Una Ecuación Escalar de Movimiento

Una Ecuación Escalar de Movimiento
Antonio A. Blatter
Licencia Creative Commons Atribución 3.0
(2015) Buenos Aires
Argentina
Este trabajo presenta una ecuación escalar de movimiento que es invariante
bajo transformaciones entre sistemas de referencia y que puede ser aplicada en
cualquier sistema de referencia sin necesidad de introducir las fuerzas ficticias.
Introducción
Un sistema de partı́culas forma un sistema de bipartı́culas. Por ejemplo, el sistema
de partı́culas { a, b, c y d } forma el sistema de bipartı́culas { ab, ac, ad, bc, bd y cd }
P
.
La masa m ij de una bipartı́cula ij, está dada por: m ij = mi mj /M , donde mi es
.
la masa de las partı́cula i, mj es la masa de la partı́cula j y M ( = k mk ) es la masa
del sistema de partı́culas en observación, en este caso (M = mi + mj )
La posición escalar r ij , la velocidad escalar v ij y la aceleración escalar a ij de una
bipartı́cula ij, están dadas por:
.
r ij = 1/2 [ (ri − rj ) · (ri − rj ) ]
.
v ij = 1/1 [ (vi − vj ) · (ri − rj ) ]
.
a ij = 1/1 [ (ai − aj ) · (ri − rj ) + (vi − vj ) · (vi − vj ) ]
donde ri es el vector de posición de la partı́cula i y rj es el vector de posición de la
.
.
partı́cula j ( v ij = d(r ij )/dt ) y ( a ij = d2 (r ij )/dt2 )
La fuerza escalar F ij que actúa sobre una bipartı́cula ij (m ij ) está dada por:
R
.
F ij = m ij [ (Fi /mi − Fj /mj ) · (ri − rj ) + 2 (Fi /mi − Fj /mj ) · d(ri − rj ) ]
donde Fi es la fuerza neta que actúa sobre la partı́cula i, Fj es la fuerza neta que actúa
sobre la partı́cula j, mi es la masa de las partı́cula i, mj es la masa de la partı́cula j, ri
es el vector de posición de la partı́cula i y rj es el vector de posición de la partı́cula j.
1
Dinámica Escalar
La ecuación escalar de movimiento para una bipartı́cula ij, está dada por:
F ij = m ij a ij
donde F ij es la fuerza escalar que actúa sobre la bipartı́cula ij, m ij es la masa de la
bipartı́cula ij y a ij es la aceleración escalar de la bipartı́cula ij.
W, K, U, E y L
El trabajo W ij realizado por las fuerzas (vectoriales) que actúan sobre una bipartı́cula ij, está dado por:
.
. R2
W ij = 1 F ij d(r ij ) = ∆ 1/2 m ij (v ij )2 = ∆ K ij
donde F ij es la fuerza escalar que actúa sobre la bipartı́cula ij, r ij es la posición escalar
de la bipartı́cula ij, m ij es la masa de la bipartı́cula ij, v ij es la velocidad escalar de
la bipartı́cula ij y K ij es la energı́a cinética de la bipartı́cula ij.
El trabajo W ij realizado por las fuerzas (vectoriales) conservativas que actúan sobre
una bipartı́cula ij es igual y de signo opuesto a la variación en la energı́a potencial U ij
de la bipartı́cula ij.
R2
.
∆ U ij = − 1 F ij d(r ij )
Por lo tanto, la energı́a mecánica E ij de una bipartı́cula ij permanece constante si
la bipartı́cula ij está sujeta sólo a fuerzas (vectoriales) conservativas.
.
∆ E ij = ∆ K ij + ∆ U ij = 0
.
E ij = K ij + U ij = constante
donde K ij es la energı́a cinética de la bipartı́cula ij y U ij es la energı́a potencial de la
bipartı́cula ij.
Finalmente, el Lagrangiano L ij de una bipartı́cula ij, está dado por:
.
L ij = K ij − U ij
donde K ij es la energı́a cinética de la bipartı́cula ij y U ij es la energı́a potencial de la
bipartı́cula ij.
2
Observaciones
Todas las ecuaciones de este trabajo pueden ser aplicadas en cualquier sistema de
referencia inercial o no inercial.
Los sistemas de referencia inerciales y no inerciales no deben introducir las fuerzas
ficticias sobre Fi ni sobre Fj .
Todas las magnitudes de este trabajo (m ij , r ij , v ij , a ij , F ij , W ij , K ij , U ij , E ij y L ij )
son invariantes bajo transformaciones entre sistemas de referencia.
Las magnitudes (W ij , K ij , U ij , E ij y L ij ) son en realidad magnitudes escalares
nuevas que por comodidad en este trabajo se les quitó el adjetivo ((escalar))
La integral de la definición de F ij es una integral indefinida. Si ninguna fuerza actúa
sobre las partı́culas i y j entonces la integral da como resultado una constante.
La definición de F ij podrı́a modificarse de manera tal que no haya necesidad de
trabajar con una integral indefinida. Sin embargo, este cambio podrı́a obligar a tener
que modificar también otras ecuaciones del trabajo.
