apuntesElasticidadPo.. - Grupo Especializado de Materiales

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TEMA III: ELASTICIDAD EN POLÍMEROS
3.1 Comportamiento elástico en polímeros.
3.2 Viscoelasticidad lineal.
3.3 Amortiguamiento dinámico. Disipación de energía mecánica.
3.1 COMPORTAMIENTO ELÁSTICO EN POLÍMEROS.
En la figura se observan las curvas tensión
deformación de varios polímeros. Como puede apreciarse,
existen comportamientos muy diferentes dentro de esta familia
de materiales: elástico-frágil (A), muy dúctil (B) o exhibiendo
un gran elasticidad no lineal, es decir, un comportamiento
elastomérico (C). En este tema trataremos de entender el
comportamiento mecánico de los polímeros, sobre todo en lo
relativo al régimen elástico.
En el tema anterior hemos analizado el
comportamiento mecánico en régimen elástico (deformaciones
reversibles), asumiendo que la respuesta elástica era
instantánea y lineal, de forma que nada más aplicar una cierta
tensión el sólido adquiere la correspondiente deformación. Sin embargo, ya aludimos al hecho de que existen dos
tipos de fuerzas de retracción elástica (entálpica y entrópica, Fr 
U
l
T
TV
S
l
), que aluden a dos
TV
mecanismos elementales de deformación a nivel microscópicos:
- La elasticidad entálpica está relacionada con variaciones en las longitudes y ángulos de enlace que
colocan los átomos en posiciones nuevas de mayor energía interna. Este tipo de movimientos son de muy corto
alcance y, por tanto, tienen lugar muy rápidamente (en tiempos del orden de 10-12 s) y pueden ser considerados
instantáneos. El comportamiento elástico asociado a este tipo de movimientos atómicos está bien descrito por la
teoría elástica lineal que hemos estudiado. Este tipo de comportamiento lo exhiben la mayoría de materiales
metálicos y cerámicos.
- Sin embargo, en materiales poliméricos además de este mecanismo de deformación entálpico existe
también la posibilidad de que las moléculas de cadena larga que los conforman se muevan en mayor o menor
medida mediante rotaciones de los enlaces simples C-C de los esqueletos moleculares sin cambio en los ángulos
o distancias de enlace, lo que permite una reorganización atómica a gran escala. Esta reorganización conduce a
una disminución de la entropía molecular. En el caso de los elastómeros, esta segunda contribución es la
dominante, con escasa variación de la energía interna durante la deformación (es decir, con escasa distorsión de
sus enlaces covalentes). Este movimiento molecular es un proceso más lento que el primero y el tiempo puede
jugar un papel en la deformación elástica entrópica dando lugar al fenómeno de la viscoelasticidad.
La dependencia temporal del comportamiento elástico en este tipo de materiales se manifiesta
claramente en los fenómenos de relajación y fluencia:
Relajación
Fluencia
Por relajación se entiende la disminución de las tensiones que se produce en un material viscoelástico a
deformación constante y para caracterizar este fenómeno se define el módulo de relajación Er(t)=(t)/ del
material. Por el contrario la fluencia consiste en un aumento de la deformación en este tipo de materiales cuando
mantenemos la tensión constante. De forma análoga, en este caso se define el módulo de fluencia Ec(t) =/(t)
que no coincide necesariamente con Er(t), ya que generalmente el material tiende a su valor de equilibrio más
lentamente en fluencia que en relajación. Por tanto, el módulo elástico deja de ser una constante y pasa a
depender del tiempo e incluso del modo de solicitación mecánica .
La movilidad molecular en los polímeros se ve afectada por un gran número de factores: arquitectura
molecular, cristalinidad, presencia de fluidos u otros agentes químicos, etc., pero especialmente depende de la
temperatura. De hecho, se puede asumir que la velocidad a la que ocurren estos procesos de reconfiguración a
nivel molecular sigue una ley tipo Arrhenius:
velocidad  e

