8 elementales La justificación de Los Principios

8 elementales La justificación de Los Principios

La justificación de los principios elementales
Cada uno de los tres principios tradicionales tiene una justificación extra-sistemática e
intuitiva, y su uso puede advertirse en todos los razonamientos, incluso en la construcción de
las tablas de verdad.
El principio de identidad es una necesidad de todo lenguaje: para hablar de un objeto o para
describir un estado de cosas es preciso suponer que ese objeto o ese estado de cosas es
idéntico a sí mismo, al menos en el momento al que nos referimos. La pirueta de una bailarina
es un acto fugaz; pero una vez cumplida es posible recordarla y hablar de ella como de una
realidad fija por comparación con la cual hemos de determinar la verdad o la falsedad de la
descripción que de ella se haga. Si adoptásemos una lógica en la que por ejemplo, el concepto
de un estado de cosas fuera tan transitorio como el propio estado de cosas a que se refiere, no
podríamos hablar del sonido de una campaña, ni del sabor de un sorbo de vino, ni de la
película que vimos ayer: palabras, nombres y descripciones tendrían vida tan corta que su uso
resultaría inútil en la mayoría de los casos. Pues bien, una muestra del uso de esta ley aparece
en la asignación de valores de verdad a las variables de una fórmula. Si a una variable
determinada, “q”, por ejemplo, hemos asignado el valor V para uno de los casos posibles de la
tabla de verdad, dentro del mismo caso atribuiremos el valor V a cualquier nueva aparición de
la variable “q” en la misma fórmula.
La no contradicción está estrechamente vinculada con la identidad: si el lenguaje ha de servir
para transmitir informaciones, no sólo se requiere que cada proposición tenga siempre el
mismo valor de verdad: también es preciso que ese valor sea uno solo. Para esto las tablas de
verdad asignan a cada fórmula un valor y sólo uno, para cada caso posible. Supongamos por un
momento que, frente a una fórmula cualquiera, respetamos el principio de identidad mediante
la asignación a cada variable del mismo valor para todas sus apariciones en cada caso posible,
pero que este valor es a la vez V y F. Este rechazo del principio de no contradicción nos
llevaría a consecuencias ciertamente molestas: nuestro cálculo lógico resbalaría sobre la
ambivalencia de las variables y arribaría a todas las conclusiones, deseadas o no. Por ejemplo,
cada vez que afirmamos que este tres va a Puerto Barrios, aseguraríamos, al mismo tiempo,
que se dirige a Sanarate, Progreso, Zacapa, Los Amates Izabal, e incluso que se queda
tranquilamente en Santo Tomás de Castilla, mientras atraviesa el océano para llegar a España.
La ley del tercero excluido, en cambio, no es una necesidad del lenguaje: es, en todo caso, una
manifestación del carácter bivalente de la lógica más común. En efecto, estamos habituados a
distinguir entre proposiciones verdaderas y proposiciones falsas. Mientras nos atengamos a
esta distinción, el principio del tercero excluido formará parte de nuestros razonamientos
válidos. Si, por el contrario, supusiéramos tres valores de verdad, una proposición podría tener
cualquiera de estos tres valores y aparecería un principio que podría llamarse del cuarto
excluido. De este modo, cualquier elección de n valores de verdad para fundar una lógica
dará lugar a una ley según la cual toda proposición debe tener necesariamente uno de
aquellos valores, con exclusión de otro u otros (n más 1, por ejemplo), que pudieran
imaginarse. Dentro de nuestra lógica bivalente, la construcción de una tabla de verdad aplica
el principio del tercero excluido cuando en ella se alternan sólo los valores V y F .
Pequeño digesto proposicional
Entre las infinitas leyes de la lógica proposicional, hemos examinado con mayor detenimiento
las tres que la tradición aristotélica ha consagrado como elementales por la facilidad de su
justificación intuitiva. Pero muchas otras leyes tienen uso frecuente en las demostraciones
lógicas, por lo que conviene tener presente una lista de las más comunes:
Identidad: p = p
No contradicción: -(p . –p)
Tercero Excluido: p v -p
Idempotencia de la conjunción: (p . p) = p
Idempotencia de la disyunción: (p v p) = p
Doble negación:
--p=p
Simplificación: ( p . q ) = p
Adición: p = (p v q)
Ley de De Morgan: (p . q) = -(-p . –q)
Definición del bicondicional: (p = q) = ( (p = q ) . (q = p ) )
Definición del condicional: ( p = q ) = (-p v q )
(p = q ) = -(p . –q)
Negación del condicional: - (p = q ) = (p . – q)
Transposición: (p = q ) = ( - q = - p )
Transitividad del condicional: ( (p = q ) . (q = r ) )
= (p = r)
Asociatividad de la conjunción: ( p . ( q . r ) ) ¿ ( (p . q ) . r )
Asociatividad de la disyunción: ( p v (q v r ) ) = ( (p v q ) v r )
Asociatividad del bicondicional: ( p = (q = r) = ( (p = q ) = r
)
Conmutatividad de la conjunción: ( p . q ) = (q . p )
Conmutatividad de la disyunción. ( p v q ) = ( q v p )
Conmutatividad del bicondicional: ( p = q ) = ( q = p )
Distributividad de la conjunción respecto de la disyunción: ( p . (q v r) ) = ( (p . q ) v (p . r ) )
Distributividad de la disyunción respecto de la conjunción: ( p v ( q . r ) = ( (p v q ) . (p v r ) )
Autodfistributividad del condicional: (p = (q = r ) ) = ( (p =q ) = (p = r ) )
Modus ponens: ( (p = q ) . p ) = q
El modus ponens (cuyo nombre completo en latín es modus ponendo ponens) es una ley de
larga tradición, estrechamente ligada a la estructura de los silogismos condicionales.