Por otro lado, este trabajo no contradice la dinámica de Newton. De hecho, si un
sistema de referencia inercial está fijo sobre la partı́cula j (rj = vj = aj = Fj = 0) de
una bipartı́cula ij (m ij ) entonces de la ecuación escalar de movimiento, se obtiene:
R
m ij [ Fi /mi · ri + 2 Fi /mi · dri ] = m ij [ ai · ri + vi · vi ]
R
m ij [ (Fi /mi − ai ) · ri + 2 Fi /mi · dri − vi · vi ] = 0
R
→ (Fi /mi − ai ) · ri = 0 → 2 Fi /mi · dri − vi · vi = 0
puesto que en todo sistema de referencia inercial siempre ai = Fi /mi (ası́ como en
todo sistema de referencia no inercial introduciendo las fuerzas ficticias sobre Fi )
Finalmente, este trabajo considera que es posible desarrollar una dinámica clásica
alternativa basada en el Lagrangiano L ij que puede ser aplicada en cualquier sistema
de referencia inercial o no inercial sin necesidad de introducir las fuerzas ficticias.
Bibliografı́a
A. Einstein, Sobre la Teorı́a de la Relatividad Especial y General.
E. Mach, La Ciencia de la Mecánica.
H. Goldstein, Mecánica Clásica.
3
Anexo I
Transformaciones
r 0ij · r 0ij = r ij · r ij
v 0ij · r 0ij = v ij · r ij
a 0ij · r 0ij + v 0ij · v 0ij = a ij · r ij + v ij · v ij
(r 0i − r 0j ) · (r 0i − r 0j ) = (ri − rj ) · (ri − rj )
(v 0i − v 0j ) · (r 0i − r 0j ) = (vi − vj ) · (ri − rj )
(a 0i − a 0j ) · (r 0i − r 0j ) + (v 0i − v 0j ) · (v 0i − v 0j ) = (ai − aj ) · (ri − rj ) + (vi − vj ) · (vi − vj )
Energı́a Cinética K ij
En coordenadas cartesianas:
K ij = 1/2 m ij (v ij · r ij )2
En coordenadas polares:
K ij = 1/2 m ij ( ρ̇ ij ρ ij )2
En coordenadas cilı́ndricas:
K ij = 1/2 m ij ( ρ̇ ij ρ ij + ż ij z ij )2
En coordenadas esféricas:
K ij = 1/2 m ij ( ṙ ij r ij )2
Momento Escalar P ij
En coordenadas cartesianas:
P ij = m ij (v ij · r ij )
En coordenadas polares:
P ij = m ij ( ρ̇ ij ρ ij )
En coordenadas cilı́ndricas:
P ij = m ij ( ρ̇ ij ρ ij + ż ij z ij )
En coordenadas esféricas:
P ij = m ij ( ṙ ij r ij )
Fuerza Escalar F ij
En coordenadas cartesianas:
F ij = m ij (a ij · r ij + v ij · v ij )
En coordenadas polares:
F ij = m ij ( ρ̈ ij ρ ij + ρ̇ ij ρ̇ ij )
En coordenadas cilı́ndricas:
F ij = m ij ( ρ̈ ij ρ ij + ρ̇ ij ρ̇ ij + z̈ ij z ij + ż ij ż ij )
En coordenadas esféricas:
F ij = m ij ( r̈ ij r ij + ṙ ij ṙ ij )
4
Anexo II
Sistema de N Partı́culas
P
P
P
P
I ij =
PN
1/2
mi mj M−1 [ (ri − rj ) · (ri − rj ) ]
=
PN
1/2
mi [ (ri − Rcm ) · (ri − Rcm ) ]
P ij =
PN
mi mj M−1 [ (vi − vj ) · (ri − rj ) ]
=
PN
mi [ (vi − Vcm ) · (ri − Rcm ) ]
K ij =
PN
1/2
mi mj M−1 [ (vi − vj ) · (ri − rj ) ]2
=
PN
1/2
mi [ (vi − Vcm ) · (ri − Rcm ) ]2
F ij =
PN
mi mj M−1 [ (Fi /mi − Fj /mj ) · (ri − rj ) ] +
PN
R
mi mj M−1 [ 2 (Fi /mi − Fj /mj ) · d(ri − rj ) ]
PN
mi [ (Fi /mi − Fcm /M ) · (ri − Rcm ) ] +
PN
R
mi [ 2 (Fi /mi − Fcm /M ) · d(ri − Rcm ) ]
j >i
i=1
j >i
i=1
j >i
i=1
j >i
j >i
=
i=1
i=1
P
m ij a ij =
PN
mi mj M−1 [ (ai − aj ) · (ri − rj ) ] +
PN
mi mj M−1 [ (vi − vj ) · (vi − vj ) ]
PN
mi [ (ai − Acm ) · (ri − Rcm ) ] +
PN
mi [ (vi − Vcm ) · (vi − Vcm ) ]
j >i
j >i
=
i=1
i=1
P
W ij =
PN
j >i
PN
j >i
=
PN
i=1
PN
i=1
1/2
mi mj M−1
R2
1/2
mi mj M−1
R2
1/2
mi
R2
1/2
mi
R2
1
1
1
1
[ (Fi /mi − Fj /mj ) · (ri − rj ) ] d(ri − rj )2 +
R
[ 2 (Fi /mi − Fj /mj ) · d(ri − rj ) ] d(ri − rj )2
[ (Fi /mi − Fcm /M ) · (ri − Rcm ) ] d(ri − Rcm )2 +
R
[ 2 (Fi /mi − Fcm /M ) · d(ri − Rcm ) ] d(ri − Rcm )2
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