Q
kT
siendo Q la energía de activación del proceso de reconfiguración.
Para temperaturas bajas, muy inferiores a una cierta temperatura
crítica que se denomina temperatura de transición vítrea o de
reblandecimiento del polímero (T << Tg), la velocidad con que tienen lugar
estos desplazamientos moleculares es tan lenta que su contribución a la
elasticidad del material es despreciable y la respuesta a la aplicación de
tensiones, es decir, la deformación, tiene lugar casi exclusivamente por distorsión de enlaces primarios. En ese
caso, el polímero se comporta igual que un vidrio, exhibiendo elasticidad lineal y un cierto grado de fragilidad.
Para temperaturas altas (T >> Tg) la velocidad con que tienen lugar estos desplazamientos moleculares es muy
rápida (casi instantáneos) y dominan el comportamiento elástico del material. En este caso, el polímero se
comporta como un elastómero perfecto donde las deformaciones idealmente tampoco dependen del tiempo o de
la velocidad de deformación. La dependencia temporal de la deformación, es decir, la viscoelasticidad, se
produce especialmente en la región de temperaturas entorno a Tg donde se producen desplazamientos
moleculares pero éstos requieren de un cierto tiempo no despreciable para producirse. Por tanto en materiales
poliméricos pueden distiguirse varios regímenes de comportamiento:
3.1.1 Régimen Vítreo.
En las figuras se representa el módulo de relajación frente a la temperatura para varios tiempos, en tres
materiales poliméricos. En todos ellos puede apreciarse un régimen a bajas temperaturas donde el módulo es
relativamente elevado y decrece ligeramente con la temperatura, según la expresión:
E 
T
 1  a 
E0 
Tg 
similar a la de materiales inorgánicos pero con Tg en lugar de Tf, donde a sigue siendo aproximadamente 0.5. En
este régimen, denominado régimen vítreo (glassy), el sistema se comporta como un sólido elástico lineal,
relativamente frágil, y su módulo (denominado módulo vítreo, Eg) no depende del tiempo.
En algunos polímeros, además de las distorsiones de enlaces primarios en el régimen vítreo se producen
también pequeños desplazamientos elásticos entre segmentos de cadenas próximas, en grupos moleculares
específicos de cada polímero. Cuando estos mecanismos se activan, se produce una disminución considerable en
el módulo vítreo y en el tramo de temperaturas en que se produce la activación se observa una dependencia con
el tiempo del módulo, el material exhibe algo de viscoelasticidad. Estos rangos de temperatura donde se produce
la activación de estos mecanismos de deformación molecular localizada se denominan transiciones o relajaciones
y reciben distintos nombres según el polímero (transición  en el poliestireno y relajación  en el epoxy).
3.1.2 Transición vítrea o relajación .
Algo similar a estas relajaciones pero más drástico se produce cuando se alcanza la temperatura de
transición vítrea. Al acercarnos a esta temperatura la energía térmica es ya suficiente para rompen los enlaces
secundarios y volverlos a crear. A consecuencia de ello, la movilidad molecular aumenta drásticamente y el
módulo se reduce en varios órdenes de magnitud hasta alcanzar un valor, Er, que se denomina módulo
elastomérico (rubbery). Durante esta transición, denominada también relajación  del polímero, el módulo de
relajación y el comportamiento elástico del polímero depende fuertemente del tiempo es el régimen donde la
viscoelasticidad del polímero es más acusada.
3.1.3 Régimen elastomérico.
Terminada la transición vítrea, el módulo apenas depende del tiempo y aumenta gradualmente con la
temperatura, denotando el dominio de la elasticidad entrópica (ver demostración en Tema I). Aunque todos los
polímeros exhiben este régimen elastomérico a mayor o menor temperatura, no todos exhiben las enormes
deformaciones reversibles de un elastómero (de los 3 polímeros mostrados, tan sólo el poli-isobutileno lo exhibe,
y además lo hace a temperatura ambiente). La razón es que para que estas deformaciones entrópicas sean
reversibles es preciso que existan enlaces cruzados entre las cadenas poliméricas, cosa que no sucede en el
poliestireno, y para que dichas deformaciones sean grandes las cadenas deben ser largas, cosa que no sucede en
el caso del epoxy (aunque en éste las cadenas están muy entrelazadas). Este es el interés del proceso de
vulcanización (o del de reticulación o curado por enlaces tipo peróxido), durante el cual se introducen enlaces
sulfurados (o peróxido) entre las cadenas poliméricas que incrementan su régimen elastomérico. En efecto,
según la teoría cinética de la elasticidad en elastómeros ideales, el módulo elastomérico, Er, es proporcional a
la densidad de enlaces entre cadenas poliméricas, N (mol/m3), ya que según esta teoría:


  NRT   
1 

2 
(1)
donde R es la constante de los gases ideales y =L/L0=+1, de
forma que Er viene dado por:
Er 
d
d
 3 NRT
 0
Este aumento del módulo elastomérico, Er, debido al
incremento en los enlaces cruzados se aprecia en la figura
NOTA: la forma de la curva tensión-deformación no se
ajusta exactamente a la ecuación (1) (tramo casi horizontal
intermedio) y por ello se suele usar más habitualmente la
aproximación empírica de Mooney-Rivlin:


  2 C1 
C 2 
1 
   2 
 
 
donde C1 y C2 son parámetros de ajuste empíricos que dependen del
material.
NOTA: El ascenso que se observa para grandes deformaciones en la curva tensión-deformación
uniaxial de un elastómero (ver curva C en la primera figura del tema) se debe a que una vez alineadas las
cadenas poliméricas las deformaciones posteriores deben alcanzarse modificando los enlaces covalentes de la
cadena lo que requiere tensiones muy superiores y provoca un aumento del módulo, y el comportamiento
elástico estará entonces dominado ahora por esta nueva contribución entálpica.
3.1.4 Régimen de comportamiento viscoso o viscoplástico.
Si aumentamos la temperatura aún más, ni siquiera los enlaces cruzados (de existir) son capaces de
devolver al polímero a su forma original y éste se comporta como un fluido viscoso más que como un sólido,
admitiendo grandes deformaciones irreversibles. Ese regímen se utiliza en la práctica para el conformado de los
polímeros mediante moldeado, extrusión, inyección, etc. En la gráfica de módulos de relajación, el paso a dicho
régimen viscoso se observa claramente como una caída gradual de dicho módulo hasta valores cercanos a cero.
Realmente, en este tramo, puesto que las deformaciones dejan de ser reversibles, los valores representados dejan
de ser significativos, no representan un módulo elástico. Se observa que es un régimen de comportamiento
altamente dependiente del tiempo y por tanto a este comportamiento se le denomina viscoplasticidad.
El comienzo de la transición al dominio de flujo viscoso depende en gran medida del peso molecular de
la cadena polimérica: a mayor peso molecular más temperatura se necesita para que se inicie dicha transición,
alargándose el régimen elastomérico (ver figura anterior).
Finalmente, si la temperatura continua subiendo el polímero acaba descomponiéndose químicamente.
3.1.5 Equivalencia Tiempo-Temperatura.
Los resultados discutidos en esta sección a partir de la curva módulo de relajación frente a temperatura
se podrían haber discutido directamente en una curva módulo de relajación frente a tiempo en escala logarítmica
para una temperatura dada. Ambas curvas tienen forma análoga, pero no se usa la curva frente al tiempo porque
para obtenerla completa habría que barrer entre 10 y 15 décadas, lo que no es factible experimentalmente. Qué
ambas curvas sean análogas indica que existe una equivalencia clara entre temperatura y tiempo. Es decir, el
mismo módulo elástico puede obtenerse a bajas temperaturas para tiempo largos o bien tiempos cortos pero alta
temperatura. Usando esta propiedad, que se verifica
bien para Tg<T<Tg+100K (aunque a veces se utiliza
más allá de dichos límites) se pueden construir las
curvas Er(t) para una temperatura dada a partir de las
curvas parciales Er(t) correspondientes a otras
temperaturas (ver figura transparencias), utilizando el
siguiente factor de desplazamiento o corrimiento
(Williams et al.):
log aT  log
C (T  T0 )
tT
 1
tT 0 C 2  T  T0
 log tT  log tT0  log aT
 log tT0 
C1 (T  T0 )
C 2  T  T0
donde tT y tT0 son los tiempos necesarios para alcanzar un determinado valor de Er a T y T0, respectivamente. Las
constantes C1 y C2 son parámetros que dependen de la temperatura de referencia T0 escogida:
3.2 VISCOELASTICIDAD LINEAL.
Como ya se ha mencionado, en los regimenes vítreo y elastomérico ideales no existe dependencia en la
