Curvas Horizontales y Verticales
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Curvas Horizontales y Verticales
CURVAS HORIZONTALES: CIRCULARES, COMPUESTAS, EN "S", DE TRANSICIÓN, ESPIRAL 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Elementos de las curvas simples. Cálculo y trazo de la curva circular simple: por desviaciones y cuerdas, por el PI inaccesible, por un punto obligado, cuando hay obstáculos. Curvas compuestas. Teoría y cálculo. Curvas en S. Curvas de transición. Teoría. Curvas espirales. Curva simple con espirales simétricas. En curvas compuestas. Formulario de la parábola cúbica empleada en caminos y la curva compuesta empleada en ferrocarriles. Clotoide. Teoría y cálculo. CURVAS VERTICALES 1. 2. Solución de la curva vertical mediante la y=kx2. Solución de la curva vertical, mediante la fórmula de variación de pendiente. 1. ELEMENTOS DE LAS CURVAS SIMPLES 1.1 Generalidades Curva es el lugar geométrico de todos los puntos que se van apartando o desviando de la dirección recta sin formar ángulos. La necesidad de trazar curvas sobre el terreno cumple propósitos muy diversos, una curva puede formar parte de una carretera, o el borde de un anden en una esquina o un surco en un campo agrícola, pero indudablemente el uso mas común de las curvas es en el área de las vías terrestres. Los tramos rectos de la mayor parte de las vías terrestres de transporte como carreteras, vías férreas, etc, y de conducción como acueductos, oleoductos, etc, están conectados por curvas en los planos horizontal y vertical. Una excepción se tiene en el caso de una línea aérea de transmisión eléctrica, en lo que sólo se emplean tramos rectos con cambios de rumbo en algunas torres. En el plano horizontal se emplean dos tipos de curvas: las circulares y las espirales. En el caso de las circulares se tiene la siguiente clasificación: a) b) c) d) Simple Compuesta Mixta Inversa Simple Compuesta Mixta Inversa Las curvas de alivio sirven para aminorar el cambio repentino de curvatura en la unión de una tangente y una curva circular. Una curva espiral es la ideal y usual como curva de alivio. Se tiene la siguiente clasificación: Espirales entre tangentes y curva circular. Espiral doble. Espiral entre curvas circulares. Circular Espiral Espiral e ng en te Ta nte Ta ng cul ar Espiral Tangente Cir Tangente ula r a) Espirales entre tangentes y curva circular Cir c a) b) c) b ) Espiral Doble Circular Circular Espiral c) Espiral entre curvas circulares. 1.2 Elementos de una Curva Horizontal Simple P.S .S. T P.I. S.T E M P.S.C. L.C F P.C N G C.L ∆ ∆ P.T. 2 R P.S.T O En donde: G P.I ST P.C P.T. R O L.C C.L M N F (C.L). P.S.C P.S.S.T P.S.T Grado de curva circular. Punto de inflexión entre dos tangentes que se cortan. Ángulo de deflexión en el P.I. Subtangente: porción de tangente P.C P.I ó P.I P.T. Principio de la curva circular o terminación de la tangente. Principio de la tangente o terminación de la curva. Radio de la curva. Centro de la curva circular. Longitud total de la curva (arco). Cuerda Larga (longitud total). Externa; distancia del P.I al punto medio de la curva (M). Punto medio de la curva. Punto medio de la cuerda largo (C.L). Flecha; distancia del punto M de la curva al punto N de la cuerda larga Punto sobre curva. Punto sobre subtangente. Punto sobre tangente. 