DINÁMICA DE FLUIDOS

Transcripción

DINÁMICA DE FLUIDOS

http://karamufest.blogspot.com/
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
KLEBER JANAMPA QUISPE
DINÁMICA DE FLUIDOS
La mecánica de fluidos es una parte esencial de muchas áreas de la tecnología y la ciencia actual, destacando
su papel en el diseño de toda clase de vehículos (aviones, barcos, coches, etc), estudios del flujo de aire
atmosférico, medicina y biología (flujo de sangre y otros fluidos), ingeniería industrial, canales de irrigación,
etc.
La dinámica de fluidos como parte de la mecánica de fluidos, estudia los fluidos en movimiento ante la acción
de fuerzas aplicadas. Para ello parte de la hipótesis del medio continuo, por el que asume que el fluido es
continuo a lo largo de todo el volumen que ocupa. Esto permite considerar que todas las magnitudes del fluido
que queremos estudiar van a regirse siempre por funciones continuas. A simple vista el agua en un vaso se
nos presenta como una masa continua, sin discontinuidades. Esta es la visión macroscópica de la materia. No
obstante, se sabe que la materia no es continua ya está conformada por moléculas, átomos y por partículas
subatómicas, las cuales ocupan una porción reducida del espacio vacío y caracterizan la estructura granular de
la materia. Cuando esta hipótesis del medio continuo no es aplicable, es necesario recurrir a la mecánica
estadística en lugar de a la mecánica de fluidos.
En consecuencia, el estudio de la dinámica de fluidos es similar al estudio de la dinámica de sólidos sobre la
base de las Leyes de Newton, que estudia el movimiento bajo la acción de fuerzas aplicadas. Se aplican los
mismos principios: Conservación de la masa, Conservación de la cantidad de movimiento y la Conservación
de la energía termodinámica.
De modo que, en lugar de estudiar el movimiento de cada partícula del fluido como una función del tiempo,
describiremos las propiedades del fluido en cada punto como una función del tiempo. De esta forma
estudiaremos lo que esta sucediendo en un punto del espacio en un instante determinado y no lo que está
ocurriendo a una partícula de flujo determinada.
P
V
Fig. 1 En dinámica de fluidos caracterizaremos el movimiento del fluido cada vez que pasa por el punto P
Aun cuando esta descripción del movimiento del fluido enfoca la atención de un punto del espacio más que en
una partícula, no podemos evitar seguir a las partículas mismas, cuando menos, durante cortos intervalos de
tiempo (dt) , puesto que es a las partículas a las que se les aplican las leyes de la mecánica.
Caracterización del movimiento
Línea de corriente es el lugar geométrico de los puntos tangentes al vector velocidad de las partículas de
fluido en un instante t determinado. Una línea de corriente es una curva imaginaria que conecta una serie de
puntos en el espacio en un instante dado, de tal forma que todas las partículas que están sobre la curva en ese
instante tienen velocidades cuyos vectores son tangentes a la misma, como se indica en la figura 2. De aquí,
las líneas de corriente indican la dirección del movimiento de las partículas que se encuentran a lo largo de
ellas, en el instante dado.
V
V
V
Fig. 2 Líneas de corriente. En un puto, la velocidad
es tangente a la línea de corriente
Fig. 3 Tubo de corriente. Porción de flujo
delimitado por líneas de corriente. A cada
sección del tubo le corresponde una velocidad
1
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
La trayectorias de las partículas móviles del fluido es la curva que determinan en su movimiento. Pueden
coincidir o no con las líneas de corriente.
En el movimiento permanente, las líneas de corriente se conservan fijas con respecto al sistema de referencia.
Más aún, las líneas del corriente permanente coinciden con las trayectorias de las partículas móviles. En el
movimiento variable o no permanente, una partícula del fluido no permanecerá, en general, sobre la misma
línea de corriente; por lo tanto, las trayectorias de las partículas y las líneas de corriente no coinciden.
Un tubo de corriente o filamento de flujo es un tubo pequeño imaginario o conducto, cuya frontera está
formada por líneas de corriente. Las líneas de corriente son fronteras en el mismo sentido que las paredes son
fronteras de los conductos reales. Recíprocamente, las fronteras de un conducto real o de cualquier sólido
inmerso en el fluido son líneas de corriente. Si las fronteras son paredes sólidas no hay componente normal de
la velocidad en las mismas.
Tipos de flujo
Flujo estacionario o estable
Se caracteriza porque las condiciones de velocidad del fluido en cualquier punto no cambian con el tiempo, o
sea que permanecen constantes con el tiempo o bien, si las variaciones en ellas son tan pequeñas con respecto
a los valores medios. En general, la velocidad del fluido en un punto (x,y,z) es V(x,y,z,t) es decir la velocidad
en un punto dado también es función del tiempo, de modo que cuando el flujo es estacionario la velocidad en
todo punto del fluido no cambia con el tiempo). El fluido en cualquier punto es reemplazado por un nuevo
fluido que se mueve exactamente en la misma forma.
∂V
=0
∂t
En condiciones de flujo en régimen permanente, se establece una configuración estable de líneas de flujo que
marcan la trayectoria que siguen las partículas de fluido en la corriente. En consecuencia, la trayectoria de las
partículas es la propia línea de corriente y no puede haber dos líneas de corriente que pasen por el mismo
punto, es decir, las líneas de corriente no se pueden cruzar. En un flujo estacionario el patrón de las líneas de
corriente es constante en el tiempo.
Si el flujo no es estacionario, las líneas de corriente pueden cambiar de dirección de un instante a otro, por
lo que una partícula puede seguir una línea de corriente en un instante y al siguiente seguir otra línea de
corriente distinta.
Flujo uniforme
En este tipo de flujo la variable física es igual en todos los puntos del flujo. Por ejemplo, en un flujo uniforme
la velocidad de todas las partículas es la misma en cualquier instante de tiempo, por tanto, la velocidad no va
a depender de la posición de la partícula de fluido, aunque puede variar en el tiempo.
Flujo rotacional
Es el flujo en el que en cada punto no tiene velocidad angular neta con respecto a ese punto, es decir no tiene
momento angular. Por tanto el campo rot V=0 .
En la mayoría de los flujos en movimiento existen partículas que describen trayectorias elípticas, esto es
debido a la viscosidad, o a las altas velocidades o presiones dentro del flujo.
Flujo laminar
Se caracteriza porque el movimiento de las partículas del fluido se produce siguiendo trayectorias bastante
regulares, separadas y perfectamente definidas dando la impresión de que se tratara de laminas o capas mas o
menos paralelas entre si, las cuales se deslizan suavemente unas sobre otras, sin que exista mezcla
macroscópica o intercambio transversal entre ellas. En este flujo las partículas se mueven en trayectorias
independientes de las partículas de capas adyacentes.
Flujo turbulento:
Este tipo de flujo es el que mas se presenta en la practica de ingeniería. En este tipo de flujo las partículas del
fluido se mueven en trayectorias erráticas, es decir, en trayectorias muy irregulares sin seguir un orden
2
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
establecido, ocasionando la transferencia de cantidad de movimiento de una porción de fluido a otra, de modo
similar a la transferencia de cantidad de movimiento molecular pero a una escala mayor
Fluido Incompresible
Es aquel en los cuales los cambios de densidad de un punto a otro son despreciables, es decir:
∂ρ
=0
∂t
En este caso la variación de volumen debida a la variación de presión es despreciable.
Fluido Viscoso
La viscosidad es la propiedad de los fluidos de manifestar fuerzas internas de fricción o resistencia cuando se
hace que una capa del fluido se mueva respecto de otra paralela.
Un fluido no viscoso: Es aquel para el cual la fuerza de fricción interna es despreciable en comparación con
otras fuerzas. Un fluido que presenta fricción interna muestra una resistencia a su movimiento.
En general, a las sustancias que presentan una resistencia muy pequeña, o nula, a ser deformados se les
conoce como fluidos newtonianos, en tanto que, a las sustancias que presentan mayor resistencia se les llaman
fluidos no newtonianos
* Fluidos ideales en movimiento. No existen esfuerzos cortantes en el movimiento del fluido. Los fluidos
reales tienen viscosidad lo que produce esfuerzos tangenciales entre capas del fluido en movimiento.
Para el estudio de las propiedades de los fluidos en movimiento, consideraremos un fluido ideal que sea
incompresible, no viscoso y se establezca un flujo irrotacional, estacionario y laminar.
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
La ecuación de continuidad representa uno de los teoremas de conservación estructural de la física: la
conservación de la masa.
Consideremos el flujo de un fluido como se indica mediante las líneas de corriente de la fig. 4 . Tomaremos
como objeto de estudio un elemento de volumen V que se encuentra en el seno del fluido. Este elemento de
volumen, en un instante de tiempo t está determinado por líneas de corriente que son perpendiculares a las
áreas en A1 y A2 correspondientemente a los puntos M y N. Transcurrido un breve intervalo dt, el fluido se ha
desplazado y sus nuevos límites están determinados por los puntos M + dr y N + dr’. El pequeño volumen que
se ha desplazado el volumen V es dV = A1 dr en M y dV’ = A2 dr’ en el punto N.
N+dr’
A2
v2
dr’
N
N
v1
dr
M+dr
A1
M
M
Fig. 4 Tubo de corriente
Pero la masa se conserva en el flujo estacionario, esto es la masa que cruza por A1 es igual a la masa que pasa
por A2 en el intervalo de tiempo dt.
Esto es:
3
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
La masa que desplaza en M es
dm1 = ρ1dV = ρ1 ( A1dr )
En N
dm2 = ρ 2 dV = ρ 2 ( A2 dr )
Por el principio de conservación de la masa, la cantidad de masa dm1 que se desplaza en M en un intervalo de
tiempo dt, es igual a la cantidad de masa dm2 que se desplaza en N para el mismo intervalo de tiempo dt
dm1 dm2
=
dt
dt
ρ1 ( A1dr ) ρ 2 ( A2 dr ')
=
dt
dt
dr
dr '
ρ1 A1 = ρ 2 A2
dt
dt
ρ1 A1v1 = ρ 2 A2 v2
Luego, para un fluido incompresible
ρ1 = ρ 2
A1v1 = A2v2
El caudal Q de un flujo se define como la cantidad de volumen que fluye por una sección transversal de un
tubo de corriente en un determinado intervalo de tiempo
Q=
dVolumen
dt
De donde
Adr
dt
Adr
Q=
dt
Q = Av
Q=
De modo que de acuerdo al ecuación de continuidad el caudal permanece constante.
Ejemplo:
Aplicando la ecuación de continuidad a un tubo con estrechamiento encontramos que a mayor área de la
sección transversal del tubo menor es la rapidez con que fluye.
Q=Q
AV
1 1 = A2V2
si
A1
A2
A1 > A2
V1 < V2
V1
V2
Fig. 5. A menor área fluye con mayor rapidez
4
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
Ejemplo:
Tubo con dos salidas
Q1 = Q2 + Q3
Q3
Q1
Q2
Fig. 6. En tubo con dos salidas el caudal de entrada es igual a la suma de los caudales de salida
Ejemplo
A un recipiente cilíndrico se le hecha líquido con cierto caudal Q1 , el recipiente tiene un orificio de salida por
el que sale un caudal Q2, el caudal que queda en el cilindro es: Q3=Q1-Q2
Q1
Q3
Q2
Fig. 7. Cilindro con un orificio de salida
Ejemplo
La fig. 8 muestra la confluencia de dos corrientes que forman un río. Una corriente tiene una anchura de 8m,
una profundidad de 3m, y una velocidad de 3m/s. La otra corriente tiene 6m de anchura, 2m de profundidad, y
fluye a razón de 1m/s. La anchura del río es de 10m y profundidad 2,5m ¿Cuál es la rapidez de la corriente en
el río?.
