Técnicas de demostración

Estructuras Discretas
Teoremas
Definición: teorema
Técnicas de demostración
Una expresión que se ha demostrado como verdadera con respecto a
axiomas, teoremas existentes.
¿Comó se demuestra un teorema?
Claudio Lobos, Jocelyn Simmonds
clobos,[email protected]
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Estructuras Discretas – INF 152
Debemos construir un argumento lógico (una demostración)
Queremos demostrar que si las hipótesis del teorema se
cumplen . . .
. . . entonces podemos deducir la conclusión del teorema.
Para construir un demostración, primero tenemos que saber como
derivar nuevas expresiones a partir de las conocidas – estas son las
reglas de inferencia.
Reglas de Inferencia
Reglas de Inferencia
Ley de Combinación
p
q
p∧q
Son reglas que justifican los pasos de una demostración:
←−−−−−−−−−
hipótesis
←−−−−−−−−−
conclusión
Estas reglas se derivan de tautologı́as básicas de la forma
“A ⇒ B”
Significado: Si p es V, y además q es V, entonces podemos inferir
que p ∧ q es V
Esto es porque si asumimos que A es V, entonces el único caso
en que A ⇒ B es V es cuando B también es V
Tautologı́a: p ∧ q ⇒ p ∧ q
Ejemplo:
Hipótesis:
Hoy comı́ tostadas (p)
Hoy tomé café (q)
Conclusión: hoy comı́ tostadas y tomé café (p ∧ q)
Reglas de Inferencia
Reglas de Inferencia
Ley de Simplificación
Ley de Adición
p∧q
p
p
p∨q
Significado: Si p ∧ q es V, podemos inferir que p debe ser V (y lo
mismo para q)
Significado: Si p es V, podemos inferir que p ∨ q debe ser V
(q puede ser cualquier cosa)
Tautologı́a: p ∧ q ⇒ p
Tautologı́a: p ⇒ p ∨ q
Ejemplo:
Ejemplo:
Hipótesis: Tome café y tome té (p ∧ q)
Hipótesis: Le eché leche a mi café (p)
Conclusión: tome café (p)
Conclusión: hay leche o azúcar en mi café (p ∨ q)
Reglas de Inferencia
Reglas de Inferencia
Modus Ponens
Modus Tollens
p
p⇒q
q
Significado: Si tanto la implicación (p ⇒ q) como su antecedente (p)
son V, entonces la conclusión de la implicación (q) tiene
que ser V
Tautologı́a: (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q
¬q
p⇒q
¬p
Significado: Similar a Modus Ponens, pero con respecto a la
contrarecı́proca (recordar que p ⇒ q ≡ ¬q ⇒ ¬p)
Tautologı́a: (¬q ∧ (p ⇒ q)) ⇒ ¬p
Ejemplo:
Ejemplo:
Hipótesis:
Si hoy hay sol, entonces vamos a la playa (p ⇒ q)
Hoy hay sol (p)
Conclusión: vamos a la playa (q)
Hipótesis:
Si hoy hay sol, entonces vamos a la playa (p ⇒ q)
Hoy no fuimos a la playa (¬q)
Conclusión: hoy no hizo sol (¬p)
Reglas de Inferencia
Reglas de Inferencia
Silogismo Hipotético
Silogismo Disyuntivo
p⇒q
q⇒r
p⇒r
Significado: la implicancia es transitiva
Tautologı́a: [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r)
p∨q
¬p
q
Significado: Similar a Modus Ponens, dado que p ∨ q ≡ ¬p ⇒ q
Tautologı́a: [(p ∨ q) ∧ ¬p] ⇒ q
Ejemplo:
Ejemplo:
Hipótesis:
Si hoy hay sol, entonces haremos un asado (p ⇒ q)
Si hacemos un asado hoy, entonces hay que ir al supermercado
(q ⇒ r )
Conclusión: si hoy hay sol, entonces hay que ir al supermercado
(p ⇒ r)
Reglas de Inferencia
Hipótesis:
Le eché azúcar o leche a mi café (p ∨ q)
No le eché azúcar a mi café (¬p)
Conclusión: le eché leche a mi café (q)
Ejemplo
Ley de Resolución
p∨q
¬p ∨ r
q∨r
Significado:
Si p es V, entonces r tiene que ser V . . . y si p es
F, entonces q tiene que ser V
Entonces, para que ambas hipótesis sean
verdadera, no importa el valor de p, lo que
necesitamos es que q o r sean V
Tautologı́a: [(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r)] ⇒ (q ∨ r)
Ejemplo:
Hipótesis:
Hace calor o Pedro juega fútbol (p ∨ q)
No hace calor o Juan esta en la playa (¬p ∨ r)
Conclusión: Pedro juega fútbol o Juan esta en la playa (q ∨ r)
Demuestre que el siguiente argumento lógico es válido:
¬p ∧ q
r⇒p
¬r ⇒ s
s⇒t
t
En otras palabras, deben mostrar que es posible deducir la conclusión
de las hipótesis, usando las reglas de inferencia.
