Módulo III Introducción al Mercado de Opciones y Swaps

Transcripción

Matemáticas Aplicadas
Módulo III
Introducción al Mercado de
Opciones y Swaps
S ió 1
Sesión
1: O
Opciones
i
Diego Jara
diego jara@quantil com co
[email protected]
I t
Instrumentos
t Financieros
Fi
i
Derivados
D i d E
Estandarizados
t d i d y OTC – BANCO AGRARIO
Octubre 2011
Universidad Nacional de Colombia
Mapa del Módulo
MERCADO DE OPCIONES
1.





Opciones
O
i
Pl i V ill
PlainVanilla
Principio de no Arbitraje
Estrategias con Opciones
Vl
Valoración
ió y Ri
Riesgo
Opciones Exóticas
MERCADO DE SWAPS
2.





Swaps PlainVanilla
Opciones sobre Swaps
Swaps
p extinguibles
g
Riesgo de Contraparte en Contratos Derivados
Valoración y Análisis de Riesgo
Derivados OTC y Estandarizados
Referencias
 Bodie, Z., Kane, A., and A. Marcus (2002). INVESTMENTS. McGraw







Hill,, 5th Ed..
Capinski, M. and T. Zastawniak (2003). MATHEMATICS FOR
FINANCE. Springer
Crouhy,
y, M.,, Dan,, G.,, y Mark,, R.,, 2006. “The Essentials of Risk
Management.” McGraw Hill.
Duffie, D., Singleton, K. J., 2003. “Credit Risk.” Princeton University
Press.
Hull, J. (2006). OPTIONS, FUTURES AND OTHER
DERIVATIVES. Prentice Hall, 6th Ed.
Shreve, S., 2008. “Stochastic Calculus for Finance I.” Springer Verlag.
Shreve, S., 2008. “Stochastic Calculus for Finance II.” Springer Verlag.
Tuckman, B. (2002). FIXED INCOME SECURITIES. Wiley, 2nd ed.
Opciones






Opciones PlainVanilla
Valoración
Riesgo (Griegas)
O i
Opciones
E ói
Exóticas
Opciones






Valoración
Riesgo (Griegas)
O i
Opciones
E ói
Exóticas
Mercados Financieros Básicos







Acciones
Bonos
Monedas (?)
Fondos de Inversión
Mercado Monetario
A i Fí
Activos
Físicos
i
Bienes de Consumo (Commodities)
Mercados Financieros Básicos
 Mercados (centros de transacción)
 OTC
 Bolsas
 Existencia
E i
i de
d precios
i para cada
d iinstrumento bá
básico
i
(no es trivial esto)
 Derivados:
Derivados Instrumentos (contratos) cuyos flujos
de caja están definidos por precios de instrumentos
básicos
Descripción de Mercados Teóricos
Trabajaremos en un mercado ficticio, con las siguientes
suposiciones:
 Existen instrumento financieros, con precios S bien
definidos.
definidos
 Estos precios varían en el tiempo  S(t)
 Existe compradores
p
y vendedores, y un mercado
transaccional organizado
 Existe un mercado monetario: se puede prestar o
pedir
di prestada
d plata
l a cualquier
l i término
é i T
T, a una
tasa r = r(T) (la tomamos compuesta continuamente)
Descripción de Mercados Teóricos
 Se supone lo siguiente
1. S(t)  0 para todo activo y todo t
2. No hay fricciones
a.
b.
c.
No hay costos de transacción
Infinita Divisibilidad
Infinita Liquidez
33. No hay restricciones de venta en corto
4. Admisibilidad (no se puede apostar con “doble o
nada” infinitamente))
5. No existen oportunidades de arbitraje (no hay
“almuerzos gratis”)
Descripción de Mercados Reales
 Todas las suposiciones anteriores fallan (en mayor o
menor medida) en mercados reales
 Detalles significativos:
 Capacidad
C
id d dde pedir
di prestada
d plata
l en cualquier
l i momento, y
por cualquier monto
 Costos de transacción
 Liquidez
 Capacidad de vender en corto
Derivados Plain Vanilla
FORWARD
 Un contrato bilateral (mercado OTC)
 Obliga a una parte a comprar (posición larga) y a
otra a vender (posición corta) …
 … en un momento dado (Expiración T) una
cantidad dada ((Nocional)) de un instrumento dado
(subyacente) por un precio dado (Strike K, o
Precio Forward F(0,T)).
 Típicamente
Tí i
ell contrato no requiere
i pago inicial
i iil
 Nota: precio forward  precio del forward
FUTURO
 Diferencia
Dif
i con fforward:
d se transa en un mercado
d
organizado (bolsa)
 Se elimina el riesgo
g de contraparte
p
mediante una
cámara de compensación
 Esto se logra mediante cuentas de margen




Margen IInicial
M
iil
Marcar a Mercado
Margen de Mantenimiento
Llamado de Margen
 Base: diferencia entre futuro y precio spot
OPCIÓN CALL
 Un contrato bilateral (mercado OTC) o
estandarizado (bolsa)
 Le da el DERECHO a su tenedor (posición larga)
de comprar a la otra parte (posición corta) …
 … en un momento dado ((Expiración
p
T)) una
cantidad dada (Nocional) de un instrumento dado
(subyacente) por un precio dado (Strike K).
 Se
S requiere
i un pago iinicial
i i l (P
(Prima)
i ) por parte ddell
comprador de la opción.
OPCIÓN CALL
 El dueño de la opción
p
solo debe ejercer
j
si el subyacente
y
tiene un
precio superior al Strike

