SISTEMAS FOTÓNICOS MULTICAPA Juan A. Monsoriu

Transcripción

SISTEMAS FOTÓNICOS MULTICAPA
Juan A. Monsoriu
Departamento de Física Aplicada
Universidad Politécnica de Valencia
[email protected]
Amparo Pons Martí
Departamento de Óptica
Universidad de Valencia, España
amparo.pons-martí@uv.es
1. Introducción.
2. Estudio de una interfase
dieléctrico-dieléctrico.
3. Óptica de multicapas.
4. Bibliografía.
INTRODUCCIÓN
ESTUDIO DE UNA INTERFASE DIELÉCTRICO- DIELÉCTRICO
Condiciones de continuidad de los campos E y H
Leyes de la reflexión
y la refracción
Fórmulas de Fresnel
· Amplitudes Æ Coeficientes de reflexión y transmisión.
· Intensidades Æ Reflectancia y transmitancia.
· Ángulo
g
de Brewster.
· Ángulo crítico.
· Aplicaciones.
INTRODUCCIÓN
ÓPTICA DE MULTICAPAS
- Lámina delgada (película o capa).
Fórmulas de Fresnel en cada interfase
Coeficientes de reflexión y transmisión
de la película
- Multicapas.
Método matricial
Matriz característica:
· de una lámina
· de una multicapa
Aplicaciones
CONDICIONES EN LA FRONTERA
Estudio de una interfase dieléctrico-dieléctrico.
i(k i ·r −ω i t )
E
(
r
,
t
)
=
E
e
Onda
INCIDENTE:
i
oi
Elección del sistema de coordenadas:
- origen O en la superficie de separación (frontera)
i(k r ·r −de
ω r los
t ) dos medios;
E
(
r
,
t
)
=
E
e
Onda
REFLEJADA:
- eje Z en
la dirección
de la normal
N a esta
r
or superficie y dirigido desde
el medio 1 al medio 2;
k t ·r −ω t t )
- plano
de TRANSMITIDA:
incidencia coincidente con el plano i(XZ.
Onda
Et (r, t ) = Eot e
Continuidad del campo eléctrico
[E1(r, t )]tg = [E2 (r, t )]tg ⇒ [Ei (r, t ) + Er (r, t )]tg = [Et (r, t )]tg
∀t → ω i = ω r = ω t
 λr = λi
2πc

n1
ω=
→
λ
λ
=
λn
 t n2 i
Continuidad del campo eléctrico
[E1(r, t )]tg = [E2 (r, t )]tg ⇒ [Ei (r, t ) + Er (r, t )]tg = [Et (r, t )]tg
∀t → ω i = ω r = ω t
 λr = λi
∀r → k i ·r = k r ·r = k t ·r
2πc

