Evaluación y corrección de aberraciones en un correlador óptico

Evaluación y corrección de aberraciones en un correlador óptico

EVALUACIÓN Y CORRECCIÓN DE ABERRACIONES EN UN CORRELADOR
ÓPTICO MEDIANTE INTERFEROMETRÍA DE CAMBIO DE FASE
1
C. Iemmi1, A. Moreno2, J. Nicolás2, J. Campos2
Departamento de Física, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos
Aires, (1428) Buenos Aires, Argentina
2
Departamento de Física, Universidad Autónoma de Barcelona, 08193 Bellaterra, Spain
1. Introducción
El desalineado y las aberraciones afectan a los correladores ópticos. Las aberraciones
introducidas antes del plano de Fourier causan que la transformada de Fourier de diferentes
zonas de la escena tenga diferentes centros en el plano del filtro de manera que el filtro no puede
ser alineado para toda la escena [1]. Las aberraciones introducidas después del plano de Fourier
afectan globalmente la formación de la imagen en el plano de correlación, y así, no son críticas
para la invariancia al desplazamiento. Así, la evaluación y la corrección de las aberraciones de la
primera parte del sistema es la más crítica.
En este trabajo se propone un nuevo método para la evaluación y corrección de las aberraciones
en el que el propio correlador actúa como un interferómetro y la extracción de la fase se consigue
mediante la técnica interferométrica de cambio de fase (PSI, del inglés Phase Shift
Interferometry). En la Figura 1 se muestra un esquema del correlador convergente. Para el
reconocimiento de imágenes la escena se muestra en LCD1 y el filtro en LCD2. El último
modulador (LCD2) se sitúa en el plano conjugado de la fuente s, es decir, donde se obtiene la
transformada de Fourier de LCD1. En nuestro caso ambos LCD’s se configuran para conseguir
la modulación de sólo fase.
s’
s
L
L
LCD1
LCD2
Π
Figura 1. Esquema del correlador óptico convergente.
L’s son lentes convergentes, LCD1 y LCD2 son
moduladores espaciales de luz donde la escena y el
filtro son enviados respectivamente. Π representa el
plano de correlación.
2. Descripción del método
Cuando la transmisión del LCD1 es uniforme y en ausencia de aberraciones se obtiene un punto
brillante centrado correspondiente a la transformada de Fourier de la pupila ideal de entrada en
LCD2. Los elementos colocados antes del plano de Fourier introducen aberraciones y dicho
punto central se deformará. La distribución de fase de este frente de onda aberrado puede
convertirse en variaciones de amplitud en el plano final (Π en la Figura 1) aplicando un retardo
en la fase del centro de la transformada de Fourier formada en LCD2. La perturbación originada
en el punto central actúa como un frente de onda de referencia que interfiere con el aberrado. La
idea básica es cambiar la fase del haz de referencia de manera conocida y entonces calcular la
fase del frente de onda a partir de una serie de intensidades captadas en el plano del
interferograma [2]. En nuestro caso, los cambios de fase son introducidos por el píxel central de
LCD2 el cual trabaja en modo de sólo fase. La función de transferencia del filtro que se
introduce en LCD2 se puede describir mediante la función
[ ( ) ]
Hn( u, v) = 1 + δ ( u) exp i 2πN n − 1 .
(1)
donde u y v son las coordenadas en el plano de Fourier, δ (u ) es la función de Kronecker y
2πn/N es el cambio de fase introducido en cada uno de los N pasos que se aplican para obtener
la fase del frente de onda aberrado. La transmisión en intensidad del filtro es uniforme pero la
fase del píxel origen se cambia respecto a la de otros píxeles en 2πn/N radianes. La amplitud An
en el plano final es la convolución entre la amplitud compleja del frente de onda aberrado y la
respuesta impulsional del filtro.
An = f ( x )eiΨ ( x ) + K ei
( 2Nπn + µ )
− K eiµ
(2)
Se registran N distribuciones de intensidad I n = (An An* ) para emplear la técnica interferométrica
de cambio de fase (PSI) con el objetivo de encontrar la fase incógnita del frente de onda.