Solución:
1. ¬p ∧ q
2. ¬p
3. r ⇒ p
4. ¬r
hipótesis
simplificación (linea 1)
hipótesis
m. tollens (lineas 2, 3)
∴ El argumento es correcto.
5.
6.
7.
8.
¬r ⇒ s
s
s⇒t
t
hipótesis
m. ponens (lineas 4, 5)
hipótesis
m. ponens (lineas 6, 7)
Reglas de Inferencia con Cuantificadores
Reglas de Inferencia con Cuantificadores
Particularización Universal
Generalización Universal
P(c) para c arbitrario
∀x P(x)
∀x P(x)
P(c)
Significado: Si P(x) es V para todo x, entonces P(c) es V, donde c
es un valor particular de x
Ejemplo:
Hipótesis: Todos los cursos en la UTFSM son difı́ciles (∀x P(x))
Significado: Si podemos demostrar que P(c) es V, donde c es un
elemento arbitrario, entonces P(x) es V, ∀x
Esta regla usualmente se aplica de la siguiente forma:
1
Definir un elemento arbitrario c
2
Demostrar que P(c) es V. Como el elemento c es arbitrario, no
pueden usar propiedades de c para demostrar que P(c) es V
3
Como c representa a cualquier elemento, podemos concluir que
∀x P(x) es V
Conclusión: INF-152 es difı́cil (P(c))
Reglas de Inferencia con Cuantificadores
Reglas de Inferencia con Cuantificadores
Generalización Universal
Particularización Existencial
∃x P(x)
P(c) para un elemento c
Ejemplo:
Si P(x) : x > x − 1, ¿cuál de los dos argumentos lógicos es correcto?
P(3)
∀x P(x)
P(n)
∀x P(x)
La misma pregunta, donde C(p) : persona p tiene cumpleaños
C(Maria)
∀p C(p)
C(q)
∀p C(p)
Significado: Si sabemos que existe un x tal que P(x) es V, entonces
le podemos dar nombre a este elemento
Ojo que c debe ser una nueva variable, no puede ser una ya en
uso en la demostración
Generalmente, solo se sabe que existe, y no su valor. Como
existe, se le puede dar nombre y continuar el argumento.
Ejemplo:
Hipótesis: Alguien ha inscrito este ramo (∃x P(x))
Conclusión: entonces, sea “Pedrito” ese alguien.
Reglas de Inferencia con Cuantificadores
Ejemplos
Generalización Existencial
¿Es válido el siguiente argumento?
P(c) para un elemento c
∃x P(x)
D(p) : p es alumno de INF-152
C(p) : p es alumno de Ing. Civil Informática
∀p (D(p) ⇒ C(p))
D(Juan)
C(Juan)
Significado: Si conocemos un elemento c donde P(c) es V,
entonces podemos concluir que ∃x P(x) es V
Ejemplo:
Solución:
Hipótesis: Juan ha comido pizza (P(c))
1.
2.
3.
4.
Conclusión: Por lo tanto, alguien ha comido pizza (∃x P(x))
∀p (D(p) ⇒ C(p))
D(Juan) ⇒ C(Juan)
D(Juan)
C(Juan)
hipótesis
part. universal, Juan es de tipo p
hipótesis
modus ponens, lineas 2 y 3
∴ El argumento es correcto.
