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Capítulo I PROGRAMA DE ACTUALIZACION, PROFESIONALIZACION Y FORMACION DE DOCENTES EN MATEMÁTICAS Mariela Orozco Hormaza 1. JUSTIFICACION La finalidad que la sociedad asigna a la escuela es la transmisión del conocimiento socialmente valido. Se trata de la única institución social encargada de transmitir conocimiento, sin embargo, la escuela no cumple esta función adecuadamente y los resultados que obtiene dejan mucho que desear. Un proyecto que intente el mejoramiento de la escuela, contribuyendo al cumplimiento efectivo de su función, se debe concebir como un proyecto de cambio cultural a largo plazo, que implica procesos diferenciados que no solo involucran a la institución y sus actores - directivos, maestros y alumnos - sino las particularidades culturales del contexto en el cual se ubica, sus carencias y su acerbo y las condiciones socio-económicas particulares de las comunidades a las que sirve. De igual manera, debe contemplar procesos que exigen el reconocimiento de variables externas a la escuela y posibilitan la construcción social de escenarios de participación, en los cuales se atribuya poder a los maestros y se movilice a los alumnos y a los padres; se generen procesos que promuevan la conformación de entes externos a la institución, que la confronten y le demanden calidad y finalmente, pero no menos importante, procesos que posibiliten la constitución de grupos académicos fuertes encargados de evaluar, medir y sistematizar los efectos de los programas de intervención y la coherencia de los mismos. Desde la perspectiva de un cambio cultural, para iniciar la cualificación de la escuela se deben asumir por lo menos los siguientes procesos internos: la transformación de las practicas de enseñanza de maestros y maestras, en el aula; la creación de grupos de maestros/as que apoyen continuamente estos procesos, incluyendo en ellos a los directivos para convertirlos en facilitadores del cambio. Desde la perspectiva externa, la incorporación al proyecto de grupos de poder propios de cada región, lo mismo que a la comunidad de padres de familia, fomentando al desarrollo de entes externos a la escuela que apoyen, evalúen, confronten y planteen demandas que le exijan cualificar su labor. Inicialmente este Programa intenta abarcar acciones tendientes a consolidar los dos primeros procesos internos a la escuela: la transformación de las practicas de enseñanza y la conformación y fortalecimiento de grupos de maestros/as capaces de fundamentar y dinamizar procesos de cambio. Aunque se reconoce que estos cambios se deben enmarcar en una concepción que contempla la necesidad de asignar poder al maestro, que busca incorporar a directivos en el proceso y construir una comunidad crítica, es necesario señalar que estos objetivos no son centrales al Programa en esta primera etapa y solamente sirven de marco de referencia. Durante próximas etapas, se intenta incluir las condiciones específicas de las comunidades como eje central de la orientación que se adopta para los contenidos a enseñar y adoptar estrategias que permitan dar poder al maestro y construir una comunidad crítica. Para asumir un proyecto que permita concretar los procesos internos de la escuela, la transformación de las practicas de enseñanza en el aula y la formación de formadores con capacitación en investigación, es necesario desarrollar un programa de formación que contemple etapas, que permitan alcanzar objetivos diversos, progresivamente más complejos y conformar, conjuntamente con los maestros, equipos de trabajo diferenciados que garanticen los distintos tipos de formación. Desde esta perspectiva, a corto plazo, para el Programa se fijan dos objetivos: 1. La transformación efectiva de las prácticas de enseñanza de la matemática de maestras y maestros que trabajan en 6o. y 7o. grado de primaria. 2. La conformación y formación de grupos de maestros y maestras capaces de liderar y apoyar continuamente el proceso de transformación y de utilizar estrategias de sistematización e investigación para fundamentar sus prácticas. A largo plazo, se intenta generar un proceso que permita la cualificación de la enseñanza de la matemática en la primaria, introduciendo cambios en las prácticas de enseñanza, formación e investigación que los/las maestros actualmente utilizan. • • • • • • Para transformar las prácticas de enseñanza es necesario que maestros y maestras: Transformen sus concepciones sobre los contenidos matemáticos que enseñan, sobre la manera como entienden el aprendizaje de los alumnos y la enseñanza de los mismos. Revisen críticamente sus prácticas con los alumnos al enseñar los contenidos matemáticos en el aula y reflexionen sobre ellas. Apliquen lo que aprendan en el aula hasta convertirlo en una práctica cotidiana. Sistematicen las experiencias de aula, de tal manera que puedan compartirlas con otros/as maestros/as. Desarrollen prácticas de sistematización, búsqueda e investigación, que les permitan encontrar una manera dinámica de vencer las dificultades que la enseñanza conlleva. Para la formación de grupos de maestros y maestras capaces de liderar y apoyar continuamente el proceso de transformación, es necesario: • • • establecer niveles diferenciados de formación que garanticen el liderazgo generar grupos de trabajo generar redes que apoyen los procesos de cambio 1.1. La actualización de maestros y maestras Los/las maestros/as participan y asisten a muchos cursos que no logran cambiar sus prácticas de enseñanza, sin embargo, pocas veces participan en un programa de formación continuada que garantice un cambio. Además los cursos parten de dos tipos de concepciones que consideramos, por lo menos incompletas, sino erradas. Las concepciones más frecuentes que subyacen a los cursos son de dos tipos. La primera sostiene que no se puede enseñar matemáticas sino se conoce la matemática y el curso se orienta de acuerdo con el siguiente supuesto: si se enseña un buen nivel de matemática, entonces el maestros podrá enseñarla adecuadamente. Hoy en día se reconoce