Perturbación de matrices polinomiales

Perturbación de matrices polinomiales
Gasteiz, Mayo 2005
Perturbación de matrices polinomiales
Introducción
OBJETIVO:
Perturbación de matrices polinomiales
Introducción
OBJETIVO:
Estudiar los cambios en:
Perturbación de matrices polinomiales
Introducción
OBJETIVO:
Estudiar los cambios en:
factores invariantes (finitos),
Perturbación de matrices polinomiales
Introducción
OBJETIVO:
Estudiar los cambios en:
factores invariantes (finitos),
ı́ndices de Wiener-Hopf por la izquierda,
Perturbación de matrices polinomiales
Introducción
OBJETIVO:
Estudiar los cambios en:
factores invariantes (finitos),
ı́ndices de Wiener-Hopf por la izquierda,
estructura infinita
Perturbación de matrices polinomiales
Introducción
OBJETIVO:
Estudiar los cambios en:
factores invariantes (finitos),
ı́ndices de Wiener-Hopf por la izquierda,
estructura infinita
al perturbar una matriz polinomial.
Perturbación de matrices polinomiales
Introducción
OBJETIVO:
Estudiar los cambios en:
factores invariantes (finitos),
ı́ndices de Wiener-Hopf por la izquierda,
estructura infinita
al perturbar una matriz polinomial.
ANTECEDENTES:
Perturbación de matrices polinomiales
Introducción
OBJETIVO:
Estudiar los cambios en:
factores invariantes (finitos),
ı́ndices de Wiener-Hopf por la izquierda,
estructura infinita
al perturbar una matriz polinomial.
ANTECEDENTES:
den Boer, Thijsse, 1980: estructura finita.
Perturbación de matrices polinomiales
Introducción
OBJETIVO:
Estudiar los cambios en:
factores invariantes (finitos),
ı́ndices de Wiener-Hopf por la izquierda,
estructura infinita
al perturbar una matriz polinomial.
ANTECEDENTES:
den Boer, Thijsse, 1980: estructura finita.
ESTRATEGIA:
Perturbación de matrices polinomiales
Introducción
OBJETIVO:
Estudiar los cambios en:
factores invariantes (finitos),
ı́ndices de Wiener-Hopf por la izquierda,
estructura infinita
al perturbar una matriz polinomial.
ANTECEDENTES:
den Boer, Thijsse, 1980: estructura finita.
ESTRATEGIA:
Utilizar las representaciones polinomiales matriciales:
relacionan las matrices polinomiales P(s) con los pares de
matrices (A, B).
F.i. de P(s) = F.i. de A (triviales)
I. W-H. i. de P(s) = I.c. de (A, B)
Perturbación de matrices polinomiales
Introducción
OBJETIVO:
Estudiar los cambios en:
factores invariantes (finitos),
ı́ndices de Wiener-Hopf por la izquierda,
estructura infinita
al perturbar una matriz polinomial.
ANTECEDENTES:
den Boer, Thijsse, 1980: estructura finita.
ESTRATEGIA:
Utilizar las representaciones polinomiales matriciales:
relacionan las matrices polinomiales P(s) con los pares de
matrices (A, B).
F.i. de P(s) = F.i. de A (triviales)
I. W-H. i. de P(s) = I.c. de (A, B)
Utilizar resultados de perturbación de matrices [Markus,
Parilis, 1983] y de pares [Gracia, de Hoyos, Zaballa, 1989].
Perturbación de matrices polinomiales
Notación
K = R o C,
n, m ∈ N, n ≥ m
Perturbación de matrices polinomiales
Notación
K = R o C,
n, m ∈ N, n ≥ m
Definición
Σn,m = {(A, B) ∈ Kn×n × Kn×m | (A, B) controlable}
Perturbación de matrices polinomiales
Notación
K = R o C,
n, m ∈ N, n ≥ m
Definición
Σn,m = {(A, B) ∈ Kn×n × Kn×m | (A, B) controlable}
(A, B)∼(A0 , B 0 ): existe T ∈ Gln (K) t.q.
