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Universidad Nacional de Ingeniería Recinto Universitario Augusto C. Sandino Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical Ing. Sergio Navarro Hudiel Octubre 2011 ESTELÍ - NICARAGUA Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical Índice Contenido Pág. Introducción .......................................................................................................................................................................... 2 Pendiente ......................................................................................................................................................................... 4 Velocidad de Diseño ...................................................................................................................................................... 6 Carriles de Ascenso ....................................................................................................................................................... 8 Normas generales para el alineamiento vertical. .................................................................................................................. 9 Distancia de Visibilidad ................................................................................................................................................. 9 Distancia de Visibilidad de parada ............................................................................................................................ 10 Distancia de Visibilidad de adelantamiento o rebase ............................................................................................ 12 CURVAS VERTICALES ................................................................................................................................................ 15 Tipos de curvas veticales ........................................................................................................................................... 15 Condiciones de diseño de curvas verticales en cresta o convexas .................................................................. 16 Casos de trazados de curvas verticales en columpio o concávas ..................................................................... 19 Medidas y registros de la distancia de visibilidad.................................................................................................. 24 Elementos de la curva ................................................................................................................................................. 27 Curvas verticales simétricas ...................................................................................................................................... 29 Curvas verticales asimétricas .................................................................................................................................... 30 Longitud de las curvas verticales ............................................................................................................................. 31 Ejemplo de curva en cresta ................................................................................................................................................. 35 Ejemplo de curva en columpio 2 ......................................................................................................................................... 37 EJEMPLO 3 ........................................................................................................................................................................ 40 EJEMPLO 4:....................................................................................................................................................................... 41 Bibliografía.......................................................................................................................................................................... 44 Ing. Sergio Navarro Hudiel 1 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical Introducción Las curvas verticales son las que se utilizan para servir de acuerdo entre la rasante de distintas pendientes en carreteras y caminos. Éstas suavizan el cambio en el movimiento vertical, es decir que a lo largo de ella se efectúa el paso gradual de la pendiente de la tangente de entrada a la de salida. Para ello se utilizan arcos parabólicos. (Campos, 2009) En general cuando la diferencia algebraica entre las pendientes a unir sea menor que 0.5% las curvas verticales no son necesarias (P2-P1 < 0.5%). Las curvas verticales que unen las rasantes que se cortan en los ferrocarriles, carreteras, caminos y otros, tienen por objeto suavizar los cambios en el movimiento vertical, En los ferrocarriles y carreteras, contribuyen a la seguridad, comodidad, confort y aspecto, de un modo tan importante como las curvas horizontales. Todas las distancias en las curvas verticales se miden horizontalmente, y todas las ordenadas desde las tangentes a la curva se miden verticalmente. En consecuencia la longitud de una curva vertical, es su proyección horizontal. Si no se define de otro modo, las curvas verticales son simétricas en el sentido que las tangentes son de la misma longitud. El alineamiento vertical de una carretera está ligada estrechamente y depende de la configuración topográfica del terreno donde se localice la obra. Se compone de líneas rectas y curvas en el plano vertical, identificándose las subidas o pendientes ascendentes con un signo positivo (+), y las bajadas con signo negativo (-), expresadas usualmente en porcentajes. Aparte de consideraciones estéticas, costos de construcción, comodidad y economía en los costos de operación de los vehículos, siempre deben tomarse en cuenta los siguientes factores: • Visibilidad y accidentalidad. • Composición del tránsito. • Relación entre la velocidad y sus engranajes de cambio en la operación del vehículo. (SIECA, 2004) El alineamiento vertical es la proyección sobre un plano vertical del desarrollo del eje de la subcorona, al cual se le llama línea subrasante. El alineamiento vertical se compone de tangentes y curvas. La posición de la subrasante depende principalmente de la topografía de la zona atravesada. (Fonseca Rodríguez, 2010). Las curvas verticales en los cambios de rasante son generalmente arcos de parábola. Desde el punto de vista de la eficiencia de funcionamiento, conducción suave y aspecto agradable, las CV deben tener suficiente longitud para mantener el grado de cambio de pendiente en un mínimo. Además en las carreteras la comodidad exige que se conserve el grado de cambio de pendiente dentro de límites tolerables. Esto es lo más importante en las curvas en vaguadas en las cuales la fuerza de gravedad centrífuga actúa en la misma dirección. Una curva larga tiene un aspecto más agradable que una corta, es preferible una línea con pendiente suave, en cambios graduales, a otra con