que un buen conocimiento de la matemática no garantiza una buen enseñanza; por supuesto para enseñar matemática es necesario saber matemática, pero su conocimiento no garantiza la buena enseñanza y menos aún en la primaria. Si el buen matemático enseñase bien la matemática, el problema de la enseñanza se resolvería fácilmente, pero el buen matemático tiene que aprender a enseñar matemática, especialmente, cuando sus alumnos no poseen la capacidad de abstracción y generalización que el conocimiento matemático exige. (Harel & , 199, p.) Otra concepción señala la necesidad de trabajar cursos teóricos como una manera de incidir en las concepciones que los maestros manejan y en sus prácticas. En relación con esta perspectiva, señalo la enorme distancia existente entre la teoría y la práctica y la necesidad de revisar críticamente las prácticas concretas y reflexionar sobre ellas a partir de los nuevos elementos teóricos desarrollados desde la pers- pectiva de la educación matemática, como una manera de garantizar al maestro y a los estudiantes, aprendizajes efectivamente significativos. En consecuencia, en este Programa se propone trabaja el cambio conceptual simultáneamente con una revisión crítica de las practicas y para esto se adopta un enfoque metodológico que fundamentalmente exige reflexionar la práctica desde concepciones novedosas sobre educación matemática. El efecto de estos cambios se debe reflejar en las prácticas de enseñanza de la matemática que los maestros y maestras utilizan en el aula y en el aprendizaje efectivo de los alumnos que participan en ellas. El logro más significativo a alcanzar es que los niños dejen de decir: “la clase más horrible y aburridora, es la de matemáticas”, disfruten haciendo matemáticas. Los niños son muy inteligentes y les gusta el rigor, la lógica y las exigencias que la matemática les impone. Es absolutamente indispensable recuperar a los niños para las matemáticas; lograr que esta materia no se convierta en su “enemiga”, o en una quimera a la que solamente unos pocos privilegiados puedan acceder. La matemática constituye un conocimiento que resulta indispensable para el desenvolvimiento adecuado de cualquiera ciudadano que participa en la sociedad actual, por lo tanto los alumnos no deben continuar considerando el conocimiento matemático y la satisfacción que su comprensión puede producirles, una quimera imposible de alcanzar. El efecto de los cambios que el Programa impulsa se debe igualmente reflejar en los maestros y las maestras, facilitando la formación de formadores, que basan sus prácticas en la investigación sobre la enseñanza y el aprendizaje de los contenidos que enseñan y permitiendo la configuración de grupos y redes que apoyen procesos de transformación y cambio a largo plazo, sin requerir la intervención permanente de agentes externos. 2. CONCEPCIONES QUE FUNDAMENTAN EL PROGRAMA La modificación de las prácticas de enseñanza, formación e investigación, que el grupos de maestros participantes implementa, constituye la problemática que el Programa abarca. Los maestros y los niños con quienes ellos trabajan son los sujetos del Programa. Entre estos sujetos media una relación de tipo pedagógico, es decir, una relación que se articula alrededor de un conocimiento particular, en este caso, la enseñanza y el aprendizaje de la matemática. Tanto la enseñanza como el aprendizaje conducen a practicas diferenciadas, que a su vez generan en alumnos y maestros experiencias y aprendizajes diferenciados. Desde el punto de vista de la intervención, el Programa se concibe como un proceso de transformación y cambio a largo plazo de las practicas de enseñanza, formación e investigación de un grupo de profesionales dedicados a la enseñanza de la matemática en la escuela primaria, cuyo efecto es evaluado en los cambios efectivos de concepciones y práctica y en el mejor desempeño de los alumnos con quienes ellos trabajan. El objetivo inicial de la intervención es la transformación de la practicas de enseñanza de los maestros y del aprendizaje de los alumnos para lograr una enseñanza mas centrada en la manera como el niño accede al conocimiento matemático y por lo tanto aprendizajes más significativos y comprensivos. La perspectiva epistemológica y metodológica que se adopta se deriva de una posición constructivista que exige comprender y aplicar los siguientes principios: • • • • maestros y niños, sujetos de la intervención, construyen activamente conocimiento; la transformación de las concepciones y practicas es posible en la medida en que los sujetos de la intervención reflexionen sobre sus errores y dificultades; la enseñanza debe partir y tener en cuenta el conocimiento previo de los sujetos; la reflexión y la aceptación del error constituyen los mecanismos que impulsan y dinamizan el proceso de transformación y cambio. Para lograr una transformación efectiva de las practicas de enseñanza, formación e investigación, se propone abordar tanto el cambio de las concepciones como una revisión crítica de la misma práctica. El cambio de las concepciones se asume desde una triple perspectiva que abarca la concepción sobre el contenido matemático que los maestros y maestras enseñan, la manera como los alumnos lo aprenden y la manera como ellos lo enseñan. 