(A0 , B 0 ) = (TAT −1 , TB)
Perturbación de matrices polinomiales
Notación
K = R o C,
n, m ∈ N, n ≥ m
Definición
Σn,m = {(A, B) ∈ Kn×n × Kn×m | (A, B) controlable}
(A, B)∼(A0 , B 0 ): existe T ∈ Gln (K) t.q.
(A0 , B 0 ) = (TAT −1 , TB)
Definición
Kn [s]m×m = {P(s) ∈ K[s]m×m | d(det P(s)) = n}
Perturbación de matrices polinomiales
Notación
K = R o C,
n, m ∈ N, n ≥ m
Definición
Σn,m = {(A, B) ∈ Kn×n × Kn×m | (A, B) controlable}
(A, B)∼(A0 , B 0 ): existe T ∈ Gln (K) t.q.
(A0 , B 0 ) = (TAT −1 , TB)
Definición
Kn [s]m×m = {P(s) ∈ K[s]m×m | d(det P(s)) = n}
ed
P(s)∼P 0 (s): existe U(s) ∈ Glm (K[s]) t.q. P 0 (s) = P(s)U(s)
Perturbación de matrices polinomiales
Representaciones polinomiales matriciales
Definición
P(s) ∈ Kn [s]m×m es r.p.m. de (A, B) ∈ Σn,m si existe C ∈ Km×n
tal que (A, C ) es observable y
P(s)−1 = D(s) + C (sIn − A)−1 B
con D(s) ∈ K[s]m×m .
Perturbación de matrices polinomiales
Representaciones polinomiales matriciales
Definición
P(s) ∈ Kn [s]m×m es r.p.m. de (A, B) ∈ Σn,m si existe C ∈ Km×n
tal que (A, C ) es observable y
P(s)−1 = D(s) + C (sIn − A)−1 B
con D(s) ∈ K[s]m×m .
Lema
Si P(s) ∈ Kn [s]m×m entonces existe (A, B) ∈ Σn,m del cual P(s)
es r.p.m.
Perturbación de matrices polinomiales
Representaciones polinomiales matriciales
Definición
P(s) ∈ Kn [s]m×m es r.p.m. de (A, B) ∈ Σn,m si existe C ∈ Km×n
tal que (A, C ) es observable y
P(s)−1 = D(s) + C (sIn − A)−1 B
con D(s) ∈ K[s]m×m .
Lema
Si P(s) ∈ Kn [s]m×m entonces existe (A, B) ∈ Σn,m del cual P(s)
es r.p.m.
Lema
Si (A, B) ∈ Σn,m entonces existe P(s) ∈ Kn [s]m×m r.p.m. de
(A, B).
Perturbación de matrices polinomiales
Representaciones polinomiales matriciales
Lema
ed
(A, B)∼(A0 , B 0 ) ⇔ P(s)∼P 0 (s)
donde P(s), P 0 (s) son r.p.m. de (A, B), (A0 , B 0 ), respectivamente.
Perturbación de matrices polinomiales
Representaciones polinomiales matriciales
Lema
ed
(A, B)∼(A0 , B 0 ) ⇔ P(s)∼P 0 (s)
donde P(s), P 0 (s) son r.p.m. de (A, B), (A0 , B 0 ), respectivamente.
⇓
Definición
Σn,m /∼ = {[(A, B)] | (A, B) ∈ Σn,m }, donde
[(A, B)] = {(A0 , B 0 ) ∈ Σn,m | (A, B)∼(A0 , B 0 )}
Perturbación de matrices polinomiales
Representaciones polinomiales matriciales
Lema
ed
(A, B)∼(A0 , B 0 ) ⇔ P(s)∼P 0 (s)
donde P(s), P 0 (s) son r.p.m. de (A, B), (A0 , B 0 ), respectivamente.