numerosos cambios de pendientes y longitudes de rampas (pendiente ascendente) cortas. Por tanto en el cálculo de la longitud de curvas verticales se deben tomar en cuenta la visibilidad y comodidad. (Campos, Ing. Sergio Navarro Hudiel 2 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical 2009) En la figura anterior se presenta en esquema del resultado de las rasante proyectada sobre el perfil del terreno del eje del camino en su forma característica, conteniendo los elementos y datos típicos, tales como; datos de los PI’s verticales correspondientes a elevación y estación , curva vertical, así como la pendiente de los segmentos, expresando sus valores en % y el sentido, ascendente (+) y descendente (-). (UNI) La pendiente de cada segmento se calcula de la siguiente manera: (m) m Elev.2 Elev.1 * 100 Est.2 Est.1 Para facilidad de cálculo, se utiliza la pendiente en valores m/m, a manera de un factor de lo que sube (-) o baja (-) por metro, para posteriormente calcular a la distancia horizontal que se requiera, este valor se le suma o resta según sea el caso, a elevación anterior lo cual se puede expresar como: dl12=fm/m*L12; Elev2=Elev.1+dl12 dl12= valor que se aumenta o disminuye del punto 1 al pto 2. Fm/m= factor de la pendiente en m/m. l12= distancia horizontal del punto 1 al pto. 2. Elev.1= Elevación del punto 1, como valor conocido Elev2= Elevación del punto 2, como elemento a calcular. Tal y como se describe anteriormente (OSPINA, 2002), pág. 396,397 confirma que el Ing. Sergio Navarro Hudiel 3 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical alineamiento vertical de una vía compuesto por dos elementos principales: rasante y perfil. La rasante a su vez está compuesta por una serie de tramos rectos, llamados tangentes, enlazados entre sí por curvas. La longitud de todos los elementos del alineamiento vertical se consideran sobre la proyección horizontal, es decir, en ningún momento se consideran distancias inclinadas. Para nosotros el eje de Y es rotulado como elevaciones y X estaciones. Una diferencia importante entre las curvas verticales y horizontales es que las verticales no necesitan entretangencia, es decir, que puede haber una sucesión de curvas sin ningún problema para el conductor. Pendiente La pendiente influye sobre el costo del transporte, porque al aumentar ella se incrementa el tiempo de recorrido del vehículo y esto genera un mayor consumo de combustible, aceite y otros. Por otro lado disminuye la capacidad de la vía, esto cobra importancia cuando hay un alto porcentaje de camiones. Al tratar de disminuir las pendientes generalmente aumentan los volúmenes de excavación con un consecuente aumento en los costos. Para hacer una elección óptima de la pendiente a utilizar, hay que hacer un balance entre costos de construcción y explotación. Las normas Centroamericanas, en sección 4-63, establecen los siguientes criterios para clasificar el tipo de terreno en función de la pendiente. Ing. Sergio Navarro Hudiel 4 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical Según este manual, en las etapas iniciales del diseño de las carreteras, siempre es conveniente dar la debida consideración al uso de componentes de dimensiones normales o mejoradas en la sección transversal, por estar comprobado que con un bajo costo relativo, reducen sustancialmente los riesgos de accidentes o, inversamente, contribuyen al mejoramiento de los niveles de seguridad vial. Cualesquiera que sean estos elementos de la sección transversal, deben mantenerse a lo largo de todo el proceso de diseño de una carretera o de un segmento dado de dicha carretera. El manual de Normas en su resumen ejecutivo, indica los siguientes valores típicos para los Elementos de diseño en las carreteras regional: Ing. Sergio Navarro Hudiel 5 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical Velocidad de Diseño Recordemos que para la velocidad de diseño, para ello las normas de diseño geométrico, SIECA en su versión 2004, sección 4-3, estipula: Según SIECA en su sección 3-7, Un conjunto ordenado de especificaciones se podría proponer para cada tipo de carretera, desglosando aún cada tipo según las características del terreno, para aceptar mayores restricciones a medida que las difíciles condiciones del terreno hacen más costosas las soluciones deseables. De tal forma que si en un terreno plano la velocidad de diseño de un tipo de carreteras, fácilmente puede fijarse en los 90 o 110 kilómetros por hora, Ing. Sergio Navarro Hudiel 6 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical las restricciones constructivas y sus implicaciones en materia de costos, aconsejarán que en terreno montañoso dicha velocidad deba restringirse a 60 o 70 kph, lo cual afectará los radios mínimos, las distancias de visibilidad, las pendientes máximas. Se podrían generalizar las velocidades en función del tipo de carretera de la siguiente manera Clasificación Troncal suburbana P Troncal suburbana O Troncal suburbana M Troncal Rural P Troncal Rural O Troncal Rural M Colectora suburbana P Colectora suburbana O Colectora suburbana M Colectora Rural P Colectora Rural O Colectora Rural M 90 80 70 80 70 60 70 60 50 70 60 50 (Ver detalle de clasificación de carreteras en SIECA). Partiendo de la clasificación regional en función del tipo de pavimento y volumen de tráfico, Estableciendo en su sección 2-17 el nivel de servicio para usar con fines de diseño: Ing. Sergio Navarro Hudiel 7 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical El vehículo de diseño con su relación peso/potencia, define características de operación que determinan la velocidad con que es capaz de recorrer una pendiente dada. El vehículo de diseño WB-15, que es el T3-S2 que conocemos. Las secciones transversal también se diseñan en función de las condiciones de tráfico, de manera general la sección típica es: Tomado de (OSPINA, 2002) figura 55. Pág 261. Carriles de Ascenso La justificación para la construcción de un carril de ascenso en una carretera de dos carriles, debe basarse en los tres criterios siguientes: a. El tránsito ascendente debe ser mayor de 200 vehículos por hora: este se determina multiplicando el proyectado volumen de diseño por el factor de distribución direccional para el tránsito ascendente y dividiendo el resultado por el factor de hora pico. b. El tránsito ascendente de camiones debe ser mayor de 20 vehículos por hora: la cifra anterior se multiplica por el porcentaje de camiones en el sentido ascendente del tránsito. Ing. Sergio Navarro Hudiel 8 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical c. Debe además concurrir una de las siguientes causales: Se espera que la velocidad de un camión pesado se reduzca por lo menos en 15 kilómetros por hora Normasgeneralesparaelalineamientovertical. En terrenos planos, la altura de la subrasante sobre el terreno se fija normalmente con base al drenaje. En terrenos en lomerío se utilizan comúnmente subrasantes onduladas. En terrenos montañosos la subrasante