Por el principio de continuidad:
Qc1 + Qc 2 = Qrío
Ac1Vc1 + Ac 2Vc 2 = AríoVrío
(8 x3m 2 )(3m / s ) + (6 x 2m 2 )(1m / s ) = (10 x 2,5m2 )V
Vrío = 3,36m / s
Fig. 8. Confluencia de dos corrientes que forman un río
ECUACIÓN DE BERNOULLI
Este teorema es de gran importancia en el estudio de la dinámica de fluidos, ya que nos proporciona una
relación entre la presión y la velocidad dentro del fluido. Este principio sólo se cumple en fluidos ideales (no
compresibles), pero en la práctica se aplica en el diseño de superficies aerodinámicas (alas, hélices, etc).
La ecuación de Bernoulli se deduce de las leyes fundamentales de la mecánica Newtoniana. Se deduce del
teorema del trabajo y la energía, porque esencialmente es un enunciado del teorema del trabajo y la energía
para el flujo de los fluidos. El teorema del trabajo y la energía establece:
5
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
"El trabajo de fuerzas externas aplicado a un sistema, se emplea en variar la energía total del mismo"
Fig. 9. Aplicación del Teorema del trabajo y energía en un fluido ideal
Consideremos un fluido se mueve desde el punto 1 a 2 (Fig. 9), cuando se modifican su rapidez o su altura, la
presión también cambia.
La fuerza de la presión p1 en el extremo inferior (punto 1) del tubo de área A1 es
F1 = p1 A1
El trabajo realizado por esta fuerza sobre el fluido es
W1 = F1 ∆x1
W1 = p1A1 ∆x1
W1 = p1∆V1
Donde ∆V1 es el volumen que se desplaza en 1
De manera equivalente, si se considera un mismo intervalo de tiempo, en el punto 2 la fuerza de la presión p2
en el extremo superior del tubo de área A2 es
F2 = p 2 A 2
Y realiza trabajo negativo por oponerse al desplazamiento de
W2 = -F2 ∆x 2
W2 = -p 2 A 2 ∆x 2
W2 = -p 2 ∆V2
Además a que considera, por la ecuación de continuidad en un intervalo de tiempo ∆t, los volúmenes
desplazados en 1 y 2 son iguales.
∆V1 = ∆V2 = ∆V
El trabajo neto realizado por las fuerzas en el intervalo de tiempo ∆t es:
W = W1 +W2
W = p1∆V1 − p 2 ∆V2
W = (p1 − p 2 )∆V
Parte de este trabajo se usa en cambiar tanto la energía cinética como la energía potencial gravitacional del
fluido. Si ∆m es la masa que pasa por el tubo de corriente en el tiempo ∆t, entonces de acuerdo al teorema del
trabajo y la energía que relaciona la variación de energía cinética y la variación de energía potencial
gravitacional es:
6
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
W = ∆EC +∆E Pg
1
1
W = ( ∆m 2 v22 − ∆m1v12 )+(∆m 2 gy2 − ∆m1 gy1 )
2
2
Pero por la ecuación de continuidad
∆m 2 = ∆m1 = ρ∆V
Luego
1
1
( ρ∆V )v22 − ( ρ∆V )v12 +( ρ∆V ) gy2 − ( ρ∆V ) gy1
2
2
1 2 1 2
p1 − p 2 = ρ v2 − ρ v1 +ρ gy2 − ρ gy1
2
2
1 2
1
p1 + ρ v1 +ρ gy1 = p 2 + ρ v22 +ρ gy2
2
2
(p1 − p 2 )∆V =
La última expresión se denomina la Ecuación de Bernoulli, y debe advertirse que aplica a una determinada
línea de corriente.
En la ecuación de Bernoulli, la presión p + ρgy , que existe cuando v = 0, recibe el nombre de presión
estática y el término ½ ρ v2 recibe el nombre de presión dinámica.
La idea básica de la ecuación de Bernoulli es que la presión en un fluido con flujo uniforme, disminuye
cuando aumenta la velocidad. Esto es consecuencia de que la energía total del fluido permanece constante. A
este efecto se conoce también como Efecto Venturi.
El teorema afirma que la energía total de un sistema de fluidos con flujo uniforme permanece constante a
lo largo de la trayectoria de flujo, trayendo como consecuencia, que el aumento de velocidad del fluido
debe verse compensado por una disminución de su presión.
El término W=∆P∆V representa el trabajo que el fluido hace sobre el elemento de volumen ∆V, y encontramos que
este trabajo no depende de los detalles del proceso, sino sólo de los estados inicial y final. Por lo tanto, es tentador
pensar en ∆P∆V como en el potencial asociado a la fuerza que el resto del fluido hace sobre el elemento de volumen,
y entonces postulamos que el Teorema de Bernoulli expresa la conservación de la energía mecánica del elemento
de volumen. Para que este postulado sea cierto, deberíamos responder la siguiente pregunta:
¿Es conservativa la fuerza que el fluido hace sobre un objeto sumergido en él?
La respuesta más general a esta pregunta es un rotundo NO. Pero será un SÍ si nos restringimos a las siguientes
hipótesis:
1) El objeto interactúa con el fluido sólo a través de la presión (no hay “rozamiento”, ni fuerzas vinculadas a la
existencia de una interfase, ni nada).
2) El objeto no cambia de volumen.
3) El objeto no modifica el estado del fluido circundante.
4) El fluido fluye en forma laminar y estacionaria.
Si respondemos con un sí a la pregunta bajo las hipótesis enumeradas, entonces podremos encontrar un potencial para
la fuerza que hace el fluido sobre un objeto sumergido.
APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI
Medidor de Venturi
El medidor de Venturi se usa para medir la velocidad de flujo de un fluido.
Vamos aplicar la Ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 del medidor de Venturi (Fig.10), para lo cual
tomaremos de referencia la línea de corriente central, de modo que al enmontarse los puntos 1 y 2 al mismo
nivel el termino de la energía potencial es cero.
7
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
1
1
p1 + ρ v12 = p 2 + ρ v22
2
2
1 2 1 2
p1 − p 2 − ρ v1 = ρ v2
2
2
2(p1 − p 2 ) 2
v2 =
− v1
v1
2
1
ρ
De modo que conociendo la diferencia de
presiones entre 1 y 2 se puede determinar
la rapidez en 2.
Fig. 10 Medidor de Venturi
Otro resultado importante del medidor de Venturi, es la relación de las presiones entre 1 y 2. Como se ha
determinado de acuerdo a la ecuación de continuidad la rapidez en 2 es mayor que en 1
De donde:
1 2
1
ρ v1 = p 2 + ρ v22
2
2
1 2 1 2
p1 − p 2 = ρ v2 − ρ v1
2
2
1
p1 − p 2 = ρ (v22 − v12 )
v2 > v1
2
1
p1 − p 2 = ρ (v22 − v12 ) > 0
2
p1 − p 2 > 0
p1 +
p1 > p 2
Encontramos que a mayor rapidez del fluido menor es la presión que ejerce, a este resultado se le llama
Efecto Venturi
Aplicaciones del Efecto Venturi
El Efecto Venturi no permite comprender el flujo sobre superficies, como las alas de un avión o las hélices de
un barco. Las alas están diseñadas para que obliguen al aire a fluir con mayor velocidad sobre la superficie
superior que sobre la inferior, por lo que la presión sobre esta última es mayor que sobre la superior. Esta
diferencia de presión proporciona la fuerza de sustentación o ascensional dinámica, que mantiene al avión en
vuelo. Una hélice también es un plano aerodinámico, es decir, tiene forma de ala. En este caso, la diferencia
de presión que se produce al girar la hélice proporciona el empuje que impulsa al barco.
Se llama fuerza ascensional dinámica a la fuerza que obra sobre un cuerpo debido a su movimiento a través de
un fluido. Esta fuerza aparece por ejemplo: en el ala de un avión en movimiento, en una pelota de fútbol o
béisbol que va girando. Se debe distinguir la fuerza ascensional dinámica de la fuerza ascensional estática. La
fuerza ascensional estática es la fuerza de flotación que obra sobre un objeto como consecuencia del principio
de Arquímedes. Esta fuerza aparece por ejemplo en un globo de aire, en un cuerpo que flota en el agua.
El efecto venturi, también se emplea en las toberas, donde se acelera el flujo reduciendo el diámetro del tubo,
con la consiguiente caída de presión. Asimismo se aplica en los caudalímetros de orificio, también llamados
8
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
tubos de Venturi. También son aplicaciones de este fenómeno la trompa de agua, que es un aparato utilizado
en los laboratorios para hacer el vacío, los pulverizadores y el mechero Bunsen.
En un motor: el carburador aspira el carburante por efecto Venturi, mezclándolo con el aire (fluido del
conducto principal), al pasar por un estrangulamiento.
Fuerza ascensional sobre una pelota que se mueve girando como se muestra en la Fig.11. Para realizar este
análisis es más conveniente examinar la situación tomando como marco de referencia aquél en el cual la
pelota se encuentra en reposo y es el aire el que se mueve con respecto a ella. Esto se puede conseguir en un
túnel de aire.
(a)
(b)
(c)
Fig. 11 Pelota que se mueve girando en medio del aire: Efecto Magnus
La Fig.11 (a), muestra una pelota que se mueve hacia la izquierda, por lo tanto el aire que rodea la pelota se
desplaza con respecto a ésta hacia la derecha, teniendo una velocidad V tanto en los puntos 1 y 2 que quedan
sobre y bajo ella.
La Fig.11 (b), muestra una pelota que gira en sentido horario, puesto que la pelota no es perfectamente lisa
ella arrastra algo de aire consigo en el mismo sentido, por lo tanto la velocidad del aire en las posiciones 1 y 2
está dada VR1 y VR 2 .
La Fig.11 (c), muestra la superposición de ambos movimientos. En ella podemos ver que la velocidad del
fluido en el punto 1 es mayor que la velocidad en el punto 2.
Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 2 de la Fig. 11(c), considerando a demás que la densidad
del aire y la separación entre los puntos 1 y 2 es pequeña tenemos:
V1 > V2 de donde encontramos que P1 < P2 , es decir que la presión del aire en la parte inferior de la pelota
es mayor que en la parte superior, de manera que hay una fuerza resultante ascendente que actúa sobre la
pelota.
Cuando se utiliza un tubo de Venturi hay que tener en cuenta un fenómeno que se denomina cavitación. Este
fenómeno ocurre si la presión en alguna sección del tubo es menor que la presión de vapor del fluido. Para este tipo
particular de tubo, el riesgo de cavitación se encuentra en la garganta del mismo, ya que aquí, al ser mínima el área y
máxima la velocidad, la presión es la menor que se puede encontrar en el tubo. Cuando ocurre la cavitación el líquido
se vaporiza, generan burbujas que se trasladan a lo largo del tubo. Si estas burbujas llegan a zonas de presión mas
elevada, pueden colapsar produciendo así picos de presión local con el riesgo potencial de dañar la pared del tubo. Se
generan también problemas como ruido, vibraciones y daño a los elementos.
Ejemplo
La sección transversal del tubo ilustrado en la Fig.12 es de 60cm2 en las partes anchas y de 30cm2 en el
estrechamiento. La descarga de agua del tubo es de 5lit/s. (a) Hállense las velocidades de las partes ancha y
estrecha, (b) hállese la diferencia de presión entre estas partes, (c) Hállese la diferencia de altura h entre las
columnas de mercurio del tubo en U.
9
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
A1
A2
Tenemos:
A1 = 60cm 2
A2 = 30cm 2
Q = 5lit / s = 5dm3 / s = 5000cm3 / s
a) Por continuidad
Q = AV
1 1 ⇒ 5000 = 50V1 ⇒ V1 = 100cm / s = 1m / s
Q = A2V2 ⇒ 5000 = 25V2 ⇒ V2 = 200cm / s = 2m / s
Fig. 12 Medidor de Venturi
b) Aplicamos el ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 2 que están al mismo nivel
1
1
ρV12 = p 2 + ρV22
2
2
1
1000 2 2
p1 − p 2 = ρ (V22 − V12 ) =
(2 − 1 ) = 1500 Pa
2
2
p1 +
c) Altura h, en el tubo en U el líquido está en reposo por lo que hidrostáticamente encontramos
P1 − P2 = ρ gh = 1500 Pa
13, 6 x103 (9,8)h = 1500 Pa ⇒ h = 0, 0112m = 1,12cm
Ejemplo
Consideremos un tubo de Venturi con tres tomas de presión estática verticales (ver Fig.13). Los radios
internos de la sección principal y del estrechamiento son 20 y 10cm respectivamente. Cuando circula un
caudal de agua de 100l/s, el nivel del agua en los tubos de la izquierda y derecha se encuentra a 1,0m por
encima del eje de la tubería. a) ¿Hasta qué altura subirá el agua por el tubo central?, b) ¿Cuál es la presión
manométrica en los puntos A y B?, c) ¿Para qué caudal de agua se succionará aire por el tubo central?.