⇓
Definición
Σn,m /∼ = {[(A, B)] | (A, B) ∈ Σn,m }, donde
[(A, B)] = {(A0 , B 0 ) ∈ Σn,m | (A, B)∼(A0 , B 0 )}
Definición
ed
Kn [s]m×m /∼ = {[P(s)] | P(s) ∈ Kn [s]m×m }, donde
ed
[P(s)] = {P 0 (s) ∈ Kn [s]m×m | P(s)∼P 0 (s)}
Perturbación de matrices polinomiales
Teorema
ed
f˜ : Σn,m /∼ → Kn [s]m×m /∼ , donde P(s) r.p.m. de (A, B).
[(A, B)] 7→
[P(s)]
f˜ es una biyección
Perturbación de matrices polinomiales
Representaciones polinomiales matriciales
Lema (Zaballa,1997)
(A, B) ∈ Σn,m , r1 , . . . , rm ı́ndices de una base buena. Entonces
T = [bl1 Abl1 · · · Arl1 −1 bl1 · · · blp Ablp · · · Arlp −1 blp ] ∈ Kn×n ,
/ {l1 , . . . , lp }, es no singular,
rli 6= 0, 1 ≤ l1 < · · · < lp ≤ m y ri = 0, i ∈
2
66
Aii = 6
4
T −1 AT = (Aij )pi,j=1 ,
0
1
..
.
0
Bi = [bi1 · · ·
···
···
..
.
···
0
0
..
.
1
T −1 B = [B1 B2 · · · Bp ]T ,
3
2
7
6
7
6
, Aij = 6
7
5
4
xli li 0
xli li 1
..
.
xli li rli −1
8
>
< 0,
[1 0
bim ], bij =
h
>
:
0
0
..
.
0
· · · 0]T ,
xjli 0 xjli 1 · · · xjli rli −1
X
···
···
..
.
···
iT
0
0
..
.
0
xlj li 0
xlj li 1
..
.
3
77
75 , i 6= j,
xlj li rli −1
j ∈ {l1 , . . . , lp } − {li }
j = li
,
j∈
/ {l1 , . . . , lp },
ri
P(s) = (pij (s)), pij (s) = −
xjit s t , xiiri = −1, xjiri = 0, i 6= j, r.p.m. de (A, B)
t=0
Perturbación de matrices polinomiales
Topologı́as cociente
A = (ai,jP
),
||A|| = i,j |ai,j |
d + ··· + p ,
p(s) = pd sP
0
||p(s)|| = di=0 |pi |
P(s) = (pi,j (s)) = Pd s d + · · · + P0 ,
P
P
||P(s)|| = i,j ||pi,j (s)|| = di=0 ||Pi ||
Perturbación de matrices polinomiales
Topologı́as cociente
A = (ai,jP
),
||A|| = i,j |ai,j |
d + ··· + p ,
p(s) = pd sP
0
||p(s)|| = di=0 |pi |
P(s) = (pi,j (s)) = Pd s d + · · · + P0 ,
P
P
||P(s)|| = i,j ||pi,j (s)|| = di=0 ||Pi ||
Σn,m espacio métrico:
d((A, B), (A0 , B 0 )) =
||[A B] − [A0 B 0 ]||
Kn [s]m×m espacio métrico
d(P(s), P 0 (s)) = ||P(s) − P 0 (s)||
Perturbación de matrices polinomiales
Topologı́as cociente
A = (ai,jP
),
||A|| = i,j |ai,j |
d + ··· + p ,
p(s) = pd sP
0
||p(s)|| = di=0 |pi |
P(s) = (pi,j (s)) = Pd s d + · · · + P0 ,
P
P
||P(s)|| = i,j ||pi,j (s)|| = di=0 ||Pi ||
Σn,m espacio métrico:
d((A, B), (A0 , B 0 )) =
||[A B] − [A0 B 0 ]||
Kn [s]m×m espacio métrico
d(P(s), P 0 (s)) = ||P(s) − P 0 (s)||
Topologı́a cociente en
Σn,m /∼:
Topologı́a cociente en Kn [s]m×m /∼:
τ̃1
ed
Perturbación de matrices polinomiales