Etimológicamente, es el modo que afirma, pone, afirmando, poniendo: dado el condicional (p
= q), la afirmación del antecedente p permite afirmar el consecuente q.
Modus Tollens: ( (p = q ) . – q ) = - p
Silogismo disyuntivo: ( (p v q ) . – q) = q
Adición de tautología: p = (p . ( q v – q ) )
Adición de contradicción: p = ( p v ( q . – q)
Implicación de los conjuntos: (p = (q . r ) ) = (p = q ) ( p = (q . r. ) = ( p = r )
El modus tollens, o modus tollendo tollens es una tautología similar al modus ponens, pero a la
inversa. Tollere, en latín, significa sacar, quitar y – en este caso – negar. Se trata, pues del
modo negativo, del modo que niega negando: dado el condicional (p = q ), la negación del
consecuente q lleva a negar también el antecedente p.
Frente a este despliegue de fórmulas convendrá que no nos dejemos dominar por el
desaliento. Si, en lugar de contemplar su conjunto con ojos lánguidos y triste meneo de
cabeza, examinamos las leyes una por una y, en caso necesario, las ejemplificamos en lenguaje
natural a través de la interpretación de variables, advertiremos que todas ellas son de fácil
comprensión. Y, una vez aprehendidas intuitivamente, las recordaremos sin mayor dificultad
para utilizarlas cuando nos convenga.
Interdefinibilidad de las conectivas
Entre las leyes ya enumeradas se distinguen algunas (definiciones del condicional y del
bicondicional, leyes de De Morgan) que permiten transformar una fórmula basada en una
conectiva en otra fórmula equivalente construida en derredor de otra conectiva. Esto sugiere
que las conectivas son definibles entre sí, con ayuda de la negación; y, en efecto, por medio de
aquellas leyes y de sus combinaciones es posible trazar el cuadro de interdefinibilidad que se
presentará más adelante.
El análisis del cuadro de interdefinibilidad permite formular algunas observaciones. Ante todo,
naturalmente, se advierte que la negación es un instrumento necesario para definir las
restantes conectivas, pero no es ella misma definible en términos de otras: por ser la más
sencilla de las constantes lógicas, recordemos que carácter monádico, sólo puede ser definida
mediante la tabla de verdad correspondiente.
Han quedado anulados los lugares situados en la diagonal que arranca desde la esquina
superior izquierda del cuadro, ya que en ellos sólo cabría la repetición lisa y llana de la fórmula
a definir; pero existen además otras ausencias, todas ellas situadas en las columnas de la
disyunción excluyente y del bicondicional. Y esto ocurre de un modo peculiar: cada una de
estas dos conectivas puede definirse en términos de la otra, pero ninguna de ellas permite
definir la conjunción, la disyunción incluyente ni el condicional; en tanto estas ´`ultimas
definen cualquier otra. ¿a qué se debe esta situación? Sucede que las conectivas proposiciones
tienen distintos grados de complejidad. La más simple es, como hemos señalado, la negación.
En el grado siguiente se sitúan la conjunción, la disyunción incluyente y el condicional, que
pueden definirse entre sí con ayuda de la negación, y, del mismo modo, permiten definir la
disyunción excluyente y el bicondicional. Estos dos últimas conectivas, en cambio, contienen
relaciones complejas. Recordemos que, en tanto la disyunción incluyente “p v q” indica que es
verdad p o es verdad q, la excluyente “p /= q “ simboliza lo mismo, pero con el agregado de
que no son verdaderas p y q a la vez. Del mismo modo, el bicondicional comprende dos
condicionales cruzados entre sí, de modo que también incluye mayor información que las
conectivas por medio de las cuales se lo define. Las conectivas más complicadas, pues, pueden
explicarse entre sí y también a partir de las más sencillas, pero no a la inversa.