Teniendo en cuenta las propiedades de ortogonalidad de las funciones seno y coseno se
encuentran las siguientes expresiones
C = ∑ (An An* )cos( 2Nπn ) = − N K cos (2 µ ) + N K f ( x ) cos (Ψ ( x ) + µ ) ,
N
2
n =0
N
S = ∑ (An An* )sin ( 2Nπn ) = − N K f ( x ) sin (Ψ ( x ) + µ ) .
(3)
n =0
donde f(x) y ψ(x) son la amplitud y la fase del frente de ondas. Finalmente la fase incógnita se
obtiene mediante
 S 
 − µ ,
Ψ ( x ) = tg −1 
 C − Co 
(4)
donde µ es una fase constante y C o = − N K cos (2µ ) . El valor de Co se obtiene evaluando las
2
expresiones (3) en aquellos puntos en los que f(x) = 0. En el plano de la imagen, esta región
corresponde a la zona externa al diafragma circular en la que no incide la luz cuando el cambio
en la fase es 0 (ver figura 2a). Cuando se introduce un cambio de fase en el filtro, la luz
difractada por el píxel central produce una distribución de intensidad constante a lo largo de
dicha región. Como ejemplo en la figura 2b) se muestra una imagen correspondiente a la
expresión de C; se aprecia que la distribución de intensidad es prácticamente uniforme.
Calculando la media de la intensidad de los píxeles de la zona externa al diafragma se encuentra
una buena aproximación para el valor de Co.
3. Resultados experimentales
En nuestro experimento se ha usado la línea violeta (λ = 458 nm) de un haz láser de Ar+. Los
LCD’s empleados son Sony LCX012BL con resolución VGA (640x480 píxeles). La modulación
de la fase se obtiene combinando los LCD’s con láminas retardadoras y polarizadores lineales
cuya orientación se ha obtenido mediante el procedimiento descrito en [3].
(a)
(b)
Figura 2. a) Imagen del plano final cuando no se
introduce ningún cambio de fase en el filtro, en este
caso, la luz no incide en la zona externa del
diafragma circular. b) Una imagen correspondiente a
la expresión C, el primer término Co puede ser
evaluado calculando la media de la intensidad de los
píxeles de la zona externa al diafragma circular (ver
flecha blanca).
En la figura 3a) se representa los niveles de grises de dicha fase. La extracción de fase se calculó
a lo largo de 20 mm de diámetro circular y los valores experimentales obtenidos se muestran en
la figura 3b). Ambas distribuciones, la teórica y la experimental, se restan y el resultado se envía
de nuevo a LCD1 y se calcula una nueva extracción de fase; se muestra el resultado obtenido
mediante una representación 3D en la figura 3c). Del perfil de la figura 3d) se aprecia que la fase
original se anula con éxito con un error inferior a λ/20.
π/2
Agradecimientos
J. Nicolás y A. Moreno agradecen a la
Unión Europea por la concesión de una beca
subvencionada bajo el proyecto CTB556-014175. Este trabajo ha sido parcialmente
subvencionado por el Ministerio de Ciencia
y Tecnología bajo el proyecto BFM20000036-C02-01. C. Iemmi agradece a
CONICET y UBA de Argentina y a la
Secretaría de Estado de Educación y
Universidades de España.
0
(a)
(c)
(b)
2π
(d)
π
0
0
256
512
Figura 3. a) Distribución teórica de fase; b)
extracción experimental de la fase; c) resultado de la
extracción de la fase obtenido cuando se resta la fase
teórica y la experimental y la diferencia se enviada a
LCD1; d) línea del perfil de c).
Bibliografia
[1] Pérez Tudela, M. Montes Usategui, I, Juvells, S, Vallmitjana, Opt. Comm. 184, 345, (2000).
[2] K. Creath, Progress in Optics, Vol. XXVI, ed. by E. Wolf (Elsevier, Amsterdam 1988).
[3] A. Marquez, C. Iemmi, I. Moreno, J. A. Davis, J. Campos, M. J. Yzuel, Opt. Eng., 40, (2001)
2558.