es controlada estrechamente por las restricciones y condiciones topográficas. Se le debe dar preferencia a una subrasante suave con cambios graduales, en lugar de una con numerosos quiebres y pendientes en longitudes cortas. Desde el punto de vista del proyecto, las restricciones son la pendiente máxima y la longitud crítica. Deben evitarse vados formados por curvas verticales muy cortas, pues el perfil resultante corresponde a condiciones de seguridad y estética muy deficientes. No se recomienda proyectar dos curvas verticales sucesivas en la misma dirección que estén separadas por una tangente vertical corta. Es mejor proyectar un perfil escalonado que uno con una sola pendiente sostenida. Cuando la magnitud del desnivel a vencer o la limitación del desarrollo obliga a proyectar largas pendientes uniformes, se deberá considerar la opción de construir un carril adicional de ascenso, si se justifica de acuerdo con los volúmenes de tránsito esperados. Las curvas verticales en columpio deben evitarse en secciones en corte, a menos que existan facilidades para las soluciones de drenaje. En pendientes largas, puede ser preferible colocar las pendientes mayores al pie de la pendiente y aliviarlas hacia el final o, alternativamente, intercalar pendientes suaves por cortas distancias para facilitar el ascenso. En tangente, deberían generalmente evitarse, particularmente en curvas en columpio donde la visión de la carretera puede ser desagradable al usuario. Distancia de Visibilidad Es la longitud máxima de la carretera que un conductor ve continuamente delante de él, cuando las condiciones atmosféricas y del tránsito son favorables. Por tanto la carretera tanto en su trazo en planta como en las curvas verticales de la rasante, debe tener las condiciones de visibilidad precisas para que el conductor pueda tomar las decisiones pertinentes durante su recorrido. Ing. Sergio Navarro Hudiel 9 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical La distancia de visibilidad no depende del tránsito pero si influye sobre éste, ya que limita la velocidad, la capacidad de la vía y es uno de los factores de accidentes de tránsito. En general, se consideran dos distancias de visibilidad de Parada y de Rebase. Distancia de Visibilidad de parada Es la distancia de visibilidad mínima necesaria para que un conductor que transita, cerca de la velocidad de proyecto, vea un objeto en su trayectoria y pueda parar su vehículo antes de llegar a él. Es la distancia de visibilidad mínima que debe proporcionarse en cualquier punto de la carretera. Según (SIECA, 2004) en su sección 4-22 Esta es la distancia requerida por un conductor para detener su vehículo en marcha, cuando surge una situación de peligro o percibe un objeto imprevisto adelante de su recorrido. Esta distancia se calcula para que un conductor y su vehículo por debajo del promedio, alcance a detenerse ante el peligro u obstáculo. Es la distancia de visibilidad mínima con que debe diseñarse la geometría de una carretera, cualquiera que sea su tipo. La distancia de visibilidad de parada tiene dos componentes: la distancia recorrida por el vehículo desde que el conductor ve el objeto hasta que coloca su pie en el pedal de freno y la distancia recorrida por el vehículo durante la aplicación de los frenos. A la primera se le conoce como distancia de reacción y a la segunda distancia de frenado. Dp d d donde: Dp= Distancia de visibilidad de parada d= Distancia de reacción d'= Distancia de frenado La distancia de reacción se calcula mediante la siguiente fórmula: d 0.278Vt donde: V= Velocidad del vehículo, expresada en km/hr t= Tiempo de reacción, expresado en segundos La distancia de frenado se obtiene: V2 d 254 f p donde: f= Coeficiente de fricción longitudinal p= Pendiente de la carretera Ing. Sergio Navarro Hudiel 10 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical Sumando d y d' se obtiene la distancia de visibilidad de parada: V2 Dp 0.278Vt 254 f p Normalmente se considera un valor del tiempo de reacción de 2.5 segundos. Dependiendo de la velocidad, el coeficiente de fricción longitudinal se puede estimar con una de las dos expresiones siguientes: f = 0.40 – 0.0020 ( V – 30 ) para: 30 km/hr V 60 km/hr. f = 0.34 – 0.0015 ( V – 60 ) para: 60 km/hr V 110 km/hr. La (SIECA, 2004), en su seccioón 4-23 establece La distancia de visibilidad de parada no contempla situaciones al azar, que obliguen a los conductores a realizar maniobras imprevistas, por lo que en los manuales modernos de diseño se ha incorporado el concepto de distancia de visibilidad de decisión, que se define como aquella requerida por un conductor para detectar algo inesperado dentro del entorno de una carretera, reconocerlo y seleccionar una trayectoria y velocidad apropiadas, para maniobrar con eficiencia y seguridad. Por su concepto, estas distancias resultan sustancialmente mayores que las distancias calculadas de visibilidad de parada. Empíricamente se han establecido distancias para cubrir estas distancias divididas en las siguientes cinco situaciones particulares, que se dimensionan en el cuadro 4-6, literal c): a. Detención en carretera rural b. Detención en vía urbana c. Cambio de velocidad, trayectoria y dirección en carretera rural. d. Cambio de velocidad, trayectoria y dirección en carretera suburbana e. Cambio de velocidad, trayectoria y dirección en vía urbana. El manual centroamericano en su sección 4-28, establece las DISTANCIAS DE VISIBILIDAD DE PARADA Y DE DECISIÓN (cuadro 4.6) Ing. Sergio Navarro Hudiel 11 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical Para el caso de las curvas horizontales, la distancia de visibilidad para realizar cálculos de elementos de diseño recomendado por la AASHTO: D = R (1- cos 28.65 S/R) D= Distancia de visibilidad en curvas horizontales S= Distancia de visibilidad de parada medida a lo largo de la curva, R= Radio de curva, metros. Distancia de Visibilidad de adelantamiento o rebase Se define como la mínima distancia de visibilidad requerida por el conductor de un vehículo para adelantar a otro vehículo que, a menor velocidad relativa, circula en su mismo carril y dirección, en condiciones cómodas y seguras, invadiendo para ello el carril contrario pero sin afectar la velocidad del otro vehículo que se le acerca, el cual es visto por el conductor Ing. Sergio Navarro Hudiel 12 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical inmediatamente después de iniciar la maniobra de adelantamiento Se dice que un tramo de carretera tiene distancia de visibilidad de rebase cuando la distancia de visibilidad en ese tramo es suficiente para que el conductor de un vehículo pueda adelantar a otro que circula por el mismo carril, sin peligro de interferir con un tercer vehículo que venga en sentido contrario y se haga visible al iniciarse la maniobra. (Fonseca Rodríguez, 2010) A partir de 1958, se ha establecido en México 500 metros como límite para la distancia de velocidad de rebase, a una velocidad de