Ecuaciones de Rectas y Planos

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Unidad 2 : VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO
Tema 2.5 : Ecuaciones de Rectas y Planos
(Estudiar la Sección 12.5 en el Stewart 5ª Edición y hacer la Tarea No. 8)
Ecuaciones de la recta que pasa por el punto P0 ( x0 , y 0 , z 0 ) en la dirección del
r
vector v = a, b, c , en donde a,b y c se llaman números directores y el vector v se
llama el vector director de la recta.
Ecuaciones
Ecuación Vectorial
r r r
r = r0 + v t
Paramétricas
Ecuaciones Simétricas
x = x0 + at
x − x0 y − y 0 z − z 0
=
=
=t
a
b
c
y = y0 + bt
z = z 0 + ct
Dos rectas L1 y L2, con vectores directores v1 y v2, son paralelas si v2=k v1. Si no
son paralelas puede ser que se intercepten en un punto o que no lo hagan. Si no son
paralelas ni se interceptan se dice que son oblicuas o sesgadas.
Ecuaciones del plano que pasa por el punto P0 ( x0 , y 0 , z 0 ) , y es perpendicular al
r
vector normal n = a, b, c
Ecuación Vectorial
(rr − rr0 ) ⋅ nr = 0
Ecuación Lineal
Ecuación Escalar
a ( x − x0 ) + b ( y − y 0 ) + c ( z − z 0 ) = 0
ax + by + cz = d
Ejercicios de práctica
E1.- (a) Encuentre la ecuación vectorial y (b) las ecuaciones paramétricas y (c)
simétricas de la recta que pasa por el punto (5,1,3) y es paralela al vector
iˆ + 4 ˆj − 2kˆ , y (d) encuentre otros dos puntos sobre la recta.
E2.- (a) Encuentre las ecuaciones paramétricas y (b) simétricas de la recta de la
recta que pasa por los puntos (2,4,−3) y (3,−1,1) . (c) ¿En que punto intercepta la
recta al plano xy?
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E3.- Muestre que las rectas L1 y L2 se interceptan en un punto y determine el punto
de intercepción
L1 :
x −1 y z −1
x y+2 z+2
= =
= t ; L2 :
=
=
=s
2
1
4
1
2
3
E4.- (a) Determine la ecuación lineal del plano que pasa por el punto P0 (2,4,−1) y
r
es perpendicular al vector n = 2,3,4 , (b) Determine las intercepciones con los ejes,
(c) determine las trazas con los planos de coordenadas, y (d) dibuje el plano.
E5.- Determine la ecuación del plano que pasa por los puntos:
P(1,3,2 ), Q(3,−1,6 ), R(5,2,0 )
E6.- Encuentre el punto en donde la recta x = 2 + 3t , y = −4t , z = 5 + t intercepta
al plano 4 x + 5 y − 2 z = 18
E7.- Determine las ecuaciones paramétricas de la recta de intercepción de los dos
planos: x + y + z = 1 ; x − 2 y + 3 z = 1
Respuestas a los ejercicios:
r
R1 : r = 5,1,3 + t 1,4,−2 = 5 + t ,1 + 4t ,3 − 2t = (5 + t )iˆ + (1 + 4t ) ˆj + (3 − 2t )kˆ
(b) : x = 5 + t ;
y = 1 + 4t ; z = 3 − 2t
y −1 z − 3
=
=t
4
−2
(d ) : t = 1 → (6,5,1) ; t = 2 → (7,9,−1)
(c ) : x − 5 =
R2 :
(a )
x=2+t ;
y = 4 − 5t ; z = −3 + 4t
y−4 z+3
=
−5
4
 11 1 
(c)  , ,0 
4 4 
(b )
x−2=
R3 : se int ercep tan en (1,0,1)