Determinamos el área de cada sección en A y B
AA = π r 2 = π (0, 2m) 2 = 12,56 x10−2 m2
AB = π r 2 = π (0,1m)2 = 3,14 x10−2 m2
AA = 4 AB
Recordemos
1l = 1dm3 = 10−3 m3
Fig. 13 tubo de Venturi con tres tomas
La rapidez en cada que atraviesa cada sección
Q = 100l / s = 100 x10−3 m3 / s
Q = AAVA ⇒ VA = 0,80m / s
Q = ABVB
⇒ VB = 3, 20m / s
VB = 4VA
(a)
Para calcular la altura que alcanza el líquido en B, aplicamos la Ecuación de Bernoulli entre los puntos
AyB
10
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
1
1
p A + ρVA2 = p B + ρVB2
2
2
1
p B = p A + ρ (VA2 − VB2 ) = ρ gh
2
pA
1
h=
+
[V 2 − (4VA )2 ]
ρ g 2g A
ρ gH 15 2
15
h=
−
VA = H − VA2
ρ g 2g
2g
15
h = 1−
(0,8) 2 ⇒ h = 0,51m = 51cm
2 x9,8
(b) La presión en A determina que el líquido ascienda en el tubo vertical una altura H=1m, luego la presión
manométrica en A es:
PA = ρ gH = 103 x10 x1Pa = 104 Pa
PB = ρ gh = 103 x10 x(0,51) Pa = 0,51x104 Pa
(c)
Aplicamos la Ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B, de modo tal que la presión absoluta en PB
sea cero
1
1
(p o +p A ) + ρVA2 = ρVB2
2
2
1
(p o +p A ) = ρ (VB2 − VA2 )
2
1
(p o +p A ) = ρ[(4VA ) 2 − VA2 ]
2
2(p o +p A )
15
(p o +p A ) = ρVA2 ⇒ VA =
2
15ρ
Q = AAVA = AA
2(p o +p A )
2 x(1x105 + 1x104 )
⇒ Q = 12,56 x10−2
15ρ
15 x103
Q = 0, 48m3 / s
Ley de Torricelli
Consideremos un tanque con un nivel de líquido h, que descarga en forma natural por un orificio pequeño
ubicado en su base, tal como lo muestra la Fig.14. Asumiremos que el área del orificio de salida del líquido es
mucho menor que el área de la sección transversal del taque.
debe observarse que la presión en el punto 2 de salida es la presión atmosférica Po, luego Aplicando al
Ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 de la línea de corriente que se ilustra en la Fig. 14,
11
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
1
p1 +
Po
1 2
1
ρ v1 +ρ gy1 = p 2 + ρ v22 +ρ gy2
2
2
1
1
po + ρ v12 +ρ gh = p o + ρ v22
2
2
Aplicando la ecuación de continuidad
h
A1v1 = A2v2
v1 =
2
NR
V2
A2
v2
A1
Entonces:
Fig. 14 Tanque que descarga por un orificio pequeño
1 A2 2
1
ρ ( v2 ) +ρ gh = ρ v22
2 A1
2
v2 =
2 gh
A
1 − ( 2 )2
A1
De modo que si
A1 ≫ A2
⇒
A2
A
≪ 1 ⇒ ( 2 )2 → 0
A1
A1
Luego la velocidad de salida queda v2 = 2 gh
Resultado que se conoce como la Ley de Torricelli, y es análogo a al caída libre de un cuerpo una altura h.
Ejemplo
A un tanque como el mostrado en la Fig. 15 , se le practica un orificio de 2cm2 a una profundidad de 4m con
respecto a la superficie del agua que contiene. Este tanque es utilizado para llenar un pequeño depósito 1,2m3,
¿en cuánto tiempo se llena el pequeño depósito?. Considere que la superficie libre del líquido en el tanque es
muy grade comparada con la superficie del orificio.
1
Aplicando la Ley de Torricelli
V2 = 2 gh ⇒ V2 = 2 x9,8 x 4 = 8,85m / s
4m
El caudal de salida
Q = A2V2
NR
2
V2
Q = 2 x10−4 m 2 x8,85m / s ⇒ Q = 2 x10−4 m 2 x8,85m / s
Q = 1, 77 x10−3 m3 / s
Fig. 15 Tanque con una salida
El caudal se considera constante en la medida que la altura no cambia, mas considerando que el área de salida
es muy pequeña respecto a la superficie libre del líquido; de modo que el tiempo que tarde en completar
1,2m3 es
Q=
Volum
1, 2m3
⇒t =
= 677,97 s = 11min17,97 s
t
1, 77 x10−3 m3 / s
12
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
Tubo de Pitot
El Tubo de Pitot es un aparato se usa para medir la rapidez del flujo de un gas de densidad ρ mediante el uso
de un manómetro
En el tubo de Pitot mostrado en la Fig.16, el manómetro es un tubo en forma de U que contiene un fluido de
densidad ρ´. Consideremos a dicho gas, por ejemplo el aire, fluyendo por las aberturas en a. Estas aberturas
son paralelas a la dirección del flujo y están situadas lo suficientemente lejos como para que la velocidad y la
presión fuera de ellas tengan los valores del flujo libre. Por lo tanto la presión en el brazo izquierdo del
manómetro, está relacionado a la velocidad del flujo y es la presión Pa. La abertura del brazo derecho del
manómetro es perpendicular a la corriente. La velocidad se reduce a cero en el punto b y el gas se estanca en
ese sitio (punto de estancamiento). La presión en b es la presión total de empuje Pb: Por lo tanto, al aplicar la
ecuación de Bernoulli en los puntos a y b obtenemos:
1 2
1
ρ va = Pb + ρ vb2
2
2
1
Pa + ρ va2 = Pb
2
1
Pb -Pa = ρ va2
2
Pa +
Pa
Pb
Hidrostáticamente
Pb − Pa = ρ gh
Fig. 16 Tubo de Pitot
De donde obtenemos la rapidez del flujo del gas:
1
2
ρ´gh = ρ va2 ⇒ va =
2 ρ´gh
ρ
Ejemplo:
Analicemos la presión sobre dos tubos ubicados como indica la Fig.17. En la base del primero fluye el
líquido con rapidez V, en tanto que el otro manómetro tiene una de sus aberturas perpendicular al flujo,
alcanzándose su punto de estancamiento, es decir el fluido queda en reposo.
H
h
V
1
2
Fig. 17 Presión en tubos verticales
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 tenemos:
1 2
1
ρ v1 = P2 + ρ v22 ⇒ v2 = 0
2
2
1
P2 -P1 = ρ v 2
2
P1 +
Encontramos que la presión en 2 es mayor que en 1: P2 > P1
Donde:
P1 es la presión del líquido en el punto 1
P2 es la presión hidrostática del líquido, a dicho tubo se denomina tubo piezométrico.
13
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
El resultado anterior nos indica que cuando el líquido fluye la presión que ejerce disminuye en un factor
1 2
ρ v que corresponde a la rapidez con que fluye.
2
De modo que se puede establecer la siguiente relación
P1
P
= 1
ρg γ
P
P
P2 = ρ gH ⇒ H = 2 = 2
ρg γ
P1 = ρ gh ⇒ h =
Y aplicando a la Ecuación de Bernoulli, obtenemos la relación entre las alturas
H ρ g -h ρ g =
H = h+
1 2
ρv
2
1 2
v
2g
Lo que mostramos en la figura
1 2
v
2g
H
h
V
Fig. 18 La presión en el tubo piezométrico corresponde a la altura H, que se denomina altura piezométrica.
TUBOS PIEZOMÉTRICOS. Sirven para medir la presión estática. Si colocamos en dos secciones de la
vena líquida en movimiento, unos tubos que no produzcan ningún tipo de perturbación en la corriente, el
líquido alcanzará en ellos un cierto nivel que representa la altura piezométrica o manométrica.
Demostración general del Ecuación de Bernoulli
Consideremos un fluido incomprensible, sin viscosidad y que fluye en régimen estacionario. En una
determinada línea de corriente, tomamos una partícula del líquido de área dA y ancho ∂l , ubicado como se
muestra en la Fig. 19.
F´=P´dA
∂l
F=PdA
θ
θ
dW
y
∂y
∂y
= cos θ
∂l
Nivel de referencia
Fig. 19 Diferencial de volumen de l líquido en una línea de corriente
Observamos que:
La presión varía a lo largo de la línea de corriente, por lo que:
14
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
P´= P +
∂P
dl
∂l
El peso del la partícula del líquido es:
dW = (dm) g
dW = ( ρ dAdl ) g
La aceleración tangencial
dV
dt
dV dl
dV
aT =
( ) =V
dt dl
dl
aT =
Para un flujo estacionario la velocidad en un punto determinado no varía con el tiempo, sin embargo puede
cambiar de un punto a otro, por lo que:
aT = V
∂V
∂l
Identificamos las fuerzas sobre la partícula del líquido y aplicamos la Segunda Ley de Newton de las fuerzas
tangenciales:
F − F´−dW cos θ = (dm)aT
PdA − ( P +
∂P
∂y
∂V
dl )dA − ρ (dAdl )( ) = ρ (dAdl )V
∂l
∂l
∂l
Simplificando
∂P
∂y
∂V
− ρ g ( ) = ρV
∂l
∂l
∂l
∂V ∂P
∂y
+
+ ρ g( ) = 0
ρV
∂l ∂l
∂l
1
∂ ( ρV 2 )
∂P ∂ ( ρ gy )
2
+
+
=0
∂l
∂l
∂l
1
∂ ( ρV 2 + P + ρ yg )
2
=0
∂l
1
ρV 2 + P + ρ yg = cons tan te
2
−
Ecuación de Bernoulli que también se puede expresar como
1 2 P
V + + yg = cons tan te
2
ρ
Considerando el peso específico γ =
ρg
V2 P
+ + y = cons tan te
2g γ
15
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
A la suma de los términos
P
γ
+ y se le denomina carga piezométrica y a la suma de los términos:
V2 P
+ + y carga total.
2g γ
La ecuación de Bernoulli lo pedemos visualizar según la figura
V2
2g
P
P
γ
+
1 2
v
2g
γ
Carga total
y
NR
Fig.20 La carga total en el flujo de un líquido sin viscosidad se mantiene constante
EQUIPOS DE BOMBEO
La elevación e impulsión de líquidos ha sido un problema difícil de resolver satisfactoriamente en tiempos
atrás y ocupa un amplio campo en la técnica de la ingeniería actual. Extraer agua de los pozos, almacenándolo
en la superficie, impulsarlo a cotas convenientes, en una palabra transportar un liquido de un nivel inferior a
otro superior, es el objeto y fin de las máquinas de bombeo.
Existen en estos momentos un gran número de diferentes bombas, para usarse en la elevación del agua, pero
son pocos los tipos que puedan utilizarse en forma económica, ya que no todas cumplen con las necesarias
condiciones de eficiencia.
Una bomba hidráulica es una máquina que convierte la emergía mecánica en energía hidráulica que se
manifiesta con un incremento de la velocidad y presión del fluido que circula por su interior.
Potencia de una Bomba:
Para lograr su objetivo la bomba debe realizar un trabajo, es decir elevar un peso F a una altura H, y debe
disponer de una potencia si este trabajo se efectúa en una unidad de tiempo.