proyecto de 110 km/hr. Para velocidades menores de 110 km/hr, las distancias de velocidad de rebase se reducen proporcionalmente; es decir: Dr 500 V 4.545V ; 110 V 110 km hr donde: Dr= Distancia de Visibilidad de Rebase, expresada en metros Este proceso de revase puede apreciarse en la siguiente figura tomada de (OSPINA, 2002), página 371, figura 85. Distancia de seguridad esta entre 35 y 90 m. d4 = (2/3) d2 . Según SIECA en su sección 4-30, Ing. Sergio Navarro Hudiel 13 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical El conductor puede retornar a su carril si percibe, por la proximidad del vehículo opuesto, que no alcanza a realizar la maniobra completa de adelantamiento. Para establecer relaciones se establecieron los siguientes supuestos simplificatorios: ♦ El vehículo que es rebasado viaja a una velocidad uniforme. ♦ El vehículo que rebasa viaja a esta velocidad uniforme, mientras espera una oportunidad para rebasar. ♦ Se toma en cuenta el tiempo de percepción y reacción del conductor que realiza las maniobras de adelantamiento. ♦ Cuando el conductor esta rebasando, acelera hasta alcanzar un promedio de velocidad de 15 kilómetros por hora más rápido que el otro vehículo que está siendo rebasado. ♦ Debe existir una distancia de seguridad entre el vehículo que se aproxima en sentido contrario y el que efectúa la maniobra de adelantamiento. ♦ El vehículo que viaja en sentido contrario y el que efectúa la maniobra de rebase van a la misma velocidad promedio. ♦ Solamente un vehículo es rebasado en cada maniobra. ♦ La velocidad del vehículo que es rebasado es la velocidad de marcha promedio a la capacidad de diseño de la vía. ♦ Esta distancia de visibilidad para adelantamiento, se diseña para carreteras de dos carriles de circulación, ya que esta situación no se presenta en carreteras divididas y no divididas de carriles múltiples. Las curvas proyectadas para distancia de visibilidad de rebase resultan de gran longitud y sólo deberán utilizarse donde lo amerite el nivel de servicio. Ing. Sergio Navarro Hudiel 14 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical En todos los casos, se deberá exceder el valor mínimo de la longitud de curva, calculado con la ecuación siguiente, desarrollada empíricamente por la AASHTO: L 0.6 *V CURVAS VERTICALES Tipos de curvas veticales Las curvas verticales son las que enlazan dos tangentes consecutivas del alineamiento vertical, para que en su longitud se efectúe el paso gradual de la pendiente de la tangente de entrada a la de la tangente de salida. Se deberá de tratar el empleo de una pendiente uniforme durante el cambio de una pendiente a otra. Si al diferencia algebraica de las pendientes es menor de 0.5 % no es necesario su empleo. Cuando la vía es principal la aceleración vertical producto del peso propio y la gravedad permisible es de 0.15 m/s2 y para las secundarias es de 0.5 m/s2. Existen básicamente dos tipos de curvas verticales: en cresta o convexas y en columpio o cóncavas (Las primeras son cóncavas hacia abajo y las segundas hacia arriba). Las primeras se diseñan de acuerdo a la más amplia distancia de visibilidad para la velocidad de diseño y las otras conforme a la distancia que alcanzan a iluminar los faros del vehículo de diseño. (OSPINA, 2002), en su publicación, página 413 y 414, establece la siguiente clasificación: Ing. Sergio Navarro Hudiel 15 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical Los valores de p y q, corresponden a los valores P1 y P2, que se detallan más adelante. Condiciones de diseño de curvas verticales en cresta o convexas Según SIECA, en su sección 4-65, existen dos condiciones para diseñar este tipo de curvas: La primera considera que la longitud de la curva (L) es mayor que la distancia de visibilidad (S) de parada y la segunda se presenta cuando L es menor que S. En el primer caso L> S Ing. Sergio Navarro Hudiel 16 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical *Tomado de Ospina, 2002. Pag. 386. DPV = S, LV = L Se aplica la siguiente expresión para calcular la longitud mínima (L) de curva vertical: Donde, G = Diferencia algebraica de pendientes (%) S = Distancia de visibilidad h1 = Altura del ojo del conductor h2 = Altura del objeto Reemplazando en esta fórmula la altura del ojo del conductor h1 = 1.07 metros y del objeto h2 = 0.15metros, la ecuación para diseño para la longitud mínima de la curva vertical es la siguiente: L = GS2 /404 Cuando L < S, la expresión matemática es la siguiente: Ing. Sergio Navarro Hudiel 17 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical *Tomado de Ospina, 2002. Pag. 384. DPV = S, LV = L L = 2 S – 404/G Al comparar las dos ecuaciones obtenidas Al comparar las ecuaciones L = 2 S – 404/G L = GS2 /404 S>L S<L Se puede observar en la expresión L = 2 S – 404/G, para valores pequeños de G y S la longitud es negativa mientras que para la segunda, L = GS2 /404 , siempre serán positivos y si además se realiza una tabla de valores de LV para las diferentes velocidades y diferentes valores de A los resultados obtenidos con la segunda expresión siempre serán mayores. Con lo anterior se puede concluir que la expresión para A < L es la que se debe emplear. L puede ser relacionada con la diferencia algebraica de pendientes por medio de un factor denominado K, que en sí identifica la curva. La longitud de la curva vertical utilizando el factor K es: L = K.G en esta lógica de simplificación, si la fórmula de cálculo es L= GS2 /404 el valor de K sería K= S2 /404 y así sucesivamente para las demás ecuaciones. De esta ecuación G = L/K Por ejemplo si se tiene una curva vertical de 80 metros y las pendientes son p1=3% y p2= 5.0%, entonces G = 80/(3 – (-5)) = 10 m/% lo cual significa que para la curva en cuestión se requieren 10 metros de distancia horizontal para cambiar 1% de pendiente. Según SIECA en su sección 4-66, Cando se utiliza la distancia de visibilidad de adelantamiento como criterio de control para el diseño, las longitudes de las curvas verticales en cresta resultan mayores que las calculadas utilizando las expresiones arriba indicadas, lo que hace pensar que diseñar para estas longitudes, conduce a una considerable elevación de los costos de construcción; además, que para recomendar estas distancias, debe haber una combinación Ing. Sergio Navarro Hudiel 18 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical favorable entre topografía del terreno, seguridad y volúmenes de tránsito, que dé cómo resultado su plena justificación. Las distancias de parada y adelantamiento se pueden obtener de las secciones 4-68 y 4-69 de la SIECA. Las distancias mínimas de visibilidad para adelantamiento están presentes en el cuadro 4.7, que en conjunto con los correspondientes a las de visibilidad de parada del cuadro 4.6, se han utilizado para preparar el cuadro 4.21, que presenta los valores de K para el cálculo de las longitudes de curvas verticales en cresta para diferentes velocidades de diseño. De igual manera que el caso