Matemáticas Sin Fronteras

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Competición por cursos dirigida a 3 y 4° de E.S.O.
M atemáticas S in F ronteras
Prueba de ensayo - Edición 2009
Utilizar sólo una hoja-respuesta por ejercicio.
Se piden explicaciones y justificaciones para todos los ejercicios
salvo los ejercicios 2, 3, 4 y 7.
Se tendrá en cuenta toda solución incluso parcial.
La presentación se tendrá en cuenta.
Ejercicio 1
7 puntos
¿ Quizás ?
La solución debe redactarse en alemán, inglés, francés o italiano con un mínimo de 30 palabras.
Chantal möchte das Fahrrad benutzen, das ihr ihre
Freundin ausgeliehen hat. Unglücklicherweise hat sie die
dreistellige
Kombination
des
Fahrradschlosses
vergessen.
Mit Geduld und Methode beginnt sie,
durch aufeinanderfolgende Versuche, die
richtige Kombination herauszufinden. Für
jeden Versuch benötigt sie ungefähr zwei
Sekunden.
Chantal denkt, dass sie kaum Chancen
hat, die richtige Kombination in weniger
als dreißig Minuten zu finden.
Denkt ihr das auch? Begründet eure
Antwort.
Chantal wants to use the bike her friend
has lent her. Unfortunately, she has
forgotten the anti-theft code which has
three numbers.
Patiently and methodically she tries to find
the combination again.
Each attempt takes her about 2 seconds.
Chantal thinks she has little chance to find the correct
combination in less than 30 minutes.
Do you agree with her? Justify.
Ejercicio 2
5 puntos
Plegado
¿Cómo plegar una tira de papel para que el área del triángulo
sombreado sea lo más pequeña posible?
Pegad la tira doblada sobre la hoja-respuesta.
Justificad que en este caso el área es mínima.
Chantal veut utiliser le vélo que son ami lui a prêté.
Malheureusement elle a oublié le code de trois chiffres de
l’antivol.
Avec patience, elle procède méthodiquement
par essais successifs pour retrouver cette
combinaison.
Chaque essai lui demande environ 2
secondes.
Chantal pense qu’elle a peu de chances de
trouver la bonne combinaison en moins de 30
minutes.
Etes-vous d’accord avec elle ? Justifiez.
Chantal desidera usare la bicicletta prestatale
da un suo amico.
Sfortunatamente ha dimenticato il codice di tre
cifre dell’antifurto.
Procede pazientemente e metodicamente con
tentativi
successivi
per
recuperare
la
combinazione. Per ogni tentativo impiega circa 2 secondi.
Chantal ritiene di avere poca possibilità d’individuare in
meno di trenta minuti la combinazione corretta.
Siete d’accordo con lei ? Motivate la vostra risposta.
Ejercicio 3
7 puntos
Logotipo nuevo
Para celebrar el milenio de la ciudad, el área de turismo ha
organizado un concurso para encontrar un logotipo que
simbolice la ciudad y sus ocho ciudades asociadas.
Amelia propone un logotipo compuesto por un disco rodeado
de una corona. La corona se divide en 8 sectores. El disco
central representa su ciudad y los 8 sectores les ciudades
asociadas.
Amelia desea que cada sector tenga la misma área que el
disco central. Ha dibujado el disco central con un diámetro de
4 cm.
Calculad el radio del círculo mayor y dibujad el logotipo
en la hoja-respuesta.
Ejercicio 4
5 puntos
Uno para tres
A Marcelo le encantan los puzzles. Ha adjuntado a cada uno
de los tres lados de un triángulo equilátero un triángulo
rectángulo.
El montaje obtenido es un triángulo rectángulo.
Pegad el montaje en la hoja-respuesta e indicad los
ángulos de los triángulos.
Ejercicio 5
7 puntos
Expresión cubista
La figura adjunta muestra un cubo de arista a, un
cubo pequeño de arista b y seis ladrillos (rectos)
cuyas aristas miden a o b.
Es posible juxtaponer estas ocho piezas de manera
que, dos a dos, tengan solo un lado común o solo
una arista común o solo un vértice común. La
construcción forma un gran cubo.
Representad la construcción en perspectiva caballera.
Escribid de dos formas diferentes la expresión del volumen del gran cubo en función de a y b para obtener una
identidad notable.
Ejercicio 6
5 puntos
Cuadracel
Las paredes de este laberinto son infranqueables. Cuando
atraviesas una puerta interior se cierra automáticamente. Por todas
partes dónde te encuentres, tienes acceso a botones para "reiniciar".