respuesta elástica con el tiempo (o la velocidad de ensayo). Sin embargo, en las regiones de transición entre cada
uno de estos estados y en general a cualquier temperatura donde se pueda producir una relajación de la estructura
polimérica se observa que la respuesta mecánica del material depende del tiempo. En la práctica, en mayor o
menor medida, el tiempo juega un papel muy relevante en el comportamiento elástico de materiales poliméricos
(como se pone de manifiesto en los ensayos de fluencia o de relajación) y se dice que los polímeros presentan un
comportamiento viscoelástico.
En general, las deformaciones en un sólido viscoelástico vienen dadas por   g ( , t ) , es decir, la
relación entre tensiones y deformaciones es no lineal. Sin embargo, si las deformaciones elásticas son pequeñas
(< 1-2%) y las velocidades de deformación o flujo viscoso son bajas (< 0.1 s-1), las deformaciones viscoelásticas
pueden aproximarse mediante la expresión:    f (t ) , de forma que la razón entre tensiones y
deformaciones, i.e. el módulo de relajación, depende sólo del tiempo (y, equivalentemente, de la temperatura)
pero no de la tensión. Entonces se dice que la respuesta viscoelástica es lineal y puede expresarse como suma de
componentes elásticas lineales y componentes de flujo viscoso (o newtonianas) lineales. Aunque en general el
comportamiento viscoelástico de los polímeros es no-lineal (salvo en un rango muy reducido) el estudio de la
teoría que rige el comportamiento viscoelástico lineal proporciona una aproximación muy útil desde el punto de
vista ingenieril.
La dependencia temporal de la respuesta viscoelástica lineal es análoga a la de los circuitos eléctricos
reactivos y puede ser descrita por ecuaciones diferenciales del mismo tipo. Para obtener estas ecuaciones se
suelen emplear modelos mecánicos de muelles (spring) y amortiguadores viscosos (dashpot), que además,
permiten esquematizar los movimientos moleculares:
Los muelles verifican la ley de Hooke:   E y   G y representan la
distorsión instantánea de los enlaces. La magnitud del módulo asociado a estos
elementos se relaciona con la fracción de energía mecánica almacenada en el
material de forma reversible como energía elástica.
Los amortiguadores viscosos pueden ser descritos como fluidos newtonianos
donde la tensión no provoca una deformación dada sino una cierta velocidad de
deformación:    ' y    ' siendo  la viscosidad del fluido (Ns/m2).
Estos elementos simulan las deformaciones de origen entrópico y, por tanto, su
magnitud estará asociada a la fracción de energía disipada en forma de calor durante estos procesos.
H
kT
La viscosidad del amortiguador depende de la temperatura y sigue una ley tipo Arrhenius:   Ae
donde
H es la energía de activación del flujo viscoso. De esta forma el modelo incorpora la dependencia con la
temperatura del comportamiento viscoelástico de los materiales poliméricos.
Sin embargo, ninguno de estos elementos simples reproduce individualmente
de forma adecuada la respuesta mecánica del material viscoelástico y por ello es
necesario combinarlos entre sí en diferentes modelos mecánicos:
3.2.1 Modelo de Maxwell.
Es el modelo más simple, y consiste en colocar ambos elementos en serie. De esta forma,
la deformación total es la suma de las deformaciones en cada elemento y las tensiones
son iguales en ambos:
   s   d  d d s d d 1 d 1
d d 1



 E

 

  s  d 
dt
dt
dt
E dt 
dt
dt 
Este modelo permite reproducir el fenómeno de relajación:
t
t
d
d
 (t )  0 
1
 0,    0 
     (t )   0 e   Er (t ) 

e

dt
dt
0
0
a t  0 solo el muelle deforma

t
Er (t )  Ee 
La razón entre la viscosidad del amortiguador y la rigidez del muelle es una magnitud de interés pues
tiene unidades de tiempo y es una medida del tiempo de respuesta viscoelástica del material:


E
Se denomina tiempo de relajación del material y matemáticamente es el tiempo necesario para que la tensión
caiga hasta 1/e veces su valor inicial.
Veamos como se comportaría el modelo de Maxwell frente a un ensayo de fluencia:

t0
t
t0 /
t0 /

/E
t
t0
El muelle deformaría instantáneamente y posteriormente la deformación iría aumentando
a velocidad constante hasta que cesa la tensión. En ese momento se recupera la
deformación del muelle pero no la del amortiguador. Por tanto, el modelo de Maxwell
reproduce bien el proceso de relajación pero involucra deformaciones irreversibles y un
flujo viscoso ilimitado y, por tanto, no es un modelo viscoelástico puro. Algunos
materiales tipo alquitrán caliente o masilla pueden modelizarse adecuadamente utilizando
este modelo que en realidad es viscoplástico y no viscoelástico.
3.2.2 Modelo de Voigt.
Consiste en colocar ambos elementos en paralelo, de forma que la deformación en ambos
coincide, siendo la tensión total la suma de las tensiones en cada uno de ellos:
  s d 
d
    E  
  s  d 
dt
Veamos que pasaría en este modelo durante un ensayo de fluencia:

d   E
d
dt  cte





dt


E


0
0
ln(  E )

E

0
t
E
t
 t 


E
 
   E 
 


  ln





t

1
e

1
e



0



E 
  


t
y una vez cesa la tensión, =0, se produce la relajación:





d   E  0 E
d
dt  cte



  




dt
E
0
0
t

 
E

 t  ln    t     0 e


 0 
E

 ln  
t
0
Por tanto, en el modelo de Voigt la tensión no provoca ninguna deformación
instantánea, debido a la rigidez infinita inicial del amortiguador, que soporta toda la
t
t
tensión. Posteriormente, conforme el amortiguador deforma (inicialmente a una

velocidad determinada por su viscosidad) parte de la tensión se transmite al muelle y
por tanto, la velocidad de deformación del amortiguador disminuye progresivamente

hasta anularse cuando toda la tensión ha sido transferida al muelle, que entonces ha
t deformado una cantidad =/E. Al cesar la carga, el proceso se invierte, al no poder
t
retornar instantáneamente a su posición de equilibrio, el amortiguador mantiene en
tracción al muelle quedando él en compresión (’<0) pero de forma que la tensión total en el sistema es nula,
hasta que poco a poco la deformación se relaja completamente.

0
0
3.2.3 Modelo de Sólido Lineal Estándar (Standard Linear Solid, SLS).
En general, en los ensayos de fluencia los materiales viscoelásticos
experimentan una cierta cantidad de deformación instantánea antes
de empezar a fluir. Para poder tener en cuenta este hecho se utiliza
el modelo denominado de sólido lineal estándar (SLS) que puede
representarse como un modelo de Voigt en serie con un muelle o
uno de Maxwell en paralelo con un muelle.

t0

t
t0 /
t0 /
/E
t
t0
Considerando la versión de Maxwell, y llamando Ee a la constante
del muelle adicional y siendo Em y m las constantes del modelo de Maxwell en paralelo, puede obtenerse la
ecuación que verifica este modelo de 3 elementos:
  e m
    Ee   m
  e  m 
donde m verifica:
d d m E m


m
dt
dt
m
 dx 
que haciendo la transformada de Laplace y considerando que L
x queda:
  sL( x)  s~
dt
 
E
E s~
E m s~  s~m  m ~m  ~m  m
E
m
s m
Em
m
y por tanto la ecuación global en el espacio de Laplace sería:




E
s

 ~  ε~
m
~   Ee 
E 
s m 

m 

que se asemeja a la Ley de Hooke, pero en el espacio de Laplace, y se denomina ecuación constitutiva
viscoelástica asociada.
Veamos como se comporta el modelo SLS en relajación:
0,
t0
L ( H ( t ))1 / s
 ~ ( s) 
 (t )   0 H (t )  
 0 , t  0
1
0
s
Em
~ Ee