1.3 Cálculo de los Elementos Geométricos de la Curva Circular Rdio (R): 20 G = 2πR 360º B A 2πR = G R= o 7200 G 7200 = 2πG R= 1145.92 Grado (G): si R= 1145.92 de donde G 1145.92 G= R Subtangente (ST) Del Triágulo: O − PC − PI ∆ = ST 2 R ∆ 2 Tan ST = RTan Longitud Total de la Curva (L.C): L.C. P.C. 20 ∆ G = LC ∆ P.T. G 20 mts LC = Cuerda Larga (CL): Del Triángulo: PC - PI - N 1 CL ∆ PC − N 2 CL sen = = = R R 2R 2 ∆ 2 CL = 2 Rsen 20∆ G G 1145.92 G Del triángulo: 1 CL CL ∆ = PC − N = 2 = 2 ST 2ST ST cos PC . PI - N ∆ 2 CL = 2 STcos Externa (E): Del Triángulo: ∆ = R 2 O − PI cos O - PC - PI ∆ = R 2 R+ E por lo tanto cos pero O-PI=R+E R R+E= ∆ 2 ∆ 2 = Rsec cos ∆ − R 2 E = Rsec ∆ − 1 2 E = R sec E = REXSEC ∆ 2 Flecha (F) Del Triángulo : O-PC-N ∆ = O−N R 2 cos Pero : O-N=R-F por lo tanto: ∆ = R −F R 2 cos ∆ 2 R − F = Rcos ∆ 2 F = R − Rcos ∆ 2 F = R 1 − cos Deflexión por metro (S'): Por Definición: S = G Proporcionalmente 2 P.I. S 20 = S´ 1 G S´ = 20 m G/2=S P.C P.T. G S´ = S 20 = 2 20 = G 40 60´G 40 ∆ R S´ = 1.´5 G O NOTA: Grado de Curvatura.- es el ángulo en el centro de la curva formado por dos radios de circunferencia que limitan un arco de 20 mts. De la misma. Generalmente el trazado de las curvas sobre el arco de circunferencia no es practicable; lo acostumbrado es considerar cuerdas con determinadas longitudes para que estos se confundan con lo arcos. En una curva cuando el grado es grande el radio es pequeño y viceversa. Para no incurrir en errores que produzcan discrepancias considerables en longitud, ya que las estaciones y cuerdas unitarias se han establecido de 20 mts, conviene toma el siguiente criterio: a) b) c) 2. Usar cuerdas de 20 mts. hasta G=10º Usar cuerdas de 10 mts. hasta G=20º Usar cuerdas de 5 mts. hasta G>20º Cálculo de una cuerda circular por deflexiones y cuerdas Datos tomados del campo PI = 15 + 347.83 ∆ = 23º27 ' G := 3ºº V := 60 Km h Solución : 1145.92m R := G R = 381.97mts ∆ 2 ST := R⋅ tan ST = 79.62mts LC := 20m⋅ ∆ G LC = 157.00mts ∆ 2 CL := 2 ⋅ R⋅ sin CL =155.90 mts ∆ − 1 2 E := R⋅ sec E = 8.21mts ∆ 2 F := R⋅ 1 − cos F = 8.04mts ' S := 1.5⋅ G ' S = 4'5 Cálculo de los kilometrajes (PC y PT) PC := PI − ST PT := PC + LC P.I S.T P.C L.C P.T = = = = = 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 347.83 79.62 268.21 157.00 425.21 NOTA: Los kilometrajes de las cuerdas a cada 20 metros es conveniente tomarlos en números enteros. P.C= 15+ 268.21 280.00 300.00 320.00 340.00 360.00 380.00 400.00 420.00 P.T = 15 + 425.21 ----------------------------------------- 0º 00' 0º53.1' 2º23.1' 3º53.1' 5º23.1' 6º53.1' 8º23.1' 9º53.1 11º23.1' 11º46.5' S20 mts = 20.00x4.5' =90.0'=1º30' ---(Defexión) 280.00 -- 268.21 = 11.79 mts S11.79 mts = 11.79 mts 425.21 - 420.00 =5.21 mts S 5.21=5.21 x 4.5' =23.4' (Subdeflexión) Comprobación ∆ 2 = 23º33´ 2 = 11º46.5´ 2.1 Trazo de una Curva Circular por Deflexiones y Cuerdas El trazo por deflexiones desde las tangentes es el método normal y es más usual, siempre y cuado no exista obstáculo alguno que impida el trazo. Método: Con el instrumento emplazado en el P.C (15+268.21), se visa el P.I, con 0º00' en el circulo