2.1. Sobre los contenidos y el método En general, los maestros y maestras de 6º y 7º, que participan en el Programa, manejan una buena formación matemática pues la mayoría son licenciados. Sin embargo, no proponemos trabajar teoría matemática, sino presentar y discutir con ellos una concepción epistemológica y teórica sobre la educación matemática que involucra, tanto el contenido matemático que se enseña, como el sujeto que lo aprende, con sus logros y dificultades particulares frente al mismo; igualmente, facilitarles medios que puedan utilizar para la enseñanza. En relación con el conocimiento matemático, que media la relación maestro alumnos, se adopta como elemento central al Programa trabajar en la construcción de verdaderos objetos matemáticos, operaciones, relaciones y propiedades1, que permitan a los alumnos resolver problemas y construir un pensamiento matemático. Para llegar a la construcción de objetos, operaciones y relaciones propiamente matemáticas, en el Programa utilizamos la resolución de problemas como el medio que permite tal construcción diferenciándonos de otros autores que proponen la resolución de problemas como fin ultimo y elemento central de la enseñanza de la matemática. Hasta donde es posible, se utilizan problemas relacionados con la experiencia cotidiana del estudiante, que permitan ejemplifican estructuras diferenciadas y variadas relativas al tipo de operación que se requiere para su solución (ver Vergnaud, 1982 y 1983). Para que el estudiante llegue a su solución, enfatizamos un trabajo relacionado con la confrontación de la lógica implícita en la argumentación del estudiante y se lo apoya para que utilice procedimientos propios, que le posibilitan obtener resultados adecuados y correctos. Solamente una vez se consigue este nivel mínimo de solución, se trabajan formas algorítmicas de resolución, que resultan más adecuadas y económicas desde la perspectiva de los adultos, pero no para los niños. En el Programa reconocemos la necesidad que tienen los alumnos, durante buena parte de la primaria, de manejar objetos concretos para apoyar sus acciones de unir y desunir, añadir y quitar, partir y repartir y así lograr la progresiva construcción de objetos y operaciones matemáticas propiamente dichas. Sin embargo, igualmente se reconoce que únicamente el manejo de las operaciones generales de composición y descomposición garantiza la construcción de objetos numéricos y geométricos, propiamente matemáticos. Las limitaciones en la forma como los alumnos aceden al conocimiento matemático, de las cuales partimos, nos llevan a diferenciar, a la manera de Behr y otros, la matemática de la cantidad de la aritmética de los números (en el capítulo 4 de la Sección II de este texto, se incluye una exposición amplia sobre esta diferenciación) y los procedimientos de los niños de las formas canónicas de la matemática. Esta diferenciación exige inicialmente centrar las estrategias de enseñanza en la primaria, en el apoyo que maestros y maestras pueden prestar a sus alumnos para que reflexionen sobre las acciones y manipulaciones que realizan con materiales y otros medios, como una forma de garantizar la progresiva construcción de los números, operaciones y relaciones. Sin embargo, no podemos olvidar que estos apo- 1 Desde la perspectiva de la matemática, para los contenidos matemáticos que se trabajan se adopta el enfoque de sistemas (Vasco, 1994). yos deben desaparecer progresivamente si quermos lograr la construcción de un conocimiento matemático verdadero. La reflexión sobre teorías relativas a la educación matemática no se asume en el vacío, sino a través de un método concreto que exige tomar la tarea, un instrumento fundamental a la práctica de enseñanza, y reflexionar sobre ella. El método de análisis de tareas se convierte en el instrumento metodológico que media en los diferentes niveles de intermediación pedagógica que se configuran en el Programa. Utilizamos el análisis de tareas para que maestros y maestras reconozcan en la tarea los elementos significativos del contenido que enseñan, la complejidad del mismo y las demandas que establece sobre el sujeto que aprende. Este análisis genera para cada tarea y cada contenido un modelo que permite a maestros y maestras reconocer los desfases existentes entre las estructuras propiamente matemáticas del contenido que trabajan y las adaptaciones que la escuela hace para “acercarlo” a los niños; les facilita el análisis las producciones de los alumnos al resolver la tarea y entender el desfase existente entre el conocimiento que ellos alcanzan y los sistemas y estructuras propiamente matemáticos. 2.2. Sobre el aprendizaje Reconocemos que la actividad mental del los sujetos que aprenden - en este caso, maestros y alumnos - posibilita el aprendizaje significativo. Se trata de sujetos activos frente al conocimiento que se imparte y no pasivos como usualmente se los concibe. Igualmente, su actividad es de tipo mental e implica la reflexión sobre las acciones que realizan y las nociones que se trabajan y construcción progresiva de conocimientos. Los maestros y maestras manejan concepciones erradas y diferenciadas en relación con el aprendizaje de los alumnos. Algunos creen que la exposición de un discurso elaborado y coherente les permite aprender; otros creen que las actividades que los alumnos realizan y las manipulaciones de materiales concretos generan conocimiento, finalmente, algunos piensan que la realización repetitiva del mismo tipo de ejercicio o problema lleva al conocimiento. En este Programa manejamos una posición epistemológica que enfatiza la importancia de la actividad reflexiva del sujeto para lograr aprendizajes: si el sujeto no es mentalmente activo sus concepciones no cambian. El aprendizaje es posible, en la medida que el docente y el alumno compartan significados (Coll, 1987) que el discurso del docente articule con el del alumno, lo haga pensar, le permita elaboraciones y reflexionar posibilitando la transformación del conocimiento actual. Desde esta perspectiva queremos una vez más señalar que la actividad por la actividad no produce conocimiento; es la reflexión sobre la actividad la que permite la construcción de conocimiento matemático. Esta es la concepción de aprendizaje que adoptamos. En el Programa igualmente reconocemos que los alumnos poseen un conocimiento propio sobre la matemática, independiente de los algoritmos escolares, que les permite resolver problemas sencillos. Cualquier niño va a la tienda a comprar caramelos y no se deja engañar, o reparte exactamente una gaseosa o un chocolate entre sus amigos con un rigor sorprendente2. En general, la escuela ignora este conocimiento previo y no tiene en cuenta estos aprendizajes - producto de experiencias cotidianas, que parten de prácticas concretas - e impone un conocimiento formal, que de ninguna manera se articula con el conocimiento previo. Los efectos de esta estrategia son demoledores y producen verdaderos errores en el conocimiento matemático que los niños construyen, producto de una enseñanza impuesta, que no consulta ni tiene en cuenta el conocimiento previo ni sus formas espontaneas de aprender. En cada capítulo de este libro se consignarán ejemplos de los efectos desastrosos de esta equivocación. 