W
t
mgh
P=
t
γ Vh
P=
t
P = γ Qh
P=
Se define potencia hidráulica transmitida por la bomba al fluido a:
Ph = γ Q H
Ph : Potencia en vatios
γ: Peso especifico del agua
16
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
Q : caudal en m3/s
H : en metros
La potencia hidráulica no es la potencia mecánica que es necesaria para mover el rodete. En otras palabras no
nos indica la potencia mecánica necesaria para obtener la correspondiente potencia hidráulica. La existencia
de rozamientos y pérdidas en el interior de la bomba es la razón de esta circunstancia.
Se define rendimiento de la bomba a la expresión:
η=
Ph
Pm
Ph : potencia hidráulica de la bomba.
Pm :potencia mecánica (potencia necesaria para accionarla).
Ejemplo
Se bombea continuamente agua que se extrae de un sótano inundado con una velocidad de 5,5m/s por medio
de una manguera uniforme de 20mm de radio. La manguera pasa por una ventana situada a 3m sobre el nivel
del agua ¿Cuánta potencia proporciona la bomba?.
Tenemos:
V = 5,5m / s
A = π r 2 = π (10 x10−3 m) 2 = 3,14 x10−4 m 2
Q = AV = (3,14 x10−4 m 2 )5,5m / s = 1, 73 x10−3 m3 / s
Sabemos que la potencia de una bomba es:
Ph = γ QH
Ph = (9,8 x103 N / m3 )(1, 73 x10−3 m3 / s )3m
Ph = 50,86W
FLUJO VISCOSO
La viscosidad es la resistencia que presentan las capas de los líquidos para deslizarse unas sobre otras.
El coeficiente de viscosidad η es el parámetro que caracteriza la viscosidad.
Supongamos un fluido contenido entre dos grandes láminas planas y paralelas de área A separadas entre si por
una pequeña distancia “y” (Fig. 21a). Al tiempo t<0 el sistema está en reposo, para t=0 se aplica a la lámina
superior una fuerza tangencial F, que le imprime un movimiento de dirección x con una velocidad constante
V.
Considerando un flujo estacionario laminar, las capas de fluido en contacto con la placa superior adquieren un
movimiento de dirección x y lo propagan a las capas inferiores en la dirección y. El desplazamiento de la
capas sucesivas se debe a la presencia de esfuerzos de corte que producen el desplazamiento relativo de una
placa respecto a la otra.
A
y
A
F
V
y
V=0
Fig. 21 (a) Dos placas en reposo (b) Desplazamiento de una placa sobre otra en medio de un fluido viscoso. A
mayores t el perfil de velocidad se va modificando hasta alcanzar el estado.
17
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
Se puede determinar que cuando aumenta el esfuerzo de corte
σ=
F
en la parte superior de la superficie
A
aumenta la rapidez V de la placa en relación a y (a la relación entre la rapidez y la distancia y se le denomina
gradiente de velocidad); esto significa que existe una vinculación entre esfuerzo de corte aplicado y la
gradiente de velocidad; de manera que la relación entre el esfuerzo viscoso de corte y la gradiente de
velocidad caracteriza la resistencia que ofrece el fluido al movimiento entre las placas, cuando la dicha
relación es constante se tiene:
η =
F
V
A
y
Donde al coeficiente constante η se le denomina coeficiente de viscosidad. Esta ecuación es válida para flujo
laminar y no todos los fluidos la cumplen. Aquellos que si la cumplen reciben el nombre de fluidos
newtonianos. Los fluidos que no cumplen la ley de Newton de la viscosidad se denominan no-newtonianos y
su estudio es el objetivo de una ciencia llamada reología
La aparición del esfuerzo de corte viscoso debido a la presencia de un gradiente de velocidad existe en cada
plano del fluido y es el responsable de la deformación continua del fluido haciendo que este fluya. Si la
expresión anterior se aplica a un elemento de volumen de fluido de espesor dy y de área ∆A, tendremos
∆F
η =
∆F
dV
∆A
∆F
V+dV
dy
dy
V
dy
Fig.22. Elemento de un fluido de espesor dy y área ∆A, sometida a esfuerzo viscoso. La placa superior se
mueve respecto de la inferior a a la velocidad relativa dV
Ley de Poiseuille
El caudal que circula por una tubería en régimen laminar viene dado por la ecuación de Poiseuille.
Consideremos un tubo de radio R por el fluye un fluido viscoso en condiciones de flujo laminar estacionario e
incompresible.
Consideramos que las láminas en la que fluye el líquido está constituido de cilindros concéntricos. Ahora
tomamos para el análisis una lámina cilíndrica de espesor dr, en ella evaluamos la fuerza de viscosidad, para
velocidad constante la fuerza de viscosidad debe ser igual a la fuerza que genera la diferencia de presiones en
el cilindro sólido del interior, así
V-dV
V
P1
P2
r
dV
dr
F = P1 (π r 2 ) − P2 (π r 2 ) = ∆P (π r 2 )
F =η A
∆P(π r 2 ) = η (2π rL)
(−dV )
dr
r
V
0
Vo
−∆P ∫ (rdr ) = η (2 L ) ∫ dV
L
Fig. 23. Flujo viscoso en una tubería circular
18
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
Del resultado anterior, encontramos que la distribución de velocidades en la tubería circular corresponde a
una función parabólica dada por,
V = Vo −
∆P 2
r
4η L
Vo
Fig. 24 Distribución parabólica de velocidades en un flujo viscoso laminar en una tubería circular
El resultado nos muestra que la rapidez del flujo disminuye a medida que se acerca a la pared de la tubería,
donde la rapidez es cero. La máxima rapidez del flujo está en el centro de la tubería, de modo que para r = R
encontramos V= 0; reemplazando, obtenemos la rapidez máxima Vo
0 = Vo −
∆P 2
R
4η L
⇒ Vo =
∆P 2
R
4η L
La rapidez máxima en la tubería es:
Vmax =
∆P 2
R
4η L
La rapidez V para un radio r, resulta
∆P 2 ∆P 2
R −
r
4η L
4η L
∆P 2 2
V=
(R − r )
4η L
V=
Caudal en la tubería
Determinamos un diferencial de superficie dA de forma de un anillo circular de ancho dr, por el que fluye un
diferencial de caudal dQ, de modo que:
dQ = VdA
Donde:
dA = 2π rdr
∆P 2 2
V=
(R − r )
4η L
Luego
∆P 2 2
dQ =
( R − r )2π rdr
4η L
∆P R 2 2
∫ dQ = 4η L ∫0 ( R − r )2π rdr
∆P
r2 r4 R
Q=
2π ( R 2 − ) 0
4η L
2 4
∆P
π R4
Q=
8η L
V
r
Fig. 25 Caudal en un dA del cilindro
19
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
Este resultado nos indica que para mantener un flujo estacionario viscoso es necesario aplicar una diferencia
de presiones entre sus extremos, ello porque la fuerzas constantes viscosas generan una caída en la presión .
L
∆h
Q
Fig. 26 Caída de presión en un flujo viscoso
La caída de presión por unidad de longitud para un régimen estacionario, es
∆P
Q
=
8η = cons tan te
L π R4
De donde
∆ P = ρ g ∆h
∆h
Q
=
8η = cons tan te
L πρ gR 4
Obsérvese que el caudal en la una tubería circular está relacionado con una diferencia de presión, de modo
que podemos expresarla de la siguiente forma
∆P = (
8η L
)Q
π R4
El término en paréntesis se denomina resistencia al flujo en una tubería circular,
ℝ=
8η L
π R4
La resistencia al flujo, en general depende de dos aspectos; primero, aspectos geométricos del conducto por
donde fluye el líquido y segundo, las propiedades internas del fluido en este caso caracterizado por la
viscosidad.
El caudal total en la tubería se pude expresar como
Q = VA
Donde
V se denomina la velocidad media en la tubería y A es el área de la sección transversal de la tubería.
Ejemplo
Resistencia equivalente de tuberías conectadas en serie.
Consideremos dos tuberías conectadas una a continuación del otro, considerando un flujo laminar viscoso y
despreciando los efectos de la unión de las tuberías.
Q1
∆P1
∆P2
Q2
≈
Q
∆P
Fig. 27 Tubos conectados en serie
Por el principio de continuidad el caudal en cada tubería es el mismo, de modo que
Q1 = Q2 y además cumple
∆P1 = ℝ 1Q1
∆P2 = ℝ 2Q2
20
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
El sistema equivalente será una tubería cuya resistencia relacione
∆P = ℝQ
Donde
Q1 = Q2 = Q
y
∆P = ∆P1 + ∆P2
De donde
ℝQ = ℝ1Q + ℝ 2Q
ℝ = ℝ1 + ℝ 2
Demuestre que la resistencia equivalente de una disposición de tuberías conectadas en paralelo es:
1
1
1
=
+
ℝ ℝ1 ℝ 2
La viscosidad es una medida de la resistencia del fluido a su movimiento y caracteriza la tensión interna en un
fluido.
Fig. 28 Comportamiento comparativo de fluidos comunes
Número de Reynolds
Para caracterizar el movimiento de un objeto en relación con un fluido se usa el número de Reynolds. El
número de Reynolds es uno de los números adimensionales mas utilizados. La importancia radica en que
determina el régimen con que fluye un líquido, lo que es fundamental para el estudio del mismo.
Cuando un líquido fluye en un tubo y su velocidad es baja, fluye en líneas paralelas a lo largo del eje del tubo;
a este régimen se le conoce como flujo laminar. Conforme aumenta la velocidad y se alcanza la llamada
velocidad crítica, el flujo se dispersa hasta que adquiere un movimiento de torbellino en el que se forman
corrientes cruzadas y remolinos; a este régimen se le conoce como flujo turbulento (ver la Fig. 29-b). El paso
de régimen laminar a turbulento no es inmediato, sino que existe un comportamiento intermedio indefinido
que se conoce como régimen de transición.
(a)
(b)
Fig. 29 (a) Flujo laminar (b) flujo turbulento
Reynolds (Osborne Reynolds -1883) observó que el tipo de flujo adquirido por un líquido que fluye dentro de
una tubería depende de la velocidad del líquido, el diámetro de la tubería y de algunas propiedades físicas del
fluido. Así, el número de Reynolds es un número adimensional que relaciona las propiedades físicas del
fluido, su velocidad y la geometría del ducto por el que fluye y está dado por:
21
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
Re =
DV ρ
η
donde:
Re
: Número de Reynolds
D
: Diámetro del ducto
V
ρ
η
: Velocidad promedio del líquido
: Densidad del líquido
: Viscosidad del líquido
El número de Reynolds relaciona la razón entre las fuerzas de inercia y la fuerza de tensión viscosas.
Generalmente cuando el número de Reynolds se encuentra por debajo de 2000 se sabe que el flujo es
laminar, en el intervalo entre 2000 y 4000 se considera como flujo de transición y para valores mayores de
4000 se considera como flujo turbulento
Fig. 30 Distribuciones típicas de velocidad para un flujo laminar y turbulento.
Variación de la viscosidad con la temperatura.
A parte de depender de la velocidad de cizalla y del tiempo de aplicación de la misma, la viscosidad es
fuertemente dependiente de la temperatura. La mayoría de los materiales disminuyen su viscosidad con la
temperatura; la dependencia es exponencial y puede haber variaciones de hasta un 10% por cada ºC
modificado. Por ejemplo, la sensibilidad a la temperatura del agua es de 3% por grado centígrado a
temperatura ambiente, así que para tener una precisión del 1% requiere que la temperatura sea regulada en
0,3ºC. Para líquidos más viscosos esta dependencia es mayor.
Tabla de viscosidades dinámicas
η
Pa s
22
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
Ondas, vórtices e inestabilidades
Las ondas y vórtices son un caso especial de flujo que caen dentro de los laminares. Son un paso de transición
entre los sistemas laminar y turbulento. La transición es un punto de inestabilidad del flujo medio inicial. La
inestabilidad puede conducir a crecimiento de ondas, rompimiento de éstas y a turbulencia caótica y al azar.
Fig. 31 Distribución de velocidades
Los fluidos reales se distinguen de los ideales en que poseen una cierta viscosidad, es decir, un rozamiento
interior que origina tensiones tangenciales entre las láminas del fluido.