horizontal. Luego se gira el ángulo de la subdeflexión (0º53') y se mide la correspondiente distancia (11.79) desde el P.C. hasta la visual dada por el instrumento (15+280.00) P.I. P.C 0º53.1' 15+280.00 11.79 mts P.T. 15+268.21 A continuación se gira el ángulo de la deflexión siguiente (1º30' o sumado a la anterior 2º 23') y se mide la distancia (cuerda) correspondiente (20 mts). P.I. 2º23.1' 20 mts P.T. P.C Desde el punto 1 hasta el punto 2, que es la visual dada por el ángulo 2º23' (15+300.00). El procedimiento es igual para las demás deflexiones y la última subdeflexión, en la cual su ángulo será igual a ∆/2 (11º46.'5), hasta llegar al P.T (15+425.21). 2.2. P.I INACCESIBLE Ocasionalmente se presenta el problema de no poder llegar al P.I. en forma directa, como sucede en los siguientes casos: a) El P.I. accidentalmente se ubica en alguna andonada u obstáculo que fuera impráctico establecerlo ahí. b) Por caer en alguna barranca, río, pantano, ladera, acantilado por ser un lugar bastante lejano y que fuera impráctico medir las distancias del P.I. al P.C. o al P.T. Cálculo de una Curva Circular con P.I Inaccesible P.I. RÍO P.A 85º47' a 50º15' C b c B Datos tomados del campo: v := 60 Km h B := 40º12' º12' G := 9ºº C := 50º15' º15' Km P.A.= 8+ 314.78 b := 105.42m Rumbo P.A. - P.I.= N30º 12' E c := 80.23m P. A= 85º 47' P. A= (100.00, 100.00) Nota: La posición de las tangentes P.A P.I y P.I-C debe obtenerse por medio de una poligonal que las una; las condiciones del terreno determinaran el trazado de la poligonal. Calculo de los Elementos; a, α, β, γ. Del triángulo P.A- B-C a=? P.A. γ=? b = 105.42 α=? B b := 105.42m c := 80.23m β := 17.0909252deg α := 180deg − 40.0712deg α = 139.929 deg a := b + c − 2 ⋅ b ⋅ c⋅ cos( α ) 2 2 a := 2 b + c − 2 ⋅ b ⋅ c⋅ cos( α ) 2 2 a = 174.628 m sin( α ) a := sin( β ) b ( ) C β=? c = 80.23 40º12' sin( β ) := b ⋅ sin( α ) a sin( β ) = 0.2966605 γ := α + β γ = 22º56'34''3 Obtención de los Elementos: ∆, d y e Del triángulo P.A. - P.I. - C. ∆ P.I. d P.A. θ 68º31'34 e 27º18'25.1" a C en P.A.: 85º47' − 17º15'26'' = 68º31'34''3 en C: 50º15' − 22º56'34 = 27º18'25''7 θ = 180º − ( 68º31'34'' + 27º18'25'7) θ = 84º10'03' ∆ = 180º − θ ∆ = 180º − 84º10'03'' ∆ = 95º49'57'' sin( 84.054488deg) 174.56 = sin( 27º18'25''1 ) d d := ( 174.56)sin( 27º18'25''1 º18'25''1 ) sin( 84º10'03'') d = 80.499851 Cálculo del kilómetraje del P.I Km + Km P.A.= 8+314.78 d= 80.50 P.I. = 8+395.28 El cálculo continua de manera normal con los elementos geométricos de la curva. R = 127.32mts ∆ 2 ST := R⋅ tan ST = 140.99mts LC := 20m⋅ ∆ G LC = 212.96mts δ' = 1.5'G = 1.5 ' ( 9 ) = 13.5' Cálculo del kilometraje P.C. y P.T.: P.I. = 8 + 395.28 -ST = 140.99 P.C. = 8 + 254.29 L.C. = 212.96 P.T. = 8 + 467.25 Cálculo de las deflexiones: P.C. = 8 + 254.29 260.00 280.00 300.00 320.00 340.00 360.00 380.00 400.00 420.00 440.00 460.00 P.T. = 8 + 467.25 _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ 0º00' 1º17.1' 5º47.1' 10º17.1' 14º47.1' 19º17.1' 23º47.1' 28º17.1' 32º47.1' 37º17.1' 41º47.1' 46º17.1' 47º55.0' δ' 20=20.00x13.5=270'=4º30' 260.00 - 254.29=5.71m δ'(5.71)=5.71x13.5'=77.1'=1º17.1' 467.25 - 460= 7.25 m δ'(7.25) = 7.25x13.5'=97.9'=1º37.9' Comprobación : ∆ 2 := 95º50'01'' 2 = 47º55'01'' El trazo es ideéntico al caso anterior. 