anterior, existen dos consideraciones a tomar en cuenta cuando se usa la distancia de visibilidad de adelantamiento; La primera se presenta cuando la longitud de curva (L) es mayor que la distancia de visibilidad (S), entonces se utiliza la siguiente fórmula: L = GS2 /946 diferenciados en que la altura de objeto es de 1.3 m en vez de 0.15 m. Cuando L es menor que la distancia de visibilidad de adelantamiento la expresión es: L = 2 S – 946/G Casos de trazados de curvas verticales en columpio o concávas Ing. Sergio Navarro Hudiel 19 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical (OSPINA, 2002) indica que El análisis para la curva vertical cóncava se realiza teniendo en cuenta la visibilidad nocturna donde la iluminación producida por las luces delanteras del vehículo juega un papel importante. La visibilidad diurna no representa ningún problema ya que todo conductor ubicado dentro de una curva vertical cóncava siempre tendrá la visibilidad necesaria para su seguridad a menos que dentro de la curva vertical este ubicada una curva horizontal. En vías urbanas donde existe iluminación artificial la longitud mínima de la curva vertical se rige más bien por la comodidad en la marcha y la estética. Según SIECA en su sección 4-69 para el diseño de Curvas en Columpios o Cóncavas se han identificado los siguientes cuatro criterios para usarse en el cálculo de las longitudes de curvas en columpios. • El primero y a emplear en diseño, se basa en la distancia iluminada por los faros delanteros del vehículo o de seguridad • El siguiente toma en cuenta básicamente una sensación subjetiva de comodidad en la conducción, cuando el vehículo cambia de dirección en el alineamiento vertical. • El tercero considera requerimientos de drenaje. • El último se basa en consideraciones estéticas. Criterio de la distancia iluminada de los focos delanteros o de seguridad: La longitud de la curva debe ser tal, que en toda la curva la distancia de visibilidad sea mayor o igual que la de parada. En algunos casos especiales, el nivel de servicio deseado puede hacer necesario que se establezca la longitud de la curva con la distancia de visibilidad de rebase. Se presentan dos casos a considerar en el primer criterio, dependiendo si la distancia iluminada por los faros del vehículo es mayor o no que la longitud de la curva. Cuando la longitud de curva, L, es mayor que la distancia de visibilidad iluminada, S *Tomado de Ospina, 2002. Pag. 393. DPV = S, LV = L L = G S²/ (120 +3.5S) Ing. Sergio Navarro Hudiel 20 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical Donde, L = Longitud mínima de curva vertical en columpio, m. S= Distancia de visibilidad iluminada por los faros del vehículo, m. G= Diferencia algebraica entre pendientes de la curva, %. Cuando L es menor que S la fórmula utilizada es la siguiente: *Tomado de Ospina, 2002. Pag. 392. DPV = S, LV = L L min = 2S – (120+3.5S)/G Se considera una altura de los faros de 0.6 metros y un ángulo de 1° de divergencia de los rayos de luz. En el desarrollo de las fórmulas de este criterio y para su aplicación en diseño, se recomienda utilizar los rangos de distancias de visibilidad de parada, que son aproximadamente iguales a la distancia iluminada por los faros de los vehículos cuando viajan a la velocidad de diseño. (SIECA, 2004) Sección 4-70. El segundo criterio basado en la comodidad, tiene su fundamento en la suspensión de la carrocería de los vehículos, el peso que mueve, la flexibilidad de las llantas, los tipos de asientos, entre otros. Se reconoce que la operación confortable de vehículos en curvas en columpio, se logra cuando la aceleración centrífuga alcanza 0.3m/seg², que incorporado a la fórmula de diseño, resulta: L = G V²/395 por tanto L / G ≥ V2 / 395 Las longitudes de curvas calculadas utilizando el criterio de comodidad equivalen al 50% de los correspondientes a la modalidad anterior. El tercer criterio persigue la satisfacción de las necesidades del drenaje en las curvas en columpio (también utilizado para las de cresta cuando están alojadas en corte). Un criterio recomendado para el diseño consiste en dotar una pendiente de 0.3 por ciento dentro de los 15 metros del punto a nivel del terreno, sus resultados son muy similares a los obtenidos de la Ing. Sergio Navarro Hudiel 21 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical fórmula L= KG, cuando K= 51 y la velocidad de diseño es de 100 kilómetros por hora. L = G * 43, por tanto L/G ≤ 43 Hay que aclarar que las longitudes calculadas para efecto de drenaje son máximas hasta 100 kilómetros por hora y no mínimas, como en los demás criterio de diseño de curvas verticales. Después de 100 hasta 120 Kilómetros por hora, las longitudes son mínimas, al igual que los otros criterios. Cuando se trata de tomar en cuenta aspectos de estética o apariencia en estas curvas, existe la fórmula empírica L= 30G, Por tanto L / G ≥ 30 Siendo L la longitud mínima y G la diferencia algebraica de pendientes. Los resultados obtenidos son similares a los que corresponden al criterio de la distancia iluminada por los faros de vehículos para velocidades de 70 – 80 kilómetros por hora. En atención a la diferencia de longitudes de curva que se obtienen aplicando los criterios mencionados, se recomienda diseñar curvas verticales en columpio utilizando el primer criterio descrito, dando especial consideración al drenaje cuando K es mayor de 51. (SIECA, 2004) A como se ha indicado en la descripción del primer criterio, la distancia de visibilidad de parada (Cuadro 4.6) es la que controla la recomendación de longitudes mínimas para curvas en columpio, considerando valores menores y mayores de este parámetro. De igual manera en que fueron calculados los valores de diseño de las curvas en cresta, también es conveniente expresar los controles de diseño de las curvas en columpio en términos de K para todos los valores de G. Con estas bases se ha preparado el cuadro 4.22 (SIECA, 2004). Ing. Sergio Navarro Hudiel 22 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical El manual centroamericano de Normas de Diseño Geométrico en su sección 4-30 estipula los siguientes valores: Ing. Sergio Navarro Hudiel 23 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical Para proyecto, la expresión para el cálculo de la distancia de visibilidad de rebase mínima que puede aplicarse es Dr= 4.5V, donde Dr es la distancia de visibilidad de rebase mínima en mts y V la velocidad de proyecto en Km/hr. Medidas y registros de la distancia de visibilidad En México y otros países, el criterio que normalmente se sigue es el de seguridad, en el que cuando menos se debe cumplir con la distancia de visibilidad de parada. Para medir la distancia de visibilidad se considera, la altura de los ojos del conductor sobre el pavimento de 1.14 metros. En el caso de la distancia de visibilidad de parada, la altura del objeto que debe ver el conductor es de 0.15 metros. Para medir la distancia de visibilidad de rebase, se fijó una altura de