1.- Encontrar la serie de potencias de las siguientes funciones

1.- Encontrar la serie de potencias de las siguientes funciones

E.T.S.I.T.
VARIABLE COMPLEJA
AMPLIACIÓN MATEMÁTICAS
PROBLEMAS – 3c
1.- Encontrar la serie de potencias de las siguientes funciones alrededor de los puntos
indicados y dar el radio de convergencia de cada serie.
1
en z = 0 ,
2− z
1
(b)
en z = 12 ,
2− z
(c)
(a)
1
(1 − z )( 4 + z )
en z = 0 ,
(d) e z en z = i .
2.- Suponiendo que es correcto integrar una serie de potencias dentro de su conjunto de
convergencia (que es cierto), utilizar el desarrollo en serie de
∞
serie ln (1 + z ) = ∑
( −1)
1
para obtener la
1+ z
n +1
z n . Hallar su radio de convergencia. Haciendo z = x + iy , y
n
tomando la parte imaginaria en la serie anterior, obtener el desarrollo en serie de
arctan y .
n =1
3.- Encontrar los primeros coeficientes de la serie de Taylor de tan z de dos formas
distintas:
f (n) ( 0)
. Cuando te canses de hallar derivadas prueba con
n!
z3 z5 z7
z − + − +"
sen z
3! 5! 7!
(b) tan z =
Multiplicando
por
=
= c0 + c1 z + c2 z 2 +" .
2
4
6
z
z
z
cos z
1− + − +"
2! 4! 6!
cos z y hallando los coeficientes: primero c0 , después c1 y así sucesivamente.
También se puede intentar mediante el producto de Cauchy de cos z con la serie
c0 + c1 z + c2 z 2 +"
(a) Usando cn =
4.- Hallar el valor de a para que la siguiente función sea holomorfa z = 0 . En ese caso,
encontrar su desarrollo de Taylor en z = 0 y su radio de convergencia.
⎧ ez −1 − z
si z ≠ 0
⎪
f ( z ) = ⎨ z2
⎪
a
si z = 0
⎩
Encontrar también el valor de f ( k ) ( 0 ) para todo entero positivo k.
5.- Usando el desarrollo de Taylor de la función f ( z ) = (1 + z ) en z = 0 y el binomio de
n
⎛n⎞
Newton, deducir que f ( k ) ( 0 ) = ⎜ ⎟ k !
⎝k ⎠
6.- Comprobar que ( tan z )′ = 1 + tan 2 z , usando su desarrollo de Taylor y el producto de
Cauchy.