LA. Javier Alvarez Noyola Cuando un capital se invierte en una

Transcripción

Cuando un capital se invierte en una operación industrial, bancaria, comercial, o,
simplemente se presta a alguien que lo solicite, esto produce beneficio o pérdida. Si se planteó bien
la operación el capital invertido aumentará en determinada cantidad; ese aumento o beneficio que
produjo el capital se llama interés.
Como todo método de cálculo, hay convenciones aceptadas universalmente para que,
aplicándolas, se pueda efectuar un cómputo de los resultados de una inversión de capital.
El capital elegido como base de comparación puede ser desde uno hasta infinito que va a
ser el número abstracto, pues para México es en el caso de cálculos el Peso, así como en los Estados
Unidos de Norte América es el Dólar; para Italia es la Lira, para Alemania es el Franco etc.
El interés o beneficio que produce $100.00 (CIEN PESOS) durante un año se llama tasa.
Se denomina tiempo a la duración de la inversión. Este puede ser de cualquier magnitud:
mayor o menor de un año, y, por lo tanto, meses, semanas, bimestres, semestres, días, etc.
Se llama interés simple cuando en los cálculos no se agrega el interés al capital al final de
cada lapso de tiempo (años, meses, semanas, etc.), sino que el capital que está produciendo
beneficio sigue siendo el mismo y se van retirando los intereses conforme se obtienen.
Para iniciar nuestro estudio es necesario nombrar y darle una nomenclatura a los factores
que aquí intervienen.
I
C
i
t
S
Interés simple
Capital nominal (cantidad solicitada o depositada)
Tasa de interés
Tiempo ( años, semestres, meses, semanas. )
Suma de [capital + interés x tiempo]
Al emplear esta nomenclatura en los problemas de imposición y amortización de capitales
el cálculo se simplifica notablemente en comparación en la nomenclatura usada en tiempos pasados
por los Contadores (Tenedor de libros).
Las tasas reales que utilizan los Bancos y otras Instituciones Financieras y Comerciales de
México se determina sumando puntos porcentuales o un porcentaje a:



La tasa líder, es decir; la tasa de rendimiento que ofrecen los certificados de la
Tesorería de la Federación CETES, a 28 días en su colocación primaria.
El CCP, Costo porcentual promedio de captación en Moneda Nacional.
La TIIE, o tasa de interés interbancaria de equilibrio.
LA. Javier Alvarez Noyola
Es evidente que estas tasas son variables, por lo que no se mantienen constantes y cuando lo
hacen sólo es por periodos. La TIIE por ejemplo, se determina de acuerdo a las
cotizaciones de los fondos que los bancos presentan al Banco Central a través del Banco de
México. El CCP por otro lado, es la tasa oficial que el Banco de México estima de acuerdo
con los saldos de captación bancaria en un periodo mensual, para ser aplicadas al mes
siguiente.
Definición:
El interés es el cambio en el valor del dinero en el tiempo. El dinero, como cualquier bien,
tiene un precio que es el interés. Este es el pago por el uso del dinero ajeno y se expresa [ I ].
Fórmula de interés simple:
I = Cit
La tasa de interés como ya se sabe puede ser anual, semestral, trimestral, bimestral,
semanal, diaria, debiendo expresarse el tiempo en años, meses, días, etc.
Definición:
Si al transcurrir el tiempo una cantidad de dinero, C se puede incrementar hasta otra S,
entonces el interés es igual a:S = I + C
Fórmula del total acumulado o valor acumulado del capital.
S = I + C
Ejercicio: Tasa de interés simple en un préstamo
La empresa Nipon Electronic Co. Fabricante de aparatos electrónicos desea terminar un lote
de producción requerida por la fabricación de un televisor portátil, tiene la necesidad de solicitar un
préstamo al Banco mundial por la cantidad de $500,000.00 dólares. El banco le ofrece una tasa de
interés simple del 36% por término de 10 meses, se desea conocer cuánto tiene que pagar esta
empresa al banco en el plazo fijado.
Solución:
Primero hay que ver que 10 meses equivalen a:
10
12
años nos da: 0.83
El interés es igual a 36% = 0.36.
I
I
S
S
=
=
=
=
I = Cit
(500,000) (0.36) (0.83333333)
150,000
$500,000.00 + $150,000.00
$650,000.00
Ejemplo: Tasa de interés simple en un préstamo
La Compañía urbanizadora “Los Jacales” quiere realizar la construcción de una área
residencial en la zona oriente de la ciudad, la necesidad de esta empresa es que por el momento no
tiene el dinero necesario para su construcción, y se ve en la necesidad de adquirir un préstamo a una
Institución Bancaria, esta a su vez le otorga $500,000.00 por un periodo de 3 meses, y para eso debe
pagar a la fecha de su vencimiento la cantidad de $545,000.00, se desea conocer que tasa de interés
le aplico el banco a este cliente.
S = I + C
Se despeja I y nos queda:
I = S - C
I = 545,000 - 500,000
I = 45,000
Ahora se utilizara la siguiente fórmula:
I = Cit
45,000 = (500,000) ( i ) ( 3/12 )
45,000 = (500,000) ( i ) ( 0.25 )
45,000 = (125,000) ( i)
45, 000
i  125
 0.36
, 000
i = ( 0.36 ) ( 100% ) =
i = 36%
Ejercicio: Monto acumulado en una cuenta bancaria:
¿Cuánto acumulará en dos años en su cuenta bancaria el Sr. Morales si invierte $28,000.00
ganando un interés del 17.3% simple anual.
C = $ 28,000.00
t =
2 años
i =
17.3%
S = C ( 1 + it )
S = 28,000 [1 + (0.173) (2) ]
S = 28,000 (1.346)
S = $37,688.00
Ejemplo: Plazo en que se duplica una inversión con interés simple:
La Sra. García es muy aficionada a los juegos de azar y ella participa en Pronósticos
Deportivos en su modalidad “Melate”, y obtuvo un segundo lugar otorgándole la cantidad de
$20,000, esta Sra. desea que su dinero este en una inversión a plazos fijos. Un banco le ofrece un
rendimiento del 33% anual de interés simple, en que tiempo podrá ella duplicar esa cantidad.
C = 20,000.00
S = 2 ( 20,000 ) = 40,000
i = 33% = 0.33
I = S – C = 40,000 – 20,000 = 20,000
I = Cit
20,000 = (20,000) (0.33) ( t )
20, 000
20, 000( 0.33)
1
0.33
t
t
t
t
t
=
=
=
=
=
t
t
3.0303030303
3 años + 0.0303030303 (12 meses)
3 años + 0.363636 meses
3 años + 0 meses + 0.36363636 (30 días)
3 años + 0 meses + 11 días
Ejercicio: Precio de un bien con interés simple TIIE
¿Cuál es el precio de un televisor si se paga con un anticipo del 30% y un descuento a tres
meses con un valor nominal de $3,600.00 suponga que la tasa de interés es igual a la TIIE más 4
puntos porcentuales y que el día de la compra la TIIE fue del 19.8%?
Solución:
Recuerde que la tasa de interés interbancaria de equilibrio TIIE depende de las cotizaciones
que los bancos presentan al Banco Central y el Banco de México. Primero se encuentra el valor
presente de los $3,600 sustituyendo i = 0.198 + 0.04 = 0.238.
S = $3,600.00 el valor futuro del crédito, t =
3
12
o 0.25 años que es el plazo.
S = C ( 1 + it )
3,600 =C [ 1 + 0.238 (0.25) ]
3,600 =C ( 1.0595 )
C
3, 600
1.0595
C = 3,397.83
Puesto que el anticipo fue del 30%, el resultado corresponde al 70% del precio del televisor
y por eso:
( 0.70 ) precio = 3,397.83
Precio =
3, 397.83
0.70
Precio = $4,854.04
¿Qué produce más interés invertir al 24.76% simple anual o al 6.19% trimestral.
Son equivalentes
Se compra una computadora cuyo precio de contado es de $20,000.00 y se liquida con un
anticipo y otro pago a los 2 meses por $12,000.00 ¿de cuánto es el anticipo si se tienen cargos de
28.3% simple anual.
$8,540.51
¿Cuánto debe invertirse ahora en una cuenta bancaria con interés del 33.6% simple anual
para disponer de $4,200.00 dentro de 3 meses y de $7,800.00 dos meses después? Calcule los
intereses.
$10,716.64, interés $1,283.36
La exportadora Roebock and Co. ha realizado una importante operación de compraventa
por US $350,000.00 en donde le pagan en tres abonos iguales. El primero el día de la compra y los
otros dos a 30 y 60 días, ¿de cuánto es cada uno si se tienen cargos del 26.8% de interés simple
anual? ¿A cuánto ascienden los intereses?
US $119,234.27
b) US $7,702.81
Una de las características de la vida moderna es la rapidez con la que se cambian las cosas,
y el mundo de las finanzas no es la excepción. Es sorprendente ver cómo los sucesos nacionales e
internacionales influyen sobre manera en las tasas de intereses que ofrecen los bancos y otras
Instituciones que se dedican a la transferencia de capitales en todas sus formas. Basta con echar
vistazo a lo que sucede en el área de remates de La Bolsa Mexicana de Valores para darse cuenta de
ello, donde la cotización de las acciones y otros títulos de inversión cambian minuto a minuto
dependiendo básicamente de la oferta y de la demanda con la que se negocian.
Esta dinámica da lugar a que las inversiones a plazo fijo, los CETES por ejemplo, se
ofrezcan con periodos más cortos de lo que fueron en décadas pasadas. Los plazos ahora se evalúan
en días y no en meses u otras unidades como antes, en estas condiciones los cálculos operativos se
realizan por lo menos en cuatro formas distintas.
El interés simple exacto se calcula sobre la base de 365 días o 366 en caso de año bisiesto
(cada 4 años). El interés simple ordinario se calcula siempre en base de un año de 360 días. Esto
simplifica algunos cálculos aritméticos pero el deudor paga más de interés al acreedor.
El plazo se evalúa de dos maneras:


Con tiempo real o exacto, si se contabilizan los días naturales entre la fecha inicial y
terminal.
Con tiempo aproximado, si todos los meses son considerados de 30 días
Ejercicio:
El Sr. Jesús Martínez desea adquirir un préstamo en el banco de la ciudad, dicha institución
le está ofreciendo el plan de un crédito de interés simple con las dos opciones. El plan de interés
exacto y el plan de interés ordinario, en realidad no sabe cuál le beneficiaría a él. La cantidad que
requiere es de $45,000.00 a una a tasa de interés del 20% anual, dicho crédito lo quiere solicitar a
80 días. Investigue por cual crédito se interesará el Sr. Martínez.
Plan Interés simple exacto:
Para saber el tiempo que se va a utilizar en este plan debemos tomar los 365 días del año y
entonces obtendremos:
80
t  365
 0.2191780822
I = Cit
I = (45,000)(0.20)(0.2191780822)
I = $1,972.60
Plan Interés simple ordinario:
En este plan el tiempo que vamos a utilizar será de 360 días del año y así tendremos:
80
t  360
 0.222222222
I = Cit
I = (45,000) (0.20) (0.22222222)
I = $2,000.00
Si se hace la comparación de los dos planes encontraremos que para el Sr. Martínez el más
barato es el plan de interés exacto pues sólo pagara de interés la cantidad de $1,972.60.
Ejercicio: Monto con interés simple ordinario:
Utilizando un interés simple ordinario, obtenga el monto que se acumula si realizamos
operaciones a partir del 15 de marzo hasta el 15 de octubre del mismos año, depositando $15,000.00
en una cuenta que abona con la TIIE + 2.24 puntos porcentuales suponga que el TIIE es de 21.1%
anual.
Solución:
TIIE
marzo
30 – 25
5 días
21.1%
abril a septiembre
6(30) 180 días
2.24%
octubre
15 días
200 días
TOTAL
23.34%
S = C ( 1 + it )
S = 15,000 [ 1 + 0.2334
360 (200) ]
S = 15,000 ( 1.129666667)
S= $16,945.00
Ejercicio: Monto con interés simple exacto:
Utilizando un interés simple exacto y con tiempo real, obtenga el monto que se acumula si
realizamos operaciones a partir del 15 de marzo hasta el 15 de octubre del mismos año, depositando
$15,000.00 en una cuenta que abona con la TIIE + 2.24 puntos porcentuales suponga que el TIIE
es de 21.1% anual.
Solución:
marzo
abril
mayo
junio
julio
agosto
septiembre
octubre
TOTAL
31 – 25
15
6 días
30 días
31 días
30 días
31 días
31 días
30 días
15 días
204 días
S = ( 1 + it )
TIIE
21.1%
2.24%
23.34%
S = 15,000 [ 1 +
 0.2334
365  (204) ]
S = 15,000 (1.1304482182)
S = $16,956.72
Ejercicio: Tasa de descuento simple ordinario:
Una persona adquirió un préstamo en una institución bancaria la cantidad solicitada es de
$13,680.00 y firmo un documento con un valor nominal de $15,400.00, el crédito se lo dieron el día
9 de noviembre y lo deberá pagar el día 23 de abril del siguiente año el interés de simple ordinario.
No se sabe que tasa de interés le cobro el banco se necesita encontrarlo
Solución:
noviembre
diciembre a marzo
abril
Total
30 - 9
4 (30)
21 días
120 días
23 días
164 días
I=S–C
I = 15,400 – 13,680.00
I = 1,720.00
I=Cit
1,720 = (13,680) (i) (
)
1,720 = (13,680) (i) ( 45̅)
1,720 = (i) (6,232)
i =
27.59%
Ejercicio: Crédito mercantil descuento simple exacto
El 6 de octubre la Comercial Ferretera Central vende diversos materiales y le firman un
pagaré con un valor nominal de $31,750.00, con vencimiento al 6 de febrero del siguiente año a una
tasa de interés de 28.3% simple anual.
a).- ¿Cuál fue el monto del crédito?
b).- ¿Qué día se descuenta el documento en la cantidad de $29,625.00 en un banco que
opera con el 29.1% de descuento simple anual?
Solución:
a).- Los días que corresponden a este documento es de 120
S = C ( 1 + it )
31,750 = C [ 1 + ( 0.283 )
 120
365  ]
31,750 = C ( 1.093041096 )
C =
31,750
1.093041096
C = $29,047.4
b).S = C ( 1 + it )
29625 = 31,750 [ 1 – t ( 0.291 ) ]
29,625
31,750
- 1 = - t ( 0.291 )
0.066929134 = - t ( 0.291 )
t = 0.066929134
0.291
t = 0.229997 años
0.229997 x 12 = 2 meses
0.759964 x 30 = 22 días
o
0.229997 x 365 = 83 días
Existen varios tipos de documentos que son comerciales y están reconocidos por las Leyes
Mercantiles de México los principales son el pagare, la letra de cambio, los contratos convenidos
por los autores. En este caso nos interesará el pagare que es el más comúnmente utilizado en el
comercio y las Instituciones bancarias. Por qué esta reconocido pues la razón radica en que este
documento puede ser variable al aplicarle la tasa de interés ya que en la letra de cambio el único
interés autorizado por las Ley Mercantil es del 4% anual y este no varía además no tiene derecho a
intereses moratorios, sin embargo, el pagare si puede variar la tasa de interés y además se le puede
aplicar una tasa adicional como interés moratorio. También hay que tomar en cuenta que el pagare
es más comerciable y cobrable a la vista del portador. Pues hay que recordar por último que un
pagare es un reconocimiento escrito de una deuda determinada especificada en cantidad de dinero y
que el interesado firma para su buen cobro.
¿De que consta un pagare?
Los datos principales de un documento (pagare) son los siguientes:
a).- Lugar y fecha.
b).- Plazo, que es el tiempo determinado, para liquidar la deuda.
c).- Acreedor (es la persona a quien se le debe el dinero)
d).- Cantidad de dinero o valor nominal (en pesos, dólares, liras, etc.) antes de interés.
e).- Nombre y firma del deudor, quien lo suscribe.
f).- Fecha de vencimiento, es decir fecha límite para hacer el pago del pagare.
g).- Valor del vencimiento; si no se estipulan los intereses entonces el valor nominal
equivale al valor del vencimiento.
Su valor de vencimiento es
S = C + Cit
C ( 1 + it )
Ejercicio:
La Empresa SIEMENS Vendió un conmutador Gigaset 1041 con 8 líneas, una central y
además de un fax con un valor de $200,000.00 IVA incluido, ya instalado. El cliente firmo 3
documentos cada uno a un plazo de 30, 60 y 90 días a partir del 10 de octubre del presente año con
una tasa de interés del 25.5% anual. Se desea encontrar las fechas de vencimiento de cada
documento (pagare) así como el valor de cada uno de ellos.
10 de noviembre, 10 de diciembre, y 10 de enero del siguiente año.
S = C ( 1 + it )
S = 200,000 [ 1 + (25.5) ( 123 ) ]
S = 200,000 [ 1 + (0.255) (0.25) ]
S = 200,000 ( 1 + 0.06375 )
S = $212,750.00
Ejercicio:
Una persona compro en una mueblería una estufa, un refrigerador y un comedor estos tres
artículos tienen un valor de $10,250.00 más IVA, la mueblería se lo está vendiendo a crédito de la
siguiente forma 20% de enganche y el resto a 6 meses, ¿En cuánto le salió comprar estos artículos?
¿Qué valor tienen los 6 documentos que tiene que pagar? ¿Qué fecha de vencimiento tiene cada uno
de ellos si la compra la realizo el 14 de marzo de 2001 y se le aplica una tasa de interés del 30%?
Un contador va abrir su despacho y compra a crédito 4 escritorios 4, sillas secretariales
giratorias con sistema de respaldo con seguimiento, 12 sillas para recibidor, 4 credensas, 3
archiveros y un librero la compañía se lo vendió en $67,680.00 más IVA, el crédito se da de la
siguiente forma: pago inicial del 30% y el resto en 12 documentos iguales a un año. Se desea
conocer el valor y fecha de los 12 documentos que firmo dicho contador si se le aplica una tasa de
interés del 28%.
Cuando una persona firma un documento con su valor nominal y quiere pagar este pagare
antes de la fecha de su vencimiento es necesario que la empresa acreedora le descuente los intereses
del tiempo al que su cliente se adelantó a pagar.
S = C ( 1 + it )
C
S
1  it
Ejemplo:
El Consorcio Argos tiene una deuda con una Institución Bancaria que fue contraída con
anterioridad por la cantidad de $250,000.00 con interés incluido, a un tiempo establecido de un año
y medio a una tasa de interés del 15% anual. El consorcio quiere conocer su valor presente de este
documento a 8 meses antes de su vencimiento. ¿Cuánto cuesta este documento?
S = $250,000.00
t = 8 meses = 128 = 0.66666666
i = 15% = 0.15
C
S
1  it
, 000
C  1 ( 0.250
15)( 0.66666)
, 000
C  1250
0.0999999
C
250, 000
1.1
C = 227,272.73
El Consorcio Argos si es que desea pagar el documento 8 meses antes de su vencimiento y
deberá cubrir la cantidad de $227,272.73.
Ejercicio:
La empresa Manufacturera Minera Mexicana, S.A. Tiene una deuda con el Banco Central
de la Ciudad que fue contraída tiempo atrás. Lo contrataron de la siguiente forma: el capital es de
1‟766,500 con interés incluido fue contratado por un periodo de tiempo de 2 años a una tasa de
interés de 28% anual. Esta empresa desea pagar el crédito solicitado 6 meses antes de su
vencimiento, el contador de la empresa quiere conocer que cantidad de dinero tiene que pagar antes
de su vencimiento.
ECUACIONES DE VALOR
Hay casos en donde el deudor desea cambiar algunas obligaciones de pago por otras a fin de
beneficiarse, nos estamos refiriendo a lo que podemos llamar una reestructuración del crédito. Para
poder llevar a cabo este tipo de transacciones es necesario que el deudor (el que debe) y el acreedor
(al que le deben) Estén de acuerdo en hacer este tipo de cambios en las obligaciones de pago de la
siguiente forma:
a).- La tasa de interés que se utilizará en la reestructuración.
b).- La fecha de comparación de las obligaciones anteriores con las nuevas (fecha focal).
Aquí es necesario utilizar los conocimientos antes vistos, es decir, interés simple, valor
presente de una deuda, valor del vencimiento. En este tema y en muchos más es necesario
considerar una línea de tiempo; es una línea que incluye las fechas necesarias.
Ejemplo:
La empresa Master of Music Digital® adquirió un préstamo en tiempo pasado para adquirir
materia prima por la cantidad de $2,500.00 Dólares y se le vence dentro de 6 meses dicho crédito
originalmente fue contratado por 1.5 años con una tasa de interés del 30% anual y además, debe
otro préstamo a la misma institución bancaria de $850.00 Dólares y se vence dentro de 9 meses,
intereses incluidos. La empresa Master of Music Digital® desea reestructurar el crédito dando al
instante $1,500.00 Dólares y el resto a un pago único dentro de un año con un rendimiento del 39%
de interés anual. ¿Encontrar el valor del pago único? También se desea conocer a cuanto
corresponde en pesos mexicanos.
Lo primero que debemos conocer es el valor real o con intereses de los 2,500 Dólares.
S = C ( 1 + it )
S = 2,500 [ 1 + (0.30) (1.5) ]
S = 2,500 (1.45)
S = 3,625
Suma de las obligaciones originales en la fecha focal.


En el caso del primer crédito de los $3,625 nos falta de pagar 6 meses y para completar
el tiempo de la reestructuración a un año faltan otros 6 meses y en por ello como
tiempo tomaremos 0.5 que es lo que cubre el tiempo necesario para la reestructuración.
En el siguiente caso que es el segundo crédito por $850, nos falta por pagar 9 meses
pero para completar el año de la reestructuración a un año el tiempo faltante es de 3
meses (9 – 12).
3,625 [ 1 + (0.39) (0.5) ] + 850 [ 1 + (0.39) ( 123 ) ]
3,625 (1.195) + 850 (1.0975)
4,331.87 + 932.87
S = 5,264.74
La suma del pago de la nueva reestructuración tendremos:



Está compañía al tiempo de hacer la reestructuración, tomando en cuenta el tiempo de
los créditos en el que toma la decisión, al primer crédito le faltan 6 meses y al segundo
crédito le faltan 3 meses entonces tenemos que para cubrir el año solicitado pues le falta
otros 6 meses y por ello decimos que:
El capital que utilizaremos serán los 1,500 Dólares que va a pagar al tiempo de la
reestructuración y sobre ese capital haremos los movimientos para conocer el nuevo
valor del documento.
El interés que utilizaremos es el nuevo reestructurado que corresponde a 39% = 0.39
1,500 [ 1 + (0.39) (0.5) ]
S = 1,792.50
S = 5,264.74 - 1,792.50 = 3,472.24
La empresa Master of Music Digital ® deberá pagar hasta dentro de una año $3,472.24
Ejercicio:
La empresa Maquiladora Industrial Tangamanga, S.A.® tiene una deuda de $800.00
Dólares contratada a 15 meses a una tasa de interés del 28% anual y esta vence dentro de 4 meses
además tiene otra deuda con el mismo banco de $900.00 Dólares contratada a dos años con una tasa
de interés del 30% anual con vencimiento dentro de 17 meses. El administrador de esta empresa le
ofrece al Banco una reestructuración de los créditos mediante 3 pagos de la siguiente forma el
primero de inmediato el segundo a un año y el tercero a 24 meses. La institución bancaria le ofrece
un rendimiento del 36%. Calcular de cuánto debe ser cada pago ya que serán iguales
Deudas originales
15
S1  800[1  (0.28)( 12
)] = 800 (1.35) = $1,080.00
24
S2  900[1  (0.30)( 12
)] = 900 (1.60) = $1,440.00
a).- Comparado las obligaciones anteriores con la nueva reestructuración a la fecha focal.

