Probabilidad y Estadística Objetivo de aprendizaje del tema

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Probabilidad y Estadística
Probabilidad y
Estadística
Tema 1
Conceptos de probabilidad
Objetivo de aprendizaje del tema
Al finalizar el tema serás capaz de:
•
•
Describir los conceptos básicos de probabilidad.
Aplicar los teoremas de probabilidad en experimentos
con resultados finitos.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Introducción al tema
Los juegos de azar han sido un detonante en el interés
de cuantificar los resultados posibles y en determinar el
resultado probable. Cuando jugamos, siempre
esperamos un resultado favorable para avanzar en el
juego o bien, para ganarlo, incluso utilizar información
existente en el juego para realizar una apuesta en favor
de un resultado u otro.
Introducción al tema
Para conocer la probabilidad de un resultado u otro,
debemos entonces conocer todos los posibles
resultados en una situación dada e inferir la probabilidad
de que el resultado esperado ocurra considerando el
total de los eventos.
Sin embargo debemos preguntarnos, ¿cómo se
determinan los posibles resultados de una situación u
evento?, ¿cómo determinamos la posibilidad de
ocurrencia de uno de ellos? La teoría de probabilidad
nos ayudará a contestar estas preguntas y a resolver
problemas en donde el azar está incluido.
Conceptos básicos de probabilidad
La probabilidad se
define como un
número decimal entre
0 y 1 inclusive.
Mide la creencia que
se tiene de que llegue
a ocurrir un evento
específico resultado
de un experimento.
Cuanto más se acerca
la probabilidad a 0, es
más improbable que
suceda el evento al
que se asocia.
Evento es un
resultado posible para
un experimento.
Cuanto más se acerca
la probabilidad a 1,
estaremos más
seguros de que
sucederá.
Conceptos básicos de probabilidad
Eventos mutuamente excluyentes: Si sólo uno de varios eventos puede ocurrir en un
experimento.
Evento independiente: Se dice que dos eventos son independientes si la probabilidad
de que ocurra uno no tiene ninguna relación en la probabilidad de que ocurra el otro.
Evento simple: Se dice que un evento es simple si consiste de exactamente un
resultado.
Evento compuesto: Se dice que un evento es compuesto si consta de más de un
resultado.
Experimento colectivamente exhaustivo: Se le denomina al experimento cuando tiene
un conjunto de eventos que incluye todos los resultados posibles.
Probabilidad Conjunta: Probabilidad que mide la posibilidad de que dos o más eventos
ocurran en forma simultánea.
Enfoques de la probabilidad
•
•
La probabilidad clásica se basa en la consideración de
que los resultados de un experimento son igualmente
posibles.
Matemáticamente, se expresa de la siguiente forma:
Probabilidad de un evento =
Número de resultados favorables___
Número total de resultados posibles
•
Considere el experimento de tirar un dado balanceado,
¿cuál es la probabilidad de obtener un 1?
Observando los eventos posibles del experimento,
vemos que tiene 6 eventos: {1, 2, 3, 4, 5 y 6}, de los
cuales sólo uno de ellos cumple con la condición.
En este caso la probabilidad será 1/6, o bien,
0.1667.
Existe el 16.67% de probabilidad de que obtener un
1 al tirar un dado balanceado.
•
•
El concepto de frecuencia relativa define que la
probabilidad de que un evento ocurra en el tiempo se
determina observando el número de veces que ocurrió
en el pasado.
Matemáticamente, se expresa de la siguiente forma:
Probabilidad de un evento = Número de veces que ocurrió en el pasado
Número total de observaciones
•
•
Considere el siguiente ejemplo: En un estudio realizado,
751 graduados de Administración, reveló que 453 de los
751 no estaban trabajando en su principal área de
estudio. ¿Cuál es la probabilidad de que un graduado en
específico esté trabajando en un área distinta a su
principal área de estudio?
Aplicando la fórmula del concepto de frecuencia
relativa, la probabilidad sería de 453 casos vistos en el
pasado / 751 observaciones, lo que es igual a 0.6031.
•
•
La probabilidad subjetiva, considera que existe poca o
no existe información suficiente para obtener una
probabilidad.
Supone evaluar las opiniones disponibles y otra
información para después llegar a la probabilidad.
Estimar la posibilidad de que el equipo local
obtenga un triunfo en su próximo juego de visita.
Estimar la posibilidad de que apruebes el curso de
Probabilidad y Estadística con una calificación
superior a 90.
Teoremas de probabilidad
•
Probabilidad nula:
– La probabilidad de un evento es cero si el evento
es nulo o vacío. Al tirar un dado, la probabilidad de
que caiga un 7 es cero pues es un evento nulo.