objeto de 1.37 metros, con la cual se cubre la altura de la mayoría de los automóviles. Para medir la distancia de visibilidad de rebase, se fijó una altura de objeto de 1.30 mt, con la cual se cubre la altura de la mayoría de los automóviles. DVP Ing. Sergio Navarro Hudiel 24 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical En el caso de las curvas verticales en columpio, se considera la distancia de visibilidad de parada en función de la zona iluminada por los faros de un vehículo que circula de noche. Para tal efecto, se establece que los faros del vehículo están a 0.61 metros sobre el pavimento y los rayos luminosos del cono proyectado forman un ángulo de 1° con la prolongación del eje longitudinal del camino. La SIECA en su sección 4-32, establece Ing. Sergio Navarro Hudiel 25 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical Ing. Sergio Navarro Hudiel 26 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical : Elementos de la curva La SCT en su página 28, describe que los elementos de la curva vertical son los siguientes: Ing. Sergio Navarro Hudiel 27 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical PIV: Punto de Intersección vertical de las tangentes verticales. PCV: Punto de comienzo de la curva vertical. PTV: Punto de terminación de la curva vertical. P1: Pendientes de la tangente de entrada expresada en m/m P2: Pendientes de la tangente de salida expresada en m/m G: diferencia algebraica de pendientes. A = P1-(-P2) ó A = P2-P1 L: Longitud total de la curva vertical en m. K: variación de longitud por unidad de pendiente (parámetro). K = L/G X: distancia del PCV aun PSV en m. P: pendiente en un PSV, en m/m. P = P1- (G*(X/L) P´: Pendiente de una cuerda, en m/m. P´= ½ (P1+P) E: Externa en m. E = (GL)/8 F: Flecha en m. F = E T: desviación de un PSV a la tangente de entrada, en m. T = 4E(X/L)2 Zo: Elevación del PCV, en m. Zx: Elevación de un PSV, en m. Zx = Zo + P1X- GX2/2L Zx = Zo + (P1-(GX/2L) X) Si esta ecuación se escribiera como función de ejes ordenados la ecuación para encontrar las elevaciones sobre la curva, se expresaría que: Y = Yo ± P X ± GX2/2L Y = Yo ± P X ± GX2/2L Nota: Si X y L, se expresan en estaciones de 20 m la elevación del PSV puede calcularse con cualquiera de las expresiones: Ing. Sergio Navarro Hudiel 28 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical Zx = Zo + (20P1- (10GX/L) X) Zx = Zx-1 + (20P1- (10GX/L) (2X-1) Note que para calcular un punto cualquiera sobre la curva conociendo P2, P1, L y PCV. Se utiliza la siguiente expresión: y: Toma signo positivo cuando la curva está en columpio y si está en cresta se resta. La importancia de “y” radica en que en ocasiones se necesita identificar el punto más bajo o alto sobre la curva. x: Distancia horizontal medida a partir del PCV. Los Coeficientes de K a emplear para diseños, tomados de tablas sugeridas por Normas SIECA: Curva vertical en velocidad km/h Cresta Distancia de Parada 30 40 50 60 70 80 90 100 110 30 45 65 85 110 140 170 205 245 Columpio Factor k 3 5 10 18 31 49 71 105 151 4 8 12 18 25 32 40 51 62 Curvas verticales simétricas La curva esta partida en dos. Se denomina curva vertical simétrica aquella donde la proyección horizontal de la distancia PCV – PIV es igual a la proyección horizontal de la distancia PIV – PTV. Ing. Sergio Navarro Hudiel 29 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical *Tomado de Ospina, pág 406 PCV = PIV – Lv/2 PTV = PIV + Lv/2 E = G(Lv)/8 Elev PCV = Elev PIV – P1(L/2)/100 Elev PTV = Elev PIV +P2(L/2)/100 Elev Sobre tangents CTi = Elev PIV – P(L)/100 Curvas verticales asimétricas La curva vertical asimétrica es aquella donde las proyecciones de las dos tangentes de la curva son de diferente longitud. En otras palabras, es la curva vertical donde la proyección horizontal de la distancia PCV a PIV es diferente a la proyección horizontal de la distancia PIV a PTV. Este tipo de curva es utilizado cuando alguna de las tangentes de la curva esta restringida por algún motivo o requiere que la curva se ajuste a una superficie existente, que solo la curva asimétrica podría satisfacer esta necesidad. La longitud total de la curva será L1 +L2 y se trabaja cada longitud independiente. *Tomado de Ospina, pág 410. Cuando se emplean curvas asimétricas se recomienda, principalmente por estética, que se Ing. Sergio Navarro Hudiel 30 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical cumpla la relación Lmayor / Lmenor <1.5 (OSPINA, 2002) E = (Lv1 * Lv2 G)/ 2 Lv, donde G es la diferencia algebraica de pendientes en porcentajes. Longitud de las curvas verticales Los factores que afectan la longitud de una curva vertical son, (a) efecto centrífugo (b) visibilidad. Según (Fonseca Rodríguez, 2010), la condición que se considera óptima para la conducción de un vehículo en una curva, corresponde a un movimiento con una componente horizontal de la velocidad constante: dx Vx C dt Por lo que la componente horizontal de la aceleración es: dVx d 2 x ax 2 0 dt dt Para cumplir con lo anterior, normalmente se utiliza una parábola, cuya ecuación general es: y Kx 2 Si llamamos A a la diferencia algebraica entre las pendientes de la tangente de entrada y de salida y L a la longitud de la curva vertical; como fracción de 20 metros: A K ; A P2 P1 10 L La expresión de la parábola: Y x: Y: L: K: x2 * K ; en donde 2L Distancia horizontal variable, medida desde el PCV ó el PTV en dirección al PIV. Ordenada medida verticalmente; correspondiente a la distancia x, desde la tangente hasta la curva vertical. Longitud de la curva vertical. Diferencia algebraica de las pendiente, posterior menos la anterior (m2-m1). Este valor se conoce también como “el grado de cambio de pendiente”. Ing. Sergio Navarro Hudiel 31 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical Considerando la curva parabólica plana que se muestra en la figura, se puede ver que el eje y pasa por el PVC y el eje x también, formando un sistema de coordenadas de referencia. En la curva se tiene que: L= Longitud de curva P1= Pendiente de Entrada P2= Pendiente de Salida La razón de cambio de la pendiente de la parábola es constante, por lo que, la segunda derivada de y con respecto a x es una constante: d2y r constante (1) dx 2 Integrando se obtiene la primera derivada o pendiente de la curva expresada por: dy rx H dx (2) Ahora, cuando x=0, la pendiente es P1 y cuando x=L, la pendiente de la parábola es P2, obteniéndose: P1 0 H (3) P2 rL H (4) Sustituyendo 3 en 4 y despejando r se tiene: P P1 r 2 (5) L donde; r= Razón de cambio de la pendiente en porcentaje por unidad de longitud Sustituyendo 5 en 2: Ing. Sergio Navarro Hudiel 32 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical dy P2 P1 x P1 dx L Integrando 6 se tiene la altura de la curva y en cualquier punto: P P1 x 2 y 2 P1 x c L 2 (6) (7) Cuando x=0, el valor de y es equivalente a la elevación del PCV, por lo tanto se obtiene lo siguiente: C YPCV Quedando la ecuación 7 en su expresión final: y Y PCV P1 x r 2 x 