Ejercicio
Si los siguientes argumentos son correctos:
Un alumno de este curso no ha bajado la guı́a de ejercicios
Todos los alumnos aprobaron el primer certamen
Mostrar que lo anterior implica:
Alguien quien aprobó el primer certamen no bajó la guı́a de
ejercicios
Primer paso: formalizar
x : persona
E(x) : x es alumno de este curso
G(x) : x ha bajado la guı́a de ejercicios
P(x) : x ha aprobado el primer certamen
Ejemplo
x : persona
G(x) : x ha bajado la guı́a de ejercicios
E(x) : x es alumno de este curso
P(x) : x ha aprobado el primer certamen
Entonces:
∃x (E(x) ∧ ¬G(x))
∀x (E(x) ⇒ P(x))
∃x (P(x) ∧ ¬G(x))
Solución: demostrar de que el argumento es válido
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
∃x (E(x) ∧ ¬G(x))
E(a) ∧ ¬G(a)
E(a)
∀x (E(x) ⇒ P(x))
E(a) ⇒ P(a)
P(a)
¬G(a)
P(a) ∧ ¬G(a)
∃x (P(x) ∧ ¬G(x))
hipótesis
part. existencial de linea 1, a es alumno
simplificación de linea 2
hipótesis
part. universal de linea 4
modus ponens de lineas 3, 5
simplificación de linea 2
combinación de linea 6, 7
gen. existencial de linea 8
∴ El argumento es correcto.
Teoremas
Definición: teorema
Una expresión que se ha demostrado como verdadera con respecto a
axiomas, teoremas existentes.
Técnicas de demostración
Muchos teoremas se escriben como implicaciones: si
p1 , p2 , p3 , . . . pn son todas verdaderas (hipótesis), entonces q
también lo es
En otras palabras, queremos demostrar teoremas de la forma
p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ · · · ∧ pn ⇒ q
Terminologı́a
Definición: conjetura
Expresión cuyo valor de verdad es desconocido. Si podemos
demostrar una conjetura, entonces esta se convierte en teorema
Técnicas de Demostración
Para teoremas de la forma p ⇒ q:
Demostración Directa
Demostración Indirecta
Definición: lema
Demostración Vacua
Teorema sencillo usado en la demostración de otros teoremas (un
resultado útil, pero no suficientemente “interesante” como para
ponerle nombre)
Demostración Trivial
Definición: corolario
Proposición que se puede establecer directamente a partir de un
teorema ya demostrado
Reducción al Absurdo (también conocida como “Demostración
por Contradicción”)
Demostración por Casos
Demostración de Equivalencia
Demostración Directa
Demostración Directa
Ejemplo
Demostrar que si n es un entero impar, entonces n2 es un entero
impar. Demostración:
Para demostrar p ⇒ q de forma directa:
1
Asumir que p es V
2
Usar las reglas de inferencia y teoremas ya demostrados para
demostrar que q también debe ser V
Ejemplo: Demostrar que si n es un entero impar, entonces
entero impar. Notese que:
n2
1
Primero, SIEMPRE especificar lo que van a demostrar
p : n es un entero impar
q : n2 es un entero impar
Queremos demostrar que p ⇒ q
2
Asumir que p es V. O sea, n es impar, lo que significa que ∃k tal
que n = 2k + 1
3
Ahora, traten de deducir que q es V de lo que ya sabemos:
n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 = 2` + 1
es un
un entero n es par si ∃k tal que n = 2k . . .
. . . y es impar si ∃k tal que n = 2k + 1
4
Conclusión: como ∃` tal que n2 = 2` + 1, podemos concluir que
n2 es entero impar si n es impar
Como este es un teorema simple, basto con un poco de álgebra para
inferir q, pero usualmente tendrán que aplicar las reglas de inferencia
Demostración Indirecta
Demostración Indirecta
Ejemplo
Para demostrar p ⇒ q de forma indirecta:
1
Como p ⇒ q ≡ ¬q ⇒ ¬p (contrarecı́proca)
2
Asumir que ¬q es V
3
Usar las reglas de inferencia y teoremas ya demostrados para
demostrar que ¬p también debe ser V
Es decir, una demostración indirecta de p ⇒ q es una demostración
directa de ¬q ⇒ ¬p
Ejemplo: Demostrar que si 3n + 2 es entero impar, entonces n es
entero impar
Demostrar que si 3n + 2 es entero impar, entonces n es entero impar.