n1
ω=
→
=
λ
λ
λn
 t n2 i
[Eoi + Eor ]tg = [Eot ]tg
L
Leyes
de
d la
l reflexión
fl ió y la
l refracción
f
ió
Relaciones entre las amplitudes
y las fases de las ondas.
Fórmulas de Fresnel
Continuidad del campo magnético
[H1(r, t )]tg = [H2 (r, t )]tg ⇒ [Hi (r, t ) + Hr (r, t )]tg = [Ht (r, t )]tg [Hoi + Hor ]tg = [Hot ]tg
LEYES DE LA REFLEXIÓN Y LA REFRACCIÓN
Onda incidente : k i ≡ (k ix ,0, k iz )
k i ·r = k r ·r = k t ·r, ∀r en la
l frontera
f t
k ryy = k tyy = 0
1ª Ley: ki , kr , kt y
son coplanarios
l
i
N
k i sinθ i = k r sinθ r
2ª Ley (reflexión):
k ix = k rx = ktx
θi =θr
k i sinθ i = k t sinθ t
2ª Ley (refracción):
n1 sinθi =n2 sinθt
FÓRMULAS DE FRESNEL
Onda incidente con el vector E perpendicular al plano de incidencia
(polarización ⊥ , transversal eléctrica TE o polarización
(p
p
s))
Simulador de ondas
Condiciones de continuidad:
Eoi + Eor = Eot
− Hoi cosθ i + Hor cosθ r = −Hot cosθ t
↓
n1
µ1
H=
n
E
µc
(− Eoi + Eor )cosθ i
=−
n2
µ2
Eot cosθ t
Se definen los coeficientes:
- de reflexión
r =
E or
E oi
- de transmisión
E ot
E oi
t =
que dependen de la polarización de la onda incidente.
En este caso
Eoi⊥ = Eoi
; Eor⊥ = Eor
; Eot⊥ = Eot
; µ1 = µ 2 = µ 0
En incidencia normal θ i = 0
r⊥ =
n1 cosθ i − n2 cosθ t k iz − k tz
=
n1 cosθ i + n2 cosθ t k iz + k tz
r⊥ =
t⊥ =
2n1 cosθ i
2k iz
=
n1 cosθ i + n2 cosθ t k iz + k tz
n1 − n2
n1 + n2
t⊥ =
2n1
n1 + n2
RELACIONES ENTRE AMPLITUDES
Onda incidente con el vector E paralelo al plano de incidencia
(polarización ||, transversal magnética TM o polarización p)
C di i
Condiciones
de
d continuidad:
ti id d
Eoi cosθ i − Eor cosθ r = Eot cosθ t
Hoi + Hor = Hot
n
E
µc
n1
(Eoi + Eor ) = n2 Eot
↓
µ1
H=
µ2
En este caso:
||
||
Eoi|| = Eoi ; Eor
= Eor ; Eot
= Eot ;
µ1 = µ 2 = µ0
Coeficientes de reflexión y de transmisión
En incidencia normal θ i = 0
r|| =
n2 cosθ i − n1 cosθ t
=
n2 cosθ i + n1 cosθ t k iz k t
k iz k t
2
2
− ktz k i
2
+ k tz k i
2
2
2k iz k t
2n1 cosθ i
t|| =
=
n2 cosθ i + n1 cosθ t k izi k t 2 + k tz
t ki
2
r|| =
n2 − n1
= − r⊥
n1 + n2
t|| =
2n1
= t⊥
n1 + n2
INTERPRETACIÓN DE LAS FÓRMULAS DE FRESNEL
Reflexión externa. Ángulo de Brewster.
n1=1 (aire), n2=1’5 (vidrio)
Luz transmitida: para ambas
polarizaciones (⊥ y ||) no hay
cambio de fase en la refracción
refracción.
Luz reflejada:
Polarización ||:
θB =ángulo de Brewster
• θi <θB : no hay cambio de fase en la reflexión.
reflexión
• θi >θB : hay cambio de fase (π) en la reflexión.
• θi =θB : no existe componente reflejada.
Ley de Brewster
Luz reflejada:
Polarización ⊥: siempre hay cambio de fase (π).
INTERPRETACIÓN DE LAS FÓRMULAS DE FRESNEL
Reflexión interna. Ángulo crítico.
n1=1’5 (vidrio), n2=1 (aire)
n1 > n2 → θ i < θ t
Existe θi = θc (ángulo crítico o límite) a partir
del cual no hay onda transmitida:
Reflexión total interna (TIR)
RELACIONES ENTRE INTENSIDADES
P =
1
ε o cnE
2
2
o
cos θ
Reflectancia:
2
Eor
R= 2
Eoi
Transmitancia:
n2 cos θt Eot2
T =
n1 cos θi Eoi2
En incidencia normal θi = 0
R⊥ =
r⊥2 ,
R|| = r||2 ,
n cosθ t 2
t⊥
T⊥ = 2
n1 cosθ i
 n − n1 
R⊥ = R|| = Ro =  2

 n1 + n2 
n2 cosθ t 2
T|| =
t||
n1 cosθ i
T⊥ = T|| = To =
Conservación de la energía:
R⊥ + T⊥ = 1,
R|| + T|| = 1
2
n2  2n1 