Apretando uno de estos botones, se abren simultáneamente todas
las puertas interiores. Puedes utilizar estos botones varias veces.
Penetras sólo en el laberinto por la puerta n°24. Se cierra. Todas las
puertas interiores están abiertas. Estás encarcelado. La puerta n°24
se abrirá definitivamente sólo cuando todas las puertas interiores
estén cerradas.
Reproducid el dibujo del laberinto, trazad el trayecto y explicad
la estrategia que permitirá la liberación.
Ejercicio 7
7 puntos
En bastidores
Fernando tiene una máquina rara que consta:
- De dos piezas de madera de la misma longitud AB = CD = 10 cm,
con una ranura cada una y ensambladas en sus puntos medios
formando ángulos rectos,
- De una varita móvil que lleva dos espigas E y F que distan 3 cm. La
espiga E se desliza en la ranura AB y la espiga F se desliza en ranura
CD. La varita tiene una punta T que pinta. La distancia ET es igual a 9
cm.
Fernando experimenta la máquina deslizando las espigas por las
ranuras.
Dibujad el trazado obtenido por Fernando.
Ejercicio 8
5 puntos
Tres para uno
Este es el desarrollo de un cuerpo que tiene los
triángulos equiláteros A y B como bases.
Juntando este cuerpo y dos pirámides de 4 caras idénticas,
una con la base A y otra con la base B como caras,
se consigue un cubo.
Dibujad un desarrollo de una de estas pirámides
en la hoja-respuesta.
Ejercicio 9
7 puntos
Tic tac, tac tic
Tía Natalia tiene dos relojes que funcionan mal. El primero
adelanta y gana dos minutos por hora. El segundo se retrasa y
pierde un minuto por hora. Tía Natalia ajusta sus dos relojes
simultáneamente al mediodía.
¿Al cabo de cuánto tiempo ambos relojes indicarán la
misma hora? Justificad.
Ejercicio 10
10 puntos
El vaso está lleno
Este es el esquema de una fuente.
Cada pila puede contener 1 litro de agua, antes de desbordarse
equitativamente hacia las dos pilas que se encuentran debajo de ella.
Al principio todas las pilas están vacías.
¿Cuántos litros de agua hay que verter como mínimo en la pila n°1
para llenar completamente la pila n°5?
La misma pregunta para la pila n°4 y para la pila n °8. Explicad las
respuestas.
Especial 4° ESO
Ejercicio 11
5 puntos
Octomania
Xiu desea personalizar el código de acceso de 4 cifras de su blog. Le gusta
mucho la cifra 8 que es sinónima de suerte, de prosperidad y de infinito en la
cultura china. Xiu piensa que el código " 8888 " es demasiado fácil de
88
detectar. ¡En cuanto a 8 son demasiadas cifras!
Xiu fabrica su código así:
88
- La cifra de los millares del código es la primera cifra de 8 ;
88
- La cifra de las unidades del código es la cifra de las unidades de 8 ;
- Entre las dos, inscribe el número total de cifras que contiene la escritura
88
decimal de 8 .
Encontrad el código del blog de Xiu.
Ejercicio 12
7 puntos
No están atados
Benjamin, Clara y Nuria llevan zapatos idénticos, del mismo
número, pero sus cordones no están ensartados de la misma
manera en los huecos.
En cada zapato, los 16 huecos están dispuestos
regularmente en ambos lados de un rectángulo de
longitud 7 cm y de anchura a cm, como se indica en la
figura. Las extremidades libres de los cordones tienen la
misma longitud pero los tres cordones no tienen la misma
longitud.
¿De estas tres lazadas, cuál es la que utiliza los cordones más cortos? Justificad. Podremos comparar estas
lazadas trozo a trozo.
Ejercicio 13
10 puntos
¿Qué queda?
Se coge un triángulo equilátero azul.
Si se quita el triángulo de vértices los puntos medios de sus lados, obtenemos un encaje de
Sierpinski de rango 1.
Si se quita a cada uno de los triángulos azules restantes el triángulo de vértices los puntos
medios de sus lados, obtenemos un encaje de Sierpinski de rango 2.
Si se continúa así, etapa por etapa, obtenemos encajes de Sierpinski de rangos superiores.
Representad sobre la hoja-respuesta un encaje de Sierpinski de rango 3. Expresad su
área, es decir el área de la parte azul, en función del área del triángulo inicial.
¿Cuál es el rango de un encaje de Sierpinski cuya área es igual más o menos al 10 %
del área del triángulo inicial?