2.3.- CALCULO Y TRAZO DE UNA CURVA CIRCULAR SIMPLE POR UN PUNTO OBLIGADO Con frecuencia se presenta el caso en que no es posible trazar toda la curva desde un solo punto, ya sea del P.C. o del P.T.; sino con un punto que puede caer fuera o sobre la misma curva (P.S.C). a continuación se analizará el caso cuando el punto obligado coincide con la curva. P.I. ∆ β α P y R A B ∆ X 2 O Datos de campo: 1) ∆ = Deflexión 2) P.I - P=l = Distancia 3) α = ángulo que forma la tangente con el lado "l" Deducción del ángulo B: Del triángulo A - O - P.I R 180º = ∆ 2 + 90º + α + β ∆ + 90º + 2 β := 180ºº − α Resolviendo el triángulo P - O -P.I, tenemos: seny PI − O = senβ R Por lo tanto seny := PI − O R senβ Pero también del triángulo O-B-PI, tenemos: ∆ = PI − O R 2 sec ∆ 2 PI − O = Rsec Por lo tanto seny = PI − O R ∆ 2 sen( β ) Rsec senβ = seny = senβ ∆ 2 cos R Entonces x se deduce: β + y + x = 180º x = 180º − ( β + y) Una vez obtenido el valor de x, el valor del radio nos lo da la siguiente expresión: r= senβ senx l 3. CURVAS COMPUESTAS Existen dos clases de curvas compuestas; las que tienen los centros de las curvas e un solo lado del eje (curvas compuestas), y las que tienen los centros a cada lado del eje (curvas en S o inversas). Las curvas compuestas se emplean frecuentemente para adaptar el eje de la vía a la forma del terreno. Las curvas en S o inversas sólo tienen uso donde se circula a baja velocidad, como en los patios de los ferrocarriles. El problema fundamental de las curvas inversas esta en el cambio de sobre elevación (peralte) al terminar una y comenzar otra o sea el paso del P.T al P.C, pues se presenta el fenómeno de torcedura, que en un vehículo chico sería imperceptible, más no en un camión de varios ejes o en un ferrocarril. 3.1 CURVA COMPUESTA CON CENTRO EN UN SOLO LADO DEL EJE P.I. ∆ TM Tm ∆m ∆M B C ∆M RM A Rm ∆m O Conociendo :Rm, RM, ∆m, ∆M Encontrar: ∆, TM, Tm ∆ = ∆M + ∆m Tm = RmVERS∆ + ( RM − Rm)VERS∆M sen∆ TM = RMVERS∆ + ( RM − Rm)VERS∆m sen∆ Conociendo :∆, Tm, TM,Rm Encontrar: ∆m,∆M, RM Tan 1 2 ∆M = Tmsen∆ − RmVERS∆ TM + Tmcos∆ − Rmsen∆ ∆m = ∆ − ∆M RM = Rm + Tmsen∆ − RmVERS∆ VERS∆M Conociendo: Rm, RM, Tm, ∆ Encontrar : ∆M,∆m, Tm Tmsen∆ − RmVERS∆ VERS∆M = RM − Rm ∆m = ∆ − ∆M TM = RMVERS∆ − ( RM − Rm)VERS∆m sen∆ Conociendo : Rm, RM, ∆, TM Encontrar : Tm, ∆m, ∆M VERS∆m = RMVERS∆ − TMsen∆ RM − Rm ∆M = ∆ − ∆m Tm = RmVERS∆ + ( RM − Rm)VERS∆M sen∆ Conociendo :∆, Tm, ∆m,Rm Encontrar: ∆Μ,TM, RM ∆M = ∆ − ∆m RM = Rm + Tmsen∆ − RmVERS∆ VERS∆M TM = RMVERS∆ + ( RM − Rm)VERS∆m sen∆ Conociendo :∆, TM,RM,∆M Encontrar: ∆m,Tm, Rm ∆m = ∆M Rm = RM + RMsen∆ − TMVERS∆ VERS∆m Tm = RmVERS∆ + ( RM − Rm)VERS∆m sen∆ 4.- CURVAS EN "S" O INVERSAS P.I. ST1 ST1 G1 O2 R2 C R2 B R1 R1 G2 ST2 ST2 O I2 En donde: I1 I2 CyT P P.I de la curva CP en G1 grados. P.I. de la curva P.T en G2 grados. Puntos extremos de la curva en “S” o inversa. Punto de curva compuesta. Normas: I) El ángulo formado entre la tangente de entrada y la prolongación hacia a tras de la tangente de salida debe ser igual a la diferencia de ángulos centrales de las dos curvas componentes de la “S”. II) La tangente central I1-I2 es común a las dos curvas circulares