Los movimientos de circulación de los fluidos se pueden dividir en dos tipos,
a) Movimientos laminares, o de Poiseuille, que son flujos regulares en los que la masa fluida esta formada por
laminas yuxtapuestos, perfectamente individualizados, en los que las superficies libres son lisas y unidas; en
realidad sólo se dan en algunos casos muy particulares o en fluidos muy viscosos; el número de Reynolds en
flujos por el interior de tubos es inferior a 2 000.
b) Movimientos turbulentos, o hidráulicos, en los que las láminas del líquidos se entrecruzan no conservan su
individualidad; las superficies libres son turbulentas y estriadas, y son los movimientos que con más
frecuencia se presentan en la práctica.
Si en cada punto de una masa fluida en movimiento turbulento se miden las velocidades instantáneas, se
observa que estas varían en magnitud y dirección sin ninguna regularidad, con una frecuencia a veces muy
grande, pero no se apartan jamás de un valor medio, alrededor del cual oscilaran más o menos rápidamente;
otro tanto sucede con las presiones.
Los valores medios, de velocidades y presiones, definen un régimen ficticio que se conoce como movimiento
medio, o régimen de “Bazin”, siendo sus características las que normalmente aparecen en las formulas
practicas de Hidráulica.
Mediante este modelo, el movimiento de un fluido en cualquier tipo de régimen, laminar o turbulento, puede
asimilarse al de un fluido perfecto, salvo en las zonas próximas a las paredes, en que la existencia de elevados
gradientes de velocidad, aun en fluidos de pequeña viscosidad, hacen que se manifiesten en gran manera las
fuerzas de viscosidad; a esta región se la conoce como capa límite.
Movimiento de sólidos en Fluidos
Al desplazarse un sólido en el interior de un fluido aparece una fuerza resultante llamada de resistencia
hidrodinámica, que tiene dos componentes una anti-paralela al movimiento, debida a las fuerzas viscosas
(resistencia) y otra perpendicular al flujo denominada fuerza de sustentación. Las dos componentes son
función de la velocidad relativa del sólido/fluido de la superficie proyectada en la dirección al movimiento, y
perpendicular a él, y de las características físicas del fluido.
La fuerza de resistencia hidrodinámica es paralela al flujo del fluido, se debe a las fuerzas disipativas y
tangenciales de fricción viscosa. Es función del tipo de flujo, laminar o turbulento, de las características
físicas del fluido, de la velocidad del sólido respecto del fluido y del área de sección transversal perpendicular
a la dirección de movimiento.
La fuerza de resistencia hidrodinámica (R) es función de la velocidad relativa del movimiento del sólido en el
interior del líquido, y se encuentra experimentalmente que:
Para velocidades pequeñas: R ∞ V
Para velocidades grandes:
R ∞V2
Cuando el objeto es una esfera que se mueve en el seno de un fluido viscoso en régimen laminar, la fuerza de
resistencia viscosa viene dada por:
23
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
F = 6πη rV
Donde: η la viscosidad, r radio de la esfera, V velocidad respecto del fluido.
Esta expresión fue derivada por primera vez por sir George Stokes en 1845 y se denomina Ley de Stokes.
R+E
mg
Fig.32 Una esfera cae en un fluido viscoso, R: resistencia, E: empuje, mg: peso
Para determinar la viscosidad de un fluido se encuentra la velocidad límite VL que alcanza una esfera que cae
en su seno, momento en el cual la fuerza retardadora viscosa más el empuje es igual al peso de la esfera. Si ρ
es la densidad de la esfera y ρ′ la del fluido, tenemos:
R + E = mg
4
4
6η rVL + ρ´g ( π r 3 ) = ρ ( π r 3 ) g
3
3
2g
VL = ( ρ´− ρ )( r 2 )
9η
Ejemplo
Tenemos una manguera de 10m de largo y 2cm de diámetro conectada a un grifo con una presión absoluta de
2atm. Calcula: (a) la resistencia al flujo de la manguera, (b) el caudal de agua que circula por ella, (c) la
velocidad media del agua, (d) la velocidad máxima. Considere la viscosidad del agua 10-3Pa.s.
P1=2atm
2cm
P2=1atm
1
2
L=10m
(a) Resistencia al flujo de la manguera, recuerde que no depende de la presión, sólo de aspectos geométricos.
Para una tubería circular:
ℝ=
8η L
π R4
⇒ℝ=
8(10−3 Pa.s )(10m)
= 2,55 x106 Pa.s / m3
−2
4
π (1x10 m)
significa que por cada m3/s que fluye en la manguera hay 2,55x106 Pa de presión que se opone al flujo.
(b) El caudal en la manguera será:
∆P = ℝQ ⇒ Q =
∆P
1x105 Pa
=
= 0, 039m3 / s
6
3
ℝ 2,55 x10 Pa.s / m
(c) La velocidad media del agua
Q = AV
⇒ V =
Q
0, 039m3 / s
=
= 124,89m / s
π R 2 π (1x10−2 m) 2
24
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
(d) La velocidad máxima en la tubería
Vmax =
∆P 2
R
4η L
⇒ Vmax =
1x105 Pa
(1x10−2 m) 2 = 250m / s
−3
4(10 Pa.s )(10m)
Ejemplo
Sea una tubería de 1,5mm de diámetro interior, calcular qué caudal máximo de agua deberá circular por la
misma, para que el régimen sea laminar. Halle la resistencia al flujo y la diferencia de presión, por unidad de
longitud, para mantener el flujo estacionario y laminar.
∆P
Para mantener un flujo laminar, el número de Reynold debe ser como máximo igual a 2000, además tenemos
para el agua
η = 10−3 Pas
ρ = 103 Kg / m3
Luego, hallamos la máxima velocidad media en la tubería
Re =
DV ρ
η
⇒ 2000 =
1,5 x10−3V (103 )
⇒ V = 1,33m / s
10−3
De donde el caudal máximo será:
Q = AV ⇒ Q = (π
D2
(1,5 x10−3 ) 2
)V = π
(1,33) ⇒ Q = 2,35 x10−6 m3 / s
4
4
La resistencia al flujo, resulta
ℝ=
8η L
8(10−3 Pas ) L
ℝ
⇒
ℝ
=
⇒ = 8, 05 x109 Pa s / m4
4
−3
4
πR
π (0,75 x10 m)
L
La diferencia de presiones por unidad de longitud de la tubería
∆P = ℝQ ⇒
∆P ℝ
∆P
= Q⇒
= (8, 05 x109 Pa s / m 4 )(2,35 x10−6 m3 / s )
L
L
L
∆P
= 18,92 x103 Pa / m
L
25
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
PROBLEMAS RESUELTOS
1.
El agua sale continuamente del depósito representado en la figura. La sección transversal en el punto 2 es
A2=2A3=3A4=120cm2. El área del depósito es muy grande comparada con las secciones del tubo. Hallar
(a) la presión manométrica y absoluta en los puntos 2, 3 y 4 (b) la altura de agua en los manómetros
verticales en 2, 3 y 4.
1
h2
2
12m
h3
6m
NR
3
h4
4
5
V5
2m
Solución
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 5, hallamos la rapidez de salida en 5.
1
1
P1 + ρ v12 +ρ gy1 = P5 + ρ v52 +ρ gy5
2
2
Considerando presiones absolutas en 1 y 4 , la v1=0 y tomando en cuenta el NR mostrado
Po +ρ gy1 = Po +
1 2
ρ v5
2
v5 = 2 gy1 = 2(9,8m / s 2 )10m = 14m / s
De donde, por el principio de continuidad
v5
= 4, 67 m / s
3
2v
3
Q3 = Q5 ⇒ v3 A3 = v5 A5 ⇒ v3 ( A4 ) = v5 A4 ⇒ v3 = 5 = 9,33m / s
2
3
Q4 = Q5 ⇒ v4 A4 = v5 A5 ⇒ v4 A4 = v5 A4 ⇒ v4 = 14m / s
Q2 = Q5 ⇒ v2 A2 = v5 A5 ⇒ v2 (3 A4 ) = v5 A4 ⇒ v2 =
(a) Presión en los puntos 2, 3 y4
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 2 y 5, respecto a NR
1 2
1
ρ v2 +ρ gy2 = P0 + ρ v52
2
2
1
1
P2 = P0 + ρ (v52 − v22 ) − ρ gy2 = 105 + 103 (142 − 4, 67 2 ) − 103 x9,8 x 4
2
2
3
P2 = 147,9 x10 Pa
P2 +
Pm 2 = 47,9 x103 Pa
1
1
P3 + ρ v32 = P0 + ρ v52
2
2
26
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
1
1
P3 = P0 + ρ (v52 − v32 ) = 105 + 103 (142 − 9,332 )
2
2
3
P3 = 154,5 x10 Pa
Pm 3 = 54,5 x103 Pa
1 2
1
ρ v4 = P0 + ρ v52
2
2
1
P4 = P0 + ρ (v52 − v42 ) ⇒ v4 = v5
2
5
P4 = 1x10 Pa
Po
P4 +
Pagua
Pm 4 = 0
P2
(b) La altura de agua en los manómetros verticales
47,9 x103
= 4,9m
103 x9,8
54,5 x103
Pm3 = ρ gh3 ⇒ h3 = 3
= 5, 6m
10 x9,8
0
Pm 4 = ρ gh2 ⇒ h4 = 3
=0
10 x9,8
Pm 2 = ρ gh2 ⇒ h2 =
2.
P2 = Po + Pagua
P2 − Po = Pagua ⇒ Pm 2 = Pagua = ρ gh2
Un tubo horizontal por el que fluye líquido de densidad ρ0 a razón de Q m3/s, se bifurca en dos ramas en
el plano vertical, una superior y otra inferior, de secciones transversales A1 = A2 = A, abiertas a la
atmósfera (ver figura). Si la distancia entre las ramas es h, determinar: (a) Las cantidades Q1 y Q2 de
líquido (en m3/s) que fluyen por ambas ramas. (b) La condición que debe cumplir Q para que haya flujo
en la rama superior
Q1
1
0
2
Solución
(a) Por la ecuación de continuidad
NR
Q2
Q = Q1 + Q2
Por la ecuación de Bernoulli entre los puntos 0 - 1 y luego entre 0 - 2, tenemos
p+
1 2
1
1
ρ v +ρ gy = p1 + ρ v12 +ρ gy1 = p 2 + ρ v22 +ρ gy2
2
2
2
Luego, para el NR
27
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
1 2
1
ρ v1 +ρ gy1 = p 2 + ρ v22 +ρ gy2
2
2
1 2
1 2
po + ρ v1 +ρ gh = p o + ρ v2
2
2
Q
Q
( 1 ) 2 +2 gh = ( 2 ) 2
A1
A2
p1 +
Q1 = Q − Q2
Reemplazando
Q − Q2 2
Q
) +2 gh = ( 2 ) 2
A
A
2
2
Q − 2QQ2 + A 2 gh = 0
(
Q2 =
Q 2 + 2 A2 gh
2Q
Q 2 − 2 A2 gh
Q1 =
2Q
(b)Para que circule fluido en la parte superior debe cumplir
Q1 > 0
Q1 =
Q 2 − 2 A2 gh
>0
2Q
Q > A 2 gh
3.
Suponga que el nivel de un líquido (agua) en un tambor tiene una altura h. A una altura b se hace una
pequeña perforación lateral que permite que el agua emerja horizontalmente. ¿A qué altura debe hacerse
la perforación para que el alcance d del agua se máximo? Respuesta: b = h/2.
Solución
Aplicamos la ley de Torricelli
1
2
V2 = 2 g (h − b)
v22
Por caída libre
NRR
l
1 2
gt
2
l = v2t
b=
l = v2
2b
g
Remplazando
l = ( 2 g (h − b))
2b
g
l = 2 (h − b)b
28
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
l será máximo cuando
dl
=0
db
d (2 (h − b)b )
=0
db
h − 2b = 0
h
b=
2
4.
a) Aplicando Bernouilli, deducir la expresión de la presión que indicará el manómetro M con la válvula V
cerrada. ¿Qué sucede en la lectura del manómetro si se abre la válvula V? b) ¿A qué velocidad sale el
líquido de un depósito abierto a la atmósfera a través de un orificio que está situado dos metros por
debajo de la superficie libre?
