Campos de pendientes y ecuaciones diferenciables separables

Campos de pendientes y ecuaciones diferenciables separables

Campos de pendientes y ecuaciones diferenciables separables
Recordando algunos comandos básicos
Recordemos que los comandos que permiten definir derivadas en MAPLE son diff()y D().
Así mismo, para realizar una asignación utilizamos :=. Por ejemplo:
> ED1:=2*diff(y(x),x)+3*y(x)=exp(-x):
> ED1;
⎛∂
⎞
( −x )
2 ⎜⎜ y( x ) ⎟⎟ + 3 y( x ) = e
⎝ ∂x
⎠
O bien:
> ED2:=D(y)(x)=(y(x))^2:
> ED2;
D( y )( x ) = y( x )2
Para verificar si determinadas funciones son soluciones de las ecuaciones diferenciales dadas
usamos el comando subs(). Por ejemplo:
> subs(y(x)=exp(-x),ED1);
⎛ ∂ ( −x ) ⎞
( −x )
( −x )
2 ⎜⎜ e ⎟⎟ + 3 e
=e
⎝ ∂x
⎠
> value(%);
e
( −x )
=e
( −x )
Resolviendo Ecuaciones Diferenciales
Para resolver una ecuación diferencial utilizamos el comando dsolve(). Por ejemplo:
> dsolve(ED1,y(x));
( −x )
(− 3 / 2 x)
_C1
y( x ) = e
+e
Los parámetros aparecen en la forma: _C1, _C2, etc.
Las soluciones pueden darse implícita o explícitamente, y esta opción se pide dentro del
comando:
> dsolve(diff(y(x),x)=3*x^2*exp(-y(x)),implicit);
1 3 1 y( x )
x − e + _C1 = 0
3
3
> dsolve(diff(y(x),x)=3*x^2*exp(-y(x)),explicit);
y( x ) = ln( x3 + 3 _C1 )
Problemas de valores iniciales
Queremos determinar una función y(x) que satisfaga un problema a valores iniciales, por
⎛∂
⎞
1
π
ejemplo ⎜⎜ y( x ) ⎟⎟ + y( x ) = 2
con
la
condición
y
(
−
ln
(
2
)
)
=
?
(2 x)
⎝ ∂x
⎠
2
1+4e
> ED3:=diff(y(x),x)+y(x)=2/(1+4*exp(2*x)):
> dsolve({ED3,y(-ln(2))=Pi/2},y(x));
y( x ) = e
( −x )
arctan( 2 ex )
Verificamos:
> phi:=x->exp(-x)*arctan(2*exp(x)):
> subs(y(x)=phi(x),ED3);
⎛ ∂ ( −x )
⎞ ( −x )
1
⎜⎜ e
arctan( 2 ex ) ⎟⎟ + e
arctan( 2 ex ) = 2
(2 x)
⎝ ∂x
⎠
1+4e
> value(%);
2
e
( −x )
ex
1 + 4 ( ex )
2
=2
1
1+4e
(2 x)
> phi(-ln(2));
1
π
2
Representación gráfica de soluciones
Familia de curvas
⎛∂
⎞
( −x )
Cuando resolvimos la ecuación diferencial 2 ⎜⎜ y( x ) ⎟⎟ + 3 y( x ) = e
⎝ ∂x
⎠
( −x )
(− 3 / 2 x)
obtuvimos la familia y( x ) = e
+e
_C1 dependiente del parámetro _C1.
Para graficar algunos miembros de esta familia podemos usar el comando seq (secuencia)
para asignar una secuencia de valores a _C1.
> with(plots):display(seq(plot(exp(-x)+exp(-3/2*x)*i,x=-3..3
,y=0..10),i=1..10));
Campos de pendientes
Como sabemos, es sumamente laborioso graficar manualmente el campo de pendientes
correspondiente a una ecuación diferencial dada. MAPLE posee el comando dfieldplot
∂
para realizar este gráfico. Por ejemplo, para la ecuación y( x ) = y − x2 el campo se grafica
∂x
mediante:
> dfieldplot(diff(y(x),x)=y(x)-x^2,y(x),x=-3..3,y=-3..3);
Y luego podemos representar algunas soluciones de la ecuación diferencial, con el
comando DEplot colocando entre corchetes alguna condición inicial (o punto de paso de
la curva):
> DEplot(diff(y(x),x)=y(x)-x^2,y(x),x=-3..3,y=-3..3,[[y(0)=0
.5],[y(0)=0.7],[y(0)=0.9]],linecolor=[red,green,blue]);