E
s
0
s m
m

 1 
 at
  e conduce a:

s
a


que considerando que L 

 (t )
 E r (t )  E e  E m e 
0
t
m
El SLS es un modelo de 3 parámetros que permite ajustar bien el comportamiento viscoelástico.
Haciendo Ee =Er y Em =Eg -Er y escogiendo  en el intervalo de tiempo apropiado se puede tratar de ajustar la
relajación  de un polímero viscoelástico dado. Sin embargo, este modelo con un único tiempo de relajación
produce una transición demasiado brusca de Eg a Er que no suele ajustarse bien a los resultados experimentales
NOTA: Al modelo SLS se le puede incorporar en serie un nuevo amortiguador (=Maxwell+Voigt) si se
desea ajustar un comportamiento en el que el material puede deformar permanentemente. Entonces ya no sería
un modelo viscoelástico sino viscoplástico, pero podría ser útil para modelizar el comportamiento del polímero
en la región de flujo viscoso.
3.2.4 Modelo de Wiechert.
Los mecanismos de relajación en un polímero son múltiples, involucrando cada uno de ellos segmentos
moleculares de distinto tamaño. La relajación molecular es tanto más rápida cuanto menor es el tamaño de
segmento involucrado. Por ello, los materiales viscoelásticos presentan una distribución de tiempos de relajación
más que un único . Por tanto, su comportamiento no puede ser ajustado correctamente utilizando SLS. En estos
casos, se puede recurrir a modelos más complejos como el de Wiechert, que incorpora ramas tipo Maxwell
adicionales en paralelo a un SLS, incorporando por tanto un mayor número de tiempos de relajación. La
ecuación constitutiva en este modelo queda de la siguiente forma:


Ejs

~  ~e   ~ j  Ee  
Ej
j
j

s

j





Ejs
~ 
    Ee  
1
j

s


j




~
~
   ε


que en relajación, procediendo igual que para el modelo SLS, conduciría a:
t

 (t )

 E r (t )  E e   E j e
0
j
j
3.3 AMORTIGUAMIENTO DINÁMICO. DISIPACIÓN DE ENERGÍA MECÁNICA.
Los mecanismos de deformación con origen entrópico que dan lugar al comportamiento viscoelástico
llevan asociados procesos internos de disipación de energía mecánica que se denominan procesos de fricción
interna. En esta sección trataremos de analizar este fenómeno.
Los fenómenos de relajación y fluencia ponen de manifiesto que existe un desfase, un retraso, en la
respuesta mecánica (deformación) a la aplicación de una tensión externa. Este hecho se pone claramente de
manifiesto en ensayos cíclicos. La respuesta del material en este tipo de ensayos depende de la frecuencia de
aplicación de la tensión.
Cuando la frecuencia de la solicitación es muy alta, tanto que f -1 << , los
mecanismos entrópicos no se activan y el material se comporta como un
material elástico lineal de módulo Eu, que denominaremos módulo no
relajado (y que sería equivalente al módulo vítreo, Eg). Si por el contrario la
frecuencia es tan baja que f -1 >> , los mecanismos de relajación tendrán
tiempo más que suficiente para actuar, y podremos considerarlos también
instantáneos, por lo que la respuesta del material será inicialmente también
lineal pero con un módulo inferior, Er, que denominaremos módulo relajado
(en realidad será no lineal como corresponde a un elastómero). En ambos
casos, la respuesta del material estará en fase con la solicitación y no existe
histéresis en la curva -.
En cambio, para frecuencias intermedias, f
desfase:
-1
 , y la deformación no es capaz seguir a la tensión y aparece un
   0 cos(t )
   0 cos(t   )
Como consecuencia de este desfase, la curva -
depende del camino seguido y no coinciden el tramo
de carga y el de descarga, apareciendo un fenómeno
de histéresis, que denota un proceso no conservativo,
es decir, con pérdida de energía en cada ciclo en
forma de calor. La energía perdida, que puede
calcularse a partir del área comprendida en la curva, produce por tanto un calentamiento del material. Además,
esta pérdida de energía con cada ciclo de carga-descarga conduce a fenómenos como la atenuación de
vibraciones u ondas acústicas en el material, o a la amortiguación del rebote de un objeto que impacte sobre el
material.
NOTA: Como ya comentamos en el tema anterior, este tipo de pérdidas de energía en cada ciclo de
carga-descarga también sucede en metales y cerámicos policristalinos, aunque en mucha menor medida. En este
caso, el fenómeno se denomina anelasticidad y se relaciona con grandes movimientos atómicos en las regiones
intergranulares, análogos a los movimientos en cadenas poliméricas aunque mucho más localizados. Estos
movimientos pueden considerarse en esencia deformaciones viscosas que, a bajas temperaturas, son reversibles.
También se observa anelasticidad en soluciones sólidas intersticiales por ocupación preferente de ciertos
intersticios bajo la acción de tensiones, ya que la migración de impurezas hacia dichos intersticios requiere
tiempo.
Para analizar todos estos efectos de amortiguación y disipación de energía mecánica es conveniente
escribir la función tensión como un vector complejo cuya parte real representa la componente en fase con la
deformación y la parte imaginaria una componente desfasada 90º con respecto a la deformación:
   0 cos(t )
 *   0 ' cos(t )  i 0 ' ' sin(t )   0 cos  cos(t )  i 0 sin  sin(t )
de forma que se verifica
 *  0
y tan    0 ' ' /  0 ' y puede definirse un
módulo complejo:
E* 
Im