En el primer crédito 24- 4 = 20

En el segundo crédito 24 – 17 = 7
20
1,080[ 1 + (0.36) ( 12
) ] + 1,440 [ 1 + (0.36) ( 127 ) ]
1,728.00 + 1,742.40
$3,470.40
Entre 3 pagos iguales
3, 470.40
3
= 1,156.80
1.- El Sr. Rosales invirtió un capital en el Banco Mexicano y quiere saber en qué tiempo su
capital que invirtió que era de $12,500.00 aumenta y se convierte en $17,000.00 La Institución
bancaria le está ofreciendo una inversión del 18.3% de interés simple.
2.- Un comerciante adquiere un lote de mercancía con valor de $634,270.00 que acuerda
liquidar haciendo un pago de inmediato de $115,000.00 y un pago al final de cuatro meses después:
Acepta pagar un 60% de interés simple sobre su saldo. ¿Cuánto deberá pagar dentro de cuatro
meses?
3.- Una persona participa en una “tanda” y le toca el decimoctavo mes para cobrar. Si de
18 meses recibirá $35,000.00 ¿Cuál es el valor actual de su tanda con un interés simple del 33%?
4.- La Sra. Franco no recuerda que capital invirtió en el Banco Mercantil Obrero, S.A. y lo
único que se acuerda es que fue a un plazo de 10 meses, a una tasa de interés simple del 24.3%,
cuando la Señora fue al banco a recoger su dinero le entregaron $12,589.00.
5.- Un individuo compró un automóvil nuevo por el cual pago $95,500.00 el primero de
enero, y lo vende el primero de junio del año siguiente en $130,000.00. Aparte del uso que ya le
dio, del seguro que pagó, y otros gastos que hizo, considerando sólo los valores de compra y venta,
¿Fue conveniente como inversión la operación realizada si la tasa de interés del mercado era del
65%.
6.- El Sr. Martínez desea adquirir mercancía para la refaccionaría que él tiene la empresa
que le vende (proveedor) le ofrece la mercancía a interés simple exacto y ordinario es cuestión que
el señor Martínez se decida por cuál de los dos quiere la operación la cantidad solicitada en
mercancía es de $355,000.00 a una tasa de interés del 29% la compra se hace el 21 de febrero y el
pago se realizará el 31 de octubre del mismo año ¿Cuál inversión le conviene al Sr. Martínez?
7.- El Sr. Torres desea saber qué cantidad de dinero se necesita invertir, pues el Banco
Mercantil le está ofreciendo un rendimiento del 25% anual de interés simple y quiere depositarla a
un plazo de 6 meses, la cantidad que quiere obtener es $14,000.00
8.- El Sr. Ochoa pidió un préstamo al Banco Central por $19,500.00 a un plazo de 10
meses con una tasa de interés simple del 22% firmando los documentos el día 13 de febrero de 1999
y desea liquidarlo 6 meses antes de su vencimiento, ¿A cuánto asciende el documento original?
¿Cuánto va a pagar liquidando antes de su vencimiento?
9.- La Compañía Consumibles para Computadoras, S.A.®, tiene un adeudo con el Banco
del Norte, debe $50,000.00 con un vencimiento a 3 meses, $24,000.00 con vencimiento a 6 meses y
$13,500.00 a 9 meses, el interés está ya incluido, quiere reestructurar su deuda de la siguiente
manera dos pagos iguales un con vencimiento a los 6 meses y el otro a un plazo de 12 meses:
Determinar el importe de cada uno de los nuevos documentos si se sabe que el Banco del Norte le
ofrece un rendimiento para la reestructuración del 35%.
10.- La Compañía Millenium ® Compra artículos por la cantidad de $55,000.00 y le
ofrecen hacer tres pagos iguales uno en 2 meses, el siguiente en 4 meses y el último a 6 meses, la
empresa que se los vendió le otorgo crédito pagando al momento el 25% del valor de la mercancía y
la tasa de interés que le aplica es del 35% anual. Diga usted a cuánto asciende cada documento.
Cuando se otorga un crédito bancario, las operaciones se acostumbran en algunas ocasiones
cobrar el interés en el momento que se efectúa el préstamo. Cobrar los intereses por adelantado, en
lugar de cobrarlo hasta la fecha de vencimiento, esto se llama descuento bancario, descuento
comercial o simplemente descuento.
Al interés cobrado anticipadamente se le llama descuento y la cantidad de dinero que recibe
el solicitante del préstamo, una vez descontados los intereses se llama valor efectivo.
Ejemplo: Un comerciante solicita al banco un préstamo quirografario1 por la cantidad de
$10,00.00 a 2 meses de plazo y los intereses se cobrarán por adelantado, si la tasa de interés, es del
3% mensual, el interés anticipado o descuento a cobrar en el momento de recibir el préstamo es:
Interés anticipado = descuento = I = Cit. = (10,000) (0.03) (2) = $600.00
El valor efectivo o cantidad recibida por el solicitante será de:
Valor efectivo = 10,000.00 – 600 = $9,400.00
El comerciante que solicito el préstamo recibe en realidad $9,400.00 en lugar de los
$10,000.00, pero al cabo de los 2 meses tendrá que pagar al banco los $10,000.00 solicitados que
nunca se reciben, se convierten en el monto a pagar.
Ejercicio:
Un empresario solicita un préstamo quirografario al banco central por la cantidad de
$118,000.00 a un plazo de 90 días, siendo aplicada una tasa de interés del 27% anual siendo esta
una tasa de descuento. Calcular a cuento asciende el descuento y cuál es el valor de efectivo.
1
Se trata de un crédito otorgado por una Institución Bancaria a un cliente, quien se obliga mediante un
pagaré, a devolver la cantidad solicitada a la fecha de vencimiento. Este tipo de crédito se llama quirografario
debido a que no requiere garantía ya que el préstamo se respalda solamente con la firma del cliente, aunque
puede ser también con aval. Los plazos que se conceden normalmente son de 30, 60 y 90 días.
El descuento se calcula mediante la siguiente formula.
𝐼 = 118
(
27
) 9
= $ 7,965.00
El valor efectivo será
VE = 118,000 – 7,965.00 = $110,035.00
Resumiendo: El empresario pide un préstamo bancario por $118,000.00 a un plazo de 90
días. Como el préstamo se realiza a descuento, el empresario paga de manera anticipada los
intereses por la cantidad de $7,965.00 y recibe solamente $110,035.00 el empresario firmo un
documento en el banco por la cantidad de $118,000.00 a un tiempo de 90 días.
Préstamo con descuento
El solicitante recibe
Intereses pagados
El solicitante liquida
Préstamo con intereses
$110,035.00
7,965.00
$118,000.00
$118,000.00
7,965.00
$125,965.00
La práctica del descuento, además de permitir al banco disponer de inmediato del dinero
correspondiente a los intereses, hace que la tasa de interés que se está pagando por el préstamo sea
mayor que la indicada. Esta tasa de interés recibe el nombre de tasa de rendimiento.
Ejercicio:
Un distribuidor de pinturas no cuenta con dinero para comprar un lote de mercancía del
próximo mes y solicita al banco un crédito quirografario por la cantidad de $90,000.00, el banco le
está ofreciendo un rendimiento del 28.27 anual el plazo solicitado es de 60 días se necesita conocer
la cantidad que recibirá:
𝐼 = 𝐶𝑖𝑡
r = I = 90,000 (
2827
) 6
r = I = 90,000 (0.000078527) (60)
r = I = 4,240.05
89,575.95
Hacerlo en forma al revés.
Ejercicio: Un banco está cobrando la cantidad de $445 de descuento al Sr. Martínez por un
préstamo que solicito a un mes de plazo como crédito quirografario. Si la tasa de descuento es del
30% anual.
a).- ¿Cuánto debe pagar al vencimiento?
b).- ¿Cuánto recibe el Sr. Martínez?
c).- ¿Cuál es la tasa de rendimiento?
a).- Despejando el Monto de la ecuación se tiene
𝑆=
𝐼
445
445
=
=
= $17 8
𝑖𝑡
25
* 2+ 1
b).- Se calcula el valor efectivo.
VE = S – D = 17,800 – 445 = $ 17,355
c).- 𝑟 =
7 8 ; 7 55
7 55
=
25641 25
r = 2.5641025% mensual
i = 30.76923% anual
Ejercicio:
¿Qué cantidad deberá solicitar un cliente al Banco si este tiene la necesidad de recibir la
cantidad de $80,000 pagar en 90 días, si la tasa de descuento es del 30% anual.
Solución
Conociendo el tiempo (12 semanas que es igual a 84 días), la tasa de descuento y valor
efectivo ($80,000) y se pregunta por el monto a solicitar, tenemos:
𝑆=
𝑀
8
=
1 − 𝑖𝑡
1−(
= $86 486 48
) 9
Un empresario solicita un préstamo quirografario por una determinada cantidad de dinero.
Si el plazo es a dos meses y la tasa de descuento es del 35% ¿Cuál es la tasa de rendimiento?
𝑟=
0 35
)
12
0 35
;( 12 )
(
2
= 0.030973451 por mes
R = 3.0973451% mensual = 37.1691% anual
Otra forma de resolver el problema, es:
𝑟=
35
1−(
5
)
2
2
r = 0.371681 por año
37.1681% anual
Cuando una persona o institución compra un pagaré a la fecha de vencimiento, es común
que el comprador aplique una tasa de descuento sobre el valor de vencimiento del documento, y
esto es por el tiempo que falta para que el pagaré venza. Esta acción recibe el nombre de Descuento
de un pagaré.
El descontar un pagaré equivale a un préstamo igual al valor de vencimiento de documento
que el banco u otra persona física o moral, concede al propietario del mismo, aceptando como
garantía el pagaré.
Un pagaré se puede descontar una o dos veces antes de la fecha de vencimiento, y cada
comprador descuenta el pagaré por el tiempo que falta para su vencimiento.
Por lo general, la tasa de interés aplicada en el préstamo original y la tasa de descuento
aplicada al venderlo no son iguales.
A esto se le llama valor efectivo del pagaré a la cantidad que resulta después de restar el
documento del valor de vencimiento. El valor efectivo de un pagaré es el valor que este tiene en la
fecha en que se descontó.
Ejercicio:
El 14 de Mayo, la empresa Plásticos y derivados, S.A. vende diversos productos a un
comerciante por el valor de $105,475, con interés incluido. El comerciante firma un documento con
vencimiento para el próximo 14 de julio del mismo año con una tasa de interés del 24.36% anual, si
el 25 de junio la empresa plásticos y derivados descuenta el pagaré en el Banco ¿Qué cantidad
recibe sabiendo que la tasa de descuento es del 27% anual y se toma mediante:
a).- Descuento racional2
b).- Descuento bancario3
En primer lugar se obtiene el valor de vencimiento del pagare, ya que el descuento se lleva
a cabo sobre dicho valor.
2436
36
𝑀 = 1 5 475 1
6
$109,757.28
Valor del vencimiento
105,475
109,757.28
14 mayo
25 junio
VE
14 agosto
Donde VE el Valor de Efectivo o cantidad que recibe la empresa por el documento.
a).- Si el documento se descuenta mediante descuento racional, el valor efectivos el valor
presente del documento 50 días antes del vencimiento.
=
1 9 757 28
1
(
27
) 19
= $1 8 215 21
2
Los intereses se calculan sobre el valor efectivo, empleando una tasa de interés efectiva, a fin de capitalizar
la operación. Así pues, a partir de la capitalización simple se despeja el capital inicial, para posteriormente por
diferencias determinar el descuento racional.
3
El descuento bancario es el interés calculado sobre el valor nominal de un título de valor (pagaré), importe a
deducir del monto del documento para encontrar su valor líquido, el cual se representa como el valor
verdadero importe financiado, la tasa de interés aplicada es conocida como tasa adelantada o tasa de
descuento
b).- Si el documento se descuenta mediante descuento bancario, el valor efectivo se obtiene
mediante la siguiente forma:
= 1 9 757 28 1 −
27
36
19
= $1 8 193 23
Como se puede ver, el valor efectivo mediante descuento bancario es menor que el valor
efectivo mediante descuento racional.
Ejercicio:
Una casa que está hipotecada en una Institución Bancaria por el valor de $275,000.00 al
vencimiento, suponiendo que el rendimiento de descuento que ofreció el banco es del 25% de
interés simple, a un tiempo de 6 meses ¿cuál es el descuento real que se aplicará a la hipoteca?
Primero necesitamos encontrar el valor presente que corresponde a los 6 meses que se va a
pagar antes de su vencimiento.
C = ?
S = 275,000
i = 25% = 0.25
t = 6/12 = 0.5
C  1sit
C
275,000
1  (0.25)(0.5)
C
275,000
1.125
C = $244,444.44
Utilizando el descuento
Dr = S – C 275,000 - 244,444.44
Dr = $30,555.56
D = Sdt
El valor presente de S es dado por:
C =S–D = S - Sdt
S ( 1 – dt )
Se desea conocer el Descuento comercial o descuento a una tasa de descuento de una casa
hipotecada con valor de $275,000.00 cuyo vencimiento es dentro de los próximos 6 meses el
banco nos ofrece una tasa de descuento del 25%. ¿Encontrar el valor presente de la hipoteca?
S = 275,000
i = 25% = 0.25
t = 6/12 = 0.5
D = Sdt
D = 275,000 (0.25) (0.5)
D = 34,375
C = S–D
C = 275,000 - 34,375
C = 240,625
Ejercicio:
Una persona adquirió una lavadora en Mueble ahorro, y firmo un documento a 12 meses
por la cantidad de $2,500.00, esta persona quiere liquidar su documento faltando 4 meses para su
vencimiento y el centro comercial Mueble ahorro le ofrece una tasa de descuento del 18% ¿Cuánto
tiene que pagar? Utilice el descuento real o descuento simple a una tasa de interés.
Ejercicio:
Un comerciante remodelo su negocio, dicha remodelación le costó $34,500.00. Y para esto
firmo un documento a 18 meses con interés incluido, como el negocio marcha bien pagará dicho
documento 6 meses antes de su vencimiento, la empresa que le remodelo el negocio le ofrece un
descuento comercial o descuento simple a una tasa de descuento del 35%, ¿A cuánto asciende el
documento al momento de pagarlo.
Ejercicio:
Una fábrica de muebles “Muebles y similares” adquirió madera para la fabricación de más
muebles, el costo de la madera (materia prima) es de $220,000.00 con interés incluido, la forma de
pago fue de 35% del costo como enganche y el resto firmar un pagare a un plazo de 12 meses. La
fábrica de muebles obtuvo un contrato de venta y por ello recupero el costo de la materia prima, y
toma la decisión de liquidar el pagare que tiene pendiente con su proveedor, el tiempo que falta para
su vencimiento es de 4 meses. El proveedor debido a su pronto pago le otorga un descuento del
26%, ¿Cuánto tiene que pagar por dicho documento.
DESCUENTO DE PAGARES
Un pagare como es sabido es un documento comercial y es por ello que es el más aceptado
en los negocios y por las Instituciones bancarias además de las Leyes mercantiles que rigen en
nuestro país, es por eso que este documento puede venderse en varias ocasiones siempre y cuando
no llegue a su fecha de vencimiento, cuando es vendido un pagare se le aplica un interés al
comprarlo y por ello el tenedor del pagare no recibe el total nominal de dicho documento.
Ejercicio:
Una agencia de automóviles cada que vende un auto a crédito al cliente le hace firmar
documentos por el valor del auto y para poder tener capital los documentos los descuenta en el
banco de la ciudad. El día de hoy vendió una camioneta y los documentos que firmó el cliente
tienen un valor de $95,000.00 con un interés del 24%, el plazo que le dio al cliente fue de 18
meses. El dueño de la agencia se decide a llevar los documentos al banco para descontarlos faltando
únicamente 12 meses para su vencimiento, el banco le acepta los documentos aplicando un
rendimiento de descuento del 35%, a cuánto asciende el descuento.
Valor del vencimiento = C + C i t
18
S = 95,000 + 95,000 (0.24) ( 12
)
S = 95,000 + 34,200
S = 129,200
Este valor de 129,200 entre los 18 meses es igual a $7,177.77 cada documento
Como únicamente se descontarán 12 documentos el valor a descontar será de $86,133.33
Valor de los documentos descontados C - C i t
S = 86,133.33 - 86,133.33 (0.35) (1.0)
S = 86,133.33 – 30,146.66
S = 55,986.67
El banco solamente le dará $55,986.67 por sus documentos al dueño de la agencia de autos.
Ejercicio:
La empresa Recubrimientos Anticorrosivos, S.A. vendió recubrimientos por valor de
$265,780.00 a crédito y la empresa le aplicó al crédito un 33% de interés a un plazo de 8 meses, la
empresa de Recubrimientos Anticorrosivos quiere descontar el documento que le faltan 5meses para
su vencimiento. El banco le ofrece una tasa del 42% ¿Cuál es el precio de dichos descuentos?
Valor del vencimiento:
S = C(1+it)
S = 265,780 [ 1 + (0.33)( 128 ) ]
S = 265,780 [ 1.22 ]
S = 324,251.60
Periodo de descuento
D = Sdt
D = 324,251.60 (0.42) ( 125 )
D = 324,251.66 (0.175)
D = 56,744.04
Precio de la venta del pagare
C = S - D
C = 324,251-60 - 56,744.04
C = 267,507.56
Ejercicio:
La empresa Azulejos y Plomería del Golfo descontó en un banco un pagare cuyo valor
nominal es de $166,666.67 ya con interés incluido el vencimiento de dicho documento es a 7
meses, el banco le ofreció un rendimiento del 38%, ¿Qué valor tiene este documento?
Una compañía de productos ópticos realizó una venta en la plaza San Luis por la cantidad
de $345,790.00 y fue a crédito con un rendimiento del 35% a un plazo de 18 meses, esta empresa
descontó en el banco dicho documento 12 meses antes de su vencimiento y le ofrecen u
rendimiento del 41% ¿Qué valor tiene ahora ese documento?
Se desea descontar un documento en el banco cuyo valor nominal es de $15,000.00 y le
faltan 10 meses para su vencimiento. El banco ofrece un rendimiento del 28%. ¿Cuál es el valor de
dicho documento?
1.- El gerente de una empresa de venta de materiales para construcción solicita un préstamo
al banco por $5,400 a dos meses (60 días) de plazo, y le otorga el banco una tasa de descuento del
33% anual. Calcular el descuento y el valor efectivo.
2.- Obtenga el descuento y el valor efectivo de $9,200 (dólares) con vencimiento dentro de
120 días con una tasa de descuento de 8% anual.
3.- Un fabricante de ropa solicita un préstamo al banco por la cantidad de $258,700 el día
19 de abril. El préstamo de descontó al 2.61% mensual y se tiene que liquidar el 15 de junio. ¿Qué
cantidad recibió el fabricante? ¿Qué cantidad tiene que pagar a la fecha de vencimiento?
4.- El director de una escuela solicito un préstamo por la cantidad de $36,000 a 45 días de
plazo, la tasa de descuento es del 3.2% mensual, para la compra de un equipo de proyección de
video.
a).- Si el equipo cuesta $30,600 más 16% de IVA, ¿tendrá suficiente para pagar el
producto?
b).- ¿Cuánto se necesita pedir con el fin de obtener la cantidad exacta para comprar el
equipo?
5.- Un estudiante pide un préstamo por $4,600 a 100 días de plazo y recibe únicamente
$4,140. ¿Cuál fue la tasa de descuento? Utilice el año comercial.
6.- Una ama de casa firma un pagare por la cantidad de $6,320 a 3 meses de plazo y recibe
un valor efectivo de $5,925. ¿Cuál fue la tasa de descuento que se le aplico? ¿Cuál es la tasa de
rendimiento?
7.- Se carga un descuento de $858 por un préstamo bancario a 2 meses. Si la tasa de
descuento es del 3% mensual. ¿Cuánto se debe liquidar a la fecha de vencimiento? ¿Qué cantidad
recibe el solicitante?
8.- Calcule la fecha de vencimiento de un documento que se descuenta el 3 de mayo a una
tasa de descuento del 34.77% anual el valor efectivo es de $11,698.66 y el valor de vencimiento es
de $12,000
9.- ¿Qué tasa de rendimiento obtiene una empresa de factoraje financiero que utiliza una
tasa de descuento del 31% en todas sus operaciones de descuento a 45 días de plazo?
10.- ¿Cuánto recibe un Gerente de una juguetería por un pagare con valor de vencimiento
por $17,000 que descuenta en un banco un mes y medio antes de su vencimiento, si se le aplica una
tasa de descuento del 3.11% mensual? ¿Qué tasa de descuento gano el banco?
11.- ¿Qué cantidad deberá solicitar una persona en un préstamo pues necesita $22,000
dólares. A pagar en 3 meses, si hace una solicitud en un banco que le aplica una tasa de descuento
del 0.67% mensual.
12.- Un estudiante necesita $10,795 el día 7 de marzo y reintegra el dinero el día 30 de abril
del mismo año que préstamo debe solicitar al banco si la tasa de descuento es del 24%.
13.- ¿Con qué tasa de descuento se negocia un pagaré el 22 de junio si vence el 4 de agosto
y tiene un valor de vencimiento de $24,750 y el descuento fue de $827.75? ¿Cuál fue la tasa de
rendimiento?
14.- La empresa fumigadora la hormiga, S.A. solicita un préstamo quirografario a 3 meses
de plazo. Si la tasa de descuento fue del 23.8% ¿Cuál fue la tasa de rendimiento para el banco?
15.- Un comerciante descuenta dos pagarés en el banco donde tiene cuenta de cheques.
Uno de los documentos tiene un valor de vencimiento de $28,400 y vende dentro de 13 días, el otro
tiene un valor de vencimiento de $31,375 y vence dentro de 28 días. Si el banco aplica una tasa de
descuento del 32% encuentre la cantidad total del dinero que recibirá el comerciante.
16.- Hace 20 días se firmó un pagaré con un valor de vencimiento por $8,430 y 30 días de
plazo. Si hoy se descuenta en el banco a una tasa de descuento del 37.8% ¿Qué cantidad de dinero
recibe? ¿Qué cantidad se descontó? ¿Cuál es la tasa de rendimiento?
17.- ¿Cuál es el valor de vencimiento de un pagaré que se descuenta al 7.29% trimestral, 37
días antes del vencimiento, si el valor efectivo es de $18,664.45?