Pago final de una call:
[S(T) – K]+= max (0, S(T) – K)
 Ej.
Ej Un agente compra opciones call sobre una acción:
o
Fecha compra: octubre 21
o
Subyacente: Acción de XYZ; S(0) = $80
o
Nocional: 1000 acciones
o
Prima inicial por opción: $8
o
Strike (precio de ejercicio): $85
o
Expiración: tres meses (enero 21, 2012)
 En expiración, si S(T) = $100, el agente ve valor en comprar la acción
por $85,
$85 por lo
l cuall usaría
í la
l opción
ió
 En expiración, si S(T) = $75, el agente preferiría compra la acción en
el mercado
Opción Call – PyG final de posición larga.
U
Usemos
K 100 T
K=100,
T=0.5,
0 5 prima=5,
i
5 r=5%
5%
PyG = Pago final – valor (futuro) de la prima
PyG Call, Posición Larga
14
Pendiente = 1
Py
yG Final
9
5×e5%×0.5
4
-1
80
85
90
95
100
105
110
-6
S(T)
115
120
Opción Call– PyG final de posición corta.
U
Usemos
K 100 T
K=100,
T=0.5,
0 5 prima=5,
i
5 r=5%
5%
PyG = valor (futuro) de la prima - Pago final
PyG
yG Ca
Call,, Posición
os c ó Co
Corta
ta
PyG Final
P
5
0
80
85
90
95
100
105
110
-5
-10
5×e5%×0.5
Pendiente = -1
-15
S(T)
115
120
OPCIÓN PUT
 Un contrato bilateral (mercado OTC) o
estandarizado (bolsa)
 Le da el DERECHO a su tenedor (posición larga)
de vender a la otra parte (posición corta) …
 … en un momento dado ((Expiración
p
T)) una
cantidad dada (Nocional) de un instrumento dado
(subyacente) por un precio dado (Strike K).
 Se
S requiere
i un pago iinicial
i i l (P
(Prima)
i ) por parte ddell
comprador de la opción.
OPCIÓN PUT
 El dueño de la opción
p
solo debe ejercer
j
si el subyacente
y
tiene un
precio inferior al Strike

Pago final de una put:
[K – S(T)]+= max (0, K – S(T))
 Ej.
Ej Un agente compra opciones put sobre una acción:
o
Fecha compra: octubre 21
o
Subyacente: Acción de ABC; S(0) = $60
o
Nocional: 500 acciones
o
Prima inicial por opción: $10
o
Strike (precio de ejercicio): $65
o
Expiración: seis meses (abril 21, 2012)
 En expiración, si S(T) = $50, el agente ve valor en vender la acción
por $65,
$65 por lo
l cuall usaría
í la
l opción
ió
 En expiración, si S(T) = $75, el agente preferiría vender la acción en
el mercado
Opción Put Europea – PyG final Posición Larga.
U
Usemos
K 100 T
K=100,
T=0.5,
0 5 prima=5,
i
5 r=5%
5%
PyG = Pago final – valor (futuro) de la prima
PyG Put
Put, Posición Larga
Py
yG Final
14
Pendiente = -11
9
5×e5%×0.5
4
-1
80
85
90
95
100
105
110
-6
S(T)
115
120
Opción Put Europea – PyG final Posición Corta.
U
Usemos
K 100 T
K=100,
T=0.5,
0 5 prima=5,
i
5 r=5%
5%
PyG = valor (futuro) de la prima – Pago final
PyG Put
Put, Posición Corta
5
Py
yG Final
0
80
85
90
95
100
105
110
115
-5
-10
Pendiente = 1
5×e5%×0.5
-15
S(T)
120
Si el dueño de la opción hace uso de su derecho, se dice
que ejerce
j
l opción
la
ió
 Europea: solo se puede ejercer en T
 Americana: se puede ejercer en cualquier momento,
hasta T


In-the-money  Out-of-the-money
o Call: S(0)
( )>K
o Put: S(0) < K

o Call: S(0) < K
o Put: S(0) > K
 Valor Intrínseco: valor si se ejerciera
j
hoyy
o Call: S(0) – K
o Put: K – S(0)
At-the-money:
S(0)  K
 Subyacentes típicos:




Acciones individuales
Índices accionarios
T de
Tasas
d cambio
bi
Futuros (típicamente con subyacente de
commodities)
 Costos de Transacción
 Comisiones a la bolsa y p
plataformas de transacción
 Márgenes (bid-offer) a creadores de mercado






En el mercado OTC, se tiene en general riesgo de
contraparte:
t
t
Riesgo de que el vendedor de la opción no cumpla con el pago
pactado
Posible mitigación con provisiones de garantías
En la bolsa, las opciones se marcan a mercado (y la cuenta
de margen se ajusta según la variación):
PPosición
i ió llarga: paga prima
i iinicial.
iil E
En adelante,
d l t en su cuenta
t ti
tiene
un activo (la opción)
Posición corta: recibe prima inicial. Debe poner margen adicional.
En adelante la posición se marca diariamente
diariamente. Ganancias se
depositan a su cuenta, y pérdidas se debitan (sufriendo posibles
llamadas de margen)
Opciones






Valoración
Riesgo (Griegas)
O i
Opciones
E ói
Exóticas
Principio de No Arbitraje
 Recordemos la existencia del mercado monetario
 Llamemos
Ll
B(
B(t,T)
T) ell ffactor dde descuento
d
dde madurez
d
T
T,