n1  n1 + n2 
2
Reflexión externa
Reflexión interna
Incidencia rasante:
R||=R⊥=1
Reflexión interna
Reflexión externa
Incidencia normal:
R||=R⊥≈0’04 , T||=T⊥≈0’96
Reflexión externa
Reflexión interna
Ángulo de Brewster:
R||=0 , T||=1
LEY DE BREWSTER
Para incidencia
P
i id
i con ángulo
á
l de
d
Brewster:
• La onda reflejada está totalmente
polarizada (sólo
p
(
tiene componente
p
⊥).
)
• La onda transmitida está parcialmente
polarizada.
r|| =
Si θ i = θ B → r|| = 0 → θ B + θ t =
π
2
ttan(θ i − θ t )
tan(θ i + θ t )
→ sinθ t = cos θ B
Ley de Brewster:
n1 sinθ B = n2 sinθ t
tanθ B =
n2
n1
LEY DE BREWSTER. APLICACIONES PARA LA OBTENCIÓN DE LUZ POLARIZADA.
• Polarizador de pila de placas de vidrio:
• Ventanas de Brewster en láseres:
Reflexión interna
Reflexión externa
Ángulo crítico:
R||=R⊥=1
T||=T⊥=0
REFLEXIÓN TOTAL INTERNA
θi = θc → θt = 90º
↓
Ángulo crítico (o límite)
sin θc =
n2
n1
• Las condiciones de continuidad del campo electromagnético exigen que en el
segundo medio exista otra onda.
• Se genera una onda evanescente que se extingue rápidamente.
Et (r, t ) = Eot e
i(k ix x −ωt )
La onda se propaga en la dirección X
e
−
ω
c
n12sin 2θ i − n22 z
Se atenúa en la dirección Z
(penetración zp ≈ λ )
2π
REFLEXIÓN TOTAL INTERNA: APLICACIONES
TIR
• Guiado
G i d de
d la
l luz
l en una fibra
fib óptica:
ó ti
• Prismas de reflexión total:
La existencia de la onda evanescente puede aprovecharse para producir el fenómeno
d REFLEXIÓN TOTAL INTERNA FRUSTRADA (FTIR) O EFECTO TÚNEL ÓPTICO
de
ÓPTICO.
TIR
FTIR
REFLEXIÓN TOTAL INTERNA: APLICACIONES
FTIR
• Prisma acoplador en una guía óptica
• Cubo divisor de haz
LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
Γ =
Z2 − Z1
Z2 + Z1
Z=
E
H
1
Z↔
n
ro =
n1 − n2
n1 + n2
LÁMINA DELGADA HOMOGÉNEA E ISÓTROPA
Óptica de multicapas
E j (r, t ) = Eoj e
i(k j ·r −ωt )
= Eoj e
i k jz z
e
i( k jx x −ωt )
= E j (z) e
i( k jx x −ωt )
,
j = 1, 2, 3
Elección del sistema de coordenadas:
z<0
n1
- origen O en la superficie de separación (frontera) de los dos medios;
n( z )de
= lannormal
z <superficie
h
0 a<esta
- eje Z en la dirección
N
y dirigido desde
2
el medio 1 al medio 2; 
z >el hplano XZ.
- plano de incidencia coincidente
con
n3
ESTUDIO A PARTIR DE LAS FÓRMULAS DE FRESNEL
Ó
Óptica
de multicapas
Condiciones de continuidad de los campos E y H
en las dos fronteras de las lámina:
• n1 ~ n2
(z = 0 ) :
E1+( 0 ) + E1−( 0 ) = E 2+( 0 ) + E 2−( 0 )
k1z [E1+( 0 ) − E1−( 0 )] = k 2 z [E 2+( 0 ) − E 2−( 0 )]
• n 2 ~ n3
( = h) :
(z
E 2+( 0 ) ei k 2 z h + E 2−( 0 ) e - i k 2 z h = E3 +(h)
[
]
k 2 z E 2+( 0 ) ei k 2 z h − E 2−( 0 ) e - i k 2 z h = k 3 z E 3 +(h)
Fó
Fórmulas
l de
d Fresnel
F
l
Coeficientes de reflexión y
transmisión de la lámina
ESTUDIO A PARTIR DE LAS FÓRMULAS DE FRESNEL
Ó
Óptica
de multicapas
• Son complejos Æ cambios de fase
Coeficientes de reflexión y
t
transmisión
i ió de
d la
l lámina
lá i
• Son funciones periódicas de la fase
iφ
E1− (0) r12 + r23 e
r=
=
E1+ (0) 1 + r12r23 ei φ
E3 + (h ) t12t 23 ei φ / 2
=
t=
E1+ (0) 1 + r12r23 ei φ
• Expresiones válidas para ambas
polarizaciones (⊥ y ||)
•
φ = 2k 2z h =
4πn2
λ
h cosθ 2
• r12 , t12 , r23 y t 23 son diferentes
para cada polarización
r (φ + 2π ) = r (φ )
t (φ + 2π ) = t (φ )
• Para espesores muy pequeños (hÆ0), la
película se comporta como una sola
interfase n1 ~ n3
r ((h
h → 0) → r13
t (h → 0) → t13
• Para φ=2π
r (2π ) = r (0) → r13
t (2π ) = t (0) → t13
Películas latentes o de media onda
λ