2 Los niños que venden en las calles y en las galerías constituyen un buen ejemplo de este tipo de conocimiento. Por supuesto reconocemos que los procedimientos propios de los niños que permiten resolver estos problemas sencillos no son propiamente matemáticos; pero, igualmente los valoramos como el punto de partida que permite a maestros y maestras orientar y guiar la construcción de un conocimiento matemático con significado y “tender puentes” que permitan al alumno superarlos, hasta alcanzar el nivel de operatorio, general y abstracto que la matemática exige. Por supuesto que el conocimiento previo del maestro igualmente incide en el aprendizaje; resulta significativamente diferente un Programa de actualización que trabaja con maestros que saben matemática de otro, en el cual se capacitan maestros que no poseen formación en esta área. Sin embargo, consideramos que para lograr un aprendizaje significativo los maestros deben reconocer los errores y equivocaciones que la reflexión sobre sus prácticas revelan. Proponemos la aceptación y reflexión del y sobre el error como el elemento que fundamente y posibilita el aprendizaje. 2.3. Sobre la enseñanza En relación con la enseñanza, igualmente se encuentra que los maestros manejan diversas concepciones erradas e incompletas, que en términos generales se denominan como enseñanza tradicional. Por ejemplo, para enseñar a multiplicar, ciertos maestros/as sacan a un niño al tablero, generalmente, al que sabe hacerlo, para que muestre a los otros como hacerlo y en esto consiste su clase; en otros casos, sacan al tablero al que no sabe y lo corrigen frente a todos sin constatar si entiende o corrige el procedimiento incorrecto y menos aún, en que consiste su dificultad. En el otro extremo, los/las maestros/as que impulsan el activismo, ponen al niño a partir papelitos o a medir utilizando instrumentos no convencionales o un metro, sin observar, ni analizar los procedimientos que siguen al medir o partir la hoja de papel, ni la conceptualización que logran con este tipo de actividades. El problema de la enseñanza de la matemática no es que los alumnos aprendan a partir papel correctamente, sino que ellos aprendan a conceptualizar sobre la fracción de una unidad cualquiera para poder llegar a los números fraccionarios y a la medida. La enseñanza debe crear las condiciones para que esta conceptualización, que es abstracta, sea posible; entonces, una de las grandes preguntas para la enseñanza es: como pasar de estas prácticas concretas a la conceptualización y con ella al conocimiento matemático propiamente dicho. En el Programa apoyamos a los maestros y maestras para que reconozcan que el tipo de prácticas, previamente descrito, resulta completamente inadecuado y que con ellas los alumnos no logran aprendizajes significativos. Consideramos que el reconocimiento del error genera las condiciones que les permite asumir el largo proceso de búsqueda y construcción de una práctica totalmente nueva, que tenga en cuenta el alumno que aprende y sus dificultades frente al conocimiento que le enseñan. Partiendo del conocimiento que el alumno posee, la estrategia de enseñanza se centra en la construcción de objetos propiamente matemáticos y procedimientos que progresivamente se acerquen a los niveles operativos y de abstracción y generalización que la matemática exige. La construcción de objetos matemáticos y de procedimientos progresivamente más abstractos, permitirá al estudiante comprender y por ende resolver problemas. En términos generales, con las estrategias de enseñanza se busca romper la enorme distancia que existe entre el conocimiento espontaneo de los niños y el conocimiento matemático que la escuela exige. 3. LOGROS A ALCANZAR Con el Programa nos proponemos alcanzar los siguientes logros: 1. La formación de un grupo de formadores. Al finalizar el Programa al menos el 50% de los/las maestros/as seleccionados como formadores, estarán en capacidad de continuar en el proceso de transformación y cambio de su propia práctica. 2. La conformación de grupos y redes que promuevan el proceso de transformación y cambio que la escuela requiere. 3. La formulación de proyectos de sistematización o investigación sobre la enseñanza y aprendizaje de la matemática en la primaria. 4. La formalización del Programa en un libro que recoja: a. elementos significativos del proceso de transformación b. conceptualizaciones que fundamentan los componentes del proyecto c. instrumentos utilizados y resultados alcanzados a través de las etapas del Programa d. experiencias significativas que los/las profesores/as hayan realizado 5. La recolección del material adecuado, utilizado por los maestros y maestras, para la posterior elaboración de cajas de matemáticas. Este libro surge como producto de este proceso y corresponde con los desarrollos de la primer etapa. El libro se complementará con videos que ilustran aspectos prácticos y teóricos que resultan fundamentales en la experiencia. 