Demostración:
1
Especificar lo que van a demostrar
p : 3n + 2 es un entero impar
q : n es un entero impar
Queremos demostrar que ¬q ⇒ ¬p
2
Asumir que ¬q es V. O sea, n es par, lo que significa que ∃k tal
que n = 2k
3
Se sigue entonces que
3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k + 2 = 2(3k + 1) = 2`
4
Conclusión: como ∃` tal que 3n + 2 = 2`, podemos concluir que
3n + 2 es entero par (entonces, ¬p es V)
Demostración Vacua
Para demostrar p ⇒ q de forma vacua:
Demostración Trivial
Para demostrar p ⇒ q de forma trivial:
1
¿Que sucede si p siempre es F?
1
¿Que sucede si q siempre es V?
2
En ese caso, p ⇒ q es siempre V, sin importar el valor de q
2
En ese caso, p ⇒ q es siempre V, sin importar el valor de p
3
Entonces, si podemos demostrar que p es siempre F, hemos
demostrado que p ⇒ q por vacuidad
3
Entonces, si podemos demostrar que q es siempre V, hemos
demostrado que p ⇒ q por trivialidad
Ejemplo: Muestre que la proposición P(0) es V, donde P(n) es el
predicado “si n > 1, entonces n2 > n”
Ejemplo: Demuestre que si n es la suma de dos números primos,
entonces n es par o impar
Demostración:
Demostración:
1
2
P(0) es la implicación “si 0 > 1, entonces 02 > 0”, donde
p : 0 > 1 y q : 02 > 0
Conclusión: como p siempre es F, P(0) es V de forma vacua
1
p : n es la suma de dos números primos, y q : n es par o impar
2
Pero impar ≡ ¬ par, ası́ que q siempre es V
3
Conclusión: como q siempre es V, p ⇒ q es trivialmente V
Reducción al Absurdo
Reducción al Absurdo
Demostración por Contradicción
Ejemplo
Caso simple: demostrar que p es V por reducción al absurdo
Asumir que ¬p es V
Ejemplo: Muestre que
Usar las reglas de inferencia y teoremas ya demostrados para
llegar a una contradicción, o sea, ¬p ⇒ F
Demostración:
4
√
2 = ab , tenemos que 2 =
implica que a2 es un número par
5
Teo. 1: si n2 es par, entonces n es par (propuesto: demostrar)
6
Usando Teo. 1, tenemos que a es par, o sea, ∃c tal que a = 2c
7
Entonces, 2b2 = (2c)2 , por lo que b2 = 2c2
8
Usando Teo. 1, tenemos que b también es par
9
Esto es una contradicción, nuestro supuesto en el paso 3 es que
a y b no tienen factores comunes
10
Conclusi
√ ón: como ¬p es F por contradicción, podemos concluir
que 2 es irracional
Si ¬p ⇒ F es V, esto significa que ¬p es F (o sea, nuestro
supuesto inicial fue incorrecto), y que entonces p es V
√
Ejemplo: Muestre que 2 es número irracional
Demostración:
1
p:
√
2 es número irracional. Queremos demostrar p por
contradicción
2
3
4
√
Asumir que ¬p es V, o sea, 2 es número racional
√
Si 2 es n√úmero racional, entonces existen dos enteros a, b
tales que 2 = ab , donde a, b no tienen factores comunes
. . . sigue en la siguiente diapo
√
2 es número irracional
Como
a2
,
b2
ası́ que a2 = 2b2 , lo que
Reducción al Absurdo
Reducción al Absurdo
Demostración por Contradicción
Ejemplo
Ejemplo: Mostrar que si m es un entero par, entonces m + 7 es impar
Veamos como demostrar que p ⇒ q es V por reducción al absurdo
Demostración:
Asumir que ¬(p ⇒ q) es V, o sea, que p ∧ ¬q es V
1
Usar las reglas de inferencia y teoremas ya demostrados para
llegar a una contradicción, o sea, p ∧ ¬q ⇒ F
p : m es entero par, q : m + 7 es entero impar. Quiero demostrar
p ⇒ q por contradicción
2
Asumir que p ∧ ¬q es V, o sea ∃k, ` tal que m = 2k y m + 7 = 2`
3
Si m + 7 = 2`, entonces m = 2` − 7 = 2` − 8 + 1 = 2(` − 4) + 1
= 2h + 1. O sea, m es impar
4
Esto contradice nuestro supuesto inicial, entonces fue incorrecto
asumir que ¬q es V
5
Conclusión: como q es V, podemos concluir que p ⇒ q es V
Una contradicción significa que nuestro supuesto de que ¬q es V
es incorrecto. Entonces, como q es V, tenemos que p ⇒ q es V
Ejemplo: Mostrar que si m es un entero par, entonces m + 7 es impar
Demostración por Casos
Demostración por Casos
Ejemplo
¿Cómo podemos demostrar algo de la forma (p1 ∨ p2 ∨ · · · ∨ pn ) ⇒ q?