Solución
a) Mientras V está cerrado no hay flujo, luego aplicando
la ecuación de Bernoulli entre 1 y M
1
1 2
1
ρ v1 +ρ gy1 = p M + ρ vM2 +ρ gyM
2
2
po + ρ gh = p M
p1 +
h
M
V
ρ gh = p mM
2
Para h=2m
Kg
m
9,8 2 2m
3
m
s
4
Pm 2 = 1,96 x10 N
Pm 2 = 103
Cuando se abre la válvula V, aplicando la ecuación de Bernoulli entre M y 2, además considerando la ley de
Torricelli,
V2 = 2 gh
1 2
1
ρ vM +ρ gyM = p 2 + ρ v22 +ρ gy2
2
2
1
p M + ρ gh = p o + ρ v22
2
1
p M + ρ gh = p o + ρ (2 gh)
2
PM = Po
pM +
PmM = 0
Este resultado nos indica que la presión disminuye
(b) aplicando la ecuación de Bernoulli entre 1 y 2,
p1 +
1 2
1
ρ v1 +ρ gy1 = p 2 + ρ v22 +ρ gy2
2
2
29
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
po + ρ gh = p o +
1 2
ρ v2
2
v2 = 2 gh
v2 = 2(9,8
5.
m
)2m = 6, 26m / s
s2
Un depósito cilíndrico abierto por su parte superior tiene 20 cm de altura y 10 cm de diámetro. En el
centro del fondo del depósito se practica un orificio circular cuya área es de 1 cm2. El agua penetra en el
depósito por un tubo colocado en la parte superior a razón de 140 cm3/s. ¿Qué altura alcanzará el agua en
el depósito?. Una vez que alcanza dicha altura cesa el suministro de agua, en estas condiciones determine
el tiempo que demanda el vaciado a la mitad de la altura que alcanzó.
Solución
Por la ley de Torricelli, la velocidad de salida del fluido
es
Q=140cm3/s
V2 = 2 gy
El flujo se estabiliza cunado el caudal de entrada Q se
iguala al caudal de salida, en este caso ya no aumenta el
valor de y
20cm
Q = Qs
Q = A2V2
y
V2
Q = A2 2 gy
140cm3 / s = 1cm2 2(980cm / s ) y
y = 10cm
Una vez que alcanza 10cm de altura, cesa el suministro de Q, luego empieza a disminuir la altura al interior
del depósito
Asumimos una altura z del nivel del líquido en el cilindro, en este caso la rapidez de salida es
V2 = 2 gz
Por la ecuación de continuidad entre la superficie libre del líquido y la salida, tenemos
Q1 = Qs
AV
1 1 = A2V2
A
V1 = 2 V2
A1
1
10cm
Donde,
dz
V1 = −
dt
z
2
V2
Determina la rapidez de la disminución de la altura z
−
dz A2
=
2 gz
dt A1
A
dz
= − 2 2 gdt
A1
z
30
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
∫
5
∫
5
10
10
t A
dz
= − ∫ 2 2 gdt
0 A
z
1
t
dz
A2
=−
2 g ∫ dt
2
0
z
(π R )
5
2 z
10
=−
A2
t
2g t 0
2
(π R )
2( 5 − 10) = −
1
2(980)t
π (5) 2
t = 3, 28s
6.
Una bomba de incendios eleva 4500Kg de agua por minuto de un lago y expulsa por una manguera hasta
una altura de 5m por encima de la superficie del lago, con una rapidez de 9,6m/s. ¿Qué potencia ha de
tener el motor de la bomba?. Eficiencia del motor es 30%
Solución:
El caudal del flujo es:
Q=
Volumen 4500dm3
=
= 0, 075m3 / s
t
60 s
Ph = γ QH
Ph = (9,8 x103 N / m3 )(0, 075m3 / s )5m
Ph = 3, 68 x103W = 3, 68kW
La potencia hallada representa el 30% de la potencia de entrada a la bomba, por lo que
Ph = 30% P ⇒ P =
7.
Ph
10 Ph 10(3, 68kW )
=
=
⇒ P = 12, 25kW
30%
3
3
Se muestra un codo de 180º con una boquilla reductora en su salida. El diámetro mayor es 30 cm y el
diámetro de la salida es la mitad. La presión manométrica en la brida de entrada del codo es 1.06 kgf/cm2
y la velocidad de entrada es 1.5 m/s. El chorro de agua descarga a la atmósfera. Calcule la fuerza
horizontal que soporta la brida de unión. Considere que el codo está en un plano horizontal.
31
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
Solución
La fuerza es consecuencia del
intercambio de cantidad de
movimiento.
La fuerza del codo sobre el líquido
modifica la cantidad de movimiento del
2
V2
del
líquido.
1
FCL =
d1
V1
∆Pliquido
∆t
De modo que por acción y reacción, la fuerza
del líquido sobre el codo es:
FLC = − FCL
FLC = −
∆Plíquido
∆t
Luego:
FLC = −
FLC = −
FLC = −
( Pf − Pi )líquido
∆t
(∆mV f − ∆mVi )líquido
∆t
( ρ∆VvolV f − ρ∆VvolVi )líquido
∆t
∆Vvol
∆V
V f − ρ vol Vi )líquido
∆t
∆t
= −( ρ QV f − ρ QVi )líquido
FLC = −( ρ
FLC
FLC = − ρ Q(V f − Vi )líquido
Luego, tenemos
V1 = 1,5 i m / s
AV
1 1 = A2V2
d12
)V1 = (π
4
d2
(π 1 )V1 = (π
4
V2 = 4V1
(π
d22
)V2
4
d12
)V2
16
d2 =
d1
2
V2 = −6 i m / s
d12
(0.3)2
)V1 = (π
)1,5m3 / s
4
4
Q = 0,106m3 / s
Q = (π
La fuerza del líquido sobre el codo resulta
32
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
FLC = −103 x0,106 x(−6i − 1,5i )
FLC = 795, 2 i N
La fuerza de la presión manométrica sobre el codo en 1 es
FPC = P1 A1 i
FPC = P1 (π
d12
)i
4
FPC = 1, 02 x105 Pa1 (π
P1 = 1.02kgf / cm2 = 1, 02 x105 Pa
(0,3m) 2
)i
4
FPC = 7209,8 iN
La presión manométrica en el punto 2 de salida es cero, por lo que no ejerce fuerza
La fuerza total sobre el codo es:
F = FLC + FPC
F = 795, 2 iN + 7209,8 iN
F = 8005, 0 iN
8.
Se tiene un recipiente de forma de un tronco de cono invertida el cual está llena de agua hasta una altura
h, y en el fondo abrimos un agujero y dejamos discurrir el agua. Calcular el tiempo de vaciado.
R
R-r
R
x
x-r
h
h
y
r
r
Solución
Consideramos que para un instante t determinado el nivel del líquido está a una altura y de salida, de manera
que el radio de la superficie superior del líquido es x
R
De acuerdo al diagrama mostrado encontramos y=f(x)
R−r x−r
R−r
x R−r
=
⇒x=
y+r ⇒ =
y +1
h
y
h
r
hr
Aplicamos el principio de continuidad entre la salida y el nivel
del líquido de altura y.
AV = AsVs
x
r
π x 2V = π r 2Vs ⇒ Vs = ( ) 2V
x
V
y
r
NR
Vs
33
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
Luego aplicamos la ecuación de Bernoulli entre dichos puntos respecto al NR
1
1
po + ρV 2 +ρ gy = po + ρVs2
2
2
1
1
ρVs2 − ρV 2 = ρ gy
2
2
2
2 gy
2 gy
x
[( 2 V ) 2 − V 2 ] = 2 gy ⇒ V =
⇒V =
x
R−r
r
( )4 − 1
(
y + 1) 4 − 1
r
hr
Para la condición de Torricelli, en la que el área de salida es mucho menor que el área de la superficie del
líquido a una altura y, lo que implica que x sea mucho mayor que r, tenemos
4
x≫r⇒
4
x
x
x
x
≫ 1 ⇒   ≫ 1 ⇒   −1 ≈  
r
r
r
r
4
De donde obtenemos
V=
2 gy
2 gy
2 gy
⇒V =
=
x
x
R−r
( )4
( )2
(
y + 1) 2
r
r
hr
La rapidez de variación de y determina la velocidad de la superficie del líquido a dicha altura, es decir
V =−
dy
dt
Luego:
V =−
(
2 gy
dy
=
dt ( R − r y + 1) 2
hr
R−r
R−r
y + 1) 2
(
y + 1) 2
0
t
hr
hr
dy = − 2 gdt ⇒ ∫
dy = − 2 g ∫ dt
0
h
y
y
R − r 2 3/2
R − r 1/ 2
) y + 2(
) y + y −1/2 ]dy = − 2 gt
h
hr
hr
2 R−r 2 4 R−r
[ (
) + (
) + 2]h1/2 = 2 gt
5 r
3 r
h 2 R−r 2 4 R−r
t=
[ (
) + (
) + 2]
2g 5 r
3 r
∫
9.
0
[(
Considere un oleoducto de 5Km y 50cm de diámetro por el cual se desea bombear 1m3 por segundo. Si
uno de los extremos está abierto a la presión atmosférica, ¿que presión P1 debe existir en el otro extremo?
Suponga que la densidad del petróleo es ρ = 950kg/m3 y el coeficiente de viscosidad es aproximadamente
η = 0,2 Pa·s. ¿Cuál es la potencia dW/dt (energía por unidad de tiempo) disipada por la fricción interna
originada por la viscosidad?
Solución
1
2
L=5 KM
34
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
De acuerdo a la ecuación de Poiseuille, para flujos estacionarios viscosos en tuberías circulares
Q=
∆P
π R4
8η L
1
( P1 − P2 )
m3
=
π (0, 25m)4
3
s 8 x0, 2 Pasx5 x10 m
1
( Pm1 − 0)
m3
=
π (0, 25m)4
3
s 8 x0, 2 Pasx5 x10 m
Pm1 = 6,52 x105 Pa
La potencia
dW
dt
Fdx PAdx
=
=
= PQ
dt
dt
= Pm1Q
Ppot =
Ppot
Ppot
Ppot = 6,52 x105 Pax1
m3
= 652 KW
s
10. La figura muestra el esquema de un cojinete de fricción esférico (rótula). Obtenga la expresión general
del momento de torsión de fricción en función de la viscosidad dinámica µ , la velocidad angular ω y los
parámetros geométricos α, R y h. Calcule el valor para el caso : µ = 0,4 Ns/m2, α = 40o , R = 30mm , e =
0,25mm y 600 r.p.m.
e
Solución
Aplicamos la definición de viscosidad a un elemento de superficie de radio Rsenθ y espesor e
dA = lds
dA = (2π Rsenθ )( Rdθ )
dA = 2π R 2 senθ dθ
35
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
η=
dF
V
dA
y
dF
(2π R 2 senθ dθ )
Rsenθω
e
2
( Rsenθ ) ω (2π R 2 senθ dθ )
= Rsenθ dF = dτ
e
θ
η=
dτ =
τ=
τ=
Rsenθ
e
η 2πω R 4 ∫ sen3θ dθ
e
η 2πω R
4
e
∫ (1 − cos
η 2πω R 4 α
e
θ ) senθ dθ
2
θ ) senθ dθ
e
0
cos3 θ α
)o
3
e
(0, 4)2π (20π )(30 x10−3 ) 4
cos3 40 2
τ=
(
cos
40
+ )
−
+
2.5 x10−4
3
3
2
−8
3
(16π )(81x10 )
cos 40 2
τ=
(− cos 40 +
+ )
−4
2.5 x10
3
3
−3
τ = 2,57 x10 Nm
τ=
η 2πω R 4
∫ (1 − cos
2
V=rω
V=Rsenθω
(− cos θ +
PREGUNTAS
1. Puede un fluido viscoso determinar un flujo laminar?. Diferencie gráficamente la distribución de
velocidad en una tubería circular para un flujo viscoso y no viscoso
2. Durante las tempestades, cuando la velocidad del aire alcanza un valor considerable, el viento arranca los
tejados de las construcciones. Si el techo está bien sujeto en los puntos A y B que en el punto C, entonces
la corriente de aire parece abrir el techo por la línea que pasa por el punto C
C
A
B
3. En qué condiciones se establece un flujo laminar viscoso?. En un flujo laminar viscoso en un tubo circular
como en la fig., cómo son la distribución de velocidad y presión en los puntos 1 y 2. Depende su resultado
de la distancia L?.