simples y su longitud debe ser la suma de las sub tangentes de cada curva simple. III) Es conveniente dejar una tangente de 20 mts. Entre cada curva, porque en este tramo sin sobre elevación, cualquier vehículo se puede enderezar y entrar en el tramo de la curva sin torcerse. Trazo de las Curvas Compuestas Una vez calculados los elementos necesarios para el trazo, se prosigue al replanteo en campo o sea la materialización de estos puntos principales de poyo. Las curvas compuestas se trazan como si fueran curvas simples sucesivas aplicando la propiedades de las curvas circulares simples. 5.- CURVAS DE TANSICIÓN (ESPIRALES) Una curva espiral tiene la propiedad de que el vehículo que la recorre con velocidad uniforme, experimenta una fuerza centrípeta constante o sea proporciona seguridad y comodidad a los ocupantes del vehículo, sin disminuir su velocidad. Una curva de transición es aquella cuya proporción de curva aumento gradualmente desde cero hasta la curvatura central. Este aumento gradual comienza cotar donde se inicia la curva de transición, adoptando su máximo valor al llegar a la curva central circular, donde se conserva al llegar a la curva central circular, donde se conserva constante en todo su desarrollo asta el fina de la misma, para volver a disminuir gradualmente en a longitud del otro segmento de la curva espiral hasta adoptar nuevamente el valor cero al llegar a la tangente de salida. PI ∆T Ec Te Yc PSC LC Tc EC Xc TL K CE A Le CL Le B TL RC RC ∆c TE p θe ∆ p θe ET O Elementos geométricos de las Curvas Espirales (Curva Circular clotoide Te Yc PSC LC Tc EC Xc A Le TL K CL B RC TL TE p θe ∆ p O Donde : P.I ∆T θe ∆c φc φm T.E E.C C.E E.T. Rc Te Punto de intersección de las tangentes. Deflecióln total en el P.I. ángulo total de cada espiral (deflexión de la espiral). Ángulo central de la curva circular. Deflexión al E.C. o al C.E (ángulo de la cuerda larga). Deflexión a cualquier punto “M” de la espiral. Punto de paso de la tangente a la espiral Punto de paso de la espiral a circular. Punto de paso de la curva circulara a la espiral. Punto de paso de la espiral a la tangente. Radio de la curva circular. Distancia del P.I al T.E o al E.T. ∆c Ec C.L. T.L. T.C. Xc, Yc XM, YM L.c Le K,p. A Distancia externa de la curva circular. Cuerda larga al E.C. Distancia del punto T.E al “A” o Tangente larga). Distancia del punto “A” al E.C. o (Tangente corta). Coordenadas del E.C. Coordenadas de cualquier punto “M” de la espiral. Longitud de la curva circular. Longitud total de la espiral (el T.E. al E.C). Coordenadas del punto “B”. Punto de intersección de la tangente a la curva circular en el .C con la tangente primitiva. Punto donde la curva circular prolongado tiene su radio perpendicular a la tangente primitiva. Punto cualquiera de la espiral. Punto central de la curva. Grado de la curva circular. B M O Gc FORMULARIO : Rc = 1145.92 Gc 3 Le = θe = ψc = 0.0351⋅ V Rc Le Gc 40 θe 3 ∆ c = ∆T − 2θe θe 2 CL = 4 ⋅ Rc⋅ sin Xc = CL⋅ cos ψ c ( ) ó Le Xc = ⋅ ( 100 − .003046 ⋅ θe) 100 ( ) ó 3 Le Yc = ⋅ 0.5818⋅ θe − 0.00001266θe 100 Yc = CL⋅ sin ψ c ( k = Xc − Rc⋅ sin( θe) p = ψ c − Rc⋅ sinVERS( θe) TL = Xc − Yc⋅ 1 tan( θe) ∆T + k 2 Te = ( Rc + p ) ⋅ tan ψM = θe⋅ LM 3 ⋅ Le 2 2 TC = ψ c⋅ 1 sin( θe) LC = 20⋅ ∆c Gc ) Ejemplo: Cálculo de los elementos geométricos necesarios para poder trazar la siguiente curva con espirales simétricas de transición en el campo. PI := 3000 + 437.95 ∆T := 36º45'derecho º45'derecho Km V := 60 h Gc := 8ºº Rc := 1145.92 Gc Rc = 143.24mts 3 Le := 0.0351⋅ V Rc Le = 52.929mts Nota: Le siempre es número entero y par θe := ψ c := Le 40 ⋅ Gc θe = 10º24'00'' θe ψ c = 3º28'00'' 3 ∆ c := ∆T − 2 ⋅ θe ∆ c = 15º57' θe 2 CL := 4 ⋅ Rc⋅ sin ( ) Xc := CL⋅ cos ψ c CL = 51.93mts ó Xc = 51.83mts ( ) Yc := CL⋅ sin ψ c Le Xc.1 := ⋅ ( 100 − .003046 ⋅ θe) 100 Xc.1 = 51.83mts ó ( Le 3 Yc.1 := ⋅ 0.5818⋅ θe − 0.00001266θe 100 Yc = 3.14mts Yc.1 = 3.14mts k := Xc − Rc⋅ sin( θe) k = 25.97mts p = ψ c − Rc⋅ sinVERS( θe) p = 0.79mts sinVERSO = 1 − cos( θe) ) p := ψ c − Rc⋅ ( 1 − cos( θe) ) TL := Xc − Yc⋅ TC := ψ c⋅ 1 1 tan( θe) sin( θe) ∆T + k 2 Te := ( Rc + p ) ⋅ tan TL = 34.72mts TC = 17.39mts Te = 73.81mts LC := 20⋅ ∆c Gc LC = 39.88mts d M := 1.5⋅ Gc ψ M := θe 3 ⋅ Le 2 d M = 12' ψ M = 0.00128205LM 2 TE := PI − Te CE := EC + LC EC := TE − Le ET := CE + Le Cadenamientos : PI = 3 + 437.95 Te = 73.81 TE = 3 + 364.14 Le = 52.00 EC = 3 + 416.14 LC39 88 CE = 3 + 456.02 Le = 52.00 ET = 3 + 508.02 LM TE = 3+364.14 380.00 400.00 LM2 15.86 35.86 LM EC = 3+416.14 420.00 440.00 LM2 3.86 23.86 LM CE = 3+456.02 460.00 480.00 500.00 251.54 1285.94 14.90 569.30 LM2 452.00 48.02 28.02 8.02 204304.00 2305.92 785.12 64.32 ET = 3 + 508.02 δ 1 := 3.86⋅ d M δ 2 := 20.00⋅ d M δ 3 := 16.02⋅ d M Comprobación : ∆c := ∆c 2 2 ∆c 2 θe 2 = 7º28' = 3º28' δ 1 = 46'32 δ 2 = 4º00' δ 3 = 3º12'24'' 7.- CURVA SIMPLE CON ESPIRALES ASIMETRICAS T.S.T1 X1 T1. C A I F d1 D1 Σ δ1 P.C.C R 2 R O δ2 P.C.C D2 P.I. H P.I. T T2 d1. Donde: I Punto de Inflexión. Σ Deflexión en el P.I. S Deflexión central de la espiral. T Tangente D Desalojamiento de la curva por la introducción de la espiral. D=R+d R Radio de la curva circular simple. T.S.T = T + S.T S.R Subtangente. P.C.C Punto de la curva compuesta (E.C. o C.E.). X1 Abscisa de la espiral. B Elementos Geométricos de una curva simple con Espirales Asimétricos T.S. T1=CA + AB - IB X1 C I A B Pero : X1 CA = X1-Rsen δ 1= T1 donde: De X1 - T1 T1 R . sen δ 1= X1− T1 R X1− T1=R . sen δ1 R δ1 y del triángulo O - A -B: A B D1 Σ 2 O De las figuras siguientes se deduce: d1 - d2 I 180º − Σ B N M F P I d1-d2 d1 F d1-d2 d2 d1 IB II FP BP II IF IM = d 1 − d 2 = PN por lo tanto IM = PN Entonces : I-F-P-B es un rumbo ( ) por lo tanto IB = IF = d 1 − d 2 cscΣ por lo tanto Σ TST1 = T1 + D1 ⋅ tan − d 1 − d 2 cscΣ 2 ( de la misma forma se obtiene TST2 TST2 = TH + HF + FI Σ TST2 = T2 + D2 ⋅ tan − d 1 − d 2 cscΣ 2 ( B ) ) P CURVAS VERTICALES Las curvas verticales o parabólica se emplean normalmente para obtener una transición gradual entre línea rasantes o subrasantes en el plano vertical, en el caso de carreteras y vías férreas. Es decir, para unir líneas de diferente pendiente. Cuando las dos pendientes forman una colina la curva se llama “cresta” y cuando forma una depresión se llama “columpio o valle”. P.I.V. P.T.V. P.C.V. Cresta Columpio o valle P.T.V. P.C.V. P.I.V. Para facilidad de calculo los P.I.V. e localizan de preferencia en estaciones