Topologı́as cociente
A = (ai,jP
),
||A|| = i,j |ai,j |
d + ··· + p ,
p(s) = pd sP
0
||p(s)|| = di=0 |pi |
P(s) = (pi,j (s)) = Pd s d + · · · + P0 ,
P
P
||P(s)|| = i,j ||pi,j (s)|| = di=0 ||Pi ||
Σn,m espacio métrico:
d((A, B), (A0 , B 0 )) =
||[A B] − [A0 B 0 ]||
Kn [s]m×m espacio métrico
d(P(s), P 0 (s)) = ||P(s) − P 0 (s)||
Topologı́a cociente en
Σn,m /∼:
Topologı́a cociente en Kn [s]m×m /∼:
τ̃1
πΣ : Σn,m → Σn,m /∼
proyección canónica
ed
ed
πK : Kn [s]m×m → Kn [s]m×m /∼
proyección canónica
Perturbación de matrices polinomiales
Topologı́as cociente
A = (ai,jP
),
||A|| = i,j |ai,j |
d + ··· + p ,
p(s) = pd sP
0
||p(s)|| = di=0 |pi |
P(s) = (pi,j (s)) = Pd s d + · · · + P0 ,
P
P
||P(s)|| = i,j ||pi,j (s)|| = di=0 ||Pi ||
Σn,m espacio métrico:
d((A, B), (A0 , B 0 )) =
||[A B] − [A0 B 0 ]||
Kn [s]m×m espacio métrico
d(P(s), P 0 (s)) = ||P(s) − P 0 (s)||
Topologı́a cociente en
Σn,m /∼:
Topologı́a cociente en Kn [s]m×m /∼:
τ̃1
πΣ : Σn,m → Σn,m /∼
proyección canónica
U abierto en Σn,m /∼
−1
⇔ πΣ
(U) abierto en
Σn,m
ed
ed
πK : Kn [s]m×m → Kn [s]m×m /∼
proyección canónica
ed
U abierto en Kn [s]m×m /∼ ⇔
−1
πK (U) abierto en Kn [s]m×m
Perturbación de matrices polinomiales
Teorema
ed
f˜ : Σn,m /∼ → Kn [s]m×m /∼ , donde P(s) r.p.m. de (A, B).
[(A, B)] 7→
[P(s)]
f˜ es continua para τ̃1 .
Perturbación de matrices polinomiales
Teorema
ed
f˜ : Σn,m /∼ → Kn [s]m×m /∼ , donde P(s) r.p.m. de (A, B).
[(A, B)] 7→
[P(s)]
f˜ es continua para τ̃1 .
Dem.
Perturbación de matrices polinomiales
Teorema
ed
f˜ : Σn,m /∼ → Kn [s]m×m /∼ , donde P(s) r.p.m. de (A, B).
[(A, B)] 7→
[P(s)]
f˜ es continua para τ̃1 .
Dem.
f˜
ed
Σn,m /∼ → Kn [s]m×m /∼
πΣ ↑ % f˜ ◦ πΣ
Σn,m
Perturbación de matrices polinomiales
Teorema
ed
f˜ : Σn,m /∼ → Kn [s]m×m /∼ , donde P(s) r.p.m. de (A, B).
[(A, B)] 7→
[P(s)]
f˜ es continua para τ̃1 .
Dem.
f˜
ed
Σn,m /∼ → Kn [s]m×m /∼
πΣ ↑ % f˜ ◦ πΣ
Σn,m
f˜ continua si y sólo si f˜ ◦ πΣ continua.
Perturbación de matrices polinomiales
Representaciones polinomiales matriciales
Lema (Zaballa,1997)
(A, B) ∈ Σn,m , r1 , . . . , rm ı́ndices de una base buena. Entonces
T = [bl1 Abl1 · · · Arl1 −1 bl1 · · · blp Ablp · · · Arlp −1 blp ] ∈ Kn×n ,
/ {l1 , . . . , lp }, es no singular,
rli 6= 0, 1 ≤ l1 < · · · < lp ≤ m y ri = 0, i ∈
2
66
Aii = 6
4
T −1 AT = (Aij )pi,j=1 ,
0
1
..
.