Re
 0 '  0 ''  0

i

cos   i 0 sin   E * cos   i E * sin   E 'iE ' '
0
0
0
0
donde E’ es el denominado módulo real o de almacenamiento (storage) y E’’ es el módulo imaginario o de
pérdida (loss). Esta denominación se entiende fácilmente al calcular el trabajo realizado en cada ciclo de carga:
2 / 
2 / 
d
dt  
 0 ' cos t ( 0 sint )dt    0 ' ' sin t ( 0 sint )dt
0
0
dt
x sin 2ax 

2
 sin axdx  
  W  0   0 ' '  0   0 0 sin   Wdis
2
4a 

W   d   
es decir, la componente en fase de la tensión no produce trabajo neto en el ciclo y, por tanto, la energía elástica
debida a ella es recuperable, queda almacenada (de ahí la denominación de E’). En cambio, la energía asociada a
la componente desfasada se pierde irreversiblemente en forma de calor. La máxima energía elástica almacenada
por la componente en fase se obtiene a un cuarto del ciclo:
 / 2
Walm  
0
 0 ' cos t ( 0 sint )dt

sin 2 ax 
cos
ax
sin
axdx

  W   12  0 '  0   12  0 0 cos 

2
a


de forma que la razón entre las energías perdida y almacenada en un ciclo se relaciona con el ángulo de desfase:
Wdis
 2 tan 
Walm
De esta forma tan   E ' ' / E '   0 ' ' /  0 ' se denomina tangente de pérdida y mide la capacidad de
amortiguamiento mecánico del material. En efecto, se puede comprobar que dicha magnitud se relaciona
directamente con la variación de la amplitud de una vibración en escala logarítmica:
ln An / An 1   tan 
Todas estas magnitudes que acabamos de definir (módulos de almacenamiento y pérdida, tangente de
pérdida, etc.) pueden ser medidas mediante ensayos dinámicos consistentes en inducir una vibración forzada a
diferentes frecuencias o a frecuencia constante pero variando la temperatura. Estas medidas permiten caracterizar
el amortiguamiento mecánico en materiales viscoelásticos. Cuando realizan este tipo de medidas en un material
polimérico, se encuentra que los valores de todas estas magnitudes dependen fuertemente de la temperatura y de
la frecuencia de la vibración (recordar equivalencia tiempo-temperatura):
En las figuras se aprecia especialmente la presencia de máximos en la tangente de pérdida que coinciden con
temperaturas de transición (o de relajación) del polímero, como por ejemplo Tg. El análisis de dichos máximos
de amortiguación resonante (cuya anchura viene determinada por el denominado factor de calidad
Q = 1/tan ) permite determinar los tiempos de relajación asociados a cada transición y sus energías de
activación. Además, estos espectros mecánico-dinámicos pueden utilizarse para identificar el tipo de movimiento
molecular responsable de cada relajación. Asimismo, se pueden hacer estudios para correlacionar todos estos
parámetros con variables como el contenido de humedad, grado de cristalinidad, peso molecular, aditivos, etc.,
del polímero.