Deber 8 ´Algebra Lineal

Deber 8
Álgebra Lineal
Prof. Dr. Joseph Páez Chávez
II Término 2009–2010
Problema 1. Construya, de ser posible, cuatro transformaciones lineales según se indica:
R4, tal que es un isomorfismo.
(ii) T2 : M2×2 → R5 , tal que es inyectiva.
(iii) T3 : R3 → P2 , tal que es sobreyectiva y no es inyectiva.
(iv) T4 : R2 → R3 , tal que no es inyectiva ni sobreyectiva.
(i) T1 : P3 →
Problema 2. Considere la siguiente “definición”: Sean V , W espacios vectoriales y T :
V → W una transformación lineal. Sea F : W → V una transformación lineal tal que
∀v ∈ V : F (T (v)) = v.
(1)
Entonces, F se denomina la transformada inversa de T .
Explique por qué esta “definición” no es equivalente a la definición de transformada inversa presentada en clase.
Ayuda: Observe que la condición (1) arriba presentada no es suficiente para definir la
inversa de una transformación lineal. Considere el ejemplo: T : P2 → P3 y F : P3 → P2 ,
tales que:
b
a
T (ax2 + bx + c) = x3 + x2 + cx, F (p(x)) = p0 (x).
3
2
Problema 3. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
(i) Sean V , W espacios vectoriales y T : V → W un isomorfismo. Entonces, el conjunto
{v1 , v2 , . . . , vn } es una base de V , si y sólo si el conjunto {T (v1 ), T (v2 ), . . . , T (vn )} es
una base de W .
(ii) Sean V , W , U espacios vectoriales y T : V → W , F : W → U transformaciones
lineales. Si F ◦ T es sobreyectiva, entonces F y T son sobreyectivas.
1
R
Problema 4. Sean T1 : 3 → P2 , T2 : P2 → S2×2 transformaciones lineales, tales que
 
a
z
−
y
2z
+
y
2
2
T1  b  = (a − b + c)t + (2b + c)t + (c − b), T2 (xt + yt + z) =
.
2z + y x − z
c
(i) Hallar nu(T2 ◦ T1 ), rec(T2 ◦ T1 ).
(ii) Encuentre, de ser posible, (T2 ◦ T1 )−1 .
(iii) Verifique que (T2 ◦ T1 )−1 = T1−1 ◦ T2−1 .
Problema 5. Sean V , W espacios vectoriales y T : V → W una transformación lineal. Sean
0
BV , BV0 bases de V y BW , BW
bases de W . Investigue qué relación existe entre [T ]BV BW y
0 . Si V = W , existe alguna relación entre det([T ]B B ) y det([T ]B 0 B 0 )?
[T ]BV0 BW
V V
V V
2