre los conductores, y hallando la
a ε1 ε 2
carga Q acumulada en el conductor a mayor potencial como
una función de ∆V : Q = Q(∆V ):
C=
Figura 3: Sistema bajo estudio.
Q (∆V )
∆V
Para ello se hace necesario el planteamiento de dos problemas con valores en la frontera,
a partir de la fijación de la diferencia de potencial ∆V entre los conductores, y estableciendo
apropiadas condiciones de borde.
Los problemas con valores en la frontera han de ser:
¡ 2 dV ¢
¾
1 d
r dr1 = 0
r2 dr
, a<r<b
(9)
V1 (a) = ∆V
¡ 2 dV ¢
¾
1 d
r dr2 = 0
r2 dr
, b<r<c
(10)
V2 (c) = 0
5
Las soluciones de estos problemas son, respectivamente:
V1 (r) = −
A
+ B,
r
a<r<b
(11)
C
+ D, b < r < c
(12)
r
Vemos que al tener cuatro constantes indeterminadas las condiciones de frontera establecidas no son suficientes: hacen falta dos condiciones de borde adicionales. Estas condiciones
∂V
de borde han de ser añadidas por nosotros a la luz del comportamiento de V1,2 (r) y de ∂r1,2
en la frontera entre los dos dieléctricos, a saber:
V2 (r) = −
V1 (b) = V2 (b)
(13)
¯
¯
ε2 ∂V2 ¯¯
∂V1 ¯¯
=
∂r ¯r=b ε1 ∂r ¯r=b
(14)
juntando las condiciones de frontera establecidas en las ecuaciones (9) y (10) con las definidas
mediante las ecuaciones (13) y (14), se puede escribir:
A
+B
a
C
0= − +D
c
C
A
− +B = − +D
b
b
ε2
A= C
ε2
∆V = −
de donde:
∆V
¤
1
1
−
+
−
κc
b
a
∆V
1
¤
B = ∆V − £ 1
1
1
1
− κb + b − a a
κc
∆V
¤
C= £1
1
κ κc − κb
+ 1b − a1
∆V
1
¤
D= £1
1
1
1
κ κc − κb + b − a c
A=£1
1
κb
donde κ = εε21 .
De esta forma tenemos:
∆V
∆V
1
1
¤ −£1
¤ , ∀r/a ≤ r ≤ b
1
1
1
1
1
− +b−a a
− κb + b − a r
κc
κc
∆V
∆V
1
1
¤ − £1
¤ , ∀r/b ≤ r ≤ c
1
1
1
1
1
1
− κb + b − a c κ κc − κb + b − a r
V (r) = ∆V − £ 1
V (r) = £ 1
κ κc
1
κb
6
El campo eléctrico E se puede calcular como E = −∇V = − dV
a :
dr r
a
∆V
¤ 2r ∀r/a ≤ r ≤ b
1
1
− +b−a r
κc
ε1
∆V
a
¤ 2r ∀r/b ≤ r ≤ c
E= £1
1
1
1
ε2 κc − κb + b − a r
E=£1
1
κb
Utilizando el campo D la carga Q se puede calcular mediante la integral Q =
tomando S de tal forma que contenga la esfera conductora interior:
Z 2π Z π
∆V
a
¤ 2r · r2 sin θdθdϕar
Q=
ε1 £ 1
1
1
1
− κb + b − a r
0
0
κc
∆V
¤ ε1 4π
=£1
1
− κb + 1b − a1
κc
R
S
D.ds,
y finalmente se obtiene:
C=
Q
∆V
=£1
κc
4πε1
¤
1
− κb
+ 1b − a1
Facilmente se comprueba que la capacitancia del sistema de la figura 3 se puede pensar
como la capacitancia equivalente de dos sistemas esféricos en serie, cada uno con capacitancias
asocidas de C1 = 4πε1 / (1/b − 1/a) y C2 = 4πε2 / (1/c − 1/b):
C = C1 k C2
1
= 1
+ C12
C1
1
= 1 1
( b − a ) ( 1c − 1b )
+ 4πε2
4πε1
4πε1
¤
=£1
1
− κb
+ 1b − a1
κc
4.
Problemas con valores en la frontera en dos dimensiones –dominios rectangulares–
En coordenadas Cartesianas existe un problema con valores en la frontera general que
engloba cuatro problemas particulares distintos pero muy parecidos entre sí. El problema
general se ilustra en la figura 4.
En dicha figura se muestra una región rectangular definida por 0 < x < a y 0 < y < b.
En la misma figura se identifican cuatro fronteras en las que la función V asume valores
distintos: V (a, y) = V1 , y ∈]0, b[, V (x, b) = V2 , x ∈]0, a[, V (0, y) = V3 , y ∈]0, b[ y V (x, 0) =
V4 , x ∈]0, a[.
7
El problema con valores en la frontera resultante tiene la forma:

∇2 V = 0

V (a, y) = V1 V (x, b) = V2

V (0, y) = V3 V (x, 0) = V4
y
b
El problema definido por la ecuación (15) se puede pensar como la superposición de los siguientes 4 problemas menos
generales –ver figura 5–:
V2
V3 ∇ V = 0 V1
2
0
0
(15)
V4
a
x
Figura 4: Domino rectangular.

∇2 V = 0

V (a, y) = V1 V (x, b) = V2
=

V (0, y) = V3 V (x, 0) = V4

∇2 V = 0
∇2 V

V (a, y) = V1 V (x, b) = 0 + V (a, y) = 0

V (0, y) = 0 V (x, 0) = 0
V (0, y) = 0

2
∇ V =0
∇2 V

V (a, y) = 0 V (x, b) = 0
+ V (a, y) = 0

V (0, y) = V3 V (x, 0) = 0
V (0, y) = 0
y
y
b
b
∇ 2V = 0 V1
0
0
0
V4
a
0
x
0
0
a
x
(b)
y
y
b
b
V3 ∇ 2V = 0 0
0
V2
∇ 2V = 0
(a)
0

=0

V (x, b) = V2

V (x, 0) = 0

=0

V (x, b) = 0

V (x, 0) = V4
(16)
a
0
∇ 2V = 0
0
x
(c)
0
V4
a
x
(d)
Figura 5: Subdivisión del problema global dado en la figura 4 en cuatro problemas particulares.
8
Se procederá a resolver el problema particular siguiendo los desarrollos presentados en
[1, 3]:

∂2V
∂2V
+
=
0

2
2
∂x
∂y
(17)
V (a, y) = V1 V (x, b) = 0

V (0, y) = 0 V (x, 0) = 0
para ello se supondrá que la solución tiene la forma de un producto de dos funciones, X y Y ,
las cuales dependen única y respectivamente de las variables x y y: X = X(x) y Y = Y (y),
de tal suerte que V (x, y) = X(x)Y (x). Sustituyendo este producto en la ecuación de Laplace:
∂ 2V
∂ 2V
+
=0
∂x2
∂y 2
Y
d2 Y
d2 X
+
X
=0
dx2
dy 2
1 d2 X
1 d2 Y
+
=0
dx2} Y dy 2
|X {z
| {z }
F1 (x)
(18)
F2 (y)
Para que la suma de F1 (x) y F2 (y) se mantenga igual a cero en todos los puntos dentro
del dominio rectangular se requiere que las funciones F1 y F2 sean iguales mutuamente a una
constante: F1 (x) = α2 y F2 (y) = −α2 , lo cual permite escindir la ecuación de Laplace en dos
ecuaciones diferenciales unidimensionales:
1 d2 X
= α2
X dx2
1 d2 Y
−
= α2
2
Y dy
(19)
(20)
Por solución de la ecuación (19) se tomará:
X(x) = A cosh(αx) + B sinh(αx)
(21)
y por solución de la ecuación (20) se tomará:
Y (y) = C cos(αy) + D sin(αy)
(22)
De este modo la solución buscada tiene la forma:
V (x, y) = [A cosh(αx) + B sinh(αx)] [C cos(αy) + D sin(αy)]
(23)
Las constantes indeterminadas A, B, C y D se determinan evaluando V (x, y) en la frontera:
V (x, 0) = 0 ⇒ [X(x)] [C] = 0 ⇒ C = 0
V (x, b) = 0 ⇒ [X(x)] [D sin(αb)] = 0 ⇒ α =
mπ
b
m = 1, 2, . . . , ∞
h
³ mπ ´i
y =0⇒A=0
V (0, y) = 0 ⇒ A D sin
b
9
obteniendo
³ mπ ´
³ mπ ´
V (x, y) = V0 sinh
x sin
y
(24)
b
b
con m = 1, 2, . . . , ∞ y V0 = BC.
¢
¡
¢
¡
Ciertamente la función V (x, y) = V0 sinh mπ
x sin mπ
y no puede satisfacer la condición
b
b
de borde V (a, y) = V1 . Sin embargo, ya que la ecuación (24) representa en realidad una familia
de soluciones, cualquier combinación lineal de los miembros de esta familia constituye, a su
vez, una solución de la ecuación (17) y satisface, además, las condiciones de borde V (x, 0) = 0,
V (x, b) = 0 y V (0, y) = 0:
V (x, y) =
∞
X
Vm sinh
m=1
³ mπ ´
³ mπ ´
x sin
y
b
b
No es ilógico pensar que pueda existir una apropiada combinación lineal de estas soluciones
que satisfaga la cuarta condición de borde: V (a, y) = V1 , condición de frontera que ninguno
de los miembros de la familia (24) satisface individualmente:
³ mπ ´
³ mπ ´
V (a, y) = V1 ⇒
Vm sinh
a sin
y = V1
b
b
m=1
∞
X
equivalentemente:
∞
X
cm sin
m=1
³ mπ ´
y = V1
b
(25)
¡ mπa ¢
es cierto
número para cada valor de m. En la ecuación (25),
donde cm = V
sinh
m
b ¡
¢
P∞
mπ
la sumatoria m=1 cm sin b y puede verse como la expansión en serie de Fourier de la
constante V1 , y las constantes cm como los coeficientes de la serie. Los coeficientes cm pueden
calcularse haciendo la función V (a, y) periódica, de período 2b, y de simetría impar mediante
el siguiente producto interno:
#
#
Z " X
Z " ∞
∞
³ mπ ´
³ mπ ´
³ mπ ´
³ mπ ´
2 0
2 b X
cm =
−
cm sin
y sin
y dy +
cm sin
y sin
y dy
b −b
b
b
b
b
b
0
m=1
m=1
2
cm =
b
Z
Z
³ mπ ´
³ mπ ´
2 b
[−V1 ] sin
[V1 ] sin
y dy +
y dy
b
b 0
b
−b
0
de donde:
(
cm =
siguiendo que:
Vm =
4V1
mπ
0
m impar
m par
4V1
,
mπ sinh (mπa/b)
(26)
m impar
y
V (x, y) =
∞
X
m=1
m impar
³ mπ ´
³ mπ ´
4V1
sinh
x sin
y
mπ sinh (mπa/b)
b
b
10
(27)
Figura 6: Grafica de V (x, y) para V1 = 2.
Creat eMesh ( V1 , 0 , a , 0 , b , 20, 20)
Problema de contorno
∇2 V = 0
V (a, y) = 0 V (x, b) = V2
V (0, y) = 0 V (x, 0) = 0
∇2 V = 0
V (a, y) = 0 V (x, b) = 0
V (0, y) = V3 V (x, 0) = 0
∇2 V = 0
V (a, y) = 0 V (x, b) = 0
V (0, y) = 0 V (x, 0) = V4









Solución
P∞
sinh
¡ mπ ¢
¡
¢
y sin mπ
x
a
a
sinh
£ mπ
¤
¡
¢
(−x + a) sin mπ
y
b
sinh
£ mπ
4V2
m=1
m impar mπ sinh(mπb/a)
P∞
4V3
m=1
m impar mπ sinh(mπa/b)
P∞
4V4
m=1
m impar mπ sinh(mπb/a)
b
a
¤
¡
¢
(−y + b) sin mπ
x
a
Cuadro 2: Soluciones particulares del problema global expresado mediante la ecuación (16).
En la figura 6 se muestra una gráfica de V (x, y) para V1 = 2.
Las restantes soluciones particulares del problema global (ecuación 16) se pueden componer a partir de la solución (27) permutando apropiadamente los valores a ↔ b y las variables
x ↔ y, y rotando y desplazando, apropiadamente, las funciones en x y en y. En la tabla 2 se
muestran estas soluciones.
Bibliografía
[1] William H. Hayt. Teoría electromagnetica. McGraw-Hill, Mexico, 1991.
[2] V. V. Nikolski. Electrodinámica y propagación de ondas de radio. MIR, Moscú, 1980.
[3] Simo Ramo, Jhon R. Whinnery, and Theodore Van Duzer. Fields and Waves in Communication Electronics. John Wiley and & Sons, Inc., USA, 1965.
[4] Reitz/Milford/Christy. Fundamentos de la teoría electromagnética. Addison-Wesley Iberoamericana, USA, 1984.
11