18.- Calcule en qué fecha se descontó un pagaré con valor de vencimiento por $13,455 y su
fecha de vencimiento 19 de noviembre, si se recibieron $13,141, y la tasa de descuento fue del 15%
semestral.
19.- Un conjunto musical compra u n órgano electrónico dando un pago inicial de $5,000 y
el resto $23,450, deberá pagarlo en 60 días a una tasa de interés del 21.9% anual. Se firmó un
pagaré y el dueño del negocio lo descuenta al día siguiente en su banco, al 24.4% ¿Qué cantidad de
dinero obtiene el gerente del negocio? ¿Qué tasa de rendimiento obtiene el banco?
20.- ¿Cuál es valor de vencimiento de un pagaré que queda en poder del banco, si el
prestatario recibe un valor efectivo de $35,474.90? el plazo es de 45 días, y la tasa de descuento es
del 27.16% y se cobra una comisión del 2.5% sobre el valor de vencimiento.
21.- Se desea descontar un pagaré con valor de vencimiento de $5,250 dólares cuando aún
falta 40 días para su vencimiento, bajo las siguientes condiciones:
a).- Tasa de descuento: 14% anual.
b).- Comisión 3 % (mínimo 5 dólares)
c).- Otros gastos 10 dólares.
Calcule el valor.
22.- Una persona dedicada a la construcción transfirió un pagaré a un banco, el documento
tiene un valor de $68,000 y vence dentro de 2 meses. Si el banco tiene una tasa de rendimiento del
25% anual, obtenga la tasa de descuento y el valor efectivo recibido por esta persona.
23.- El 15 de noviembre una empresa vinícola vende mercancía a crédito por la cantidad de
$110,000 con una tasa de interés del 22% anual el compromiso se formaliza mediante un pagaré que
vence el 14 de enero del siguiente año, pero el 20 de diciembre de descuenta en el banco recibiendo
$111,230 por el documento. Si el banco cobra una comisión del 1% sobre el valor de vencimiento,
obtener:
a).- El valor de vencimiento del pagaré.
b).- La tasa de descuento.
Muchas deudas se liquidan mediante un pago único a la fecha de su vencimiento sin
embargo, es común que los créditos se contraten para pagarlos mediante abonos o pagos parciales.
En este caso se dice que el préstamo se amortiza.
Amortizar; Significa saldar una deuda y sus intereses mediante pagos parciales o abonos,
los cuales pueden ser iguales o diferente. En la mayoría de las operaciones a crédito se acostumbra
saldar deudas mediante abonos de igual cuantía, de manera que incluya el capital e intereses y
realizados a intervalo de tiempo iguales para que esto sea así basta dividir el monto entre el número
de pagos es decir:
=
La amortización de una deuda puede llevarse a cabo utilizando interés simple o compuesto.
La amortización con interés simple se lleva de dos maneras
 Con interés global
 Con interés Saldos insolutos.
Este tipo de amortización los intereses se calculan sobre el total de la deuda sin tomar en cuenta
los pagos parciales efectuados
Ejemplo:
El Sr. Medina compra un refrigerador a crédito, cuyo precio de contado es de $ 6,000.00,
más IVA y tine que dar un enganche de 25%, las siguientes condiciones del crédito son: La tasa de
interés global es del 39.84%, y realizará 6 pagos, los abonos serán mensualidades iguales en
cantidad, calcule en valor del abono mensual.
OPERACIONES
SALDO
Capital + impuesto
6,000 (1.16) =
6,960
6,960 (0.25) Enganche 25%
5,220
98
Interés
39.84% = 2 = 0.0332
= 5 22
Pago mensual
1
3984
12
= 5 22 [1
992]
= 5 22 [1 1992]
6 259 84
6
6
6,259.84
1,043.30
La Ley Federal de Protección al Consumidor prohíbe el uso de interés global en
todas las operaciones a crédito. El Artículo 69 de dicha ley que dice textualmente:
“Los pagos se causarán exclusivamente sobre los saldos insolutos del crédito concedido y
su pago no podrá ser exigido por adelantado, sino únicamente por periodos vencidos”
Este método se calcula el cargo financiero se conoce en Estados Unidos como Addoninterestmethod.
Son dos las razones por las cuales se prohíbe el uso del interés global:
e Es una regla injusta ya que no bonifica intereses a los abonos efectuados.
e La tasa de interés en realidad es superior a la tasa mencionada.
Los pagos hay que separarlos de los intereses $1,043.30 de capital son $870.00
Así tenemos $870.00 por 6 meses nos da $5,220.00.
Entonces pagamos mensualmente $870.00 de capital y $173.30 de interés.
Cada mes de realizado un pago, la deuda se deduce $870.00 pero el deudor sigue pagando
los mismos intereses; esto hace que la tasa de interés no sea en realidad del 39.84% sino que
aumenta cada mes; por ejemplo después de 4 abonos el capital de la deuda se reduce a $1,740 y el
interés sigue siendo de $173.30, por lo tanto, la tasa de interés aplicable al quinto mes es:
=
1
12 =119.51%
Al momento del último pago, el deudor para un interés de $173.30 sobre una deuda de
$1,740.00 y solamente el primer mes pago un interés justo de 39.84%.
¿Qué son las UDIs en un crédito hipotecario?
Las Udis son una “especie” de moneda, cuyo valor en pesos es determinado diariamente por
el Banco de México, con base al Índice Nacional de Precios al Consumidor es decir la inflación o
incremento en el costo de la vida para los consumidores.
Las UDIs fueron creadas el 1 de abril de 1995, para contrarrestar los efectos de la
problemática, que surgió por el “error de diciembre de 1994” que disparo las tasas de intereses por
encima del 100%.
Como tu deuda está en UDIs que se actualizan diario, y para pagar la mensualidad de tu
hipoteca, tienes que pagar las UDIs a pesos, ¿ADIVINA QUÉ? Diario debes más pesos por que las
UDIs “cuestan más”
¿Crees que porque pagas tu mensualidad a tiempo estas pagando tu deuda? ERROR porque
tu crédito está en UDIs. Es a 20 o 30 años y entre más largo el plazo menos capital pagas en tu
mensualidad, casi no pagas capital a pesar de pagar puntualmente.
Ejercicio demostrativo:
Un cliente que tiene un crédito hipotecario en UDIs, contratado en octubre del 2006 a 25
años, es decir hace 7 años, observa lo que pasa al pasar las UDIs en pesos. Es importante mencionar
que el efecto es similar en caso de una hipoteca actual, sea en pesos y tenga una tasa de interés
superior al 12%.
Deuda
original
Octubre 2006
1’000,000
Valor UDIs
Valor actual Deuda actual
31-oct-2013
Octubre 2006
UDIs
Pesos
3.733425
4.987942
1‟170,000
Total pagado en 84 mensualidades
Observemos si la primera mensualidad era de
2
7
25
Mensualidad Mensualidad
original
actual
Pesos no fija
Pesos no fija
11,200
14,963.47
$940,000
= 2,999.930359 UDIs
Pero las UDIS al 31 de octubre de 2013 tenemos 2,999.930359 a 4.987942 =debes pagar
$14,963.47
En lugar de pagar el 17% del crédito hipotecario, estas pagando ahora el 22%
Si la palabra Insoluto significa lo no pagado, entonces los intereses cobrados sobre el saldo
insoluto significa el interés calculado en una deuda sobre el saldo que queda por pagar cada vez que
se realiza el abono.
Ejercicio:
El Sr. Pérez compra una lavadora a crédito, cuyo precio de contado es de $6,000.00, bajo
las siguientes condiciones de pago; interés del 39.84% a 6 meses dando abonos mensuales de igual
cantidad. Calcular el interés sobre saldos insolutos.
Solución:
El problema se resuelve de dos formas, en primer lugar se resolverá desarrollando una tabla
de amortización la cual muestra la evolución de la deuda, periodo a periodo.
A este método se le conoce como “interés sobre saldo deudor”
En este momento es necesario mencionar la diferencia que existe entre abono y
amortización. Amortizar significa liquidar el capital mediante una serie de pagos, generalmente
iguales, mientras que el abono es la suma de la amortización, más el interés generado en el
periodo, por lo anterior, la amortización es parte del abono que reduce el capital de la deuda. Y se
simboliza mediante la letra “A”
=
=
6
6
= $1
Los intereses mensuales se deben calcular sobre la parte no pagada del capital (saldo
insoluto) que va quedando después de cada amortización desde el inicio del crédito hasta el final
del primer mes, el saldo insoluto es de $6,000. Por lo tanto, el interés a pagar la primera
amortización será:
= 6
3984
1 = 199 2
12
Al final del primer mes tendrá que pagar $1,000 de amortización más $199.20 de interés; es
decir se tendrá que dar un abono de $ 1,199.20.
El saldo insoluto al inicio del segundo mes es de $6,000 - $1,000 = $5,000 el interés a
pagar en el segundo mes será:
= 5
3984
1 = 166
12
El segundo abono será de $1,000 + $ 166.00 = $ 1,166.00
Al pagar el segundo abono el saldo insoluto es de $ 5,000 - $ 1,000 = $ 4,000 el interés a
pagar al final del tercer mes es:
= 4
3984
1 = 132 8
12
El tercer abono será de: $1,000 + $ 132.80 = $ 1,132.80. Continuando de esta manera, es
posible elaborar la siguiente tabla de amortización:
Mes
Amortización
Interés
Abono
0
1
2
3
4
5
6
Total
$ 1,000
$ 1,000
$ 1,000
$ 1,000
$ 1,000
$ 1,000
$ 6,000
$ 199.20
$ 166.00
$ 132.80
$ 99.60
$ 66.40
$ 33.20
$ 697.20
$ 1,199.20
$ 1,166.00
$ 1,132.80
$ 1,099.60
$ 1,066.40
$ 1,033.20
$ 6,697.20
Saldo
insoluto
$ 6,000
$ 5,000
$ 4,000
$ 3,000
$ 2,000
$ 1,000
$
0
El precio total pagado del crédito es de $ 6,697.20 de los cuales $6,000 corresponden al
capital y $697.20 a los intereses. Como se observa, el interés cobrado sobre saldos insolutos es
menor que el cobrado mediante el interés global. También se observa que el abono es cada vez
menor, debido a los intereses van decreciendo cada mes a mes.
Es práctica común que el abono igual cada mes. En este caso, el abono mensual constante
es:
=
=$
Otra Forma más sencilla para obtener este mismo resultado es utilizando
la siguiente fórmula:
𝟏− 𝟏 𝒊
𝑨=𝑹
𝒊
;𝒏
Utilizando los mismos datos del ejercicio anterior tenemos:
𝟔 𝟎𝟎𝟎 = 𝑹
𝟏− 𝟏
𝟑𝟗 𝟖𝟒% ;𝟔
𝟏𝟐
𝟑𝟗 𝟖𝟒%
𝟏 − 𝟏 𝟎 𝟎𝟑𝟑𝟐
𝟔 𝟎𝟎𝟎 = 𝑹
𝟎 𝟎𝟑𝟑𝟐
𝟔 𝟎𝟎𝟎 = 𝑹
𝟏 − 𝟎 𝟖𝟐𝟐𝟎𝟒𝟏𝟐𝟓𝟕
𝟎 𝟎𝟑𝟑𝟐
𝟔 𝟎𝟎𝟎 = 𝑹
𝑹=
;𝟔
𝟎 𝟏𝟕𝟕𝟗𝟓𝟖𝟕𝟒𝟐
𝟎 𝟎𝟑𝟑𝟐
𝟔 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟎 𝟎𝟑𝟑𝟐
𝟎 𝟏𝟕𝟕𝟗𝟓𝟖𝟕𝟒𝟐
R = $ 1,119.36
Ahora construiremos la tabla
Fecha
Al momento de
La operación
Fin del 1er. mes
Fin del 2do. mes
Fin del 3er. mes
Fin del 4to. mes
Fin del 5to. Mes
Fin del 6to. mes
Totales
Pago
mensual
39.84% interés
Saldo insoluto
Amortización
(Capital)
Saldo
$ 6,000.00
$ 1,119.36
$ 1,119.36
$ 1,119.36
$ 1,119.36
$ 1,119.36
$ 1,119.36
$ 6,716.16
199.20
168.65
137.09
104.48
70.78
35.96
716.16
920.16
950.71
982.27
1,014.88
1,048.58
1,083.40
6,000.00
5,079.84
4,129.13
3,146.86
2,131.98
1,083.40
=0=
Ejercicio:
Implementos agrícolas, S.A. vende un tractor cuyo precio de contado de $ 525,000 bajo las
siguientes condiciones: Dar un enganche de 25% del precio de contado y el resto a pagar en 72
abonos quincenales iguales en cantidad a una tasa de interés simple del 40% sobre saldos insolutos.
Calcule el importe del abono quincenal.
Solución:
El valor de la deuda es el precio de contado menos el enganche. Esto es
$ 525,000 – 25%
$ 525,000 – 131,250 = $ 393,750
𝑨=𝑹
𝟏− 𝟏 𝒊
𝒊
𝟑𝟗𝟑 𝟕𝟓𝟎 = 𝑹
𝟑𝟗𝟑 𝟕𝟓𝟎 = 𝑹
𝟏− 𝟏
R=
𝟒𝟎% ;𝟕𝟐
𝟐𝟒
𝟎 𝟎𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔
𝟏− 𝟏
𝟑𝟗𝟑 𝟕𝟓𝟎 = 𝑹
;𝒏
𝟎 𝟎𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
𝟎 𝟎𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
𝟎 𝟔𝟗𝟓𝟖𝟏𝟐𝟏𝟏𝟗
𝟎 𝟎𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
𝟑𝟗𝟑 𝟕𝟓𝟎 ∙ 𝟎 𝟎𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
𝟎 𝟔𝟗𝟓𝟖𝟏𝟐𝟏𝟏𝟗
$ 9,431.42
;𝟕𝟐
Ejercicio:
Se obtiene un préstamo en el Banco Central por la cantidad de $36,000 que se pagarán en
pagos iguales los próximos 10 meses, sobre una tasa de interés del 18% sobre saldos insolutos.
Calcular la cantidad a pagar y construya la tabla de amortización
1− 1
=
36
36
=
8
=
18⁄
12
18⁄
12
27 8
5
8 27 8
Interés
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Pago
mensual
=o=
3,903.63
3,903.63
3,903.63
3,903.63
3,903.63
3,903.63
3,903.63
3,903.63
3,903.63
4,163.13
SUMA
39,036.30
;
=
5
=
Mes
1− 1
;
∙
8
5
27 8
= $ 3,903.63
=o=
540.00
489.54
438.33
386.35
333.59
280.04
225.69
170.52
117.91
061.12
Amortización
ó abono
=o=
3,363.63
3,414.09
3,465.29
3,517.27
3,570.03
3,623.58
3,677.93
3,507.40
3,785.71
4,075.00
Saldo
36,000.00
32,636.37
29,222.28
25,756.98
22,239.70
18,669.66
15,046.07
11,368.13
07,860.72
04,075.00
=o=
3,043.10
36,000.00
=o=
Nota:
Hay que observar que en el pago final se necesita hacer un ajuste pues la diferencia entre el pago
mensual de 3,903.63 y la diferencia con el interés de 61.12 nos da un resultado de 3,842.50 faltando
la cantidad de 232.50 para liquidar la deuda. Para ello sumaremos los 3,842.50 más los 232.50
dando un total de 4,075.00 y es cuando se liquida la deuda, así como el último pago será de
$ 4,163.13
Ejercicio:
Un préstamo por $90,000 debe liquidarse debe pagarse en un año mediante pagos
bimestrales cobrando una tasa de interés sobre Saldos insolutos igual a la TIIE vigente en el
momento de realizar el pago más 10 puntos porcentuales. El préstamo fue otorgado el 5 de julio y
los pagos deberán hacerse los primeros 5 días hábiles del mes vencido, empezando el 5 de agosto,
obtenga el pago total que deberá realizar cada bimestre, sabiendo que las TIIE fueron las siguientes
Bimestre
TIIE
10.52%
1
10.31%
2
10.75%
3
11.00%
4
11.40%
5
11.87%
6
En este caso el interés total no puede ser calculado mediante la fórmula ya que la tasa de interés en
variable. Por lo mismo no es posible obtener un pago bimestral constante. El problema se tiene que
resolver bimestre por bimestre.
=
Bimestre
=
TIIE más 10 Amortización
puntos
$
Inicio
1
2
3
4
5
6
Total
20.52%
20.31%
20.75%
21.00%
21.40%
21.87%
15,000.00
15,000.00
15,000.00
15,000.00
15,000.00
15,000.00
90,000.00
Por bimestre
Interés
Abono
$
$ 3,078.00
$ 2,538.75
$ 2,075.00
$ 1,575.00
$ 1,070.00
$ 546.75
$10,833.50
18,078.00
17,538.75
17,075.00
16,575.00
16,070.00
15,546.75
100,833.50
Cómo sale el interés.
Amortización
15,000.00
12,500.00
10,000.00
07,000.00
05,000.00
02,500.00
Tasa de
interés
20.52%
20.31%
20.75%
21.00%
21.40%
21.87%
Importe por
interés
3,078.00
2,538.75
2,075.00
1,575.00
1,070.00
00546.75
15
6
$ 2,500.00
Saldo
insoluto
90,000.00
75,000.00
60,000.00
45,000.00
30,000.00
15,000.00
0.00
= o =
Ejercicio:
Obtenga el precio de contado de una videocámara digital que se compra a crédito, de la
siguiente forma: sin enganche y a 6 mensualidades de $2,270.86 que incluye interés del 35.4%
anual sobre saldos insolutos.
Buscaremos el precio de contado de la videocámara, entonces la amortización será:
Al sustituir los valores:
=
1
2,270.86 (6) = S = 13,625.16
=
=
13 625 16
1
(
5
2
) 6
13 625 16
1
295 6
=
13 625 16
1 177
$ 11,576.17
1.- En un anuncio de una agencia automotriz, aparecida en el periódico local, mencionan la
venta de un automóvil nuevo pagando un enganche del 30% y el resto en 36 mensualidades con el
12% de interés anual. Si el automóvil nuevo cuesta $234.000 Calcule:
a).- La cantidad total que se paga por el automóvil.
b).- El interés total que se pagará por el financiamiento.
c).- El abono mensual.
2.- Un reloj se puede comprar de contado en $16,750.92 a crédito y se requiere un pago
inicial de $2,010.00, si se cobra una tasa de interés simple del 20% anual y la deuda se liquida
mediante 12 pagos quincenales calcule:
a).- El abono quincenal.
b).- El interés total que se paga por el financiamiento.
c).- El precio pagado por el reloj al ser comprado a crédito.
3.- Un crédito se amortiza con 10 abonos quincenales de $572.92 los cuales incluyen
intereses del 28% anual determinar el capital pedido en el préstamo.
4.- Una persona compra un juego de 4 llantas para su automóvil, cuyo precio de contado es
de $8,300.00 mediante un pago inicial del 15% y 18 pagos mensuales de $544.80 cada uno, calcule
la tasa de interés que se aplicó en este crédito.
5.- Un industrial solicito a un banco un préstamo por $180,000.00, a un año de plazo y
aplicando una tasa de interés del 3% mensual. Si el industrial va a liquidar el adeudo mediante
pagos mensuales, determinar el valor del abono mensual si: El interés cobrado sobre saldos
insolutos.
6.- Un cliente debe $4,140.00, los cuales pagará en 6 mensualidades, los intereses serán
calculados sobre saldos insolutos con una tasa de interés de 2.5% mensual. Elabore la tabla de
amortización.
7.- Se obtiene un préstamo de $20,000.00,a un año de plazo, el cual se pagará en pagos
semanales iguales al 27% de interés sobre saldos insolutos.
a).- ¿Cuál será el valor del pago semanal?
b).- ¿A cuánto ascienden los intereses?
8.- En cierta agencia automotriz se vende un automóvil en $165,700.00, si la compra es de
contado. A crédito el automóvil se ofrece mediante un enganche del 20%, y 36 mensualidades
iguales a una tasa de interés del 18% sobre saldos insolutos. Obtenga el pago mensual y construya
una tabla de amortización.
9.- Una tienda departamental vende un equipo de sonido en $5,300.00, precio de contado.
Para promover sus ventas, lo ofrece a crédito mediante un pago inicial de 10% del valor del equipo
y el resto a 24 pagos quincenales iguales. Si la tasa de interés es del 2.53% mensual sobre saldos
insolutos. Calcule el valor del pago quincenal.
10.- Una persona solicita al banco un préstamo personal por la cantidad de $10,000.00 a un
plazo de 8 meses y cada mes deberá amortizar la octava parte del capital más interés mensual
devengado, calculado al 3% sobre saldos insolutos. Elabore la tabla de amortización.
Se compra un iPod (asistente personal digital) cuyo precio de contado es de $9,850.00 con
un pago inicial de 10% y 10 mensualidades iguales con una tasa de interés del 32% sobre saldos
insolutos. Calcule los intereses devengados en los primeros:
a).- 4 meses.
b).- 8 meses.
c).- al final del plazo.
12.- Una persona debe pagar un préstamo de $2,300.00 dólares en 8 meses a razón de
$287.50 dólares por mes respectivos sobre saldos insolutos. Si la tasa de interés es variable, elabore
la tasa de amortización. Las tasas de interés anuales aplicadas cada mes son: 8.4%, 8.8%, 9.3%,
9.3%, 9.5%, 9.0%. 9.5% y 10% respectivamente.
13.- Un préstamo por $18,000.00 deberá ser liquidado en un semestre mediante pagos
mensuales, pagando una tasa de interés simple sobre saldos insolutos igual al TIIE más 14 puntos
porcentuales.
Mes
TIIE
9.32%
1
9.14%
2
9.25%
3
9.61%
4
9.74%
5
10.0%
6
Obtenga el pago total que se deberá realizar cada mes sabiendo que el TIIE fueron las de la
tabla anterior.
14.- Una deuda de $3,000.00 se va a pagar mediante 5 pagos mensuales de la siguiente
forma
Pago
mensual
1
2
3
4
5
Amortización
$350
500
600
750
800
El pago mensual deberá incluir intereses sobre saldos insolutos, si la tasa de interés es del
2.34% mensual, elabore la tabla de amortización.
15.- Se compra a crédito una membrecía de un club deportivo entregando un enganche del
20% del precio de contado y el resto a pagar en 18 mensualidades de $3,025.86 cada una, que
incluye interés del 32.94% anual simple sobre saldos insolutos. Determine el precio de contado de
la membrecía.
16.- Una farmacia compra a crédito una motocicleta para formar su equipo de reparto, la
agencia no le pide enganche, y la pagará mediante 18 pagos mensuales de $1,238.00 cada uno.
Determine el precio de contado de la motocicleta sabiendo que la tasa de interés aplicada es del
2.64% mensual sobre saldos insolutos.
17.- Un comedor tiene un precio de contado de $4,700.00. Se puede comprar en abonos con
un enganche del 15% y 12 pagos mensuales de $442.00 cada uno. Obtenga la tasa de interés simple
sobre saldos insolutos, aplicada.
18.- Un reproductor portátil de CD, marcado con un precio de contado de $1,200.00, puede
adquirirse sin enganche y 3 mensualidades de $460.00 cada una. Calcule la tasa de interés anual
cargada sobre el saldo insoluto.
19.- Automotriz Zapopan, S.A., anuncia que un juego de rines con llantas incluidas
deportivos para automóvil se pueden comprar a crédito mediante 10 pagos quincenales de
$2,275.26 cada uno, si el juego cuesta $21,360.00 de contado. ¿Cuál es la tasa de interés que se
paga por el financiamiento sobre saldos insolutos?
20.- El precio de un lavavajillas es de $7,300.00. Cuando se compra a crédito se requiere
dar un enganche del 10% y el resto se liquida en pagos quincenales iguales de $411.81 que incluyen
interés, si la tasa de interés simple es del 2% mensual sobre saldos insolutos, encuentre el número
de pagos quincenales que liquida la deuda.
Una pareja que desean comprar sus artículos para casarse compran una sala que tiene un
precio de contado de $5480.00, pero utilizan el sistema de crédito dando un pago inicial de
$1,000.00 y al saldo se le carga una tasa de interés de 29% anual sobre saldos insolutos. Determine,
el número de mensualidades si el valor del pago mensual es de $378.00
El ahorro es fundamental para la economía de un país. Al depositar el dinero en una cuenta