 n2 h = 
2

Reflectancia y transmitancia de la lámina
(E
R=
(E
)
(0 ) )
1− (0 )
1+
2
2
= r 2,
(
(
)
)
2
n cosθ 3 E3+ (0)
n3 cosθ 3 2
T = 3
=
t
2
n1 cosθ1 E (0)
n1 cosθ1
1+
Aplicación: capa antirreflectante.
Considerando incidencia normal se obtiene R=0 eligiendo:
λ

φ = π → n2h =
4

r12 = r23 → n2 = n1n3
Ejemplo: n1=1 (aire) y n3=1’52 (vidrio) Æ n2=1’23
Aproximación:
Capa MgF2 Æ n2=1’38 y n2h=λ/4 (para λ=600 nm)
Estos resultados pueden mejorarse usando multicapas.
CAPA ANTIRREFLECTANTE
CAPA ANTIRREFLECTANTE
FORMULACIÓN MATRICIAL
El análisis de dos o más capas aplicando directamente las fórmulas
de Fresnel conduce a un número elevado de ecuaciones.
El método matricial permite un tratamiento sistemático de cada capa
que resulta fácil de extender al caso de una multicapa.
• cada interfase (matriz de transmisión)
• tránsito de la luz a través de cada capa
p (matriz
(
de propagación)
p p g
)
Matriz característica de cada lámina
N capas
Matriz característica de una multicapa
p
MATRIZ DE UNA INTERFASE DIELÉCTRICO-DIELÉCTRICO
El campo eléctrico a cada lado de la
interfase será el resultado de la superposición
E(z) = E j + (z) + E j − (z)
j = 1, 2
Condiciones de continuidad en la frontera
Sistema de dos ecuaciones que se puede
expresar en forma matricial como
E1+ 
E '2+ 
D1   = D2 

E
E
'
 1− 
 2− 
D1 y D2 son diferentes para cada polarización.
MATRIZ DE UNA INTERFASE DIELÉCTRICO-DIELÉCTRICO
E 
E ' 
D1  1+  = D2  2+ 
E1− 
E '2− 
D1 y D2 son diferentes
para cada polarización.
1
1


=

−
n
cos
θ
n
cos
θ
j
j
j
 j
cos θ j − cosθ j 
||
=
Dj 

n
n
j
j


D ⊥j
E1+ 
E '2+ 
E '2+ 
−1
=
D
D
=
D
1
2
12 
E 


E
'
E
'
 1− 
 2− 
 2− 
Matriz de transmisión de la interfase (válida para ambas polarizaciones)
D12 =
1 1

t12 r12
r12 
1 
MATRIZ DE UNA LÁMINA
E1+ 
E '2+ 
=
D
12 
E 

 1− 
E '2− 
E '3+ 
E2+ 
E  = D23 E ' 
 2− 
 3− 
Matriz de propagació n :
E 2+  e −iφ2
E '2+ 
E '  = P2 E  = 
 2−   0
 2− 
0  E 2+ 


eiφ2  E 2− 
MATRIZ DE UNA LÁMINA
Ó
Óptica
de multicapas
Los campos a un lado y al otro de la lámina se relacionan mediante la ecuación
E' 3+ 
E1+ 
E  = M E' 
 1− 
 3− 
donde M es la matriz característica de la lámina
M = D12P2D23
e − i φ2
=
t12t 23
1 + r12 r23 ei 2φ2

i 2φ
 r12 + r23 e 2
r12 ei 2φ2 + r23 
i 2φ2 
r12r23 + e 
Expresión válida para ambas polarizaciones.
MATRIZ DE UNA MULTICAPA
Aplicando:
• a cada interfase la matriz de transmisión Dij
• a la propagación en el interior de una capa la matriz de propagación Pj
E0+ 
E 's + 
=
M
m
E 

 0− 
E 's − 
Mm es la matriz característica de la multicapa
REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN EN UNA MULTICAPA
 N

