Longitud de Arco y Curva

MATEMATICA IV
Longitud de Arco y Curva
Definición: Suponga que la curva tiene la ecuación vectorial ( )
o bien de manera equivalente, las ecuaciones
( ( ) ( ) ( ))
( )
( )
( ) donde
paramétricas
son
continuas. Se define la longitud de arco desde
hasta
como:
∫ √[ ( )]
[ ( )]
[ ( )]
O
∫ | ( )|
Ejemplo: Calcule la longitud del arco de la hélice circular de la ecuación
vectorial
punto (
Solución:
Puesto que
( )
⃗
⃗⃗
⃗
desde el punto (
) hasta el
)
( )
⃗
| ( )|
El arco desde (
√(
⃗
)
⃗⃗
(
entonces
)
√
) hasta (
) se describe mediante el intervalo del
∫ | ( )|
∫ √
parámetro
Lic. Ysela Mariell Alva Ventura
√
MATEMATICA IV
Una parametrización ( ) se denomina suave en un intervalo si
es
continua. Una curva se llama suave si tiene una parametrizacion suave. Una
curva suave no tiene puntos o cúspides agudos; cuando gira el vector tangente,
lo hace en forma continua. Si
es una curva suave definida por la función
vectorial , recuerde que el vector unitario tangente ( ) está definido por:
( )
( )
| ( )|
e indica la dirección de la curva.
La curvatura de en un punto dado se define como la magnitud de la tasa de
cambio del vector unitario tangente con respecto a la longitud de arco. Así,
( )
| ( )|
| ( )|
Observación:
1. La curvatura de la curva dada por la función vectorial
| ( )
( )|
| ( )|
( )
Ejemplo: Calcule la curvatura de la cubica alabeada o girada
(
) en un punto general y en (
)
Solución:
Primero se calcula los elementos requeridos
Lic. Ysela Mariell Alva Ventura
( ) es
( )
(
( )
(
| ( )|
√
)
)
( )
MATEMATICA IV
( )
( )
| ( )
|
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
|
√
( )|
⃗⃗
⃗
√
Reemplazando
( )
En el origen donde
| ( )
( )|
√
| ( )|
(
la curvatura es ( )
)
Se define el vector normal unitario como
( )
| ( )|
( )
donde
( ) es ortogonal a ( ).
Además se define el vector binormal como
( )
el cual es ortogonal a
( )
( )
.
Ejemplo: Determine los vectores normal unitario y binormal para la hélice
circular ( )
Lic. Ysela Mariell Alva Ventura
⃗
⃗
⃗⃗
MATEMATICA IV
Solución:
Primero se calcula los elementos necesarios para el vector normal unitario
( )
⃗
| ( )|
( )
( )
| ( )|
( )
√
(
√
(
√
| ( )|
( )
⃗⃗
⃗
( )
| ( )|
⃗
⃗⃗ )
⃗
⃗
⃗)
√
⃗
⃗
(
)
Esto demuestra que el vector normal en un punto de la hélice es horizontal y
señala hacia el eje z. El vector binormal es
( )
( )
( )
√
|
⃗
⃗
⃗⃗
|
√
(
)
Observación:
1. El plano definido por los vectores normal y binormal
en el
punto
en la curva
se llama plano normal de
en . Está
constituido por todas las rectas que son ortogonales al vector tangente
2. El plano definido por los vectores tangente y normal
se llama
plano osculador de
en . Es el plano que está más cerca de contener
la parte de la curva cerca de .
Lic. Ysela Mariell Alva Ventura
MATEMATICA IV
Ejemplo: Determine la ecuación del plano normal y del plano osculador de la
hélice ( )
⃗
⃗⃗ en el punto (
⃗
)
Solución:
El plano normal en
(
tiene como vector normal a
)
(
)
de
modo que una ecuación es
(
)
(
)
(
)
Haciendo las operaciones se tiene
El plano osculador en
normal es
contiene los vectores
, de modo que su vector
.
( )
(
√
( )
Un vector normal más simple es (
(
√
)
√
)
) de modo que una ecuación del plano
osculador es
(
)
(
Haciendo las operaciones se tiene
Lic. Ysela Mariell Alva Ventura
)
(
)
MATEMATICA IV
AUTOEVALUACION
I. Determine la longitud de la curva
(
(
(
(
1.
2.
3.
4.
II.
( )
( )
),
)
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗
(
(
)
Calcule los vectores
1. ( )
2. ( )
IV.
(
(
√
⃗⃗
Calcule la curvatura de
1.
2.
III.
)
)
)
)
(
(
)
en el punto (
en el punto (
)
)
en el punto dado
)
en el punto (
)
) , en el punto (
)
Determine las ecuaciones del plano normal y del plano osculador de
la curva en el punto dado
1.
en el punto
(
)
2.
Lic. Ysela Mariell Alva Ventura
en el punto (
)