de ahorros o de una inversión, parte de él se canaliza a las distintas actividades económicas como la
producción de bienes y servicios y de comercio.
En la actualidad las opciones de ahorro e inversión que existen son de gran diversidad, de
tal manera que el inversionista pueda elegir el instrumento de inversión o la combinación que mejor
se adapte a sus necesidades y a sus expectativas de rentabilidad, liquidez y seguridad.
Un instrumento de ahorro muy común y que además puede ser utilizado como medio de
pago es la cuenta de ahorros con tarjeta de débito. Esta consiste en una tarjeta de plástico similar a
la de crédito, por medio de la cual se dispone de dinero propio. Equivalente a una chequera
electrónica, su uso está limitado por sus fondos que tiene el usuario en una institución bancaria. El
usuario recibe un estado de cuenta mensual sonde se registran todos los depósitos, retiros, compras
e intereses ganados.
El dinero depositado en una cuenta de ahorro, de nómina o de cheques con tarjeta de débito
genera interés a una tasa variable los cuales se pagan mensualmente a la fecha de corte4, sobre el
saldo promedio diario de la cuenta. Sin embargo, las tasas de interés son las más bajas del mercado,
razón por la cual no conviene utilizar este tipo de cuenta bancaria como herramienta de inversión.
Una ventaja de este tipo de cuenta de ahorro es su gran liquidez, ya que el dinero está
disponible las 24 horas de todos los días del año mediante los cajeros automáticos, así mismo la
tarjeta se puede utilizar para pagar directamente consumos hechos en establecimientos comerciales
afiliados a la Institución bancaria emisora de la tarjeta. El ahorrador al adquirir bienes y servicios
mediante la tarjeta está girando sobre sus ahorros, por lo que las cantidades que importen esas
operaciones deberán ser menores al saldo actualizado, ya que la tarjeta no es una tarjeta de crédito.
4
La fecha de corte es el día en que el banco hace un balance de los depósitos y retiros del cliente, calcula el
interés devengado y emite el estado de cuenta.
Ejemplo:
En cierto banco se paga una tasa de interés 5 del 10% anual en las cuentas de ahorro con
tarjeta de débito, siendo la fecha de corte el día 3 de cada mes.
El 6 de junio una persona abre una cuenta de ahorros por medio de tarjeta de débito y
deposita inicialmente $10,000.00, el banco le entrega su tarjeta de débito. A continuación se
numeran los movimientos efectuados. Obtenga el interés devengado en el ciclo o período de corte
del 4 de junio al 3 de julio inclusive.
Fecha
6 de junio
10 de junio
17 de junio
24 de junio
29 de junio
2 de julio
Depósito
$10,000
Retiros
$3,000
$11,000
$13,800
$6,400
$9,100
Saldo
$10,000
07,000
18,000
31,800
25,400
16,300
SOLUCIÓN:
El interés que se gana al tener el dinero depositado en una cuenta de ahorro se calcula por
medio del método de Saldo Promedio Diario (SPD). El Saldo promedio diario es el resultado de
sumar cada uno de los saldos diarios registrados en el periodo y de dividir dicha suma entre el total
de los días del período. El saldo diario se obtiene sumando el saldo del día anterior, los depósitos
del día y restando los retiros realizados en mismo día.
El saldo promedio diario para el ciclo de corte del 4 de junio al 3 de julio, inclusive de la
cuenta de ahorros del cuentahabiente es:
5
Tasa de interés neto es la tasa de interés que se paga al cliente, después de la deducción de Impuestos Sobre
la Renta. La tasa antes de impuesto se llama “tasa de interés bruta”.
Fecha
Depósito
4 de junio
5 de junio
6 de junio
7 de junio
8 de junio
9 de junio
10 de junio
11 de junio
12 de junio
13 de junio
14 de junio
15 de junio
16 de junio
17 de junio
18 de junio
19 de junio
20 de junio
21 de junio
22 de junio
23 de junio
24 de junio
25 de junio
26 de junio
27 de junio
28 de junio
29 de junio
30 de junio
1 de julio
2 de julio
3 de julio
Retiros
Saldo
10,000
10,000
10,000
10,000
10,000
7,000
7,000
7,000
7,000
7,000
7,000
7,000
18,000
18,000
18,000
18,000
18,000
18,000
18,000
31,800
31,800
31,800
31,800
31,800
25,400
25,400
25,400
16,300
16,300
3,000
11,000
13,800
6,400
9,100
Suma de
saldos
diarios
=
Por lo tanto:
82 8
482,800
=$ 16,093.33
El saldo promedio diario se obtiene, también de la siguiente forma:
=
1
4
7
7
18
7
31 8
5
25 4
3
16 3
2
3
SPD = 16,093.33
Una vez conocido el saldo promedio diario, el interés devengado se calcula mediante la
fórmula de interés simple:
=
= 16 93 33 *
+ 3
=
$ 53.64
Interés
IVA
Total
53.64
( - ) 8.58
45.06
Ejercicios:
1.- El primer día, después del corte, el saldo de la cuenta de ahorro con tarjeta de débito de
una persona es de $1,000.00 el octavo día deposita $6,800.00 y el vigésimo día retira $2,700.00,
cuál es el Saldo Promedio Diario, si el periodo de corte es de 31 días.
2.- Supongamos que la tarjeta de débito de un empresario corta el día 10 de cada mes. Si el
periodo de corte del 11 de noviembre al 10 de diciembre la suma de saldos dio un total de
$247,634.60, calcule el saldo promedio diario y el interés del periodo, sabido que la tasa de interés
es del 27% anual.
3.- Un jubilado tiene una cuenta maestra y en los primeros trece días de su ciclo de corte su
saldo fue de $700.00 ¿Cuánto debe depositar el decimocuarto día para mantener el saldo promedio
diario mínimo de $2,000.00 que el banco le exige? El ciclo de corte en cuestión es de 30 días.
4.-Calcule el caldo promedio que se tuvo en cierto periodo de 31 días. Para una cuenta de
nómina con tarjeta de débito que pago $146.73 de intereses, sabido que la tasa de interés en ese
periodo fue de 12.4% anual.
5.- Calcular el saldo promedio durante marzo de una cuenta de tarjeta de débito, si el
primero del mes de abril, fecha de corte de la cuenta se le abono un interés de $94.50 y la tasa de
interés que pago el banco en ese mes fue del 9.36% anual.
6.- Un alumno de una facultad posee una cuenta de tarjeta de débito en un banco cuya fecha
de corte es cada 25 de cada mes. A continuación se muestra el saldo anterior, los depósitos
efectuados y los retiros realizados para el ciclo de corte del 26 de julio al 25 de agosto.
Si la tasa de interés para el mes es del 13% anual, obtenga el saldo promedio diario y el
interés devengado en el mes.
Fecha
26 de julio
30 de julio
10 de Agosto
16 de agosto
21 de agosto
Depósitos
Retiros
8,750
3,400
2,700
1,550
Saldo
01,300
10,050
06,650
03,950
02,400
7.- un empleado de gobierno recibe su sueldo mensual el día 10 de cada mes, el cual es
depositado en una cuenta bancaria de nómina con de tarjeta de débito. El movimiento de la cuenta
para el ciclo del corte que va del 6 de febrero al 5 de marzo, se muestra a continuación. Si el saldo
de la fecha de corte fue de $500.00 y el banco paga a razón de 1% mensual sobre saldo promedio
diario, calcule en interés ganado en el ciclo de corte.
Febrero 5
Febrero 10
Febrero 12
Febrero 20
Febrero 28
Marzo 2
Marzo 2
Fecha de corte
Abono a la cuenta
Retiro en cajero automático
Compra de víveres
Pago de colegiatura
Pago recibo de CFE
Pago por Telmex internet
500
14,800
8,600
1,450
1,200
475
360
La tarjeta de crédito es un instrumento financiero, representado por un plástico con cinta
magnética o un micro-chip, mediante el cual el banco, tienda departamental o de auto servicio,
concede a sus clientes una línea de crédito en cuenta corriente6 por una cierta cantidad conocida
como límite de crédito.
Las tarjetas de crédito bancarias surgieron en nuestro país en la década de los setentas. Fue
el Banco Nacional de México, S.A. el primero en lanzar al mercado una tarjeta de crédito en el año
de 1968. En agosto de 1987 los bancos incorporaron a la tradicional tarjeta de crédito al servicio de
inversión. Este sistema se conoce actualmente como tarjeta de crédito e inversión.
Si la tarjeta se utiliza para invertir, es necesario que el usuario de la misma abone a su
cuenta una cantidad mayor al importe total del saldo de un cargo; es decir, es necesario que
mantenga un saldo a su favor. Los saldos a favor registrados en la tarjeta de crédito se manejan por
medio de un contrato de depósito bancario de dinero a la vista en cuenta corriente.
El saldo a favor empieza a generar intereses desde el momento en que el depósito se abona
a la cuenta. Los intereses se calculan mensualmente sobre el saldo promedio diario y se acreditan a
la cuenta de la tarjeta de la fecha del corte. En este caso, el cálculo de los intereses devengados es
exactamente igual que en una tarjeta de débito.
Cuando la tarjeta se utiliza como instrumento de inversión todos los consumos y las
disposiciones de efectivo que se realicen, se descuentan de los recursos que integran el saldo a
favor, sin que el banco cobre comisión alguna y en caso de que este saldo sea rebasado,
automáticamente empieza a operar la línea de crédito.
Si el usuario de la tarjeta utiliza la línea de crédito disponible para compras de bienes y
servicios y/o disposiciones de efectivo, puede elegir cualquiera de 2 formas de pago.
 El usuario dispone de un plazo máximo de 20 días naturales, contados a partir del
día siguiente de la fecha de corte de la cuenta para pagar la totalidad de los
consumos (compras y/o disposiciones de efectivo). En este caso el banco no cobra
cantidad alguna por intereses.
Al utilizar esta forma de pago, el usuario puede tener hasta 50 días de
plazo para pagar sin intereses: 30 días de corte a corte y 20 días de la fecha
de corte a fecha de límite de pago.
 Esta opción consiste en amortizar la deuda mediante pagos mensuales no menores
al pago mínimo especificado en el estado de cuenta. La cantidad mínima a pagar
depende del banco emisor de la tarjeta; por lo general es una cantidad que varía
del 5% al 12% de la deuda. Esta opción si genera intereses.
6
También conocido como crédito revolvente. Este consiste en que, mientras el usuario vaya pagando, puede
utilizarlo cuantas veces quiera, siempre y cuando mantenga un saldo disponible.
En la mayoría de las tarjetas de crédito los intereses se cobran mensualmente, utilizando
una tasa de interés ordinaria anual sobre saldo promedio diario del adeudo. La tasa de interés
ordinaria se calcula sumando a la tasa de referencia mencionada en el contrato, el cual puede ser el
TIIE; el CCP, (costo porcentual promedio), Mexibor (es la tasa de interés interbancaria determinada diariamente con
base en cotizaciones proporcionadas por los siguientes bancos: Invex Scotiabank Serfin Banamex BBVA Bancomer JP Morgan Bank
Boston Bank of America Bital Inbursa Banorte Deutsche Bank),
o cualquier otra, cierto número de puntos
porcentuales. La tasa de interés ordinaria viene dada en el estado de cuenta7.
Ejemplo
En cierto banco, el contrato establece que la tasa de interés ordinario anual para tarjeta de
crédito se obtiene de la siguiente forma:
“Para determinar la tasa de interés ordinaria que resultará aplicable, el Banco tomará
como referencia el promedio aritmético de la Tasa de Interés Interbancaria de Equilibrio (TIIE)
a plazo de 28 días publicadas por el Banco de México en el Diario Oficial de la Federación,
durante el periodo de intereses de que se trate, sumando como máximo 33 puntos porcentuales”
Suponga que el promedio aritmético de la TIIE fue de 9.24%. Por lo tanto, la tasa de interés
máxima aplicable será:
9.24% + 33% = 42.24% anual
En caso de que el usuario no realice oportunamente el pago mínimo mensual, tendrá que
pagar intereses moratorios, son por lo general más altos que los intereses ordinarios. La tasa de
interés moratoria se calcula multiplicando la tasa de interés ordinaria por el factor que determine el
Banco.
El saldo promedio diario es el resultado de sumar cada uno de los saldos diarios
registrados en el periodo (días entre la fecha de corte anterior y la fecha de corte señalada en el
estado de cuenta) y se divide dicha suma entre el total de días del periodo. El saldo diario se
obtiene sumando el saldo del día anterior las compras y disposiciones del día y restando los pagos
realizados el mismo día.
Existen diversos métodos para calcular los intereses en las tarjetas de crédito. En México se
utiliza el método de saldo promedio diario. Para el cálculo de saldo promedio hay que ver el teme
anterior “Tarjetas de Débito”.
Los intereses devengados por crédito para un determinado mes son la suma de los intereses
del saldo promedio diario sin compras y disposiciones del mes actual más los intereses del saldo
promedio diario de compras y disposiciones del mes anterior.
7
Las reglas para la emisión y operación de tarjetas de crédito pueden ser consultadas en
www.banxico.mx/disposiciones2019/anexos/anexo04.html.
Veamos un ejemplo. Para obtener el interés mensual a pagar por uso de una tarjeta de
crédito. Para ello, se utilizarán los estados de cuenta que se muestran a continuación, se Desea
obtener el interés mensual para el ciclo de corte del 6 de febrero al 5 de marzo.
BANCO
Estado de cuenta
Información de la cuenta
Resumen de saldos y movimientos
Límite de crédito
$25,000.00 Saldo anterior
$4,350.00
Crédito disponible
$19,762.97 Compras y otros cargos
2,561.00
Fecha de corte
5 Feb. 2013 Pagos y depósitos
2,000.00
Días del periodo
31 Interés por crédito
189.40
Fecha de pago
25 feb. 2013 IVA
30.30
Pago mínimo
$523.70 Saldo actual
5,130.70
Fecha de registro
Enero 08
Enero 16
Enero 21
Enero 23
Febrero 02
Febrero 05
Febrero 05
Detalle de las transacciones
Pago Teléfono
Compras Autoservicio
Pago tenencia y placas
Su pago Gracias (Depósito)
Pago de agua
Intereses
IVA por intereses y com.
Cantidad
$ 630.00
460.00
1,123.00
2,000.00
348.00
189.40
30.30
Resumen financiero
Compras y
disposiciones
Saldo promedio diario
Tasas de interés
mensual
2,315.40
3,446.77
4.92%
4.92%
Mes anterior
Mes Actual
Interés del mes
$ 123.92
189.40
Calculo del saldo promedio diario sin compras y disposiciones del mes actual.
En el primer caso mostrado como tablas se muestra que el ciclo de corte va del 6 de febrero
al 5 de marzo de x año.
Al inicio del periodo (6 de febrero) el usuario de la tarjeta tenía un saldo anterior de
$5,237.03 y dentro del periodo se realizó un abono el (22 de febrero) por $1,800.00. Por lo tanto
entre el 6 de febrero y el 21 de febrero inclusive (16 días) el usuario de la tarjeta mantuvo un saldo
insoluto por $5,237.03. Después de dar el abono, el saldo de $5,237.03 – 1,800.00 nos da un total de
$3,437.03 se mantuvo por 12 días (del 22 de febrero al 5 de marzo, inclusive). Por lo tanto, el saldo
promedio diario sin compras y disposiciones del mes actual es:
=
9
7 : 25
= $
El interés a pagar es:
3,849.70
I = (3,849.70)(0.0492)(1) = $ 189.40
La tasa de interés del mes se muestra en el estado de cuenta actual.
BANCO
Estado de cuenta
Límite de crédito
$5,237.03
Crédito disponible
3,406.57
Fecha de corte
5 marzo 2013 Pagos y depósitos
3,437.03
Días del periodo
211.11
Fecha de pago
25 marzo 2013 IVA
33.77
Pago mínimo
5,451.45
Fecha de registro
Febrero 14
Febrero 16
Febrero 22
Marzo 5
Marzo 5
Taller mecánico “La tuerca”
Su pago
Interés
IVA
Cantidad
1,476.57
1,930.00
3.437.00
211.11
33.77
Resumen financiero
Compras y
disposiciones
Mes anterior
Mes Actual
Tasas de interés
mensual
1,525.48
4,465.60
4.76%
4.76%
Interés del mes
$ 72.61
212.56
El cálculo de del saldo promedio diario del saldo anterior cada banco emplea su propio
método. En estos ejemplos se está analizando, utilizado por muchos bancos, el saldo anterior,
mostrado en el estado de cuenta actual no se le restaron los intereses y las comisiones e IVA
mostradas en el estado de cuenta del mes anterior. En algunos otros bancos si se lleva en cuenta la
resta de estas cantidades antes de realizar el cálculo del saldo promedio. Es necesario verificar cual
método es utilizado en este estado. Leyendo el contrato.
Cálculo del saldo promedio diario por compras y disposiciones del mes anterior.
Si el usuario de la tarjeta realizó compras y/o disposiciones de efectivo utilizando su crédito
durante el mes anterior, se debe calcular el saldo promedio diario para calcular los intereses
correspondientes, para lo cual se utiliza el estado de cuenta del mes anterior (tabla anterior).
El estado de cuenta del mes anterior muestra que se realizaron cuatro movimientos de
pagos; uno registrado el 8 de enero por $630.00; el otro se registra el 16 de enero compras por la
cantidad de $460.00, un tercer pago el 21 de enero por la cantidad de $1,123.00, y el último pago el
día 2 de febrero por la cantidad de $348.00. El ciclo de corte va del 6 de enero al 5 de febrero en
saldo promedio diario de compras y disposiciones den mes anterior es:
=
5 2 6 57
16
3 4 6 57 12
28
SPD = $ 4,435.14
El interés a pagar por compras y disposiciones del mes anterior es
SPD = 4,435.14
I = (4,435.14) (0.0476) (1) = 211.11
Por lo tanto, el interés total devengado en el ciclo de corte del 6 de febrero al 5 de marzo es
de:
IVA $ 33.77
¿Cuánto pago un tarjeta-habiente por concepto de intereses en el periodo comprendido del 8
de abril al 7 de mayo de 2005. Su saldo anterior fue de $725.28, el 12 de marzo anterior, hizo una
compra de $350.00 con cargo a su tarjeta en una tienda de ropa; el 23 de marzo dispuso de $400.00
en un cajero automático, el primero de abril pago por consumo de alimentos $275.00, considere
además que hizo dos abonos de $300.00 cada uno el 15 y 30 de abril y la tasa del banco le carga por
interés el 3.31% mensual.
Solución:
275.00
400.00
350.00
Marzo
8
4 días
Abril
1
Marzo
23
Marzo
12
11 días
9 días
Abril
7
7 días
16 días
27 días
Los primeros $350.00 generan interés durante 27 días, entre el 12 de marzo y el 7 de abril;
los $400.00 siguientes durante los 16 días generaron interés y los últimos $275.00 solamente
generaron interés de 7 días, según la tabla anterior. Por lo tanto el saldo promedio diario es:
SPD =
35027   40016  2757 
31
SPD =
9, 450 6, 4001, 925
31
SPD =
17, 775
31
SPD = $573.39
Y los intereses
573.39 ( 0.0331 )
$ 18.98
Para los otros intereses se calcula el saldo insoluto promedio por día en el presente periodo:
Por lo tanto:
SPD =
725.287   425.2816  125.287 
= $425.28
30
Siendo los intereses ahora:
425.25 ( 0.0331 ) = $ 14.08
El cargo total por concepto de interés:
I = 18.98 + 14.08
I = $ 33.06
Note que el último saldo promedio diario puede llegar a ser negativo, lo que diaria lugar a
que los intereses se reducen. Por ejemplo si el 15 de abril se abonan $900.00, en lugar de los
$300.00 el saldo será:
725.287   174.7216 474.727 
30
= -$ 34.72
Y los intereses:
I = ( -34.72 ) ( 0.0331 )
I = -$ 1.15
Existe la Comisión Nacional para la Protección y Defensa de los Usuarios de Servicios
Financieros (Condusef) www.condusef.gob.mx
Estado de cuenta
Límite de crédito
$3,343.00
Crédito disponible
3,040.00
Fecha de corte
10 junio 2013 Pagos y depósitos
1,800.00
Días del periodo
128.63
Fecha de pago
30 junio 2013 IVA
20.58
Pago mínimo
4,734.14
Fecha de registro
Mayo 28
Mayo 31
Junio 01
Junio 08
Junio 10
Junio 10
Gracias por su pago
Cajero automático
CFE
Interés
IVA
Cantidad
1,800.00
1,240.00
1,000.00
800.00
128.63
20.58
Resumen financiero
Compras y
disposiciones
Mes anterior
Mes Actual
Tasas de interés
mensual
864.43
3,072.03
3.31%
3.31%
Interés del mes
$ 28.61
101.68
BANCO
Estado de cuenta
Límite de crédito
$0.00
Crédito disponible
3,343.00
Fecha de corte
5 mayo. 2013 Pagos y depósitos
0.00
Días del periodo
0.00
Fecha de pago
30 mayo. 2013 IVA
0.00
Pago mínimo
3,343.00
Fecha de registro
Abril 30
Abril 30
Mayo 04
Mayo 08
Mayo 10
Mayo 10
Pago Teléfono
Compra de un televisor
Consumo restaurant
intereses
IVA
Cantidad
$ 823.00
290.00
1,750.00
480.00
0.00
0.00
Resumen financiero
Compras y
disposiciones
Mes anterior
Mes Actual
Tasas de interés
mensual
0.00
0.00
3.38%
3.38%
Interés del mes
$ 0.00
0.00
El mercado de dinero es un mercado organizado para la compra-venta de valores (inversión
financiera) y se divide básicamente, en Mercado de Capitales y Mercado de Dinero.
El Mercado de Dinero o Mercado de Deuda, llamado así porque el emisor de los títulos se
convierte en deudor ante el inversionista, es la entidad donde se negocian títulos de crédito de corto,
mediano y largo plazo, emitidos tanto por el gobierno federal y gobiernos estatales como por
instituciones financieras y empresas privadas. Las principales características de ese mercado son la
elevada liquidez o facilidad de negociación y el bajo nivel de riesgo de los títulos emitidos8.
Hay una diversidad de instrumentos en México pertenecientes al mercado; por ejemplo:
Gubernamentales:




Cetes.
Bonos.
Udibonos.
Bonos de protección del ahorro, etc.
Privados:




Certificados de depósito.
Pagaré con Rendimiento Liquidable al Vencimiento.
Papel Comercial.
Obligaciones. Etc.
Uno de los instrumentos de deuda de mayor demanda son los Cetes de los cuales.
CETES
Los Cetes (Certificados de la Tesorería de la Federación) son los títulos de crédito al
portador en los cuales se consigna la obligación del gobierno federal a pagar su valor nominal a
la fecha de su vencimiento. La primera emisión de Cetes se llevó a cabo en enero de 1978 y
fueron creados mediante un decreto publicado en el Diario Oficial de la Federación el 28 de
noviembre de 1977. Los Cetes son emitidos por conducto de la Secretaria de Hacienda y
Crédito Público, siendo el Banco de México el agente financiero (instrumentario) exclusivo
para su colocación y redención.
8
Los instrumentos de deuda eran conocidos como Instrumentos de Renta Fija, debido a que se conoce con
anticipación las ganancias que se obtendrá.
Los Cetes no contienen estipulación sobre pago de intereses, si no que se venden a los
inversionistas debajo de su valor nominal, esto es se colocan mediante una tasa de descuento.9
Las ganancias que recibe el inversionista es la diferencia entre el precio de compra y el valor
nominal o de vencimiento. Por lo tanto, el rendimiento obtenido es en realidad una ganancia de
capital,10 no un interés. Sin embargo, en la práctica se refiere a los Cetes como un instrumento
que paga interés.
La tasa de descuento aplicable a los Cetes es variable y es la que corresponde a las
condiciones que prevalece en ese momento en el mercado de dinero. En un principio, las tasas
de descuento eran fijadas por el Banco de México. Sin embargo, a partir de septiembre de 1982
se estableció un sistema de “subastas”, donde el Banco de México participa como vendedor y
las casas de bolsa, instituciones de crédito, instituciones de finanzas y otras personas
expresamente autorizadas participan como postores. De esta forma, las tasas de descuento son
fijadas de acuerdo con las solicitudes y posturas.
Las principales características de los Cetes:
 Son títulos de deuda del gobierno federal al portador y su valor nominal es de $10. Esto
es el gobierno federal se compromete a pagar $10 por cada Cete a la fecha de
vencimiento.
 Se compran y se venden únicamente a través de casas de valores e instituciones de
crédito.
 Están garantizadas por el gobierno federal, por lo que su seguridad es prácticamente
total.
 Es una inversión de alta liquidez ya que los Cetes se pueden comprar y vender en
cualquier día hábil en lo que se llama el mercado secundario.
 Los Cetes pertenecen al mercado de dinero ya que son a corto plazo. Los principales
plazos a que se emiten son: 28, 91, 182 y 364 días, sin embargo, en algunas ocasiones
se ofrecen emisiones con otros vencimientos. El plazo máximo es de 364 días.
 El rendimiento obtenido por las personas físicas por compra-venta de Cetes está exento
del impuesto sobre la renta, debido a que se trata de una ganancia de capital; por lo
tanto que las personas morales deben acumular dicha ganancia a su base gravable.
 En todos los cálculos sobre los Cetes se considera el año comercial: esto es de 360 días.
 Se emiten semanalmente los días jueves, excepto cuando el jueves es día de descanso
obligatorio. Asimismo, ese día se publica un anuncio de colocación de los Cetes en los
principales diarios del país el anuncio muestra:
 Número de la emisión.
 Monto de la emisión.
 Fecha de la emisión.
 Fecha de vencimiento.
 Plazo.
9
En la jerga bursátil se dice que los Cetes se colocan bajo par.
Ganancia de capital es la diferencia obtenida al comprar un título a determinado precio y venderlo tiempo
después, a un precio más alto.
10