36
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
1
2
L
4. La figura muestra dos tuberías circulares de diferentes diámetros A) Cuál de ellos ofrece mayor
resistencia al flujo, de qué aspectos depende la resistencia al flujo de una tubería?. B) Si el caudal es el
mismo en ambos tubos, y el flujo es laminar y estacionario, en cuál de los tubos hay mayor caída de
presión?. C) En qué condiciones el flujo en el tubo de menor diámetro se hace turbulento y mediante qué
parámetro se caracteriza?.
D =2d
L
d
5. El agua sale con una rapidez V por el tubo que muestra la figura de sección uniforme A. Determine la
resultante de fuerzas del líquido sobre el tubo. Si en la base soportan el tubo “n” pernos, halle la fuerza
que soportan los pernos sólo debido a la componente vertical de la fuerza del flujo. Explique porqué el
líquido ejerce fuerza sobre el tubo
120º
6. Explique que diagrama es correcto para el flujo estacionario y no viscoso de un fluido
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.
La fuerza de sustentación de un avión moderno es del orden de 1000 N por metro cuadrado de ala.
Suponiendo que el aire es un fluido ideal y que la velocidad del aire por debajo del ala es de 100 m/s,
¿cuál debe ser la velocidad requerida por sobre el ala para tener la sustentación deseada? (La densidad del
aire es 1.3 kg/m3.)
37
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
2.
3.
4.
5.
Un bombero lanza agua con su manguera hacia un incendio formando un ángulo de 45o con la horizontal.
El agua que emerge del pistón penetra horizontalmente por una ventana del tercer piso que se encuentra a
una altura h=10m. La manguera que transporta el agua desde el carro bomba tiene un diámetro D de 6cm
y concluye en un pistón cuya abertura tiene un diámetro d de 1,5 cm.(a) ¿Cuantos litros de agua emergen
del pistón por minuto? (b) ¿Cual es la presión P que debe soportar la manguera (en atmósferas)?
Considere la tubería que lleva el agua de una represa hacia una turbina. Suponga que la bocatoma se
encuentra a 10m bajo el nivel de las aguas y que la turbina se encuentra 80m por debajo de ese nivel. Al
inicio, es decir a la salida de la represa, la tubería tiene un diámetro de 40cm. Suponga que el fluido se
comporta como un fluido ideal. (a) ¿Cuál es el diámetro máximo que puede tener la tubería en su extremo
inferior para que no se produzcan cortes de la columna de agua al interior de la tubería? (b) ¿Cuál sería la
cantidad de agua que pasaría en ese caso por la tubería y cuál la velocidad del agua emergente? (c) Si el
proceso de generación de energía eléctrica usando la presente turbina fuese 100% eficiente, ¿cuál sería la
potencia de esta central? ¿Esto corresponde al consumo promedio de cuantas casas? (d) Haga un gráfico
cualitativo de la presión al interior de la tubería en función de la altura. ¿Cómo cambia esta presión si la
sección de la tubería, en el punto emergente, se disminuye a la mitad? ¿A la centésima parte?
Considere una tubería de una calefacción. En el sótano su diámetro es de 4,0cm y en el segundo piso, 5m
mas arriba, la tubería tiene un diámetro de sólo 2,6cm. Si en el sótano una bomba se encarga de bombear
el agua con una velocidad de 0,5 m/s bajo una presión de 3,0 atmósferas, ¿cuál sería la rapidez de flujo y
la presión en el segundo piso?.
En un torrente de agua se sumerge un tubo doblado, tal como se muestra en la figura adjunta. La
velocidad de la corriente con respecto al tubo es v=2,5 m/s. La parte superior del tubo se encuentra a
h0=12cm sobre el nivel del agua del torrente y tiene un pequeño agujero. ¿A qué altura h subirá el chorro
de agua que sale por el agujero?
11. La figura 12.46 muestra un tubo de Pitot, instrumento que se usa para medir la velocidad del aire. Si el
líquido que indica el nivel es agua y ∆h = 12 cm, encuentre la velocidad del aire. La densidad del aire es
ρaire = 1,25kg/m3. Respuesta: v0 = 43,4 m/s =156 km/h.
38
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
6.
7.
8.
9.
Un embudo cónico de semi-ángulo θ drena a través de un orificio de área AS en su vértice. La velocidad
de salida es función de la altura del líquido desde el vértice y es aproximada por V = (2gy)1/2. La altura
inicial del líquido desde el vértice es y0. Obtenga una expresión para el tiempo que demanda el vaciado
del embudo. Expréselo en función del volumen inicial de líquido v0 y del caudal inicial evacuado Q0 =
(2gy0)1/2 AS Desprecie el área de salida para la descripción del área de embudo en función de y. Sol. : t =
6 v0 / (5 Q0)
A través de un conducto de diámetro 10cm para un caudal de 28lts/seg de agua a un motor hidráulico y
descarga a través de un conducto de diámetro 15cm. El conducto de entrada se encuentra 4m por debajo
del de descarga. En un punto de la entrada y en otro punto de la descarga, sendos manómetros indican
4,2kgf/cm2 y 2,1 kgf/cm2 respectivamente. Calcule la potencia teórica que desarrolla el motor. Sol. : 6,7
hp
Para abastecer de agua a una casa de dos pisos se recurre a un “hidropack”. Este sistema consiste en una
depósito subterráneo, una bomba y un cilindro con agua y aire. La bomba inyecta agua a presión al
cilindro, que en su parte superior queda con aire comprimido. Un medidor de presión detiene la bomba
cuando la presión del cilindro alcanza el valor deseado (el mismo medidor vuelve a encender la bomba
cuando la presión baja de cierto nivel).
Si el nivel del agua en el cilindro se sitúa 1 metro por debajo del suelo, calcule la presión necesaria en el
aire comprimido para que una llave de 1 cm2 de sección, a una altura de 5 metros sobre el suelo, entregue
un caudal de 12 litros por minuto. (La sección transversal del cilindro es grande respecto a la de la llave.)
También encuentre la presión del aire al interior del cilindro.
Una boquilla de spray genera un chorro plano y semicircular de agua, de espesor delgado. Los flujos de
entrada y de salida son uniformes. La velocidad de entrada, por un conducto de diámetro 35mm, es de
2,5m/s. El radio y el espesor de salida del chorro son 50mm. y 1,5mm respectivamente. La presión de
39
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
entrada es 150kPa (absoluta). Calcule la fuerza (en magnitud y sentido) que la boquilla ejerce sobre la
tubería de alimentación. Sol. : 37 N , tracción
10. Un chorro cilíndrico de diámetro D = 12 cm y velocidad U = 10 m/s es deflectado por un cono de radio
de base R = 30 cm y ángulo α = 30º , deformándolo en forma de una lámina cónica muy delgada de
espesor h ( h << R ). Suponiendo flujo estacionario y no viscoso, calcule la fuerza horizontal que la
acción de éste flujo ideal ejerce sobre el cono, en magnitud y sentido. El fluido es agua y todo el proceso
está abierto a la atmósfera. Sol. : 150 N
11. Determine la fuerza que un chorro abierto bidimensional (plano) de velocidad V y altura h ejerce sobre
una placa fija inclinada un ángulo θ respecto el eje del chorro. Asuma que la velocidad de salida de los
dos corrientes deflectadas son iguales a V.
40
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
12. alcule la fuerza requerida para mover el carrito en sentido opuesto al chorro de agua deflectado por el
álabe (ángulo de salida de 60º respecto la horizontal), con velocidad del carrito 15 m/s (constante). El
chorro es de velocidad 30 m/s respecto el suelo. Su diámetro es 5 cm Sol. : 608 kgf
13. Un tanque cilíndrico de 1,2 m de diámetro se llena hasta 0,3 m de profundidad con agua. El espacio
encima del agua está ocupado con aire, comprimido a la presión de 2,026 X 105 N/m2. De un orificio en
el fondo se quita un tapón que cierra un área de 2,5 cm3 . Calcular la velocidad inicial de la corriente que
fluye a través de este orificio. Encontrar la fuerza vertical hacia arriba que experimenta el tanque cuando
se quita el tapón.
14. Considérese una manguera de sección circular de diámetro interior de 2,0 cm, por la que fluye agua a una
tasa de 0,25 litros por cada segundo. ¿ Cuál es la velocidad del agua en la manguera?. El orificio de la
boquilla de la manguera es de 1,0 cm de diámetro interior. ¿Cuál es la velocidad de salida del agua?.
15. Por una tubería inclinada circula agua a razón de 9m3/min, como se muestra en la figura: En a el diámetro
es 30cm y la presión es de 1Kf/cm2. ¿Cuál es la presión en el punto b sabiendo que el diámetro es de
15cm y que el centro de la tubería se halla 50cm más bajo que en a?
16. Un tubo que conduce un fluido incompresible cuya densidad es 1,30 X 103 Kg/m3 es horizontal en h0 = 0
m. Para evitar un obstáculo, el tubo se debe doblar hacia arriba, hasta alcanzar una altura de h1 = 1,00 m.
El tubo tiene área transversal constante. Si la presión en la sección inferior es P0 = 1,50 atm, calcule la
presión P1 en la parte superior.
17. Una cañería con un radio de interior de 6,5mm está conectado a una cabeza de ducha que cuenta con 12
hoyos. La velocidad del agua en la cañería es de 1,2m/s. (a) Calcule el caudal en la cañería (b) Calcule
con qué velocidad sale el agua de uno de los agujeros (radio efectivo de 0,4mm) de la ducha. R: (a) 1,6 x
10-4 m3/s. (b) 20 m/s.
18. Supongamos que un viento está soplando a 15m/s, a través del techo de su casa. La densidad del aire es
1,29kg / m3. (a) Determinar la reducción de la presión (por debajo de la presión atmosférica del aire
41
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
estacionario) que acompaña este viento. (b) Explique por qué algunos techos son "soplados hacia fuera"
durante fuertes vientos. R: 150 Pa.
Un estanque está lleno de agua hasta una altura H. Tiene un orificio en una de sus paredes a una
profundidad h bajo la superficie del agua. Encontrar la distancia x a partir del pie de la pared a la cual
llega el agua al piso. Respuesta: 2h(H-h)
Un depósito cilíndrico de altura h = 1 m. está lleno de agua hasta los bordes. ¿Cuánto tiempo tardará en
salir toda el agua a través de un orificio situado en el fondo del depósito? El área del orificio es 400 veces
menor que la sección transversal del depósito. Respuesta: 3 min.
Por una tubería horizontal de sección variable circula agua en régimen permanente. En un punto en que la
presión vale 9x104Pa la velocidad es de 6m/s. Hallar la presión en otro punto de la conducción en el que
la velocidad de circulación es de 14m/s.
Una pequeña fuente de jardín arroja un chorro de agua vertical, con un flujo de 0,10 L/s, alcanzando una
altura de 0,50m. (a) ¿Cuál es la velocidad inicial del chorro, y cuál es el radio del agujero por el que sale
el agua? (b) ¿Qué presión debe suministrar la bomba de la fuente (suponga que está inmediatamente
abajo del chorro que sale)? (c) ¿Cuál es la velocidad del chorro a una altura de 0,25m, y cuál es el radio
de la columna de agua?. No tenga en cuenta los efectos de la turbulencia, como es la desintegración del
chorro. Densidad del agua 1x103 Kg/m3. Resp.: (a) 3,1m/s; 0,32cm; (b) 4, 9x103 Pa, manométricos; (c)
2,2m/s; 0,38cm.