R 4 : 2 x + 3 y + 4 z = 12 ;
2 x + 3 y = 12 , 3 y + 4 z = 12 , 2 x + 4 z = 12
(0,0,3) , (0,4,0) , (6,0,0)
R7 : x = 1 + 5t ,
y = −2t ,
z = −3t
R5 : 6 x + 10 y + 7 z = 50
R6 : P(− 4,8,3)
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Ecuaciones de Rectas
r
v = a , b, c
vector director
z
r
r
r (t ) = r0 + v t
vt
P(x0,y0,z0)
Ecuación Vectorial
P(x,y,z)
v
x = x0 + at 
  Ecuaciones
y = y0 + bt  
 Paramétricas
z = z 0 + ct 
r
r0
y
x
x − x0 y − y 0 z − z 0
=
=
=t
a
b
c
Ecuaciones Simétricas
Ecuaciones de Planos
n
r
n = a, b, c
z
P(x0,y0,z0)
r-r0
P(x,y,z)
r
(rr − r0 ) ⋅ nr = 0
Ecuación Vectorial
a ( x − x0 ) + b ( y − y 0 ) + c ( z − z 0 ) = 0
r0
Ecuación Escalar del Plano
y
x
vector normal
ax + by + cz = d
Ecuación Lineal del Plano
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Ma-817 : MATEMÁTICAS III PARA INGENIERIA
Tarea No 8 : Ecuaciones de Rectas y de Planos
1
Encuentre una ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas para la recta que
pasa por el punto (− 2,4,10 ) y es paralela al vector 3,1,−8
2
Encuentre una ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas para la recta que
pasa por el punto (1,0,6) y es perpendicular al plano x + 3 y + z = 5
3
Encuentre ecuaciones paramétricas y ecuaciones simétricas para la recta que
pasa por los puntos (3,1,−1) y (3,2,−6 )
4
Determine si las rectas L1 y L2 son paralelas, oblicuas o se cortan. Si se cortan,
encuentre el punto de intersección.
L1 : x = −6t ,
5
6
7
8
9
y = 1 + 9t , z = −3t ; L2 : x = 1 + 2 s ,
y = 4 − 3s , z = s
Encuentre una ecuación del plano que pasa por el punto (1,−1,1) y tiene un
vector normal iˆ + ˆj − kˆ
Encuentre una ecuación del plano que pasa por los puntos:
(0,1,1) , (1,0,1) ,
y
(1,1,0)
Encuentre una ecuación del plano que pasa por el punto (6,0,−2 ) y contiene a
la recta x = 4 − 2t , y = 3 + 5t , z = 7 + 4t
Encuentre el punto en el que la recta dada corta al plano especificado:
x = 1 + 2t ,
y = −1 , z = t ; 2 x + y − z + 5 = 0
(a) Encuentre ecuaciones simétricas para la recta de intersección de los planos,
y (b) encuentre el ángulo entre los planos.
x + y − z = 2 ; 3x − 4 y + 5 z = 6
10
Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por el punto (0,1,2 ) ,
es paralela al plano x + y + z = 2 y perpendicular a la recta
x =1+ t ,
y = 1 − t , z = 2t
r
R1: r = − 2iˆ + 4 ˆj + 10kˆ + t 3iˆ + ˆj − 8kˆ ; x = −2 + 3t , y = 4 + t , z = 10 − 8t
r
z +1
R2: r = iˆ + 6kˆ + t iˆ + 3 ˆj + kˆ ; x = 1 + t , y = 3t , z = 6 + t ; R3: x = 3, y = 1 + t , z = −1 − 5t ; x = 3, y − 1 =
−5
R4: Paralelas; R5: x + y − z = −1 ; R6: x + y + z = 2 ; R7: 33 x + 10 y + 4 z = 190 ; R8: (− 3,−1,−2) ;
(
(
R9: (a ) x − 2 =
) (
) (
y
z
=
;
−8 −7
)
)

6 
≈ 119° (o 61°) ; R10: x = 3t , y = 1 − t , z = 2 − 2t

 5 
(b) cos −1 −