Valor nominal.
Tasa de descuento promedio ponderado a la que se coloca la emisión.
Tasa de rendimiento promedio ponderado equivalente a la tasa de descuento.
Ejercicio:
Se desea saber cuál es el precio de un Cete de la emisión realizada el 29 de junio de 2006
con fecha de vencimiento al 28 de septiembre de 2006.
719
36
= 1
91 = $ 181747
Precio del Cete = Valor nominal = 10 – 0.181747 = $ 9.818253.
Al comprar un Cete de esta emisión particular, el precio se paga por el certificado y es de
$9.818253. Si el comprador mantiene en su poder el certificado hasta la fecha de vencimiento
recibirá $10.00 por él. Otra forma de obtener el precio del Cete es de la siguiente manera:
Precio del Cete = 1 *1 − (
7 9
) 91 + = $ 9 818253.
Si la compra fuera de 85,000 Cetes de esta emisión, se tendrá que pagar ($9.818253)
(85,000) y nos da un total de $834,551.51 y al termino de 91 días se cobrará ($10)(85,000) =
$850,000, la diferencia entre el precio de compra y la cantidad cobrada al vencimiento es la
ganancia de capital.
Ganancia de capital = 850,000 – 834,551.51 = $ 15,448.49
En algunas ocasiones el inversionista vende sus Cetes antes de la fecha de vencimiento.
Cuando esto sucede se utiliza una tasa de descuento que puede ser igual, menor o mayor de la tasa
de descuento. Si la tasa descuento es menor a la tasa de descuento original, el inversionista recibe
una tasa de rendimiento mayor de lo pactado. Si la tasa de descuento es mayor de la tasa de
descuento original, la tasa de rendimiento es menor a lo pactado. La tasa de descuento depende
principalmente de la tasa de la última emisión de Cetes y en segundo lugar, de otros factores como
la oferta o demanda de Cetes y la cantidad que se pretende invertir11.
Ejercicio:
Supóngase que el Cete del ejemplo anterior se vende anticipadamente a los 35 días de
adquirirlo, con una tasa de descuento del 8.87%.
Al vender el Cete, faltando 56 días para el vencimiento, el precio será:
Precio del Cete = $10*1 − (
887
) 56 + =$ 9.862022
Es decir, a los 35 días se vende el Cete en $9.862022, cuyo precio original fue de
$9.818253. Y por lo tanto, la ganancia de capital es de $0.043769 y por ello la tasa de rendimiento
es:
=
9 8 2 22;9 8 825
9 8 825
5
∙ 36 =
458529% anual.
Ejercicio: Valor comercial de los CETES:
Calcular el valor comercial en la Bolsa Mexicana de valores de los Certificados de la
Tesorería de la Federación.“CETES” que se emiten en un plazo de 91 días, un valor nominal de
$10.00 a un interés de 38.5% de descuento anual simple.
Solución:
S
i
t
= $ 10.00
0.385
=
= 91/360
el valor nominal
la tasa de descuento
el plazo en años o 91 días
El valor comercial es:
91
0.385
P = 10 1  360
P = 10 ( 0.902680556 )
P = $ 9.0268
11
Por costumbre, todos los cálculos de Cetes se considera el año comercial. Sin embargo, el año en realidad
consta de 365 días y, puesto que los Cetes se negocian día con día, para obtener el rendimiento real éste debe
obtenerse sobre el número real de días en el año.
Ejercicio: Ganancias, tasa de interés en CETES y otra alternativa de inversión:
¿Qué conviene más a una persona que logró un premio de Pronósticos Deportivos ® por 3.5
millones de pesos: adquirir CETES a un plazo de 162 días y un descuento de 31.6% simple anual a
una cotización de $10.00, o comprar centenarios que aumentan su cotización en 0.6% cada semana?
a).- ¿A cuánto ascienden sus ganancias?
b).- ¿Con qué tasa de interés simple anual estará ganando?
c).- ¿Le conviene más comprar centenarios?
Solución:
a).- El valor comercial de los certificados, cuyo valor comercial es de $10.00
0.316
P = 10 1  182
360
P = 10 ( 0.8402444444 )
P = $ 8.4024
El total de los certificados que adquiere es:
3'500, 000.00
8.4024
= 416,547.6331
A los 182 días recibirá:
416,547.6331 ( 10 ) = $4‟165,480.00
Sus utilidades en dinero sin descontar impuestos son:
4‟165,480.00 - 3‟500.000.00 = $ 665,480.00
b).- Para determinar la tasa de interés simple que ganaría en su inversión:
S = C [ 1 + it ]