El agua, cuya densidad es 1x103Kg/m3, pasa por un tubo horizontal. El área de sección transversal, en una
parte del tubo, es de 60cm2. Cuando el líquido entra a otra parte del tubo, con 100cm2 de área transversal,
la presión manométrica es 5, 0x103Pa mayor que en la primera parte. Calcule las velocidades del líquido
en las dos partes del tubo.
El agua (considerada como incompresible) circula a través de una casa, en un sistema de calefacción por
agua caliente. Si se bombea el agua con una rapidez de 0,80 m/s por un tubo de 7,0cm de diámetro en el
sótano bajo la presión de 6,0atm, ¿cuál será la rapidez de flujo y la presión en un tubo de 5, 6 cm de
diámetro ubicado en el segundo piso 8,0m arriba?.
Un tubo de Venturi tiene un diámetro de 30cm y una garganta de 10cm de diámetro. La presión del agua
en el tubo es 70KPa y en la garganta es de 20KPa. Calcule el flujo de volumen a través del tubo.
La sección transversal del tubo ilustrado en la figura es de 60 cm2 en las partes anchas y de 30cm2 en el
estrechamiento. La descarga de agua del tubo es de 4000cm3/s. (a) Hállense las velocidades de las partes
ancha y estrecha, (b) hállese la diferencia de presión entre estas partes, (c) Hállese la diferencia de altura
h entre las columnas de mercurio del tubo en U (ρHg = 13,6x103Kg/m3 ).
27. Se utiliza un fluido de densidad 820Kg/m3 como líquido manométrico en un tubo de Pitot montado en un
avión para medir la velocidad del aire. Si la diferencia máxima de altura entre las columnas de líquido es
de 0,8m, ¿cuál es la velocidad máxima del aire que se puede medir?. La densidad del aire es 1,3Kg/m3.
28. Con un tubo de Pitot se puede determinar la velocidad del flujo de un gas al medir la diferencia entre la
presión total y la presión estática. Si el fluido en el tubo en forma de U es mercurio (ρHg=13, 6x103
Kg/m3), la velocidad del flujo de aire es de 103 m/s y h = 5cm, encuentre la densidad del gas.
42
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
29. Por un canal de 1,0m de profundidad y 0,5 m de ancho, pasa agua a un flujo de 2 toneladas métricas por
segundo. En determinado punto, el canal se ensancha a 0,8m. ¿Qué velocidad tiene el agua en el canal
más ancho?. Resp.: 2,5 m/s.
30. Se usa una bomba de diafragma para sacar agua de dentro de un barco. El diámetro de la manguera de la
bomba es 3,0cm y el agua es impulsada por la manguera hacia arriba, y sale por una escotilla a 5,0m
sobre el nivel del agua, a una velocidad de 4,0m/s. Calcule la potencia de bombeo. Resp.: 1, 6x102 Watt.
31. En la pared de un recipiente con agua se practican dos agujeros uno sobre el otro, de área 0,2cm2. La
distancia entre los agujeros es 50cm. En el recipiente se introducen cada segundo 140 cm de agua de
manera que el nivel de la misma permanece constante. Encontrar el punto de intersección de los dos
chorros de agua que salen del orificio. Resp.: x = 2,089m y z = 3,200m. con respecto a un sistema de
coordenadas cartesianas cuyo origen se sitúa en la superficie del fluido.
32. Del gran depósito de agua mostrado en la figura 2.16, cuyo nivel se mantiene constante fluye agua que
circula por los conductos de la figura hasta salir por la abertura D, que está abierta al aire. La diferencia
de presión entre los puntos A y B es PB - PA = 500Pa. Sabiendo que las secciones de los diferentes tramos
de la conducción son SA = SC = 10cm2 y SB = 20cm2, calcular las velocidades y las presiones del agua en
los puntos A, B, C, de la conducción. La presión en C es la atmosférica, igual a 105 Pa. Resp.: VA = VC =
2
3 m/s, VB = 3 m/s; PA = PC = 105 Pa, PB = 100500 Pa.
33. Una manguera de jardín que tiene un diámetro interno de 0,75pulg está conectada a un aspersor que
consta simplemente de un accesorio con 24 orificios, cada uno de 0, 050pulg de diámetro. Si el agua de la
manguera tiene una velocidad de 3,5 pies/s, ¿a qué velocidad sale por los orificios del aspersor?. Resp.:
32,81 pies/s.
34. Se bombea continuamente agua que se extrae de un sótano inundado con una velocidad de 5,30m/s por
medio de una manguera uniforme de 9,70mm de radio. La manguera pasa por una ventana situada a
2,90m sobre el nivel del agua. ¿Cuánta potencia proporciona la bomba?. Resp.: 44,52 Watts.
35. La toma de agua de una presa (véase la figura) tiene un área de sección transversal de 7,60 pies2. El agua
fluye en ella a una velocidad de 1,33 pies/s. En la planta Hidroeléctrica que está situada a 572pies abajo
del punto de toma, el agua fluye a razón de 31 pies/s. (a) Halle la diferencia de presión, en lbf/pulg2, entre
la toma y la descarga. (b) Halle el área del tubo de descarga. La densidad promedio del agua es de
62,4lb/pies3. Resp.: (a) 241,37lbf/pulg2; (b) 0,32 pies2.
43
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
36. Un francotirador dispara una bala de rifle contra un tanque de gasolina, haciéndole un orificio a 53,0m
bajo la superficie de la gasolina. El tanque se ha sellado y se ha sometido a una presión absoluta de
3,10atm, como se muestra en la figura. La gasolina almacenada tiene una densidad de 660Kg/m3. ¿A qué
velocidad comienza la gasolina a salir disparada por el orificio?. Resp.: 36,3m/s.
37. El agua dulce embalsada tras la cortina de una presa tiene una profundidad de 15,2m. Un tubo horizontal
de 4,30cm de diámetro pasa a través de la cortina a 6,15m bajo la superficie del agua, como se muestra en
la figura. En la salida del tubo se ha colocado un tapón. (a) Halle la fuerza de fricción entre el tapón y las
paredes del tubo. (b) Se retira el tapón. ¿Qué volumen de agua sale por el tubo en 3,00 h?. Resp.: (a) 234
N; (b) 172 m3.
38. Un sifón es un aparato para extraer líquido de un recipiente sin inclinarlo. Funciona corno se muestra en
la figura. El tubo debe estar lleno inicialmente, pero una vez se ha hecho esto, el líquido fluirá hasta que
el nivel descienda por debajo de la abertura del tubo en A. El líquido tiene una densidad ρ y una
viscosidad despreciable. (a) ¿A qué velocidad sale el líquido del tubo en C? (b) ¿Cuál es la presión del
líquido en el punto más elevado B? (c) ¿Cuál es la mayor altura h posible a la que el sifón puede elevar el
agua?. Rpta. (a) Vc
= [2 g (d + h2 )]2 (b) PB = Po − ρ H 2O g (h1 + d + h2 ) (c) x = 10, 33 m.
44
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
39. Dos depósitos abiertos muy grandes A y F (véase figura), contienen el mismo líquido. Un tubo horizontal
BCD que tiene un estrechamiento en C sale del fondo del depósito A, y un tubo vertical E se abre en el
estrechamiento de C y se introduce en el líquido del depósito F. Supóngase que el régimen es laminar y
que no hay viscosidad. Si la sección transversal en C es la mitad que en D y si D se encuentra a una
distancia h1, por debajo del nivel del líquido en A, ¿qué altura h2 alcanzará el líquido en el tubo E? A)
Exprésese la respuesta en función de h1. Despréciense las variaciones de la presión atmosférica con la
altura.
40. La sección transversal del tubo ilustrado en la figura es de 40cm2 en las partes anchas y de 10cm2 en el
estrechamiento. La descarga de agua del tubo es de 3000cm3/s. (a) Hállense las velocidades de las partes
ancha y estrecha, (b) hállese la diferencia de presión entre estas partes, (c) Hállese la diferencia de altura
h entre las columnas de mercurio del tubo en U (ρHg = 13,6x103Kg/m3 ). Resp.: (a) 75cm/s y 300cm/s; (b)
4,22x104 din/cm2 y (c) 3,4cm.
45
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
41. Consideremos un tubo de Venturi con tres tomas de presión estática verticales (ver figura). Los radios
internos de la sección principal y del estrechamiento son 25 y 10cm respectivamente. Cuando circula un
caudal de agua de 200L/s, el nivel del agua en los tubos de la izquierda y derecha se encuentra a 3,00m
por encima del eje de la tubería. a) ¿Hasta qué altura subirá el agua por el tubo central?, b) ¿Cuál es la
presión manométrica en los puntos A y B?, c) ¿Para qué caudal de agua se succionará aire por el tubo
central?. Resp.: a) 98,5cm; b) 0, 29atm; 0, 095atm; c) 244 L/s.
42. Un dispositivo automático para un calentador de agua funciona según el esquema indicado en la figura.
Si la válvula V que da la salida al gas necesita una fuerza de 6N para abrirse, determine el flujo
volumétrico de agua mínimo necesario para poner en marcha el dispositivo. Resp.: 0,5L/s.
46
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
43. Desde un depósito fluye agua en régimen estacionario, como se ilustra en la figura. La altura del punto 1
es 10m, la de los puntos 2 y 3 es 1m. La sección transversal en el punto 2 es de 0,04m2 y de 0,02 cm2 en
el punto 3. La superficie del depósito es muy grande comparada con las secciones transversales del
conducto. (a) Calcúlese la presión manométrica en el punto 2. (b) Calcúlese el caudal expresado en
metros cúbicos por segundo.
44. Un depósito abierto, cilíndrico de eje vertical y sección recta S1, está lleno de agua hasta una altura H por
encima de su fondo. Determinar el tiempo necesario para que se vacíe el depósito a través de un orificio
bien perfilado, de área S2, practicado en su fondo. Se sabe que: S1 = 2m2; S2 = 10cm2; H =3m. Resp.:
1564, 92 s (unos 26 minutos).
45. Entra agua en una casa por un tubo con diámetro interior de 2cm a una presión absoluta de 4x105Pa. Un
tubo de 1cm de diámetro va al baño del segundo piso, 5m más arriba. La rapidez del flujo en el tubo de
entrada es de 1,5m/s. Calcule la rapidez del flujo, presión y caudal en el cuarto de baño.
46. Dos placas paralelas, distantes a 0,25m y con aceite lubricante entre ellas. Calcule la fuerza requerida
para mover la placa superior que tiene un área de 1m2 a una velocidad de 1m/s cuando la viscosidad del
aceite es de 0,1Ns/m2.
47. Un bloque de 30kg se desliza a velocidad constante por un plano inclinado sobre una delgada capa de
aceite. Calcule la velocidad en estado estacionario.
48. Un viscosímetro de cilindros concéntricos se forma de un cilindro puesto a girar a velocidad angular
constante dentro de un alojamiento cilíndrico, siendo la luz entre ambos muy pequeña y llena del fluido
cuya viscosidad se desea determinar. Las dimensiones y luces son valores fijos; se miden entonces
velocidad angular y torque requerido para mantener el movimiento, y en base a estos valores se obtiene la
viscosidad dinámica del fluido. La figura muestra el esquema de un viscosímetro. a) Desarrolle las
expresiones del torque de fricción generado en la cara lateral y en la base del cilindro rotante. b)
Determine una criterio o relación a cumplir entre el radio R y altura H del cilindro interior, y las luces
lateral a e inferior b, a fin de que torque de la base sea menor al 1 por ciento del torque de la superficie
lateral anular. Sol.: a/b < 0.04 H/R
47
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
49. Un eje de punta cónica gira a 1800 r.p.m. en un alojamiento cónico. El espacio “e” entre eje y
alojamiento es de 0,2mm y está lleno de aceite pesado con viscosidad cinemática 4 10-4m2/seg y densidad
900kg/m3 . La altura H del cono es de 40mm y el semi-ángulo α es 30º. Calcule el momento torsor de
fricción, asumiendo que el aceite sólo baña la cara lateral del cono.
48
FISICA II
INGENIERIA DE CIVIL
49

DINÁMICA DE FLUIDOS

Transcripción

Documentos relacionados

Application Survey Report (translat)

Dragomatic es un ingenioso sistema automático de detección y