•
Probabilidad del complemento:
– La probabilidad del evento complemento es igual a
la resta de 1 menos la probabilidad del evento.
P(A’) = 1 – P(A)
•
Regla especial de adición:
– Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes,
la probabilidad de que ocurra A o B está dada por
la fórmula:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
•
Considerando el ejemplo del dado, ¿cuál es la
probabilidad de obtener un 1 o un número par?
–
–
Evento A: Obtener 1.
Evento B: Obtener un número par.
–
Aplicando la fórmula tenemos que:
P(A∪B)=P(A)+ P(B)
P(A∪B)=(1 / 6) + (3 / 6) = 4 / 6 = 0.6667
•
Regla general de adición
– Si dos eventos A y B no son mutuamente
excluyentes, la probabilidad de que ocurra A o B
está dada por la fórmula:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ C)
•
Una encuesta del departamento de turismo de Nuevo
León, reveló que 120 turistas visitaron el nuevo Andador
Santa Lucía y 100 turistas visitaron la cascada conocida
como Cola de Caballo. También se sabe que 60 de los
turistas visitaron ambos lugares. ¿Cuál es la
probabilidad de que un turista haya visitado el Andador
Santa Lucía o la Cola de Caballo?
–
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ C)
P(A ∪ B) = (120 / 200) + (100 / 200) – (60 / 200)
P(A ∪ B) = 160 / 200 = 0.80
•
Regla especial de multiplicación
– Si dos eventos A y B son independientes, la
probabilidad de que ocurra A y B está dada por la
fórmula:
P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
•
Considerando el ejemplo de dos dados, ¿cuál es la
probabilidad de obtener un 5 en un dado y otro 5 en el
otro dado?
–
–
Evento A.- Obtener 5 en el dado 1.
Evento B.- Obtener 5 en el dado 2.
–
P(A ∩ B)=P(A) * P(B)
P(A ∩ B)=(1 / 6) * (1 / 6) = 4 / 36 = 0.02778
•
Regla general de multiplicación:
– Se utiliza para determinar la probabilidad conjunta
de que ocurran dos eventos dependientes. Por
ejemplo, el sacar de una urna de pelotas de
diferentes colores, dos pelotas de forma
consecutiva.
–
Matemáticamente, se expresa así:
P(A ∩ B) = P(A) * P(B | A)
En donde expresa la probabilidad de que ocurra B dado que
ya ocurrió A.
•
En una urna contiene 5 pelotas rojas y 5 pelotas azules.
¿Cuál es la probabilidad de obtener una pelota roja en
un primer evento y una segunda pelota en un segundo
evento?
– Evento A: Obtener una pelota roja en un primer
intento.
– Evento B: Obtener una pelota roja en un segundo
intento.
P(A ∩ B) = P(A) * P(B | A)
P(A ∩ B) = (5 / 10) * P(4 / 9) = 2 / 9 = 0.2223
Espacios muestrales y eventos
•
•
Un evento se define como un resultado posible para un
experimento. Al conjunto de eventos que componen un
experimento, se le denomina espacio muestral.
Ejemplo: El espacio muestral de tirar un dado está dado
por el siguiente conjunto:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
|
Cierre
La teoría de probabilidad y estadística permite a los
tomadores de decisiones reducir la incertidumbre en la
tarea que le corresponda, desde una decisión financiera
hasta las apuestas en un juego de azar.
Cierre
La probabilidad como tal, busca determinar la posibilidad
de que ocurra un evento en específico dado un espacio
de solución o espacio muestral. En el diseño de
experimentos se establece, de manera implícita la forma
en que se darán los eventos y por tanto, su espacio
muestral.
Es a través del diseño de experimentos y del espacio
muestral, como podemos determinar si los eventos son
independientes o mutuamente excluyentes, y por ende,
podemos decidir sobre cómo resolver el experimento y
tomar una decisión lógica tendiente a obtener un
resultado favorable.
Referencias bibliográficas
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•
•
Devore, J. (2008). Probabilidad y estadística para
ingeniería y ciencias. (7a. Ed.). México: Cengage
Learning. Capítulo: 2
Wakerly, D., Mendenhall, W. et al. (2002). Estadística
matemática con aplicaciones. (6a. Ed). México: Cengage
Learning.
Spiegel, M.(2004). Probabilidad y estadística (2a. Ed).
México: McGraw Hill.
Créditos
Diseño de contenido:
Ing. Armando Calzada Mezura, MA, PMP
Coordinador académico:
Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED.
Edición de contenido:
Lic. Verónica Montes de Oca Pinzón.
Edición de texto:
Lic. Arcelia Ramos Monobe, MEE
Diseño Gráfico:
Lic. Alejandro Calderas González, MATI

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