0
Bi = [bi1 · · ·
···
···
..
.
···
0
0
..
.
1
T −1 B = [B1 B2 · · · Bp ]T ,
3
2
7
6
7
6
, Aij = 6
7
5
4
xli li 0
xli li 1
..
.
xli li rli −1
8
>
< 0,
[1 0
bim ], bij =
h
>
:
0
0
..
.
0
· · · 0]T ,
xjli 0 xjli 1 · · · xjli rli −1
X
···
···
..
.
···
iT
0
0
..
.
0
xlj li 0
xlj li 1
..
.
3
77
75 , i 6= j,
xlj li rli −1
j ∈ {l1 , . . . , lp } − {li }
j = li
,
j∈
/ {l1 , . . . , lp },
ri
P(s) = (pij (s)), pij (s) = −
xjit s t , xiiri = −1, xjiri = 0, i 6= j, r.p.m. de (A, B)
t=0
Perturbación de matrices polinomiales
ed
Topologı́a de Kn [s]m×m /∼
Lema (Helmke, 1986)
Si K = C, Σn,m /∼ es conexo y no es compacto.
Perturbación de matrices polinomiales
ed
Topologı́a de Kn [s]m×m /∼
Lema (Helmke, 1986)
Si K = C, Σn,m /∼ es conexo y no es compacto.
Teorema
ed
Cn [s]m×m /∼ es conexo con la topologı́a τ̃1 .
Perturbación de matrices polinomiales
Pregunta
ed
¿Es f˜−1 : Kn [s]m×m /∼ → Σn,m /∼ continua para τ̃1 ?
Perturbación de matrices polinomiales
Pregunta
ed
¿Es f˜−1 : Kn [s]m×m /∼ → Σn,m /∼ continua para τ̃1 ?
f˜−1 continua ⇔ f˜ abierta
Perturbación de matrices polinomiales
Pregunta
ed
¿Es f˜−1 : Kn [s]m×m /∼ → Σn,m /∼ continua para τ̃1 ?
f˜−1 continua ⇔ f˜ abierta
πΣ : Σn,m → Σn,m /∼ es abierta
Perturbación de matrices polinomiales
Pregunta
ed
¿Es f˜−1 : Kn [s]m×m /∼ → Σn,m /∼ continua para τ̃1 ?
f˜−1 continua ⇔ f˜ abierta
πΣ : Σn,m → Σn,m /∼ es abierta
f˜
ed
Σn,m /∼ → Kn [s]m×m /∼
πΣ ↑ % f˜ ◦ πΣ
Σn,m
Si f˜−1 continua ⇒ f˜ ◦ πΣ abierta
Perturbación de matrices polinomiales
Pregunta
ed
¿Es f˜−1 : Kn [s]m×m /∼ → Σn,m /∼ continua para τ̃1 ?
f˜−1 continua ⇔ f˜ abierta
πΣ : Σn,m → Σn,m /∼ es abierta
f˜
ed
Σn,m /∼ → Kn [s]m×m /∼
πΣ ↑ % f˜ ◦ πΣ
Σn,m
Si f˜−1 continua ⇒ f˜ ◦ πΣ abierta
Si m ≥ 2, f˜ ◦ πΣ no es abierta ⇒ f˜−1 no es continua para τ̃1 .
Perturbación de matrices polinomiales
m×m
Ki.p.
= {P(s) ∈ K[s]m×m | d(det P(s)) = n, P(s)−1 ∈ Kpr (s)m×m }
n [s]
Perturbación de matrices polinomiales
m×m
Ki.p.
= {P(s) ∈ K[s]m×m | d(det P(s)) = n, P(s)−1 ∈ Kpr (s)m×m }
n [s]
ed
m×m | P 0 (s)∼P(s)}
[P(s)] = {P 0 (s) ∈ Ki.p.
n [s]
ed
m×m }
Kni.p. [s]m×m /∼ = {[P(s)] | P(s) ∈ Ki.p.
n [s]
Perturbación de matrices polinomiales
m×m
Ki.p.