tal como se observa en t
Este es el pprecio de un bono cero cupón
p a T ((llamemos
éstos T-bonos)
B(t,T) = e-r(t,T)(T-t) = e-r(T-t)
E lo
En
l que sigue,
i
no se necesita
it que r sea constante,
t t nii
que sea determinística (puede variar aleatoriamente en
el tiempo)
p )
“Invertir” es comprar T-bonos. “Pedir prestado” es
vender (emitir) T-bonos.
Precios de Opciones: CE, CA, PE, PA.
Paridad Put-Call Europea. Para opciones europeas call
y put con iguales Strikes y expiraciones, se tiene
CE – PE = S(0) – KB(0,T)
Si está largo call, y corto put, en Expiración:
Largo Call
+
80
Largo Acción, "Corto" Strike
Corto Put
=
80
80
S(T)
S(T)
S(T)
Si S>K, se ejerce la call, y no la put: se compra la acción por K.
Si S<K, se ejerce la put, y no la call: se compra la acción por K.
En todo
d caso, en expiración
ó siempre se compra lla acción
ó por K.
El valor actual de estar largo la call y corto la put es
C E – PE
El valor actual de comprar una acción por K es
S(0) – KB(0,T)
Las dos cantidades deben ser iguales. En caso contrario
existiría un arbitraje
 Nota: Si se tiene el precio de una opción call, se puede
calcular el pprecio de una opción
p
pput a ppartir de la
ecuación de la paridad
Cotas Selectas
a.
b.
c
c.
d.
CE ≤ CA, PE ≤ PA
S(0) – KB(0,T) ≤ CE ≤ S(0)
KB(0 T) – S(0) ≤ PE ≤ KB(0,T)
KB(0,T)
KB(0 T)
K – S(0) ≤ PA ≤ K
Teorema. Para una acción sin dividendos
CE = CA
Dem./ Supongamos CE  CA, y que la opción americana se ejerce en 
 T (si no es así, se da un arbitraje trivial)
tt=0:
0: - Comprar una call europea por $ CE
- Vender una call americana por $ CA
- Consumir la diferencia (positiva)
t=T: - contraparte ejerce call americana: -1 acción, +$K
- Comprar
C
K/B(
K/B(,T)
T) T-bonos:
Tb
-$K
$K
t=T: - call europea: si S(T)  K, no se ejerce y el pago del T-bono
alcanza a cubrir el precio del corto de la acción (y sobra)
si S(T)
( )  K, se ejerce,
j
se cancela el corto de la
acción, y se paga con el bono (y sobra)
En cualquier caso, se gana plata, y nunca se pierde
ARBITRAJE!  Suposición falsa. ▪
“Paridad” Put-Call Americana
S(0) – KB(0,T)  CA – PA  S(0) – K
i. S(0) – KB(0,T)  CA – PA .
[Se
S sigue
i
dde CE = CA y CE – PE = S(0) – KB(0,T)]
KB(0 T)]
ii. CA – PA  S(0) – K.
Si se está largo una call americana, y corto una
europea, se tiene un valor intrínseco de S(0) – K
(exactamente una de las dos opciones se podría
ejercer)
Valoración – No Arbitraje
 Inicialmente notamos que precios de opciones
dependen de K, T y S(0)
 Dependencia de K:
 C decreciente en K; P creciente en K
 K<K’  CE(K) - CE(K’) < (K’-K) B(0,T)
PE(K
(K’)) - PE(K) < (K
(K’-K)
K) B(0,T)
B(0 T)
 C y P son convexas en K
 Dependencia de x = S(0):
 C creciente en x; P decreciente en x
 x<x’  CE(x’) - CE(x) < x’ - x
Consecuencia de
paridad Put
Put-Call
Call
PE(x) - PE(x
(x’)) < x’
x -x
 C y P son convexas en x
 C(0)  0
 x >> K  C(x)  S(0) – KB(0,T)
Valor del Tiempo
E
C
Valor Intrínseco
S(0)
 Dependencia de T
 T<T’  CA(T) ≤ CA(T’)
 Recordemos … Valor Intrínseco: Valor de la opción
sii se ejerciera
j i hoy.
h
 Para una call, VI = max(0, S(t) – K)
 Valor del tiempo = Precio opción –VI
VI
 Valor del tiempo es máximo en S(0) = K


En x ≤ K, el valor del tiempo es creciente
En x  K, se tiene CE(x) - CE(K) ≤ x - K
Máximo se da cuando S(0) = Strike (en valor presente)
p
Valor del Tiempo
S(0)
Opciones






Valoración
Riesgo (Griegas)
O i
Opciones
E ói
Exóticas
Estrategias usando Opciones
 + 1 call
 Motivaciones
 Participar solo de ganancias
 Acotar Pérdidas
 Apalancar ganancias
K
Por ejemplo: S(0) = 100, K = 100, prima = 10, T = 1
Con $100 se puede comprar una acción, o 10 opciones.
PyG \ S(T)
90
100
110
120
130
1 Acción
-10
0
10
20
30
10 Opciones
-100
-100
0
100
200
 + 1 put
 Motivaciones
 Participar solo de bajas en
el precio
 Acotar Pérdidas
 Apalancar ganancias de
una posición corta
K
 + 1 acción,, - 1 call
 “Call cubierto”
 Ganar una prima, sacrificando ganancias
K
S(0)
 + 1 acción,, + 1 p
put
 Protegerse contra pérdidas
S(0)
K
 + 1 call, Strike K1, - 1 call, Strike K2 > K1
 “+ 1 Call Spread” o “+ 1 Bull Spread”
 Motivación …
K1
K2
 + 1 put, Strike K1, - 1 put, Strike K2 < K1
 “+ 1 Put Spread” o “+ 1 Bear Spread”
 Motivación …
K2
K1
 + 1 call, Strike K1, - 1 put, Strike K2 < K1
 Motivación …
K2
K1
 - 2 calls, Strike K1, + 1 call, Strike K2 < K1
 Motivación …
K2
K1
 + 1 call, Strike K1, + 1 put, Strike K1
 “+ 1 straddle”
 Motivación …
K1
 - 1 call, Strike K1, - 1 put, Strike K2 < K1
 “- 1 strangle”
 Motivación …
K2
K1
 + 1 call, Strike K1, - 2 calls, Strike K2 > K1, + 1
call, Strike K3 > K2
 “+1 Butterfly Spread”
 Motivación …
K1
K2
K3
Opciones