4. EL PROGRAMA Desde una perspectiva educativa, el Programa se concibe como una estrategia de educación continuada cuyo desarrollo se define en función de los niveles de formación que se alcanzan a través de las etapas y fases que delimitan el proceso de formación y de las exigencias que se especifican para cada nivel, así: • • • El nivel de formación, el más alto de todos, equivale a una especialización y exige un trabajo continuado del/de la maestro/a a través de las tres etapas que conforman el Programa, la presentación de informes escritos sobre las actividades realizadas en cada etapa. El nivel de profesionalización exige la participación del/de la maestro/a a través de las tres etapas del programa. El nivel de actualización exige la participación del maestro en la primera etapa o en la primera y segunda etapas del Programa. La realización completa del Programa implica la participación de maestros y maestras a través de tres etapas. En cada etapa se intenta cumplir con objetivos diferenciados, hasta llegar al nivel de investigación o sistematización de la práctica. • • • En la primera etapa, los maestros y maestras en general modifican sus concepciones sobre el contenido que enseñan, el alumno que aprende y los métodos de enseñanza que utilizan y revisan críticamente sus propias prácticas de enseñanza, reconociendo la necesidad de modificarlas La segunda etapa está dedicada a la transformación efectiva de las prácticas de enseñanza en el aula a través de la implementación de las nuevas concepciones y a la contextualización del proyecto educativo en función de las demandas de la comunidad y de las condiciones socioeconómicas en las que maestros y maestras trabajan. La tercera etapa intenta que los maestros y maestras logre un nivel de real autonomía a través del estudio sistemático de problemas relativos a su trabajo en el aula, que resulten plenamente identificados con las necesidades del medio en el cual trabajan. 4.1. Etapa de cambio conceptual y reflexión sobre las prácticas Para la planeación de cada etapa se distinguen fases. Para la etapa de cambio conceptual y revisión crítica de las prácticas, la única que se ha adelantado y cuyos desarrollos este texto resume, se distinguen las siguientes fases: Fase 1: Configuración de equipos Fase 2: Diagnóstico de las prácticas de enseñanza del maestro y del conocimiento de los niños Fase 3: Intervención Fase 4: Evaluación Fase 5: Formalización La descripción de las acciones del Programa, planeadas para cada etapa, se hace en función de las fases que se diferencian en el proceso y de los ejecutores responsables de las mismas. Fase 1. Configuración de equipos Para el desarrollo del Programa, el equipo de Coordinación utiliza una estructura piramidal, conformada por equipos seleccionados en función de niveles diferenciados de formación. Los miembros de los equipos adquieren compromisos diversos según el nivel y las expectativas que tenemos de su participación en el Programa: a mayor nivel de formación esperamos una mayor participación y compromiso y mejor desempeño. Estos grupos son: 1. Grupo de apoyo 2. Grupo de formadores 3. Maestros de base Con la estructura adoptada para la conformación de los equipos intentamos lograr la formación de un grupo de formadores que garanticen la continuidad de las acciones que sustentan el proceso de transformación y cambio que se debe dar en la escuela. De acuerdo con la estructura piramidal, el equipo coordinador concentra prioritariamente las acciones en un grupo pequeño de maestros y maestras, que conforman los dos grupos con mayor nivel de formación, realizando un seguimiento y acompañamiento más riguroso y sistemático del efecto de las acciones que se adelantan, intentando garantizar un mejor nivel de formación en las temáticas que el Programa cubre durante la etapa. Con estos grupos se intenta lograr desde la primera etapa, la modificación de las prácticas de enseñanza y de formación de maestros. Entre el equipo coordinador y los grupos se establecen niveles diferenciados de relación o intermediación pedagógica. En los seminarios-talleres (ver más adelante el modo de funcionamiento de la fase de intervención) solamente se maneja un nivel de intermediación porque en ellos únicamente participan los coordinadores, que los orientan y los miembros del grupo de apoyo y los formadores. Sin embargo, en el seguimiento y acompañamiento se algunas veces se logran tres niveles de intermediación porque los miembros del equipo coordinador participan en estas actividades conjuntamente con los maestros del grupo de apoyo, los formadores y los maestros de base. El equipo coordinador del Programa está configurado por 5 profesionales3, adscritos al Centro de Investigaciones en Psicología, Cognición y Cultura de la Universidad del Valle, con amplia experiencia en investigación y en proyectos de formación. Como su nombre lo indica, este equipo coordina y evalúa el conjunto de acciones que se proponen para cada una de las fases, en cada etapa del Programa y es directamente responsables de las funciones de formación, seguimiento y acompañamiento de los miembros de los grupos de apoyo y de formadores. Para cumplir con estas funciones, los coordinadores realizan las siguientes acciones: • Dirigen y conducen los seminarios-talleres de formación para los miembros del grupo de apoyo y formadores. 3 Los autores de este texto. • • Participan en el acompañamiento que los miembros del grupo de apoyo prestan a los formadores, en acciones relativas a la formación de docentes y a la enseñanza de la matemática en el aula.4 Hacen seguimiento5 a los/las miembros de los grupos de apoyo y a los formadores en las acciones dirigidas a la formación de docentes. Los coordinadores evalúan las prácticas de formación de docentes en función de los siguientes criterios: el conocimiento que el formador enseña, concepción sobre el alumno que aprende que transmite y modalidades de enseñanza que propone. El grupo de apoyo está conformado por 3 profesionales - 2 maestras y un profesor de matemáticas a nivel universitario - seleccionados en función de su formación académica y de su experiencia en otros tipos de programas de formación. Se pretende que en el futuro los profesionales en este grupo lideren los procesos de transformación y cambio que la escuela requiere. Para lograrlo, los miembros del equipo coordinador acompañan a los miembros del grupo de apoyo en las labores acompañamiento que adelantan con los/las formadores/as y en las de formación que los formadores realizan con los/las maestros/as de base. Los profesionales del grupo de apoyo y algunos profesionales del equipo de Coordinación: • Acompañan a los formadores en las acciones de formación y acompañamiento de los maestros de base. • Acompañan y