enteras o medias estaciones, siendo a veces obligado a establecerlos en lugares precisos donde el terreno o el proyecto así lo requiera, sin importar que sea o no cadenamiento cerrado. Las pendientes de la tangentes verticales se obtienen dividiendo el desnivel encontrado por las elevaciones de los puntos extremos de la tangente entre la distancia horizontal de esa tangente. El resultado se expresa en porciento aproximándolo con dos decimales, a menos que condiciones especiales como igualdades en elevaciones o ligas requieran de más decimales. Es positiva la pendiente cuando la elevación del punto extremo delantero es mayor que la de atrás, y negativa en caso contrario. 4 + 900.00 ∆h1= 2130.50 P := 2130.50 − 2015.50 4900 − 3500 P = 8.214 % 3 + 500.00 ∆h1= 2015.50 Proyectadas las tangentes verticales, se procede a calcular las elevaciones de las estaciones a cada 20 mts. Para calcular las elevaciones a cada 20 mts. de una tangente vertical, es cómodo utilizar el incremento por estación (I), el que se obtiene dividiendo la pendiente entre cinco, que es el número de estaciones que hay en 100 mts. I := P 5 I = 1.64 incremento por estación SOLUCIÓN DE LA CURVA VERTICAL, MEDIANTE LA FÓRUMULA 2 Y = kx La expresión y=Kx2 corresponde a la ecuación de una parábola, que es la recomendada para emplearse en la liga de dos tangentes verticales, a que propicia el cambio gradual de dirección entre la tangente de entrada y la de salida, obteniéndose una variación uniforme de la pendiente entre los dos puntos de tangencia (P.C.V. y Bp.t.v.) en que se intercala la sección de la parábola. P.T.V D Yn=d E y P.C.V A B F X Xn=n n = Nº de estaciones de 20 mts. FE 2 AF = CD 2 AC 2 FE = CD⋅ AF 2 AC P.I.V C Sustituyendo por sus literales, tenemos: 2 x y= n 2 ⋅ yn = yn 2 x 2 n Pero : yn = d d por lo tanto k = n y = kx 2 2 De la siguiente figura, tenemos que: F X P.I.V B H G f y E P.C.V. P.T.V. C D A P' P L2 AD = DC BE = ED BD = 2f AC = Longitud de la curva El triángulo ABD, es semejante al triángulo AFC: Entonces: BD FC = AD AC = 1 2 FC = FG + GC BD = 1 2 FC = 1 2 ( FG + GC) L2 P= d d = Px x FG = GC = L 2 L 2 ( P) ( −P' ) Si : BD = 2f BD = L 4 BD = ( P − P' ) L ( P) − ( P) 2 L L 2 2 Ordenada media (flecha) Otra propiedad: y = 2 f L 2 x y= (x2)f L 2 2 2 = fx 2 2 = L 4fx L 2 2 4 Ecuación de la parábola conocida la ordenada media f en función de las pendientes. x 2 =y L 4f La fórmula para el cálculo de la longitud de la curva es: 2 LCV = ADp 425 cuando Dp < L Ejemplo : cálculo de las elevaciones de la siguiente curva vertical, por lo métodos: 2 a ) y=k x b ) Variación de pendiente Solución (b) CADENAMIENTO PUNTO ELEVACIÓN PIV2 17 + 120 1802.32 PIV1 16 + 630 1775.37 490 P( entrada) = + 26.95 490 = 0.055 P = 5.5% 26.95 PIV3 17 + 620 1788.82 PIV2 17 + 120 1802.32 500 P( salida ) = 26.95 −13.50 500 = − 0.027 P = − 2.7% 17+120 P.I V2 1802.32 17+620 PIV3 1788.82 16+630 P.I. V1 1775.37 Incremento por estación 5.5 I1 = = 1.10mts 5 Incremento por estación 2.7 I2 = = 0.54mts 5 ( ) A = P1 − P2 % = 5.5 − ( −2.7) = 8.2 Datos del Proyecto: V = 60 km hr Tor = 2.5 R = 0.34 Dp = 2 VTPR + 3.6 V 254f 2 LCV = ADp 425 = 60⋅ ( 2.5) 3.6 2 = 8.2⋅ 83.36 425 = 2 + 60 254 ⋅ ( 0.34) 56980.895 425 = 41.67 + 41.69 = 83.36 = 134.07mts 134.07 ≈ 160 ∴ L.C.V.