2012 Sol 01 Vectores

Calculo vectorial
01. Calcular la suma de los siguientes vectores: a (15, 60º), b(16, 135º), c(19, 0º), d(11, 210º) y
e(22, 270º). El primer valor es el módulo y el segundo el ángulo que forma el vector con la parte
positiva del eje OX.
1
3
a(15·cos 60,15·sen60)  a(15· ,15· )
2
2
2
2
b(16·cos135,16·sen135)  b(16· ,16· )
2
2
c(19·cos 0,19·sen0)  c(19,0)
Y
a
b
3
1
,  11· )
2
2
e(22·cos 270,22·sen270)  e(0,  22)
d(11·cos 210,11·sen210)  d(11·
c
d
O
X
s  a bcde 
e
53  16 2  11 3
55  16 2  15 3
i
j
2
2
02. Calcula el valor de m para que el vector a(-2,m,1) forme un ángulo de 60º con el eje OX?.
El vector forma un ángulo de 60 con cualquier vector sobre el eje OX p. ej con b(1,0,0)
a·b  a xbx  a y b y  a zbz  2
igualando las dos expresiones m  11
a·b  5  m2 1·cos 60
03. Calcula el producto escalar de dos vectores a y b de módulos 3 y 5, sabiendo que su producto
vectorial es el vector p=-4i+6j-4k.
El módulo del producto vectorial es p  a  b  3·5·sen  16  36  16 
luego sen  
68
68
157
y recordando que sen2  cos2   1 tenemos que cos  
15
15
y el producto escalar será a·b  3·5cos   157
04. Escribe las componentes de un vector de módulo 5 que sea perpendicular a los vectores v(1,4,3) y w(2,-1,2).
El vector es que buscamos es a(a x ,a y ,a z ) y su módulo es 5;
25  a2x  a2y  a2z (1)
Como a y v son perpendiculares, a·v  0 ;
ax  4a y  3az  0 (2)
Los vectores a y w también son perpendiculares:
2a x  a y  2az  0 (3)
Resolviendo el sistema tenemos a 
55
234
i
40
234
j
35
234
k
05. Tenemos tres vectores a(5,2,3), b(m,2,n) y c(3,p,1), calcular los valores de m,n y p para que
los vectores sean perpendiculares entre sí.
Para que sean perpendiculares los productos escalares tienen que ser nulos:
a·b  0
a·c  0
b·c  0
5·m  2·2  3·n  0 
29
51

; n   ; p  9
5·3  2·p  3·1  0  y resolviendo el sistema m 
2
2
3·m  2·p  n·1  0 
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Calculo vectorial
06. Los puntos A(1,0,1), B(3,1,2), C(0,4,0) y D(2,0,-3) forman un tetraedro. Calcular:
a) La longitud del lado AB.
Es el módulo del vector AB,
22  12  12  6
b) El área del triángulo ADC es la mitad del área del paralelogramo (módulo del producto
vectorial) definido por los vectores AD y AC
i j k
AD  AC  1 0 4  16 i  5j  4k y el área de ADC es S 
1 4 1
297
uds
2
c) El volumen del tetraedro es la sexta parte del producto mixto:
1
1
41
V  AB· AD  AC   32  5  4   udv
6
6
6


07. Calcular el volumen del paralelepípedo formado por los vectores a(2, -1, 2), b(1, 3, 2) y
c(2, 2, -1).
i j k
b  c  1 3 2  7i  5j  4k y el volumen es V  a·(b  c)  14  5  8  17 udv ;
2 2 1
08. Dado el vector v(sen t, cos t, sen t- cos t) calcular el módulo de la segunda derivada en el
instante en el que t vale π/4.
v  sent i  cos t j  (sent  cos t)k
dv
v' 
 cos t i  sent j  (cos t  sent)k
dt
d2 v
d  dv 
v ''  2 
 sent i  cos t j  (sent  cos t)k
dt  dt 
dt
en el instante t 

:
4
d2 v
d  dv 




2
2

 sen i  cos j  (sen  cos )k  
i
j  0k


2
dt  dt 
4
4
4
4
2
2
dt
09. ¿Si dos vectores son perpendiculares su producto escalar es máximo?...¿En que caso lo será?
v '' 
a·b  0 . El valor es
Cuando dos vectores son perpendiculares su producto vectorial es mínimo
máximo cuando lo es el coseno y eso ocurre cuando los vectores forman un ángulo de 0º y tienen
la misma dirección.
10. El producto vectorial de dos vectores es mínimo cuando son tienen la misma dirección.
¿El módulo de la suma de dos vectores siempre es menor que el módulo de la diferencia?
r
a
b
s
s
r
b
a
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Calculo vectorial
Si los vectores forman un ángulo de 90, los módulos de la suma y de la resta son iguales. Si el
ángulo es menor que 90 la suma es mayor que la resta pero si el ángulo es superior a 90, el
vector resta es más grande que la suma.
¿En qué casos el módulo de la suma de dos vectores coincide con la suma de los módulos de los
vectores que se suman? Cuando tienen la misma dirección y el mismo sentido.
11. Dados los vectores a(5,1,2) y b(3,-1,2), calcular:
a) el valor de las diagonales del paralelogramo que forman.
Las diagonales del paralelogramo son los vectores suma y
a
resta y sus módulos son:
D  a  b  80
d  a b  8
b
b) es el ángulo que forman los vectores suma y resta
s(8,0,4)
16

   50,77º
  cos  
80
8
r(2,2,0) 

c) los cosenos de los ángulos que forma el vector b con los ejes de coordenadas.
Supongamos que los ángulos son ,  y .Cojamos el ángulo , el
Z
que forma el vector b con el eje OY:
b
cos  

O
Y
de la misma forma cos  
X
by
b
bx
b


1
14
3
14
y cos  
bz
b

2
14
12*.Descomponer el vector v=-10i+6j+16k en dos componentes, una paralela y otra perpendicular
al vector a=2i+3j-6k.
Los vectores a y v forman un ángulo de
cos  
v
20  18  96
392 49

2
   135º
2
luego los vectores v y vx forman un ángulo de 45º.
vy
vx
El módulo de vx será: v x  v ·cos 45 
392
2
 14
2
a
2
3
6
i  j  k y el unitario en la dirección de vx es
7
7
7
2
3
6
a
b
c
i
j k
su opuesto: uvx   i  j  k 
7
7
7
14 14
14
Igualando los términos v x  4i  6j  12k y por diferencia v y  6i  12j  4k
El vector unitario en la dirección de a es ua 
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