hacen seguimiento a los miembros del grupo de formadores en las labores de enseñanza de la matemática en el aula. El acompañamiento de las acciones de formación exige apoyar a los formadores en la realización del seminario taller para los/las maestros/as de base. El acompañamiento a los formadores relativo a las prácticas de enseñanza exige participar con ellos en la aplicación en el aula de la tarea propuesta, en el análisis de las producciones de los alumnos al resolverla y en el análisis y de la estrategia de enseñanza que utilizan. El grupo de formadores esta configurado por un grupo de maestros seleccionados en función de los resultados obtenidos en la encuesta que se aplica en la fase de diagnóstico de la primera etapa del Programa; de su interés manifiesto por participar voluntariamente en el Programa; de su disponibilidad de tiempo, tanto para participar en los seminarios-talleres, como para coordinar y orientar a los grupos de maestros y maestras de base a su cargo; de su nivel académico y experiencia en docencia y finalmente, del lugar donde labora, de tal forma que se garantice que por cada municipio haya por lo menos un formador por cada 9 docentes de base. Cada formador (12 en total) tiene a su cargo entre 8 y 9 maestros y maestras de base. En total trabajan con 87 maestros y maestras que enseñan matemáticas a alumnos de 6o. y 7o. grado en las escuelas públicas de Risaralda. Los formadores son responsables de la formación y acompañamiento de las prácticas de enseñanza de los maestros y maestras de base. Para cumplir con su proceso de formación, los formadores tienen que participar en los seminariostalleres, que el equipo Coordinador orienta; aplicar en sus respectivas aulas las tareas que se analizan y utilizan en los seminarios talleres, con el apoyo de los miembros del grupo del grupo de apoyo; y discutir las dificultades que encuentren en su aplicación en los seminarios de reflexión, con el grupo de apoyo y los miembros del equipo de coordinación. 4 Distingo las prácticas de enseñanza de las de formación de docentes. Cuando utilizo el término prácticas de enseñanza, me refiero a la enseñanza de la matemática a los alumnos en las aulas; cuando utilizo la expresión prácticas de formación de docentes, me refiero al conjunto de acciones que se adelantan para lograr la formación de los maestros y maestras, sin importar su nivel de formación, ni el grupo en el que participen de acuerdo con la estructura piramidal adoptada. 5 El acompañamiento implica apoyo y orientación en tanto que el seguimiento exige evaluación de los logros alcanzados. Para cumplir con su función de formadores estos profesionales deben presentar y discutir con los docentes a su cargo las tareas y los temas que se analizan en los seminarios-talleres, acompañarlos en las sesiones de aplicación de la tarea en el aula y hacer seguimiento a las prácticas de enseñanza de los maestros y maestras de base. El formador hace seguimiento a los maestros de base en función de los siguientes criterios: el nivel de análisis de la tarea propuesta que logran; la manera como observan y analizan las producciones de los alumnos y las estrategias de intervención y evaluación que utilizan. Para hacer seguimiento, los formadores aplican los correspondientes instrumentos de seguimiento6 y discuten los resultados de este trabajo en los seminarios de reflexión. En la fase de conformación de equipos se adelantaron las siguientes acciones: conformación del grupo de apoyo y presentación y discusión del Programa y sus condiciones de realización; selección del grupo de formadores; planeación del trabajo de cada equipo en función del área de intervención. (Ver la página siguiente, el diagrama que describe la organización de los equipos de trabajo). Fase2. Diagnóstico Esta fase permite un diagnostico sobre las características del/ de la maestro/a y alumnos con los cuales trabajamos. Esta fase está parcialmente superpuesta con la fase de configuración de equipos, porque para la selección del grupo de formadores se aplica la encuesta que permite diagnosticar las características de los maestros. La encuesta se aplica a 68 maestros. En el primer informe, incluimos los criterios de elaboración, calificación y los resultados de su aplicación. En el capítulo 3 de este informe, presentamos los resultados obtenidos en relación con la transformación del conocimiento de alumnos y maestros después del Programa. (En la sección 1 del capítulo 3, presentamos los resultados comparativos de las dos encuestas) Para diagnosticar el conocimiento de los alumnos se aplica una prueba especialmente diseñada para este fin. En el informe previo, se describen los resultados correspondientes a la fase diagnóstica. En este, incluimos la comparación de los resultados pre-post y formulamos un balance sobre los efectos del Programa. Para la aplicación de la prueba a los alumnos en la etapa diagnóstica se utiliza el modelo de muestra estratificada. Para este fin se realiza un muestreo aleatorio que abarca el 30% del total de la población intervenida. La unidad de análisis seleccionada para el muestreo son los profesores que participan en el Programa7. Teniendo en cuenta que la prueba es diseñada desde parámetros mínimos de logro en el conocimiento matemático de 6o y 7o, resulta preocupante que al iniciar el Programa, el 93% de los alumnos de 6o y el 78% de los alumnos de 7o se hallan ubicados en un rendimiento acumulado bajo; esto significa que la mayoría no poseen los conocimientos básicos que permiten la apropiación de los contenidos matemáticos propios de estos grados. Estos resultados nos llevan a proponer un Programa de compensación que permita a los alumnos suplir estas deficiencias. Este criterio modifica la planeación inicial del Programa en relación con los contenidos a trabajar. La planeación final se refleja en los contenidos de este texto, que no incluyen los números enteros, uno de los contenidos que el curriculo prescribe para estos grados; sin embargo, como trabajar con los alumnos los enteros si no saben restar? 6 Ver Capítulo 2 de este texto. 