10 = 8.4024 1  i182
360
10
8.4024

 1  i182
360
0.1901361515
7 360
182
= i
i = 0.37609348662
i = 37.61% anual
c).- Por cada peso que invierta crece 16.8281% en las 26 semanas, mientras que los
CETES crecen 19.01 % aproximadamente.
S = C[1+i]
10
= 1+i
8.4024
1.19013615157 = 1 + i
i = 1 – 1.19013615157
i = 0.19013615157
i = 19.01%
Son más redituables los CETES.
Para mayor información sobre el Mercado de Deuda y los Cetes.
Banco de México
www.banxico.org.mx
Comisión Nacional Bancaria
www.cnbv.gov.mx
Bolsa Mexicana de Valores
www.bmv.com.mx
1.- Calcule el precio de un Cete para la emisión a 28 días mostrada en la imagen de los
Cetes.
2.- El 21 de febrero se lanza una emisión de Cetes con fecha de vencimiento al 18 de
febrero con una tasa de descuento del 9.12% anual. Una persona desea invertir $1‟000,000 en Cetes.
Calcule:
 El precio de un Cete
 El número de Cetes comprados.
 La cantidad total emitida
 La tasa de rendimiento.
3.- Un inversionista desea comprar Cetes y le ofrecen un paquete de 72,500 Cetes a 91 días de
plazo. Sí la tasa de descuento es del 10%
a).- ¿Cuánto deberá pagar por el paquete?
b).- ¿Cuánto recibirá a la fecha de vencimiento?
c).- ¿Cuál es la tasa de rendimiento?
d).- ¿De cuánto es la ganancia?
4.- Una Persona recibió una herencia y desea invertir $2‟000,000 en Cetes a 28 días de
plazo al 9% de tasa de descuento. Calcular:
a).- El precio de un Cete
b).- El número de Cetes comprados
c).- La tasa de rendimiento
d).- La ganancia total obtenida.
5.- Si la persona del ejercicio anterior vende los Cetes a los 18 días a una tasa de descuento
del 9% anual
a).- ¿Qué cantidad de dinero recibe?
b).- ¿Qué rendimiento obtuvo la persona?
6.- una persona que se jubiló, adquiere Cetes de la emisión del 29 de junio de 2006 y 175
días de plazo. El 12 de septiembre de 2006 esta persona vende sus Cetes a una tasa de descuento del
7.12% anual. Determine:
a).- El precio inicial del Cete.
b).- La tasa de rendimiento obtenida por la persona
c).- El precio del Cete al cual compra el otro inversionista.
d).- La tasa de rendimiento del otro inversionista.
7.- Una persona que gano un premio en Melate invierte $800,000 en Cetes a 28 días de
plazo. Si desea ganar un rendimiento del 10.00%, Calcule:
a).- La tasa de descuento.
b).- El número de Cetes que podrá comprar.
c).- La utilidad obtenida.
8.- Encuentre el precio de un Cete a 28 días de plazo, si la tasa de rendimiento es del 11.1%
anual.
9.- Se realizó una inversión de $624,478.68, la que ampara 63,280 Cetes y se establece que
el rendimiento es del 12%. Se desea conocer a que plazo se estableció la operación.
El factoraje financiero es un mecanismo de financiamiento a corto plazo mediante el cual
una empresa comercial, industrial, de servicios o persona física con actividad empresarial,
promueve un crecimiento mediante la venta de sus cuentas por cobrar vigentes a un organismo
financiero especializado llamado empresa de factoraje. La empresa de factoraje compra los
documentos aplicando una tasa de descuento sobre el valor del vencimiento.
Mediante el factoraje el empresario logra resolver sus problemas de liquidez ya que logra
convertir en efectivo sus cuentas por cobrar, representadas estas por facturas, contra-recibos,
pagarés, letras de cambio u otro documento análogo.
La palabra factoraje proviene de la palabra factor. Factor (del latín facio, hacer, facere el
que hace) significa, entre otras acepciones, persona que hace una cosa. Esto es, el Factor es la
persona que por cuenta de un tercero realiza un acto determinado.
El factoraje en México es relativamente nuevo. Pues a principios de los años setentas fue
cuando se fundaran simultáneamente dos empresas de factoraje. Hasta 1980 sólo existen 4 empresas
de factoraje en el país, y en 1986 empezó el desarrollo de este tipo de empresas hasta contar con
más de 40 a principios de la década de 1990. Con la crisis económica desatada en diciembre de
1994 muchas empresas de factoraje quebraron.
El factoraje no suple a otras fuentes de financiamiento, ya que por sus características
complementa las alternativas existentes. Las empresas de factoraje ofrecen servicios técnicos
sumamente especializados, enfocados a lograr la eficiencia del manejo de las cuentas por cobrar.
El factoraje es un sistema integral de apoyo financiero el cual una empresa, llamada
cedente, cede sus cuentas por cobrar a la empresa de factoraje obteniendo a cambio un alto
porcentaje que normalmente oscila entre un 70% y un 95% del valor de las cuentas por cobrar. La
empresa de factoraje, posteriormente, realiza la cobranza y la entrega a la empresa cedente la
diferencia del porcentaje que no le entrego al inicio, esto es de un 5% a 30% restante. El cargo
financiero de la operación puede cobrarse en el porcentaje entregado al inicio, o bien en el que
queda por reembolsar.
Existen básicamente dos modalidades de factoraje:
 Factoraje con recurso.
 Factoraje sin recurso.
El factoraje con recurso
El cliente queda obligado solidariamente a responder del pago de los derechos cedidos, en
forma puntual y oportuna. Así, como en caso de incumplimiento por parte del deudor, el cedente
está obligado a garantizar el pago a la empresa de factoraje.
En esta modalidad, la empresa de factoraje adquiere las cuentas por cobrar y efectúa
anticipos a cuenta del pago a la empresa cedente, misma que completa en la fecha en que las
cuentas por cobrar son liquidadas por los deudores (compradores o clientes del cedente). El anticipo
fluctúa entre 70% y 95% del valor insoluto de las cuentas por cobrar.
Factoraje sin recurso.
El cliente no se compromete a responder solidariamente ante la empresa de factoraje por el
pago de los derechos de crédito transmitidos; esto es, la empresa de factoraje asume el resigo de
insolvencia de las cuentas por cobrar adquiridas. Lo anterior implica para la empresa de factoraje un
conocimiento amplio de los deudores de las cuentas por cobrar y del riesgo que cada una de ellas
implica.
En esta modalidad, el cedente obtiene de manera anticipada hasta un 90% de sus cuentas
por cobrar.12
Ejercicio:
Grasas y aceites, S.A. tiene cuentas por cobrar por un valor de $230,000 y una fecha de
vencimiento de 30 días. El gerente de la planta acude a una empresa de factoraje con el fin de ceder
las facturas. ¿Qué cantidad recibirá si la empresa de factoraje le diera un aforo13 del 80%, le
aplicará una tasa de descuento igual al TIIE (9.78% en este momento) más 16 puntos porcentuales y
cobra una comisión de 0.5%.
Valor aforado = (230,000)(0.80) = $ 184,000
Descuento = 184
(
2578
) 3
= $ 3,952.93
Comisión = (184,000) (0.005) = $ 920
Cantidad que recibirá la compañía
184,000 – 3,952.93 – 920 = $ 179,127.07
El resto $46,000 (230,000 – 184,000), lo recibirá cuando sean cobradas las facturas.
Ejercicio: Adquisición de cartera por cobrar, factoraje:
12
El factoraje tradicional es aquel en que el cedente transmite las cuentas a sus clientes a la empresa de
factoraje sin involucrar al deudor.
13
Aforo es la cantidad que se anticipa sobre el valor de la cuenta por cobrar. Como ya mencione, esta
cantidad varía entre 70% y 95%
El 10 de abril un administrador de Frigoríficos Ultramar, S.A. acude a una empresa de
factoraje para negociar dos documentos. El primero tiene un valor nominal de $90,000.00 y vence
el 11 de junio del mismo año y el segundo tiene un valor de $75,000.00 y vence el 25 de julio del
mismo año. ¿Cuánto recibe por los dos documentos si cobra el 0.6% de comisión y el 20.7 de
descuento simple anual y el valor aforado es del 90% del valor nominal.
75,000.00
90,000.00
11 junio
10 abril
62
días
25 julio
44
días
El valor aforado del primer documento es el 90% de su valor nominal
0.90 ( 90,000 ) = $81,000.00
El valor comercial, 62 días antes es:
2070
62
P1  81,0001   0.360
P1 = 81,000 ( 0.96435 )
P1 = $ 78,112.35
El segundo aforo es:
0.90 ( 75,000 ) = $ 67,500
El valor comercial de 106 días antes es:
.207
106
P2  67,5001   0360
P2 = 67,500 ( 0.93905 )
P2 = $ 63,385.88
La comisión es del 0.6% del total aforado.
0.006 ( 81,000 + 67,500 )
$ 891.00
La cantidad que va a recibir:
Valor comercial 62 días
Valor comercial 106 días
0.6% de comisión
+ 78,112.35
+ 63,385.88
891.00
Total
140,607.23
Asociación Mexicana de factoraje Financiero y actividades similares, A.C.
www.factoraje.com.mx
Comisión Nacional para Protección y Defensa de los Usuarios de Servicios Financieros
www.condusef.gob.mx
Ejercicios para resolver
1.- Ofi-Center, S.A., tiene cuentas por cobrar por un valor total de $148,000 a una fecha de
vencimiento de 22 días. El gerente financiero acude a una empresa de factoraje con el fin de ceder
las facturas. ¿Qué cantidad recibirá si la empresa de factoraje le diera un aforo del 90%, le aplicará
una tasa de descuento igual a la TIIE (8.42% en este momento) más 18 puntos porcentuales y
cobrará una comisión del 2%.
2.- El administrador financiero de una empresa de Materiales para construcción, acude a
una empresa de factoraje para negociar un pagaré con valor de vencimiento d por $97,300, si la
negociación se lleva a cabo 36 días antes del vencimiento y la empresa de factoraje le aplica una
tasa de descuento de 22%, y una comisión de 8.5% al millar y un aforo del 95%. ¿Cuánto recibirá la
empresa?
3.- Dos pagares con valor de vencimiento por $46,500 y 58,300, que vencen el 21 de agosto
y el 5 de septiembre, respectivamente, se negocian en una empresa de factoraje que aplica una tasa
de descuento del 26% y una comisión de 0.85%. „Qué cantidad se recibe si la negociación se lleva a
cabo el 5 de julio con un aforo del 75%
Cuando Se consigue un préstamo en efectivo, en bienes o servicios, este se liquida
básicamente de dos maneras:
☼ Con un desembolso único al vencer el plazo.
☼ Con dos o más pagos cuya magnitud y frecuencia puede ser constante o variable en
cuyo caso se dice que el préstamo se amortiza.
Amortizar es el proceso de cancelar una deuda e intereses generados mediante pagos
periódicos.
Cuando el número de pagos es relativamente grande, resulta poco práctico evaluar uno por
uno. Siendo más conveniente utilizar fórmulas que no son más que el resultado de combinar las que
ahora se han visto.
Existen tres maneras de considerar los cargos por intereses en las operaciones de crédito
con varios abonos.
 Con interés global.
 Con interés compuesto.
 Con interés simple.
En el primer caso, el capital ( C ) que se adeuda, se multiplica por la tasa ( i ) y por el plazo
( t ), en las mismas unidades de tiempo y el resultado se divide entre el número de pagos.
En el segundo caso con interés compuesto, reciben el nombre de anualidades.
Y el último caso con interés simple, los abonos pueden ser todos iguales o todos diferentes
entre sí, pero en todo caso los intereses se calculan tomando como base el capital que se adeuda en
el momento de hacer el pago, capital que se conoce con el nombre de capital vivo de la deuda,
deuda viva, remanente o más comúnmente como saldo insoluto.
Ejercicio: Amortización de un préstamo con interés global.
Obtenga el abono mensual con el que se amortiza un préstamo de $ 450,000.00 en un año y
medio, si se paga interés del 3% mensual.
Solución:
El interés del 3% global anual a 18 meses ( un año y medio ) hace un total de 3 ( 18 ) = 54%
por lo que la deuda con intereses es la suma de :
450,000 + 0.54 ( 450,000 )
$ 693,000.00
Al dividir la cantidad entre los 18 meses, resulta que cada pago mensual es de:
693, 000
18
 $38,500
Este abono también puede obtenerse dividiendo la deuda inicial entre los 18 meses y
sumando después los intereses por mes:
Amortización
Interés
450, 000
18
= $ 25,000.00
450,000 ( 0.03 ) = $ 13,500.00
Se hace la sumatoria y nos da:
25,000.00 + 13,500.00
$ 38,500.00
Ejercicio: Amortización de crédito con pagos variables.
Se compra un televisor cuyo precio es de $3,250.00 con un pago inicial del 20% y ocho
abonos mensuales e interés del 24% simple anual sobre saldos insolutos. ¿De cuánto es cada abono?
Solución:
Debemos conocer el capital que se le va aplicar al crédito ya que dio enganche.
0.80 ( 3,250 ) = $ 2,600.00
Conoceremos ahora los intereses por mes:
I = 2,600.00
 012.24  =
$ 52.00
También es cierto que cada amortización es igual al cociente de la deuda entre el número de
abonos n.
A
A
C
n
2, 600
8
A = $ 325.00
Por lo tanto el primer abono es de:
R1 = 325.00 + 52 = $ 377.00
Para hacer el segundo abono haremos lo siguiente restar los $325.00 de capital a la deuda y
como resultado tendremos el saldo insoluto
2,600.00 - 325.00 = $ 2,275.00
Los intereses son:
I2 = 2,275 (0.02)
I2 = $ 45.50
Lo que se tiene que pagar en el segundo abono es:
R2 = 325.00 + 45.50 = $ 370.50
Para el tercer abono se tiene:
Saldo = 2,600 - ( 2 ) ( 325 )
$1,950.00 Saldo insoluto
I3 = 1,950 ( 0.02 )
I3 = 39.00 los intereses
Lo que se tiene que pagar en el tercer abono es
R3 = 325.00 + 39.00 = $ 364.00
Ahora haremos el último pago:
Saldo = 2,600 - ( 7 ) ( 325 )
= $ 325.00 saldo insoluto
I8 = 325 ( 0.02 )
I8 = $ 6.50 los intereses
Lo que se tiene que pagar en el octavo abono es
R8 = 325.00 + 6.50 = $ 331.50
Ejercicio: Amortización con intereses sobre saldos deducción de fórmula.
Solución:
El total que se paga por los intereses es una progresión aritmética.
I = 52.00 + 45.50 + 39.00 + . . . . . + 6.50
S   n2 a  u 
S   82 52  6.5
S = 4 ( 58.50 )
S = $ 234.00
A cada pago, por concepto de intereses le corresponde:
I
234.00
8
$ 29.25
Para eso cada abono es de:
R = 325.00 + 29.25
$ 354.25
Ejercicio: Amortización con intereses sobre saldos insolutos, renta fija:
Solución:
C
n
i
=
=
=
$ 2,600.00
8
0.02
La deuda
El número de renta o abonos
La tasa mensual
R  C2 nn  1i   2
R
 88  10.02  2
2, 600
2
R = 162.50 ( 2.18 )
R = $ 354.25
Ejercicio: Amortización de un crédito:
Un crédito que fue adquirido en una compra de una computadora en una tienda de
autoservicio, fue autorizado a 20 abonos semanales de $1,250.00 e interés del 0.13% simple diario
determine:
a).- El capital, es decir el valor del crédito.
b).- El total que se paga por concepto de interés.
R
n
i
El abono semanal
= 1,250.00
= 20
0.0013
=
Abonos o pagos
Por 7 días 0.0091 semanal
Por lo tanto:
nn  1i   2
C
2020  10.0091  2
2
R =
1,250 =
c
2
1,250 (40) = C [ 21 (0.0091) + 2 ]
50,000 = C ( 2.1911 )
C =
50, 000
2.1911
C = $ 22,819.59
b).- Los intereses son la diferencia entre el capital que se recibió por el crédito y el total que
se pagó en los 20 abonos:
I = 20 ( 1,250.00 ) - 22,819.59
I = $ 2,180.41
><]]]]]‟>

LA. Javier Alvarez Noyola Cuando un capital se invierte en una

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