p1 , p2 , . . . pn representan distintos casos
Usemos equivalencias lógicas:
(p1 ∨ p2 ∨ · · · ∨ pn ) ⇒ q ≡ (p1 ⇒ q) ∧ (p2 ⇒ q) ∧ . . . (pn ⇒ q)
O sea, si demostramos pi ⇒ q, ∀i = 1 . . . n (usando las técnicas
que quieran), hemos demostrado la implicación original
Ejemplo: Demostrar que si x, y son números reales, entonces
max(x, y) + min(x, y) = x + y
Demostración:
Identificar casos que sirvan para hacer la demostración. Por
ejemplo, si hay mı́nimos y máximos, es útil saber cual número es
mayor/menor, por lo que definiré: p1 : x < y, p2 : x > y, p3 : x = y
Quiero demostrar que si (p1 ⇒ q) ∧ (p2 ⇒ q) ∧ (p3 ⇒ q), donde
q : max(x, y) + min(x, y) = x + y
sigue . . .
Demostrar que (p1 ⇒ q) ∧ (p2 ⇒ q) ∧ (p3 ⇒ q)
Caso 1: (x < y ⇒ q)
1 Si x < y, sabemos que max(x, y) = y, min(x, y) = x (def. de max,
min)
Entonces, max(x, y) + min(x, y) = y + x = x + y (conmut. +)
3 Conclusión: (x < y ⇒ q), por demostración directa
2
Caso 2: (x > y ⇒ q). Demostración similar a la anterior, solo que
max(x, y) = x y min(x, y) = y
Caso 3: (x = y ⇒ q)
1 Si x = y, sabemos que max(x, y) = x = y, min(x, y) = x = y
2 Entonces, max(x, y) + min(x, y) = x + y
3 Conclusión: (x = y ⇒ q), por demostración directa
Conclusión: como (p1 ⇒ q) ∧ (p2 ⇒ q) ∧ (p3 ⇒ q) es V, podemos
concluir que p ⇒ q es V
Demostración de Equivalencia
Ejemplo
Demostrar que n2 es impar ⇒ n es impar (q ⇒ p)
Para demostrar cosas de la forma p ⇔ q
Intento 1: demostración directa
2
1 Asumir que n es impar, demostrar que n es impar
2
2
2 Si n es impar, significa que ∃k tal que n = 2k + 1
√
3 Entonces, n = ± 2k + 1 . . . ¿y que mas podemos inferir?
Podemos usar la tautologı́a p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
Usando las técnicas de demostración que quieran, deben
demostrar las dos implicaciones para demostrar que p ⇔ q es V
esto parece ser un camino sin salida, cambiemos de técnica
Intento 2: demostración indirecta
2
1 Asumir que n es par, demostrar que n es par
2 Si n es par, entonces ∃k tal que n = 2k
2
2
2
2
3 Entonces, n = (2k) = 2(2k ) = 2`, o sea, n es número par
4 Conclusión: hemos demostrado que la contrareciproca de q ⇒ p
Ejemplo: Demostrar que el entero n es impar si, y solo si, n2 es impar
Demostración:
1
p : n es impar, q : n2 es impar, queremos demostrar que p ⇔ q
2
Ya demostramos que p ⇒ q, ver ejemplo de Demostración
Directa
3
Falta probar que q ⇒ p
es V, ası́ que la implicación original es V
Conclusión: como p ⇒ q y q ⇒ p son V, sabemos que p ⇔ q es V
OJO: Si no logran completar una demostración, intenten con otra
técnica, otra formalización de p, q, otros casos, etc.