Valoración
Riesgo (Griegas)
O i
Opciones
E ói
Exóticas
Un Periodo
 Objetivo: encontrar CE, PE, CA, PA
 Debemos suponer características del precio del
subyacente
 MODELOS
Deben representar fielmente el movimiento de los precios
(su naturaleza estocástica)
Deben incorporar características importantes de los
mercados
d
Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
Un Periodo
 Tenemos la siguiente opción call europea:
Precio Acción: S(0) = 80
Strike: K = 100
Expiración: T = 1
Tasás cero cupón compuestas continuamente (las suponemos
constantes): r = 10%
 Planteemos el siguiente modelo para S(T):
S(T)
120
90%
80
10%
t=0
CE(t=T)
60
t=T
20
90%
??
CE
10%
t=0
0
t=T
Un Periodo
CE((t=T))
??
CE
20
90%
10%
0
Intento natural:
 Encontrar valor esperado de precio final
 Descontar ese promedio a valor presente
R l d dde este iintento:
Resultado
CE =? e-rT×(90%×20 + 10%×0) = 16.29
Un Periodo
 Idea: construir un portafolio (con acciones y bonos cero
cupón) que replique los flujos de caja de la acción (solo
hay flujos en t=T)
 Pago opción = valor portafolio en estado “arriba”
arriba
 Pago opción = valor portafolio en estado “abajo”
 Si se logra
g esto,, se debe tener CE = pprecio ((hoy)
y) del
portafolio replicante …de lo contrario habría arbitraje
 P. ej., si CE < precio portafolio, se compra la opción y se vende
ell portafolio
t f li
• Hoy, t=0: ganancia igual a la diferencia
• En t=T: ingreso opción = egreso portafolio
• Neto,
N
hoy
h ganamos plata
l sin
i riesgo
i
… arbitraje
bi j
Un Periodo
x: número de acciones en el pportafolio
 y: número de T-bonos (cero cupón, con principal 100, madurez
T) en el portafolio
 Se quiere


(“arriba”) 120x + 100y = 20
(“abajo”) 60x + 100y = 0
x = 0.333
y = -0.2
02
Valor portafolio: 80x + 100e-rTy = 8.57
CE = 8.57
Un Periodo
 En general, el modelo del precio de la acción es
S(T)
d<r<u
Para evitar arbitraje
S0euT
p
S0
S0edT
1-p
t=T
T
t=0
 El pago final de un derivado depende del precio final
de la acción: Du=D
Du (Su) y Dd=D
Dd (Sd)
D(T)
D0
Du
p
1-p
Dd
Un Periodo
x: número de acciones en el portafolio
 y: número de T-bonos (cero cupón, con principal 100, madurez
T) en el portafolio
 Se quiere

(“arriba”) S0euTx + 100y = Du
(“ b j ”) S0edTx + 100
(“abajo”)
100y = Dd
x = (Du-Dd) / S0(euT-edT)
y = (DdeuT - DuedT) / 100(euT-eedT)
 Valor portafolio: e-rT[q*×Du + (1-q*)×Dd],
donde q*
q = (erT - edT) / (euT - edT)
Un Periodo
 Luego
g el pprecio del derivado se obtiene
Encontrando valor esperado* de precio final
Descontando ese p
promedio a valor ppresente
 El “valor esperado” se encuentra con q*
 p no afecta el p
precio del derivado
 q* → “probabilidad de neutralidad al riesgo”
 Este fue el aporte
p
de Black,, Scholes y Merton,, que
q les
mereció el premio Nóbel
Un Periodo
 Resumen:
D0 = E*[e-rTDfinal]
 Nota:
E*[e-rTTS(T)] = e-rTT[q*×Su + (1-q*)×Sd]
= e-rTS(0)[euT(erT - edT)+edT(euT - erT)] / (euT - edT)
= S(0)
S 0 !!
 De ahí el nombre de “neutralidad al riesgo”: es la
probabilidad
b bilid d que me pronostica
ti igual
i l rendimiento
di i t de
d
la acción (riesgosa) que del bono (sin riesgo)
Múltiples Periodos
 Extensión
 Dividir T en más de N periodos
ti=T i/N
Podrían ser distintos
Δt=T/N
T
 P.
P ej.,
ej N = 2
Suu=S0e(u1+u2)Δt
Su=S0eu1Δt
Sud=S0e(u1+d2)Δt
S0
Sdu=S0e(d1+u2)Δt
Sd=S0ed1Δt
Sdd=SS0e(d1+d2)Δt
Múltiples Periodos
 Si el estado “UD” coincide con “DU”,, el árbol es
recombinante
 Aplicación: opción put americana, S(0)=50, K=58,
r=3%, u1=u2=u=40%, dd1=d2=d=-20%,
d d
T
T=1
 Proceso Estocástico de S(t)
 t=0: S0 = 50
 t=0.5: S(U) = 61.07, S(D) = 45.24
 t=1: S(UU)
( ) = 74.59, S(UD)
( ) = S(DU)
( ) = 55.26, S(DD)
( )
= 40.94
Múltiples Periodos
q
q* = 34.8%
 Proceso del valor de PA(t)
 t=1:
PA(UU) = 0, PA(UD) = PA (DU) = 2.74, PA(DD) = 17.06
 t=0.5:
PA((U)) = max {(
{(K-S(U))
( ))+, e-rΔt [q
[q*× PA((UU)) + (1-q*)×
( q ) PA((UD)]}
)]}
= 1.76
PA(D) = max {(K-S(D))+, e-rΔt [q*× PA(DU) + (1-q*)× PA(DD)]}
12 76
= 12.76
 t=0:
PA = max{(K-S0)+, e-rΔt [q*× PA(U) + (1-q*)× PA(D)]}
= 8.79
8 79
Universidad de los Andes - Especialización en Economía del Riesgo y la Información 2009 – Valoración de Instrumentos Derivados – Módulo I
Múltiples Periodos
Extensión a N periodos, recombinante
Δt=T/N, u, d, r const
…
- j=#veces “arriba”
- S=S0e(ju+(N-j)d)T/N
- # caminos que
llegan ahí:
N
 
 j
 
…
q*→ probabilidad de
neutralidad al riesgo
PProbabilidad
b bilid d de
d
llegar ahí:
N
 (q*) j (1  q*) N  j
 j
Múltiples Periodos
Notar:
N
E * [ S (T )]   S 0 e
( ju  ( N  j ) d ) t
j 0
N
  (q*) j (1  q*) N  j
 j
N
ut j
dt N  j
 S 0   (q * e ) ([1  q*]e )
j 0  j 
N