2 Esta ecuación es la que se definió como general para el cálculo de las elevaciones sobre la parábola. Ejemplo Diseñe la Long. Vert. Para unir tangentes AB Y BC tomando en cuenta el criterio de seguridad que la Long. Mínima de las curvas satisfaga cuando menos la distancia de visibilidad de fondo o que esta longitud se pueda calcular empleando la formula de la AASHTO para la condición D<L. = 100 ℎ = 1 + 500 = 94360 ⁄ 1 = +0.03833 2 = −0.05000 = 2 − 1 = −0.05000 − 0.03833 = −0.08833 = −8.833% Criterio: Es necesario utilizar curva vertical porque A> 0.5 %(Replanteo curva) Determinación de la longitud de la curva de seguridad considerando el caso D<L. Para satisfacer el requisito de distancia de visibilidad de parada se tiene. Lmin= K*A Manual de la SIECA Lmin= (55) (8.833)= 485.82 m La longitud obtenida debe redondearse al número de estaciones de veinte m inmediato superior. Ing. Sergio Navarro Hudiel 33 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical Lm= 500 (Para el diseño) Cálculo de las estaciones PIV= 1+500 PCV= PIV-L/2 = 1+500-500/2 = 1+250 PTV= PIV+ L/2 = 1+500+500/2 1+750 Calculo de las elevaciones PCV Y PTV Elev PCV = Elev PIV – PI L/2 Elev PCV = 94.360 – 0.03833 (500/2) = 84.778m Elev PTV = Elev PIV – P2 L/2 =94.360 + (-0.05) (500/2) =81.060m Cálculo de las ecuaciones de la rasante Pn la curva en puntos espaciados cada 20 m. 2 2− 1 −0.08833 ∗ = ∗ 2 2 ∗ 500 = −8.833 ∗ 10 ∗ = Esta ecuación es la misma descrita por la SCT, Zx = Zo + (P1-(AX/2L) X) Note que el valor sería: Elev Esti = Elevación Inicial + Pend * L – GX2/2L Que podrá ser usado como: Elev x= Elev PCV + P1(x) + GX2/2L Partiendo de la elevación inicial del PCV y con los valores de P1 y GX2/2L la ecuación genral de será: Elev i = Elev PCV + P1*x + Gx2/2L Sustituyendo los valores en esta ecuación: Elev. i = 84.778+ 0.03833 X – 8.833*10-5 X2 Elev. (1+250) = 84.778+ (0.03833) (10) – 8.8333*105 (10) Elev 1+250= 85.161 m Ing. Sergio Navarro Hudiel 34 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical La distancia al Punto más alto referido al PCV Xm = ∗ (0.03833) ∗ (500) −0.05 − 0.03833 Xm = −216.97 Xm = Est P más alto = Est PCV –Xm = 1+250 + 216.97 =1+466.97m Ejemplodecurvaencresta V= 80km/h Est PIV = 23+140 Elev PIV = 31.145 P1= +0.032 P2= -0.044 Dp= 112 G= P2 - P1 = -0.044 – 0.032 = - 0.076 % el valor de G se utiliza como valor absoluto en %. G = 7.6 % Si A > 0.5 % se replantea a curva, es decir es necesaria. L = L = ∗ 404 7.6 ∗ 112 ≈ 240 404 4 − 63 Calculo de estacionamiento EstPIV = 23+140 EstPCV= Est PIV – L/2 =23+140 - 240/2 =23+020 EstPTV= EstPIV + L/2 =23+140 + 240/2 =23+260 Ing. Sergio Navarro Hudiel 35 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical Calculo de elevaciones EstPIV = 34.145 m ElevPCV= ElevPIV – P1(L/2) =34.145 – 0.0321 (240/2) =30.305m ElevPTV= ElevPIV + P2(L/2) =34.145 + (-0.044)(240/2) =28.865m La ecuación general a resolver será: 30.305 + 0.032 X - 1.5833 ∗ 10 X /2 = + − 2 = −0.076 = −1.5833 ∗ 10 2(240) Podriamos llamar a la expresión GX2/2L como Y y simplificar los cálculos al hacerlo de forma tabular encontrando la elevación sobre la curva al resta a la elevación sobre la tangente este valor: PCV PIV PTV Estación 23+020 23+040 23+060 23+080 23+100 23+120 23+140 23+160 23+180 23+200 23+220 23+240 23+260 X 0 20 40 60 Elev s/t 30.305 30.945 31.585 32.225 Elev s/c 30.305 30.882 31.332 31.655 80 100 120 140 160 180 200 220 240 32.865 33.505 34.145 33.265 32.385 31.505 30.625 29.745 28.865 31.852 31.922 31.865 31.682 31.372 30.935 30.372 29.682 28.865 y 0 -0.063 -0.253 -0.570 -1.013 -1.583 -2.280 Note que en la ecuación se emplean los valores de x desde el PCV hasta el PTV. Tambien podría emplearse esta ecuación y comenzar en el PTV y llegar hasta el PIV considerando los nuevos valores de G y X. Cada 20m porque los estacionamientos PIV,PCV Y PTV lo indican. Además, según tablas de la SIECA, si V=80km/h f= 0.14 y e=0.10 Ing. Sergio Navarro Hudiel 36 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical 145692.26(0.10 + 0.14) = 5.46 80 0 0 Si 0 < G < 6 cadenamientos son cada 20 metros. = Se usa la ecuación : = ∗ ó L = K*A Porque son curvas verticales en función de los parámetros antes descritos Ejemplodecurvaencolumpio2 V= 80 km/h EstPIV= 3+900 EstPTV = 104.766 m = 260 P1 = -0.04333 P2 = +0.03200 G = P2 – P1 = 0.032 – (-0.0433) = 0.0753 , 7.53 % > 0.5% Cálculo de estacionamientos EstPIV= 3+900 EstPCV= 3+900 – 260/2 EstPTV = 3+900+260/2 =3+770 =4+0.30 Cálculo de elevaciones ElevPCV = 104.766m ElevPIV = 104.766 + (-0.0433) (260/2) = 99.137m ElevPTV=99.137+ (0.032) (260/2) =103.297m La ecuación general quedará: Y = 104.766 – 0.0433 X + 0.0753/2L X2 Reemplazando el valor de L, 2 = 0.032 − (−0.04333) ∗ 2(260) = 0.1448 ∗ 10 Y = 104.766 – 0.0433 X + 1.448 x 10-3 X2 Ing. Sergio Navarro Hudiel 37 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical PCV PIV PTV Estación 3+770 3+790 3+810 3+830 3+850 3+870 3+890 3+900 3+920 3+940 3+960 3+980 4+000 4+020 4+030 X 0 20 40 60 80 100 120 130 110 130 70 80 30 10 0 Elev S/T 104.766 103.899 103.033 102.166 101.300 100.433 99.566 99.137 99.777 100.417 101.057 101.697 102.337 102.977 103.297 Elev S/C 104.766 103.957 103.265 102.687 102.227 101.881 101.651 101.584 101.529 101.590 101.767 102.059 102.467 102.991 103.297 Y 0 0.05792 0.23168 0.52128 0.92672 1.448 2.0852 2.44712 1.75208 1.17288 0.70952 0.362 0.13032 0.01448 0 ElevS/T 3+920= 99.137+(0.032)(20) =99.777 S lo prefieres se pueden replantear la curva desde el PTV donde cambia la ecuación de las pendientes. Así por ejemplo: La ecuación ya no será Y = 104.766 – 0.0433 X + 1.448 x 10-3 X2 sino con los valores de P2 por tanto, Y = 103.297 – 0.032 X + 1.448 x 10-3 X2 De esta ecuación sustituyendo los valores de X desde el PTV encontramos los valores. Así por ejemplo: Elevación 4+020 Y4+020 = 103.297 – 0.032 X + 1.448 x 10-3 X2 Elevación 4+020 Y4+020 = 103.297 – 0.032 (10) + 1.448 x 10-3 (10)2 Ing. Sergio Navarro Hudiel 38 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical De Igual manera: PCV PIV PTV Estación 3+770 3+790 3+810 3+830 3+850 3+870 3+890 3+900 3+920 3+940 3+960 3+980 4+000 4+020 4+030 X 0 20 40 60 80 100 120 130 110 130 70 80 30 10 0 Elev S/T 104.766 103.899 103.033 102.166 101.300 100.433 99.566 99.137 99.777 100.417 101.057 101.697 102.337 102.977 103.297 Elev S/C 104.766 103.957 103.265 102.687 102.227 101.881 101.651 101.584 101.529 101.590 101.767 102.059 102.467 102.991 103.297 Y 0 0.05792 0.23168 0.52128 0.92672 1.448 2.0852 2.44712 1.75208 1.17288 0.70952 0.362 0.13032 0.01448 0 En Conclusión no importa como usted decida hacerlo. Para puntos ubicados entre el PCV y el PIV las distancias (X) se consideran desde el PCV, mientras que para los puntos ubicados entre el PIV y el PTV las distancias (X’) se miden a partir del PTV. El señor (OSPINA, 2002) propone que este cálculo puede hacerse en función de las correcciones basados en la externa. Así para las curvas simétricas: Partiendo de la Externa E = GL/8 = (0.032 – (-0.0433) * 260/8 = -0.0753 * 260/8 = -2.447 La corrección vertical Y = -2.447/(260/2)2 = 1.447 X 10-4 X2 Al hacer constante el valor de E/(Lv/2)2 resultará: Al introducir los valores de las distintas distancias (estas distancia se deben tomar desde el PCV –PIV y PIV –PTV) se obtendrán los valores de Y para luego a la cota de tangente solo restar este valor y encontrar los valores de elevaciones sobre la curva. Y 3+790 = 1.447 X 10-4 (20)2 = 0.05792 Estación X PCV 3+770 0 3+890 120 Elev S/T 104.766 99.566 Elev S/C 104.766 101.651 Y 0 2.0852 Al Fin es la misma ecuación general que se plasma por la SCT. Para el caso de las asimétricas Ing. Sergio Navarro Hudiel 39 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical la ecuación es la misma solo que debe de trabajarse con cada longitud de la cuva y la externa se calcula por: EJEMPLO3 Se va a proyectar una curva vertical entre pendientes P1=1.25% y P2= -2.75 % con intersección en la estación 18 + 000 de elevación 270.29 m. Calcular las elevaciones en las estaciones cerradas a 20 metros y revisar la longitud. Velocidad de Proyecto: 110 km/hr. SOLUCIÓN: 1) Para definir la longitud de la curva vertical y cumplir con las distancias de visibilidad de parada debe de cumplirse con el parámetro K para curvas en cresta o para curvas en columpio según sea el caso. A manera de ejemplo para el cálculo de las elevaciones de la curva se tomó la longitud L 80m 2) Cálculo de la curva empleando la ecuación matemática de una parábola se tiene: r * x2 y YPCV P1 * x 2 La longitud de curva siempre es planimétrica y se considera la mitad de la curva del PIV hacia el PCV y la mitad del PIV hacia el PTV. Con este criterio y las pendientes de las tangentes verticales se calculan las elevaciones de los puntos de inicio y terminación de la curva. YPTV = 270.29 - (0.0275) (40) = 269.19 m YPCV = 270.29 - (0.0125) (40) = 269.79 m La ecuación de la parábola con los valores de la variables conocidos sustituidos y quedando “y” en función de “x” queda: r P2 P1 2.75 1.25 0.00025 2 2L 2 * 80 *100 y 269.79 0.00025 x 2 0.0125 x Cadenamiento PCV = 17 + 960 17 + 980 Ing. Sergio Navarro Hudiel X Y Distancia ( m ) Elevación ( m ) 0.0 269.790 20 269.940 40 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical PIV = 18 +000 18 + 020 PTV = 18 +040 40 60 80 269.890 269.640 269.19 EJEMPLO4: Calcular la siguiente curva vertical: P1 = + 3.4 % P2 = - 4.0 % PIV = 10 +140 Elevación = 24.145 m SOLUCIÓN: 3) Para definir la longitud de la curva vertical y cumplir con las distancias de visibilidad de parada debe de cumplirse con el parámetro K para curvas en cresta o para curvas en columpio según sea el caso. Considerando una longitud L 160m 1) Cadenamientos del PCV y PTV 2) L 160 10 140 10 060 2 2 L 160 Cad PTV Cad PIV 10 140 10 220 2 2 Elevaciones del PCV y PTV P L ElevPCV ElevPIV 1 * 24.124 0.034 * 80 21.425m 100 2 P L ElevPCV ElevPIV 2 * 24.145 0.034 * 80 20.945m 100 2 Cad PCV Cad PIV 3) En este ejemplo se empleará la ecuación directa o método directo que es una simplificación de del método de la ecuación parabólica anterior, la expresión es: y kx 2 P k 10 L donde: y= Ordenada vertical a restar o sumar, a las cotas de la tangente de la curva P= Diferencia algebraica de pendientes de la curva x= Número de orden que le corresponde a la estación L1= Longitud de curva en estaciones de 20 metros Ing. Sergio Navarro Hudiel 41 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical Para el ejemplo: P 7.4% L=8estaciones Por lo tanto: k 7.4 0.0925 10 * 8 Caso 1: Cotas a través de ambas pendientes Estación Cotas x x² k en Tangent es PCV = 10 + 060 21.425 10 + 080 22.105 1 1 0.0925 10 + 100 22.785 2 4 0.0925 10 + 120 23.465 3 9 0.0925 PIV = 10 + 140 24.145 4 16 0.0925 10 + 160 23.345 3 9 0.0925 10 + 180 22.545 2 4 0.0925 10 + 200 21.745 1 1 0.0925 PTV = 10 + 220 20.945 - y Cotas en Curva 0.0925 0.3700 0.8325 1.4800 0.8325 0.3700 0.0925 - 21.4250 22.0125 22.4150 22.6325 22.6650 22.5125 21.1750 21.6525 20.9450 Caso 2: Cotas a través de la pendiente de entrada ( P1 ) Estación Cotas en x x² k Tangentes PCV = 10 + 060 10 + 080 10 + 100 10 + 120 PIV = 10 + 140 10 + 160 10 + 180 10 + 200 PTV = 10 + 220 21.425 22.105 22.785 23.465 24.145 24.825 25.505 26.185 26.865 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 4 9 16 25 36 49 64 0.0925 0.0925 0.0925 0.0925 0.0925 0.0925 0.0925 0.0925 0.0925 y 0.0925 0.3700 0.8325 1.4800 2.3125 3.3300 4.5325 5.9200 Cotas en Curva 21.4250 22.0125 22.4150 22.6325 22.6650 22.5125 21.1750 21.6525 20.9450 Caso 3: Cotas a través de ambas pendientes PIV=10+150; Elevación=24.145m; PCV=10+070; PTV=10+230 Estación Cotas en x x² k y Tangentes PCV = 10 + 070 21.425 0 0.0925 10 + 080 21.765 0.5 0.25 0.0925 0.02313 Ing. Sergio Navarro Hudiel Cotas en Curva 21.4250 21.7419 42 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical 10 + 100 10 + 120 PIV = 10 + 140 10 + 160 10 + 180 10 + 200 10 + 220 PTV = 10 + 230 22.445 23.125 23.805 23.745 22.945 22.145 21.345 20.945 1.5 2.5 3.5 3.5 2.5 1.5 0.5 0 2.25 6.25 12.25 12.25 6.25 12.25 0.25 - 0.0925 0.0925 0.0925 0.0925 0.0925 0.0925 0.0925 0.0925 0.20813 0.57813 1.13313 1.13313 0.57813 0.20813 0.02313 - 22.2369 22.5469 22.6718 22.6119 22.3669 21.9369 21.3219 20.9450 Caso 4: Cotas a través de la pendiente de entrada ( P1 ) PIV=10+150; Elevación=24.145m; PCV=10+070; PTV=10+230 Estación Cotas en Tangentes 21.425 21.765 22.445 23.125 23.805 x x² k y 0 0.5 1.5 2.5 3.5 0.0925 0.0925 0.0925 0.0925 0.0925 0.02313 0.20813 0.57813 1.13313 10 + 160 24.485 4.5 0.0925 1.87313 22.6119 10 + 180 25.165 5.5 0.0925 2.79813 22.3669 10 + 200 25.845 6.5 0.0925 3.90813 21.9369 10 + 220 26.525 7.5 0.0925 5.20313 21.3219 PTV = 10 + 230 26.865 8 0.25 2.25 6.25 12.2 5 20.2 5 30.2 5 42.2 5 56.2 5 64.0 0 Cotas en Curva 21.4250 21.7419 22.2369 22.5469 22.6718 0.0925 5.9200 20.9450 PCV = 10 + 070 10 + 080 10 + 100 10 + 120 PIV = 10 + 140 Resuelva este ejercicio propuesto por Agudelo en su pág. 426 N 1 2 3 4 Estación 0+000 0+180 0+370 0+580 Ing. Sergio Navarro Hudiel Elevación 324.51 337.83 322.25 335.90 43 Diseño y Cálculo Geométrico de Viales - Alineamiento Vertical Bibliografía AASHTO. (2001). A policy on Geometric Desing of Higways and streets. Washington, D.C: www.transportation.org. ASTEC, T. (s.f.). Normas de Diseño Geométrico de Carreteras y de caminos vecinales. En T.A.M.S., Normas de Diseño Geométrico de Carreteras y de caminos vecinales (págs. 42-90). Quito - Ecuador. BURBANO, M. J. (21 de Septiembre de 2011). es.escrib.com. Recuperado el 21 de Septiembre de 2011, de http://es.scribd.com/doc/49567307/PI-Inaccesible-y-curvas-compuestas Campos, I. M. (2009). Apuntes de Diseño Geométrico. Recuperado el 16 de Septiembre de 2001, de Diseño Geométrico de Viales: http://moisessuarez.files.wordpress.com/2009/08/unidad-ii-parte-dos.pdf Fonseca Rodríguez, C. (2010). Maestría en Vías Terrestres. Ingeniería de Carreteras (pág. Presentación). Managua: Curso de Ingenieria de Carreteras. OSPINA, J. J. (2002). 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