7 La prueba, los criterios de aplicación y de evaluación se presentan en el primer informe, y en este texto en el Capítulo 3, Logros del Programa. Fase 3. Intervención La llamada fase de intervención define el trabajo fundamental del Programa, es decir, las acciones que efectivamente tienden a generar cambio en las prácticas de enseñanza, de formación e investigación de los maestros. El trabajo en esta fase se inicia con dos unidades que presentan a maestros y maestras los instrumentos fundamentales para el desarrollo del Programa: el Análisis de Tareas y la Observación y Registro. El trabajo propuesto en estas unidades se consigna en el capítulo siguiente de este informe: Instrumentos de formación. Aquí solamente esbozamos algunas características de los mismos. Análisis de tareas El análisis de tareas es el instrumento metodológico escogido para el desarrollo del Programa. El análisis de tareas es un método que permite analizar cualquier tarea o situación problema desde la doble perspectiva de la estructura del contenido que ejemplifica y el sujeto que la resuelve; que permite a los maestros reflexionar - a partir de la tarea, un elemento concreto de su practica - sobre las características de los conceptos matemáticos que la fundamentan identificando los pasos necesarios y suficientes del proceso que permite su solución. En otras palabras, se trata de un instrumento metodológico que posibilita al/a la profesor/a la planeación de la actividad a realizar en el aula, anticipando los recursos necesarios para su realización y anticipando los pasos necesarios para su solución. El análisis de la tarea, cualquiera que ella sea, genera un modelo que permite analizar de manera adecuada y confiable la producción de los alumnos que la resuelven y diagnosticar sus dificultades y logros, delimitando para el profesor posibles modalidades de enseñanza. Inicialmente, el análisis de tareas permite al maestro o a la maestra identificar la estructura de la tarea y los procedimientos óptimos de solución; con el modelo que obtiene, analiza los procedimientos efectivos de los alumnos y los diferencia de los anteriores. Como resultado de la aplicación del análisis tanto a la tarea, como a la producción de los alumnos al resolverla el/la maestro/a entienda el desface existente entre los procedimientos de los alumnos y los procedimientos canónicos y algorítmicos de la matemática y adopta estrategias de enseñanza que puedan ayudar a los alumnos a transformar su conocimiento. Para desarrollar la unidad sobre análisis de tareas se utiliza cualquier tipo de registro, en este caso, un vídeo sobre un grupo de quinto de primaria – maestro y alumnos - resolviendo un problema relacionado con fraccionarios (Ver Anexo 11, Primer Informe). El registro de la actividad del profesor en el vídeo permite a los/las maestros/as asumir los pasos que el análisis de tareas exige, a saber: • • • análisis objetivo de la tarea: una descripción muy precisa de la misma en la que se tienen en cuenta los materiales, las preguntas e instrucciones que el profesor hace y en general, la manera como presenta la tarea a los alumnos; los elementos matemáticos que la estructuran - elementos, relaciones y operaciones - implicadas en la actividad los pasos que su solución exige. En el Capítulo II. Instrumentos de Formación se presenta una descripción muy completa de este método Instrumento de observación, registro y análisis Con esta unidad se pretende sensibilizar a maestros y maestras al carácter diferenciado de las producciones de sus alumnos al resolver las tareas que les proponen. La observación y el correspondiente registro de la actividad que los alumnos realizan al resolverlas, así como de las actividades que ellos efectúan al presentarlas, constituyen medios que permiten recopilar información muy valiosa sobre los logros y las dificultades de los alumnos y de los/las maestros/as al enseñar. Para la observación y registro se trabajo con un vídeo sobre resolución de problemas con fraccionarios. Para registrar las producciones de los alumnos, los profesores transcriben las verbalizaciones y recogen la producción escrita de los alumnos en el vídeo, para luego analizarlas. El modelo que se genera a partir del análisis de tareas permite analizar las producciones registradas; estos análisis se utilizan como medio para evaluar el avance o las dificultades del alumno; este diagnostico sirve de criterio y orienta las estrategias de enseñanza que el/la maestro/a adopta. El Capítulo 2, recoge toda la información relativa a los instrumentos de formación, incluidos los instrumentos que se utilizan para el seguimiento y acompañamiento de los maestros. Unidades temáticas Las unidades temáticas trabajadas son 9, en total. En este informe, cada uno de los capítulos de la Sección II corresponde a una unidad temática. Solamente se presentan las cinco unidades sobre las cuales existe una documentación adecuada con los criterios que se proponen para este texto. Para el desarrollo de cada unidad temática, el elemento esencial de la fase de intervención, se sigue un patrón secuencial de actividades, que define el modo de funcionamiento de esta fase, a saber: · seminario-taller (5 horas) · aplicación en el aula (3 horas) · seminario de reflexión sobre la aplicación en el aula (5 horas) En cada seminario-taller se analiza uno o varias tareas relativas a los contenidos matemáticos que se trabaja a lo largo del Programa y se presentan los fundamentos conceptuales que posibilitan su análisis. Los coordinadores del Programa, orientan el seminario taller. En el participan fundamentalmente los miembros del grupo de apoyo y los/las maestros/as seleccionados como formadores y esporádicamente, algunos maestros y maestras de base. Para el desarrollo de cada seminario taller se entrega, con antelación, a cada participante, uno o varios artículos relativos a la unidad en estudio, lo mismo que las tareas a analizar. El análisis de tareas exige a maestros y maestras reflexionar sobre los contenidos matemáticos que enseñan, su complejidad y sus exigencias; el