Algebra Lineal

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Algebra Lineal

Universidad Nacional de Ingeniería
Facultad de Ciencias
Física Computacional
CC063
Algebra Lineal
Prof: J. Solano
2012-I
Fisica Computacional - CC063
Introduccion
Aqui trabjaremos con operaciones basicas con matrices, tales como solucion
de ecuaciones lineales, calculo de inversa de matriz, su determinante, etc.
Detalles importantes de programacion tales como manejo de asignacion de
memoria para matrices, introduccion al concepto de clases, templates.
Trabajaremos principlamente con matrices simetricas o hermitianas.
En aras de la simplicidad, echemos un vistazo a una matriz (4x4) A y una
matriz identidad correspondiente I.
La inversa de una matriz es definida por
Una propiedad de las matrices simetricas y hermitianas es que tienen
autovalores reales
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Propiedades de matrices
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Declaracion de vectores y matrices de tamanho fijo
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Declaracion de vectores y matrices de
tamanho dinamico
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Descomposicion-LU de una matriz
Una matriz mxn se dice que tiene descomposicion-LU si existen matrices L y U con las
siguientes propiedades:
- L es una matriz triangular inferior mxn con todas los elementos en la diagonal siendo 1
- U es una matriz m×n en alguna forma escalonada
- A = LU
Ventajas de la descomposicion:
Suponga que queremos resolver el sistema mxn, Ax = b
Si podemos hallar una descomposicion-LU para A, entonces para resolver AX=b es
suficiente resolver los sistemas (Ax=b equivale a LUx=b)
Ly = b
Ux = y
Entonces el sistema Ly = b puede ser resuelto por el método de sustitución hacia adelante
y el sistema Ux = y puede ser resuelto por el método de sustitución hacia atrás.
Para ilustrar esto, le damos algunos ejemplos
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Considere el sistema Ax = b, donde
x1 + 2 x 2
=2
3 x1 + 6 x 2 – x3 = 8
x1 + 2 x 2 + x 3 = 0
Es facil chequear que A=LU, donde
Para resolver Ax=b, primero resolvemos Ly = b por sustitucion hacia adelante
para obtener
Ahora resolvemos Ux = y por sustitucion hacia atras:
obteniendose x1= 6, x2= -2, x3= -2
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Sea matriz A4x4 tq A=BC
Comenzamos con la primera columna
Que determina los elementos c11 , b21 , b31 , b41 . Ahora para la segunda columna
Aqui los valores desconocidos son c12 , c22 , b32 y b42 , que pueden ser evaluados por A y
por el resultado anterior
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Descomposicion-LU: algoritmo de Crout
Podemos generalizar este procedimiento en tres ecuaciones
Para cada columna (j) calculemos el primer elemento c1j por: c1j = a1j
Luego calculamos todos los elementos cij , i = 2, …, j-1
Ahora calculamos los elementos de la diagonal c jj,
Finalmente calculamos los elementos bij , i > j.
En el caso que es cero o cercano a cero, lo que lleva a perdida de precision, hay que usar un
metodo de pivoteo (intercambiano filas) en torno al mayor elemento de la columna
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Solucion de sistema de ecuaciones lineales
Con la descomposicion-LU es simple resolver un sistema de ecuaciones
lineales
En forma matricial: Ax = w
Usando la descomposicion-LU: Ax = BCx = w
Se puede calcular esta ecuacion en dos pasos: By = w ; Cx = y
Para nuestro ejemplo 4-d
esto toma la forma:
y
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Inversa de una matriz y determinante
Def. basica de determinante:
la suma es sobre todas las permutaciones p de los indices 1,2,...,n, que dan n! terminos.
Igual, para caclular la inversa de A hay que calcular el cofactor de c/elemento aij, que es un
(j-1) determinante. Esto significa el calculo de n 2 determinantes. DEMASIADO!!!
Una matriz A con descomposicion-LU: det{A} = det{B} x det{C) = det{C}
ya que los elementos diagonales de B son 1.
Entonces el determinante de A es:
La inversa es algo mas complicada. Formalmente, dado A=BC: A -1 = C-1 B-1
La razon es que la inversa de una matriz triangular superior (inferior) tambien es una matriz
triangular superior (inferior)
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Si llamamos D a la inversa de B, se pueden determinar los elementos de la matriz de la ec
que lleva al algoritmo general
que es valido para i > j. La diagonal es 1 y los elementos del triangulo superior son cero.
Resolvemos la ecuacion columna por columna (incrementando j).
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Similarmente definimos una ecuacion que da la inversa de C (la llamamos E)
con la ecuacion general (para i<= j)
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Solucion de sistema de ecuaciones lineales
Con la descomposicion-LU es simple resolver un sistema de ecuaciones lineales
En forma matricial:
Ax=w
A-1 A x = A-1 w
I x = A-1 w
x = A-1 w
Tambien se puede resolver usando las librerias de Matlab
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