 S0 q * e
 S 0 e rtN
ut
 (1  q*)e

dt N
 S 0 e rT
Bajo la probabilidad q*,
q , S “crece”
crece a un ritmo r
Múltiples Periodos
Notar (usando saltos independientes, idénticamente
di ib id )
distribuidos):
N
VAR * [ln{S (T ) / S (0)}]  VAR * [ ln S ( jt ) / S (( j  1)t ) ]
j 1

 N q * (u  r ) 2 t 2  (1  q*)(r  d ) 2 t 2

 Nt 2 (u  r )(r  d )
T2

(u  r )(r  d )
N
SSe calibra
lib ell modelo
d l a la
l volatilidad
l tilid d del
d l mercado.
d
Por ejemplo, con u-r = r-d, y volatilidad anual de
ln(S(T)/S(0)), obtenemos
u = r + σ/√Δt, d = σ/√Δt - r
Múltiples Periodos
Precio de un derivado estilo europeo
p con pago
p g final
V(T,S(T)), cuyo precio depende del precio final de la
acción, S(T):
V(0) = E*[e-rTV(T)]
N
  e V (T , S 0 e
j 0
 rT
( ju  ( N  j ) d ) t
N
j
N j
)   (q*) (1  q*)
 j
Para derivados en general,
general el precio inicial se obtiene
“devolviéndose” en el árbol, en efecto repitiendo la
solución del modelo de un tiempo.
p
Múltiples Periodos
Histograma
g
S(T),
( ), N=25
Múltiples Periodos
Histograma de Ln(S(T)/S(0))
Ln(S(T)/S(0)), N=100
Tiempo Continuo
Cuando N es grande, esto es muy similar a una distribución
normal!
Modelo en el límite:
S(T) = S(0) exp{(r
{ - ½σ2)T + σ√T×Z},
√
}
donde Z ~ N(0,1) (bajo la probabilidad q*).
 El término
té i (r
( - ½σ2)T hace
h que E*[S(T)] = erTS(0)
 La valoración de derivados se preserva:
V(0) = E*[e-rTV(T)]
 Por ejemplo, si V(T) = (S(T)-K)+, se obtiene la fórmula de
Black & Scholes ppara el pprecio de una opción
p
call europea
p
Movimiento
Browniano
Tiempo Continuo
Movimiento Browniano
 W(·) es un proceso estocástico continuo
 W(0) = 0
 W(t+Δt) – W(t) es independiente de W(t)
 W(t+Δt) – W(t) ~ N (0, Δt)
 Con esto, el modelo de la acción se escribe
S(t) = S(0) exp{(r - ½σ2)t + σW(t)},
“Movimiento Browniano Geométrico”
dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dW(t)
Tiempo Continuo
Fórmula de Black y Scholes:
CE = E*[e-rT (S(T)-K)+]
2T + σ√T×Z) - e-rT K}
p
}+]
= E*[ {{S(0) exp(-½σ
…… (integrar) ……
= S(0) N(d+) - e-rT K N(d-),
donde
d+ = [ ln(S(0)/K) + (r + ½σ2)T ] / σ √T
d- = d+ - σ √T
√
Fórmula de Black y Scholes para puts europeas:
rT K N(-d
PE = e-rT
N( d-) - S(0) N(-d
N( d+)
Tiempo Continuo
Volatilidad Implícita
p
 Una vez más, ¿qué era σ?
 Es la volatilidad usada para valorar la opción
 Representa la volatilidad que se “espera” (a futuro,
durante la vida de la opción)
p
) del subyacente
y
 Relacionada con la volatilidad realizada, pero
ppueden ser bastante distintas
 Dado que los demás insumos de las opciones se
observan, esta es la cantidad que cotizan, y transan, los
traders de opciones
Tiempo Continuo
 Las primas de las opciones crecen con σ
 Dados S(0), K, T, r y la prima, se puede despejar σ de
las fórmulas de BS
 Esta es la volatilidad implícita (está implícita en la
pprima)) … se “observa” en el mercado de opciones
p
 Normalmente varía con el Strike (sonrisas)
Tiempo Continuo
 Para la mayoría de derivados distintos de opciones put
y call europeas, no hay accesibles fórmulas cerradas de
valoración
 Técnicas de valoración
Árboles (binomial, trinomial, no recombinante, …)
 Valoración
Vl
ió por “i
“inducción
d ió en reversa”” (trabajar
( b j del
d l fifinall all principio)
i i i )
 Puede valorar derivados bastante generales
 Puede ser muy demandante computacionalmente
Simulación
Si l ió de
d M
Monte C
Carlo
l
 Más sencillo computacionalmente
 Menos general (por ejemplo, muy difícil de valorar opciones con
t
terminación
i ió acelerada)
l d)
Tiempo Continuo
Resumen
 Modelo probabilístico del precio del subyacente
 Se pretende capturar ciertas características del movimiento
…. la volatilidad del subyacente, por ejemplo
 Bajo la probabilidad de valoración, los activos “crecen” a un
ritmo r
 Valor teórico: promedio (bajo esta probabilidad de
valoración) de VPN de pagos finales
 Implementación
I l
t ió dde esta
t di
distribución
t ib ió (á
(árboles,
b l
simulación)
 Incorporar
p
posibles
p
terminaciones tempranas
p
Modelos de Valoración
 Es importante diferenciar entre
 Modelos
o
o
o
o
Modelos
M
d l dde V
Valoración
l
ó
Métodos de Valoración
Establecen una dinámica de movimiento del (los) subyacente(s)
Enmarcan la dinámica en un espacio de probabilidad
Simplifican
p
el entorno económico y financiero en modelos
matemáticos
á
Exhiben fórmulas de valoración y análisis (no necesariamente
simplificadas)
 Métodos
o
o
Establecen herramientas numéricas y computacionales para realizar
los cálculos requeridos según el modelo
Simplifican
p
numéricamente los cálculos
Marco Teórico