= {P(s) ∈ K[s]m×m | d(det P(s)) = n, P(s)−1 ∈ Kpr (s)m×m }
n [s]
ed
m×m | P 0 (s)∼P(s)}
[P(s)] = {P 0 (s) ∈ Ki.p.
n [s]
ed
m×m }
Kni.p. [s]m×m /∼ = {[P(s)] | P(s) ∈ Ki.p.
n [s]
? Topologı́a cociente: τ̃1
Perturbación de matrices polinomiales
m×m
Ki.p.
= {P(s) ∈ K[s]m×m | d(det P(s)) = n, P(s)−1 ∈ Kpr (s)m×m }
n [s]
ed
m×m | P 0 (s)∼P(s)}
[P(s)] = {P 0 (s) ∈ Ki.p.
n [s]
ed
m×m }
Kni.p. [s]m×m /∼ = {[P(s)] | P(s) ∈ Ki.p.
n [s]
? Topologı́a cociente: τ̃1
ed
m×m
m×m
πKi.p. : Ki.p.
→ Ki.p.
/∼ proyección canónica
n [s]
n [s]
Perturbación de matrices polinomiales
m×m
Ki.p.
= {P(s) ∈ K[s]m×m | d(det P(s)) = n, P(s)−1 ∈ Kpr (s)m×m }
n [s]
ed
m×m | P 0 (s)∼P(s)}
[P(s)] = {P 0 (s) ∈ Ki.p.
n [s]
ed
m×m }
Kni.p. [s]m×m /∼ = {[P(s)] | P(s) ∈ Ki.p.
n [s]
? Topologı́a cociente: τ̃1
ed
m×m
m×m
πKi.p. : Ki.p.
→ Ki.p.
/∼ proyección canónica
n [s]
n [s]
m×m ed
U abierto en Ki.p.
n [s]
i.p.
m×m
Kn [s]
/∼ ⇔
πK−1
i.p. (U)
abierto en
Perturbación de matrices polinomiales
m×m
Ki.p.
= {P(s) ∈ K[s]m×m | d(det P(s)) = n, P(s)−1 ∈ Kpr (s)m×m }
n [s]
ed
m×m | P 0 (s)∼P(s)}
[P(s)] = {P 0 (s) ∈ Ki.p.
n [s]
ed
m×m }
Kni.p. [s]m×m /∼ = {[P(s)] | P(s) ∈ Ki.p.
n [s]
? Topologı́a cociente: τ̃1
ed
m×m
m×m
πKi.p. : Ki.p.
→ Ki.p.
/∼ proyección canónica
n [s]
n [s]
m×m ed
U abierto en Ki.p.
n [s]
i.p.
m×m
Kn [s]
/∼ ⇔
πK−1
i.p. (U)
abierto en
m×m /ed
f˜i.p. : Σn,m /∼ → Ki.p.
∼ P(s) r.p.m. de (A, B)
n [s]
[(A, B)] 7→
[P(s)]
Perturbación de matrices polinomiales
m×m
Ki.p.
= {P(s) ∈ K[s]m×m | d(det P(s)) = n, P(s)−1 ∈ Kpr (s)m×m }
n [s]
ed
m×m | P 0 (s)∼P(s)}
[P(s)] = {P 0 (s) ∈ Ki.p.
n [s]
ed
m×m }
Kni.p. [s]m×m /∼ = {[P(s)] | P(s) ∈ Ki.p.
n [s]
? Topologı́a cociente: τ̃1
ed
m×m
m×m
πKi.p. : Ki.p.
→ Ki.p.
/∼ proyección canónica
n [s]
n [s]
m×m ed
U abierto en Ki.p.
n [s]
i.p.
m×m
Kn [s]
/∼ ⇔
πK−1
i.p. (U)
abierto en
m×m /ed
f˜i.p. : Σn,m /∼ → Ki.p.
∼ P(s) r.p.m. de (A, B)
n [s]
[(A, B)] 7→
[P(s)]
Lema
f˜i.p.
f˜i.p. es biyectiva
es continua para τ̃1
Perturbación de matrices polinomiales