Técnicas de Demostración
Demostración de Existencia
Existen dos estrategias para demostrar teoremas de la forma ∃x P(x):
1
Encontrar un elemento a tal que P(a) es V. No siempre se
conoce el valor de a, solo hay que demostrar que existe
2
Demostrar que tal elemento no existe, o sea que ∀x ¬P(x) es V
Para teoremas con cuantificadores:
Para demostrar que ∀x P(x) es V:
Aplicar particularización universal: P(c), donde c es elemento
arbitrario
2 Demostrar que P(c) es V, tal como lo hemos hecho en las diapos
anteriores
3 Generalizar el resultado para concluir que ∀x P(x) es V
1
Demostración de Existencia
Ejemplo: Muestre que existen dos números irracionales x, y tales que
xy es racional
Demostración:
Del ejemplo de Reducción al Absurdo, sabemos que
número irracional
√
2
Consideremos el número 2 :
√ √2
Caso 1: si 2 es racional, hemos encontrado valores de x, y
Demostración de Unicidad
Contraejemplos
√
2 es
1
√
2
que hacen que el√teorema sea verdadero
Caso 2: ¿y si
√
2
2
es irracional?
Demostración de Existencia
Demostración de Unicidad
Ejemplo
Ejemplo: Muestre que existen dos números irracionales x, y tales que
xy es racional
Demostración:
Sabemos que
√
√
2 es número irracional
√
2
Caso 1: si 2 es racional, hemos encontrado valores de x, y
que hacen que la expresión sea verdadera
√ √2
√ √2
√
Caso 2: ¿y si 2 √
es irracional?√ Tomemos
x
=
2
e
y
=
2.
√ 2 √2 √ 2.√2 √ 2
y
Entonces, x = ( 2 ) = 2
= 2 = 2, que
claramente es racional
Conclusión: en ambos casos encontramos valores de x, y irracionales
tales que xy es racional, ası́ que la expresión es V
Demostración de Unicidad
Algunos teoremas afirman la existencia de un único elemento con
cierta propiedad (∃!x P(x)). Para demostrar esto, debemos probar dos
cosas:
1
Existencia: existe un elemento que cumple la condición
2
Unicidad: este elemento es único
Esto es lo mismo que demostrar ∃x (P(x) ∧ ∀y (y 6= x ⇒ ¬P(y)))
Técnica común para estas demostraciones:
Demostrar que ∃x P(x)
Asumir que que existe y 6= x tal que P(y) sea V, y llegar a una
contradicción
Contraejemplos
Ejemplo
Ejemplo: si a y b son números reales y a 6= 0, entonces existe un
único número real r tal que ar + b = 0
Quieren demostrar una expresión de la forma ∀x P(x)
Pero encuentran un valor de x tal que P(x) es F . . .
. . . por lo que ∀x P(x) es F. Este x es un contraejemplo
Demostración:
− ba
es la solución de la ecuación
Existencia: es fácil ver que r =
ar + b = 0, ası́ que existe un número real r tal que ar + b = 0
Unicidad:
Asumir que existe un número real s 6= r tal que as + b = 0
Como ar + b = 0 y as + b = 0, tenemos que ar + b = as + b
3 Restando b a ambos lados, nos queda que ar = as
4 Como ar = as y a 6= 0 (parte de la premisa), la única posibilidad
es que r = s, lo que contradice nuestro supuesto inicial
5 Conclusión: no existe s 6= r tal que as + b = 0, o sea, si s 6= r ,
entonces as + b 6= 0
1
2
Conclusión: como hemos demostrado la existencia y unicidad de r,
podemos concluir que la expresión es V
Ejemplo: para todo n, si n es entero impar, entonces n+1
2 también es
entero impar
Demostración:
¿Existe un n0 tal que n0 es impar pero n02+1 sea par?
¿Qué tal n0 = 7? Es fácil ver que n02+1 = 82 = 4, que es par
Conclusión: la expresión es falsa
Recomendación: antes de intentar demostrar un ∀, intenten ver si
existe algún contraejemplo. Importante: no pueden demostrar que un
∀ es V usando solo ejemplos