El Valor
V l dde no arbitraje
bi j de
d un dderivado
i d consiste
i en:
o
o
o
o
o


Valor presente (descontado) del pago final
Valor esperado de este valor presente
El valor esperado se debe hacer bajo una medida de probabilidad
muy particular  Probabilidad de Neutralidad al Riesgo
Bajo esta probabilidad, el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual a la tasa libre de riesgo
E t “fó
Esta
fórmula
l ” es un tteorema; hhay una plataforma
ltf
matemática
t áti ddetrás
tá
que permite llegar a esto
Concepto usado: el valor de un derivado debe ser igual
al valor de un portafolio de instrumentos básicos
que repliquen
li
l flujos
los
fl j de
d caja
j d
dell derivado
d i d
Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe? Es única?
Marco Teórico
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS
FINANCIERAS:
“Existe una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay
arbitraje”
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS
FINANCIERAS:
“Existe
Existe una única probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el
mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de
caja derivados de los instrumentos básicos)”

Modelos Buscados
o
o
o

Deben representar fielmente el movimiento de los precios (su
naturaleza estocástica)
Deben incorporar características importantes de los mercados
Deben ser sencillos (de implementar y de usar)
Variables Modeladas
o
o
o
Precios de subyacentes
Tasas de Interés
Otras variables: clima, energía, catástrofes

Las distribuciones usadas típicamente giran alrededor de
distribuciones normales

Se busca la distribución bajo la probabilidad de neutralidad
g
al riesgo
 Calibración del modelo
o Escoger parámetros de tal forma que el modelo valore
cercanamente instrumentos observados en el mercado
o Parámetros no observables pueden acercarse a
comportamiento histórico, o se puede usar precios de
instrumentos similares
o Métodos para calibrar estos parámetros: Mínimos
Cuadrados, máximo-verosimilitud, …
 Valoración y Análisis de Riesgo
Un modelo es tan bueno como la estrategia de
cobertura de riesgos que ofrezca
 Matemáticamente,
Matemáticamente se busca:
o Evaluar una integral (un valor esperado)
o Solucionar una ecuación diferencial parcial
 Métodos
o Simulación (Monte Carlo)
o Árboles (Modelo Binomial y extensiones)
o Análisis numérico para soluciones de Ecuaciones
Diferenciales Parciales
Opciones






Valoración
Riesgo (Griegas)
O i
Opciones
E ói
Exóticas
Motivación
 La corporación NN es cliente del banco A
 NN quiere comprar una opción (por alguna razón que
comunica a A)
 NN pone a A en competencia y le pide ofertas a los
bancos A, B y C
 A ofrece el mejor precio y le vende la opción a NN
 No
N es un riesgo
i
que bbuscara A … ¿quéé puede
d hhacer??
Nada, y esperar que el destino le juegue bonito
Vender la misma opción en el mercado … raramente se puede
Cubrir
C b i ell riesgo
i
dde lla opción
ió con iinstrumentos
t
t líquidos
lí id
A
Objetivo
 ¿¿Cómo cambia el precio
p
de una opción
p
(o en general
g
un
derivado) cuando cambian las variables de mercado?
 Precio subyacente
 Tasas de interés
 Volatilidades
 Tiempo …
 Una forma de averiguarlo: valorar nuevamente la opción
cuando estas variables se mueven un poco → Griegas!
(sensibilidades)
Delta (δ)
 Cambio del precio de una opción (o un derivado en general)
con respecto a cambios en el precio del subyacente
pprecio

S
 Si se tiene un modelo de valoración, se mueve S(t) en una
unidad, y se observa el cambio en el precio de la opción
 Ejemplo: contrato forward …… Su valor en el tiempo t es
V(t) = (F(t,T) – F(0,T))  P(t,T) = S(t) – S(0)  P(t,T) /
P(0,T).
Así, su delta es
1
Delta (δ)
En el caso de una opción call europea, se puede encontrar
directamente de la fórmula de BS:
2

x
2
C E
e
 (call ) 
 N (d  )  
dx
S
  2
Notar que este delta está entre 0 y 1
¿Qué significa? Si una opción call tiene delta = 0.4, entonces el
cambio en el precio de la opción cuando el subyacente aumenta
$$1 es aproximadamente
p
+$0.4
$ .
Es decir, ΔCE ≈ δ × ΔS
d
Delta (δ)
 Así, si estamos largos una opción, y vendemos 0.4
acciones, ell PyG
G del
d l portafolio
f l cuando
d ell subyacente
b
aumenta $1 es aproximadamente +$0.0:
Δπ = ΔCE - δ × ΔS ≈ 0
 Para cubrir el delta de una opción put (posición larga
en la opción), se deben comprar acciones
 El delta representa “cuántas acciones” se tienen
mediante el derivado; la cobertura es tomar la posición
contraria en el subyacente
Gamma (Γ)
 Cambio del delta con respecto a cambios en el precio del
subyacente:
  2 precio