M11 M12 
−1
−1 
Mm = 
= D0 ∏ D j Pj D j Ds


M 21 M 22 
 j =11

*
M12 = M 21
M11 =
Mm =
*
M 22
ns cos θs
n0 cos θ0
Si ns = n0 → Mm = 1
Coeficientes de reflexión y de transmisión de la multicapa
• Luz incidente desde el medio de índice
r =
E 0 − M 21
=
,
E 0 + M 11
t=
E' s +
1
=
E0+
M 11
E'
M
r' = s + = − 12 ,
E' s −
M 11
n0 → E 's − = 0
ns → E 0 + = 0
Mm
E0−
t' =
=
= Mm t
E' s −
M 11
REFLECTANCIA Y TRANSMITANCIA DE UNA MULTICAPA
Reflectancias y transmitancias de la multicapa
R = r 2,
T =
ns cos θs 2
t
n0 cos θ0
R' = r' 2,
n0 → E 's − = 0
T' =
ns → E 0 + = 0
n0 cos θ0 2
t'
ns cos θs
t' = Mm t
Mm =
ns cos
cosθ
θs
n0 cos θ0
T'= T
SISTEMAS MULTICAPA PERIÓDICOS
 n1,
n( z ) = 
n2 ,
N
jh < z < jh + h1 
 = n( z + h )
jh + h1 < z < ( j + 1)h 
 2

E0+ 
E 's + 
E 's +  Mmp es la matriz característica
−1
−1 
E  = D0  ∏ D j Pj D j  Ds E '  = Mmp E '  de la multicapa periódica
 0− 
 s− 
 s− 
 j =1

APLICACIONES
Sistemas multicapa antirreflectantes
Matriz característica del sistema
Mmp = D01P1D12P2D2s
Coeficiente de reflexión
M 21 r01 + r12s ei 2φ1
r =
=
M11 1 + r01r12s ei 2φ1
r12s =
r12 + r2s ei 2φ2
1 + r12r2s ei 2φ2
Coeficiente de reflexión del sistema
película de índice n2 ~ sustrato
APLICACIONES
Ejemplo:
Incidencia normal y ambas capas son cuarto de onda Æ n1h1=
2
r = 0 → r01 = r12s
n 
n
→  2  = s
n0
 n1 
n2h2 =λ/4
APLICACIONES
La reflectancia del sistema puede disminuirse con un diseño multicapa
MULTICAPA ANTIRREFLECTANTE
APLICACIONES
Sistemas multicapa de alta reflectancia
Ejemplo: N multicapas de dos capas cuarto de onda (en incidencia normal).
Matriz característica del sistema
(
)
N
Mmp,λ / 4 = D0−1 D1P1D1−1D2P2D2−1 Ds
− i 0
Pj = 

0 i
 n2
− n
D1P1D1−1D2P2D2−1 =  1
 0


0 

n1 
−
n2 
Reflectancia de la multicapa periódica

 1 − ns

no
R =

ns
1
+

no

 n1 
 
 n2 
2N
 n1 
 
 n2 
2N






2
APLICACIONES
La reflectancia del sistema aumenta al crecer el número de capas:
n0=nS=1, n1=2.5, n2=1.5
PHOTONIC
BAND
GAP
R=1 T=0
APLICACIONES
Defectos en multicapas periódicas:
n0=nS=1, n1=2.5, n2=1.5
N=12 Capa central: n2h2 = 2 λ/4
APLICACIONES
α=
n0=nS=1, n1=2.5, n2=1.5
N=12 Capa central: n2h2 = α λ/4
APLICACIONES
α=
n0=nS=1, n1=2.5, n2=1.5
N=12 Capa central: n2h2 = α λ/4
APLICACIONES
S=0
Multicapas Fractales:
Secuencia de Cantor
S=1
S=2
S=3
n0=nS=1, n1=2.5, n2=1.5
APLICACIONES
Multicapas aperiódicas: Secuencia de Fibonacci
Números de Fibonacci:
Fi+1 = Fi + Fi-1, con F0 = 0 y F1 = 1
F ={0,1,1,2,3,5,8,13,21,...}.
{ , , , , , , , , , }
lim Fi+1/Fi =φ≈1.618
i→∞
Cadena
C
d
d Fibonacci:
de
Fib
i
Di+1 = {Di , Di-1}
S=1
S
1
PBG
PBG
S=2
S=3
S=4
S=5
S=6
n0=nS=1, n1=2.5, n2=1.5
APLICACIONES
BIBLIOGRAFÍA
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3.
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(2000) C
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1.
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SISTEMAS FOTÓNICOS MULTICAPA Juan A. Monsoriu

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