desfase existente entre las estructuras propiamente matemáticas del contenido y las adaptaciones escolares del mismo y los procedimientos de solución óptimos e ideales y los procedimientos efectivos de los alumnos. Una vez analizada/s la/s tarea/s se planea su aplicación en el aula. Como se trata de una situación de aprendizaje, la tarea se trabaja con un grupo de 5 a 10 alumnos en un mini taller. Su aplicación exige anticipar modos de presentación y los materiales necesarios para hacerlo. En la sesión de aplicación en el aula, los profesionales del grupo de apoyo y los formadores aplican la tarea analizada a un grupo pequeño de alumnos y observan y registran sus producciones. Teniendo en cuenta que el/la maestro/a esta involucrado en un proceso de aprendizaje, pocos formadores logran trabajar la tarea analizada, en el aula, la mayoría la trabajan con unos pocos alumnos, generalmente acompañado en esta labor por un miembro del grupo de apoyo, quien además, observa y registra la actividad que el/la formador/a sigue con sus alumnos y algunas veces interviene para señalar la dificultad de un alumno en particular.. Cuando lo considera necesario, el miembro del grupo de apoyo, quien orienta el taller, muestra al/a la maestro/a modalidades diferenciadas de preguntar y orientar el aprendizaje de los alumnos. Los registros que se obtienen constituyen el material que se analiza en el seminario de reflexión. El análisis de las producciones de los alumnos se hace en función del análisis de tarea previo, que ha permitido identificar el proceso de solución ideal, y sirve de modelo para analizar los diferentes tipos de procedimientos que los alumnos utilizan. Este análisis permite señalar sus aciertos y dificultades al resolver la tarea y anticipar estrategias de enseñanza adecuadas que permitan a cada alumno avanzar en relación con el tema tratado. Igualmente se analizan las dificultades que el maestro ha tenido para aplicar la tarea en función de los criterios que se manejan para este fin. (Ver instrumentos de seguimiento, en el capítulo siguiente). Resumiendo, en el seminario de reflexión se analizan las producciones de los alumnos identificando sus logros y dificultades; se proponen estrategias de enseñanza que permitan superarlas, se analizan las dificultades encontradas en la práctica, con la aplicación de la tarea y se reconceptualiza el contenido matemático que se trabaja. Después de las sesiones de formación, el formador trabaja los mismos contenidos, las mismas tareas con el grupo de docentes a su cargo, repitiendo con ellos las acciones de formación: presentación y discusión de conceptos y análisis de las correspondientes tareas; acompaña en el aula a cada uno de los profesores, observando y registrando sus actividades y las de sus alumnos y analiza los registros que obtiene en los seminarios de reflexión. Cada cierto tiempo, un profesional del grupo de apoyo acompaña al formador en estas labores. Fase 4. Evaluación En esta fase, los coordinadores y los profesionales del grupo de apoyo analizan comparativamente el conocimiento de alumnos y maestros en el punto de partida del Programa con los resultados obtenidos al finalizarlo y evalúan el conjunto de acciones que se adelantan en la fase de intervención. Estos resultados se presentan en el capítulo relativo a los logros alcanzados. Fase 5. Formalización En la fase de Formalización, coordinadores y miembros del grupo de apoyo presentan, discuten y corrigen los materiales que configuran el libro a publicar como producto de la experiencia en la primera etapa del Programa. 5. CONCLUSIONES En este primer capítulo he consignado las concepciones y principios que fundamentan el programa de Formación, Profesionalización y Actualización de los Docentes de Risaralda y los desarrollos de la primera etapa, denominada de “Etapa de Cambio Conceptual y Reflexión sobre las Prácticas”. Desafortunadamente, la crisis que el país enfrenta y particularmente la región de Risaralda impidió continuar a las siguientes etapas. Sin embargo, la experiencia fue tan positiva, tanto para el equipo Coordinador como para los maestros y maestras que trabajaron con nosotros, que hemos decidido publicar estas memorias que de alguna manera recuperan los aspectos más significativos desarrollos del Programa. Para esto hasta el momento hemos realizado dos tipos de acciones: preparamos este libro y realizamos un vídeo relativo al sistema de notación en base 10. Para presentar los desarrollos propios de la Etapa de Conceptualización y Reflexión sobre las prácticas, hemos dividido este texto en dos secciones. La primera, dentro de la cual incluimos este capítu- lo, esta dedicada al Programa de Formación, los instrumentos utilizados (Capítulo 2) y a los resultados de esta etapa (Capítulo 3). La segunda sección cubre las unidades del Programa, en esta etapa con sus correspondientes desarrollos: conceptualización, tareas utilizadas y analizadas y producciones de alumnos que permiten ejemplificar logros y dificultades así como los análisis que permiten su interpretación. Para la presentación de las unidades en la Sección II, utilizamos el siguiente orden: El capítulo 4 esta dedicado al tema de la Cantidad, Número y Medida; el capítulo 5, al Sistema Notacional en Base 10; el 6, a La Operación Aditiva; el 7, a la Estructura Multiplicativa y el 8, a los Números Racionales. BIBLIOGRAFIA Bermejo, V. (1990) El niño y la aritmética. Barcelona: Ediciones Paidos. Caballero, P., González, M., Compiladoras (1996) Proyecto Educativo Institucional. Memorias del Foro. Santa Fe de Bogotá: Fundación Presencia Coll, C. (1983) Psicología genética y aprendizajes escolares. España: Ediciones Siglo XXI. Coll, C. (1987/1992) Psicología y curriculum. España: Ediciones Paidos. 3a. Reimpresión. Gómez, C. Orozco, M y Bedoya, E. (1993) Materiales curriculares. España: Ministerio de Educación. Kilpatrick, J. Gómez, P. y Rico, L. (1995) Educación Matemática. España: Grupo editorial Iberoamérica. Orozco, M. (1997) Las matemáticas en primaria. 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