= 8 Estaciones (20 mts) f = ( p − p) ⋅ L 8 = 0.082⋅ 160 1.64 8 2 2 x 20 y1 = 4 ⋅ f⋅ = 4 ⋅ ( 1.64) = 0.10 L 160 2 2 x 40 y2 = 4 ⋅ f⋅ = 4 ⋅ ( 1.64) = 0.41 L 160 2 2 x 60 y3 = 4 ⋅ f⋅ = 4 ⋅ ( 1.64) = 0.92 L 160 2 2 x 80 y4 = 4 ⋅ f⋅ = 4 ⋅ ( 1.64) = 1.64 L 160 EST 17+040 17+060 17+080 17+100 17+120 17+140 17+160 17+180 17+200 P% 5.5 PCV 1.10=I1 P.I.V 0.54=I2 P.T.V -2.7 ELEV. TAN G y ELEV. DEFINITIVA 1797.92 1799.02 1800.12 1801.22 1802.32 1801.78 1801.24 1801.70 1800.16 0.00 -0.10 -0.41 -0.92 -1.64 -0.92 -0.41 -0.10 0.00 1792.92 1798.92 1799.71 1800.30 1800.68 1800.86 1800.83 1801.60 1800.16 Solución (a): ELEVACIÓN EST 17+040 17+060 17+080 17+100 17+120 17+140 17+160 17+180 17+200 P% 5.5 P.C.V P.T.V. -2.7 k = TAN. PROLONG e e2 Y=ke3 ELEVACIÓN DEFINITIVA 1797.92 1799.02 1800.12 1801.22 1802.32 1803.42 1804.52 1805.62 1806.72 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 4 9 16 25 36 49 64 0.00 -0.10 -0.41 -0.92 -1.64 -2.56 -3.69 -5.02 -6.56 1797.92 1798.92 1799.71 1800.30 1800.68 1800.86 1800.83 1800.60 1800.16 1800.16-1806.72 64 -0.1025 Ejemplo : Calcular las elevaciones de la siguiente cuerva vertical. Pendiente : Datos : V = 90 km hr f = 0.305 p ( entrada) = 2.0% p ( salida ) = −1.0% TPR = 2.5 PIV = 3 + 420 h ⋅ ( PIV) = 1727.25mts 2 I1 = = 0.4mts 5 1 I2 = = 0.2mts 5 A = 2 − ( −1 ) = 3.0 Dp = 2 VTPR + 3.6 V 254f = 90⋅ ( 2.5) 3.6 2 + 90 254 ⋅ ( 0.305) = 62.5 + 104.56 Dp = 167.06 2 LCV = ADP 425 = 2167.06 425 2 = 197.00mts LCV = 10EST⋅ ( 20mts) km P.C.V. = km PIV-5 Est P.C.V. = (3+420)-100=3+320 km P.C.V. = km PIV+5 Est P.C.V. = (3+420)+100=3+520 f = ( p − p) ⋅ L 8 = [ 0.02 − ( 0.01) ] ⋅ =0.03(25)=0.75 200 8 197 ≈ 200 2 2 x 20 y1 = 4 ⋅ f⋅ = ( 4 ⋅ 0.75) ⋅ = 3 ⋅ 0.01 = 0.03 L 200 2 2 x 40 y2 = 4 ⋅ f⋅ = ( 4 ⋅ 0.75) ⋅ = 3 ⋅ 0.04 = 0.12 L 200 2 2 x 60 y3 = 4 ⋅ f⋅ = ( 4 ⋅ 0.75) ⋅ = 3 ⋅ 0.09 = 0.27 L 200 2 2 x 80 y4 = 4 ⋅ f⋅ = ( 4 ⋅ 0.75) ⋅ = 3 ⋅ 0.16 = 0.48 L 200 2 2 x 100 y1 = 4 ⋅ f⋅ = ( 4 ⋅ 0.75) ⋅ = 3 ⋅ 0.25 = 0.75 L 200 EST 3+320 3+340 3+360 3+380 3+400 3+420 3+440 3+460 3+480 3+500 3+520 P% 2.0 P.C.V P.I.V P.T.V -1.00% ELEV. TANG y ELEV. DEFINITIVA 1725.25 1725.65 1726.05 1726.45 1726.85 1727.25 1727.05 1726.85 1726.65 1726.45 1726.25 0.00 -0.03 -0.12 -0.27 -0.48 -0.75 -0.48 -0.27 -0.12 -0.03 0.00 1725.25 1725.62 1725.93 1726.18 1726.37 1726.50 1726.57 1726.58 1726.53 1726.42 1726.25 2 SOLUCIÓN : y = kx EST P% ELEV. TANG e e2 y=ke2 ELEV. DEFINITIVA 3+320 3+340 3+360 3+380 3+400 3+420 3+440 3+460 3+480 3+500 3+520 P.C.V 1725.25 1725.65 1726.05 1726.45 1726.85 1727.25 1727.65 1728.05 1728.45 1728.85 1729.25 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 0.00 1.00 4.00 9.00 16.00 25.00 36.00 49.00 64.00 81.00 100.00 0.00 -0.03 -0.12 -0.27 -0.48 -0.75 -1.08 -1.47 -1.92 -2.43 -3.00 1725.25 1725.62 1725.93 1726.18 1726.37 1726.50 1726.57 1726.58 1726.53 1726.42 1726.25 1726.25-1729.25 100 = -0.03 P.I.V P.T.V k= NOTA : La elevación del P.T.V se conoce, ya que se conocen las elevaciones de todos los cadenamientos a cada 20 mts. y porque el P.T.V. es un punto de la tangente vertical. si no se conoce la elevación del P.T.V como en el caso de un ejemplo en clase, se puede deducir ya que se conocen; L/2, km P.I.V. y la pendiente.