S
S 2
 Si se tiene un modelo de valoración, se mueve S(t) en una
unidad, y se observa el cambio en delta
 Similar, pero más precisamente, se observa el cambio en el
precio del derivado cuando S(0) → S(0) + ΔS (δ1) y cuando
S(0) - ΔS → S(0) (δ2), y se determina el cambio en los cambios
….
 Ejemplo: contrato forward …… Su valor en el tiempo t es V(t)
= (F(t,T) – F(0,T))  P(t,T) = S(t) – S(0)  P(t,T) / P(0,T).
Así, su gamma es
0
Gamma (Γ)
 Para una opción call, cuando el precio de la acción sube,
qué pasa con el delta?
Sube
 Es decir, su gamma es positivo
 Para una opción put, cuando el precio de la acción sube,
quéé pasa con ell ddelta?
l
Sube (es menos negativo)
 Es
E decir,
d
estos precios son funciones
f
convexas en S(0)
(porque su segunda derivada es positiva)
 Como se interpreta financieramente esta convexidad?
Gamma (Γ)
 Ejemplo: + 1 opción call europea, K = 100
 Permanentemente cubrimos su delta
t=t0=0: S(0) = 100, δ = 0.5, Γ = 0.04 → debemos vender 0.5
acciones (en $100)
t=t1: S(t1) = 102, δ = 0.58 → debemos estar cortos 0.58
acciones → vender 0.08 acciones extra (en $102)
t=t2: S(t2) = 97,
97 δ = 00.38
38 → debemos
d b
estar
t cortos
t 0.38
0 38
acciones → comprar 0.2 acciones de vuelta (en $97)
t=t3: S(t3) = 100, δ = 0.5 → debemos estar cortos 0.5 acciones
→ vender 0.12 acciones extra (en $100)
 El portafolio final es igual al inicial: {+1 opción call, - 0.5
acciones}
Gamma (Γ)
 Pero en el camino vendimos 0.08 acciones en 102, 0.12 en 100, y
compramos 0.2
0 2 acciones en 97
 Esto da un PyG de $0.64
 Mientras más se mueva la acción, más podremos repetir este
pproceso de vender caro y comprar
p barato
 Este es el valor de gamma …. Por esto al estar largos la opción (y
en efecto estar largos gamma), preferimos tener altas volatilidades
 No viene ggratis … si no se mueve el subyacente,
y
pperdemos valor
d la
de
l opción
ó con ell paso ddell tiempo, valor
l que se incluyó
l ó en ell
pago de la prima
 Muy aproximadamente, si la volatilidad realizada de la acción es
mayor que la implícita (la usada para valorar la opción
inicialmente), se gana plata cubriendo el delta
 De lo contrario, aproximadamente se pierde plata
 Ojo
j con los costos de transacción al cubrir el delta ….
Precio Call Europea
Precio Call
S(0)
Delta Call Europea
Delta Call
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
S(0)
Gamma Call Europea
Gamma Call
0 02
0.02
0.015
0.01
0.005
0
S(0)
Theta (Θ)
 Cambio del precio con respecto al cambio del tiempo:
precio

T
 El tiempo es lla ú
única variable
bl cuyo “f
“futuro”” conocemos
 El paso del tiempo es certero … y no se ve bien en las
opciones
p
 Decaimiento: cuando pasa el tiempo, la opción pierde valor
(pierde su valor del tiempo)
 Ojo con los signos: cuando nos adelantamos en el tiempo, T
decrece (el tiempo hasta la expiración de la opción)
 Por esto el signo negativo …
Theta Call Europea
Theta Call
0
-2
-4
4
-6
-8
-10
S(0)
Vega
 Cambio del precio con respecto a cambios en la volatilidad
implícita:
precio
vega 

 Al construir el modelo para llegar a la fórmula de BS, se
suponía
í σ constante
t t …. entonces
t
cómo
ó se jjustifica
tifi esta
t
cantidad?
 En la práctica,
práctica la volatilidad que usan los bancos para transar y
valorar opciones sí cambia (en principio, cambian con las
expectativas de la volatilidad a futuro)
Vega Call Europea
Vega Call
40
30
20
10
0
S(0)
Rh (ρ)
Rho
 Cambio del precio con respecto a cambios en la tasa de interés:
precio

r
 Al construir el modelo para llegar a la fórmula de BS, se
suponía r constante …. entonces cómo se justifica esta
cantidad?
tid d?
 En la práctica, las tasas cambian …
 Veamos
V
un ejemplo
j
l numérico
éi
Portafolios
 Cuando se tienen portafolios de derivados y activos básicos,
las griegas se pueden agregar linealmente; p.ej., el delta de
un portafolio es la suma de los deltas de sus componentes
 El análisis de riesgo de un portafolio y la explicación de su
PyG están íntimamente ligados
Portafolios
 Supongamos
p g
que
q en un portafolio
p
solo se encuentran
una acción, y opciones y forwards sobre esta acción
 Luego
g las variables qque pueden
p
mover el valor del
portafolio son
 S, T, σ, r
 π = π (S, T, σ, r)
 Expansión de Taylor:
delta
Expansión de Taylor
theta
vega
rho
gamma

1  2
2
  0 
(S  S0 ) 
(
S

S
)

0
2
S
2 S

1  2
2

(T  T0 ) 
(
T

T
)

0
2
T
2 T

1  2
2

(   0 ) 
(



)

0
2

2 

1  2
2

(r  r0 ) 
(
r

r
)

0
2
r
2 r
 2
 2

( S  S 0 )(T  T0 ) 
( S  S 0 )(   0 )  
ST
S
Expansión de Taylor
 Se aproxima
p
todo con el pprimer orden
 Con la variable S, toca ir hasta el segundo orden (gamma)
… la razón es técnica … el Movimiento Browniano tiene
variación cuadrática mayor que 0
 ????
1
2
    S   S   T
2
 vega    r
Portafolios
 Ejercicio
Opciones






Valoración
Riesgo (Griegas)
O i
Opciones
E ói
Exóticas
Opciones Exóticas
 Variación en:
o
o
o
Tiempos de ejercicio
Condiciones para poder ejercer
Strikes variable
o
Precio del “subyacente” (el pago final puede depender de una
función de la evolución del precio)
p
)
o
Fórmula de ejercicio de la opción
Subyacente
Opciones compuestas
Combinaciones de las anteriores
o
o
o
Opciones Exóticas
 Tiempos de ejercicio
o
Opciones Europeas: solo en el momento de expiración
o
Opciones Americanas: en cualquier momento antes de la
expiración
o
Opciones estilo Bermuda: en ciertos tiempos especificados en el
derivado (por ejemplo, cada tres meses)
Opciones Exóticas
 Condiciones para poder ejercer
o
o
Barreras: Up-and-In, Up-and-Out, Down-and-In, Down-and-Out,
y variaciones
Barrera Up-and-Out:
Opción muere cuando el subyacente toca la barrera
190
Cómo se vería el delta
d esta
de
t opción?
ió ?
170
150
130
Precio Accion
110
Barrera
90
70
50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Opciones Exóticas
o
Extensión: Parisinas
Opción muere cuando el subyacente haya pasado
la barrera por algún tiempo preestablecido
190
170
150
130
Precio Accion
110
Barrera
90
70
50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Opciones Exóticas
o
Ejemplo: Opción de Dólar del Banco de la República para Reducir
Volatilidad
o
Americana
o
Se subasta cuando la TRM se desvía en 2% o más de su promedio
móvil de 20 días
o
Sólo se puede ejercer si la TRM (en el momento de ejercer) se
dif
diferencia
i por más
á dde 2% ddell promedio
di móvil
ó il
o
Strike móvil: igual a la TRM vigente el día de ejercicio
Opciones Exóticas
 Strike variable
o
o


Opciones
O
i
F
Forward
d
Ejemplo:
Un forward sobre un straddle (put + call) sobre una acción
Tiempos
Tiempos:
Día de Transacción
del forward



Cómo se vería el delta
de esta opción?
Inicio de Opción:
fijación de Strike
Vencimiento
de Opción
Strike: At-The-Money en el momento de fijación
Precio Forward: se calcula según una volatilidad pactada
Realmente es un contrato forward sobre la volatilidad de
Black Scholes
Black-Scholes
Opciones Exóticas
 Strike variable
o
Ratchet o Cliquet
o
o
Sucesión de opciones
El strike de cada opción depende del mercado en el
momento de inicio de la opción
En efecto, es una sucesión de forwards sobre opciones
Ejemplo:
Opción Cliquet sobre una acción
6 expiraciones, una al final de los próximos seis meses
Opciones call
Strike: Valor de subyacente + $5. El valor se observa al
comienzo de cada mes.
o
o




Opciones Exóticas
 Strike variable
o
Opciones de Intercambio
o
o
El strike es el precio de otro subyacente
En efecto, la liquidación final no es una unidad del subyacente
por el Strike pactado, sino es una unidad del subyacente por
una unidad de otro subyacente
Para el caso de una call:
Valor Final = max ( 0, S1(T) – S2(T) )
Para el caso de una put:
Valor Final = max ( 0, S2(T) – S1(T) )
o
o
Opciones Exóticas
 Precio del Subyacente
o Asiáticas
A iá i
o El “precio” de referencia es el promedio del precio del
subyacente a lo largo de la vida de la opción
170
150
130
110
90
Precio Acción
Promedio Precio
70
Strike
50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Opciones Exóticas
 Precio del Subyacente
o Lookback
L kb k
o El “precio” de referencia es otra función de la historia del
precio de la acción (máximo, mínimo, …)
190
170
150
130
110
Precio Acción
A ó
90
Precio Máximo
70
Strike
50
0
02
0.2
04
0.4
06
0.6
08
0.8
1
Opciones Exóticas
 Fórmula del pago final
o
Opciones Digitales
o
El pago final es 1 o 0,
0 dependiendo de la comparación del
subyacente con el strike
Para el caso de una call:
o
1, si S (T )  K
Valor Final  
0, si S (T )  K
o
Para el caso de una put:
0, si S (T )  K
Valor Final  
1, si S (T )  K
Opciones Exóticas
o Opciones
O i
Di i l
Digitales

Griegas
1.2
0.8
04
0.4
0
50
-0.4
70
90
110
130
Valor
V
l Fi
Finall
Precio Opción
Delta (escalado)
Gamma (escalado)
-0.8
150
Opciones Exóticas
o
Opciones Quanto
o
o
El pago final se realiza en otra moneda
Ejemplo:
Opción call, Strike K, Expiración T
Subyacente: retorno del Índice S&P 500
Pago de la Opción se hace sobre un nocional en COP:



 S (T )  S (0)

 K 
Valor Final  COP $ N  max 0,
S (0)



El precio de la opción depende del precio del índice (que
es en USD), y del precio de COP/USD.
Opciones Exóticas

Opciones Chooser

El pago final es el de una call o el de una put

El dueño de la opción debe escoger cuál de las dos en un
tiempo intermedio
Día de Transacción
de la chooser
Shout: escoger
call o put
Vencimiento
de Opción
Opciones Exóticas
Subyacente
C
Canastas

o
El pago final se realiza sobre el precio agregado de un portafolio
de activos
Valor Final  max0, ( S1 (T )  S 2 (T )    S n (T ))  K 
Rainbow

o
El pago final se realiza sobre una función de un portafolio de
activos (máximo,
( á
mínimo,
í
…))
Valor Final  max0, max(S1 (T ), S 2 (T ),, S n (T ))  K 
Spread

o
El pago final se realiza sobre la diferencia de dos variables
Valor Final  max0, S1 (T )  S 2 (T )  K 
Opciones Exóticas
 Opciones Compuestas
o
Put sobre Call, Call sobre Put, …
o
El Strike de las primeras opciones es una prima
o
El Strike de las opciones subyacentes puede ser determinado
al principio, o en el momento de ejercicio de la primera
opción, en cuyo caso los derivados serían opciones sobre la
volatilidad del subyacente
Notas Estructuradas
Ej.FX
j. TARN ((Target
g Redemption
p
Note))
 Variable subyacente: Tasa de Cambio COP/USD
 Nocional: COP
 Cupón
ó Mensuall
o Mes 1: 10% (tasa anual)
o Mes 2-12: Max(0,1800 – COP/USD (al comienzo del mes))  0.2%
 La Nota madura cuando acumula cupones pagados TOTALES de
8% (Target), o en 1 año (lo primero en ocurrir). Nota: excesos
encima del Target no se pagan.
 Cuando madura, la nota devuelve el principal. Nota: el Target solo
puede alcanzarse en fechas de pago de cupón.
 Veamos posibles trayectorias en EXCEL.
Opciones
FIN

Módulo III Introducción al Mercado de Opciones y Swaps

Transcripción

Documentos relacionados

Criterios de Desempate - Concurso Nacional para el Otorgamiento