Problema 2 - Matemáticas

Programación Matemática para Economistas
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2.- Una compañía aérea tiene dos clases de aviones Boeing 757 y Airbus 330, para cubrir un
determinado trayecto. Los Boeing deben hacer más veces el trayecto que los Airbus, pero
los Boeing no pueden sobrepasar los 120 viajes. Entre los dos tipos de aviones deben hacer
más de 60 vuelos pero menos de 200. En cada viaje de los Boeing, la compañía gana 1.800
€ y en cada uno de los Airbus 1.200 €.
¿Cuántos viajes deben hacer cada tipo de avión para obtener el máximo beneficio?
Solución:
Denominemos x1 al número de vuelos realizados por los Boeing y x2 al número de
vuelos realizados por los Airbus.
Las restricciones que se nos plantean sobre el número de vuelos que deben de
realizar los dos tipos de aviones son:
1º) Los Boeing deben hacer más veces el trayecto que los Airbus, por tanto: x1 ≥ x2.
2º) Los Boeing no pueden sobrepasar los 120 vuelos, luego, x1 ≤ 120.
3º) Entre los dos tipos deben realizar más de 60 vuelos, pero menos de 200:
60 ≤ x1 + x2 ≤ 200.
Por otro lado sabemos los beneficios que obtiene la compañía por cada uno de los
viajes, así que la función objetivo será: B(x1, x2) = 1.800x1 + 1.200x2.
Así pues, el problema de programación lineal que se nos plantea es:
Max 1.800 x1 + 1.200 x 2
s.a
x1 ≥ x 2
x1 ≤ 120
60 ≤ x1 + x 2 ≤ 200
x1 , x 2 ≥ 0
Tras la introducción de las correspondientes variables de holgura y artificiales el
problema queda:
R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
Programación Matemática para Economistas
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Max 1.800 x1 + 1.200 x 2 + 0 x3 + 0 x 4 + 0 x5 + 0 x6 − Mx7
− x1 + x 2 + x3 = 0
s.a
x1 + x 4 = 120
x1 + x 2 + x5 = 200
x1 + x 2 − x6 + x7 = 60
x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 , x6 , x 7 ≥ 0
Tabla inicial:
B
P3
P4
P5
P7
CB
0
0
0
-M
P0
0
120
200
60
-60M
1.800
P1
-1
1
1
1
1.800
+M
1.200
P2
1
0
1
1
1.200
+M
0
P3
1
0
0
0
0
0
P4
0
1
0
0
0
0
P5
0
0
1
0
0
0
P6
0
0
0
-1
-M
-M
P7
0
0
0
1
0
Entra P1 y sale min{120/1, 200/1, 60/1} correspondiente a P7.
B
P3
P4
P5
P1
CB
0
0
0
1.800
P0
60
60
140
60
108.000
1.800
P1
0
0
0
1
1
1.200
P2
2
-1
0
1
-600
0
P3
1
0
0
0
0
0
P4
0
1
0
0
0
0
P5
0
0
1
0
0
0
P6
-1
1
1
-1
1.800
-M
P7
1
-1
-1
1
-1.800
-M
Entra P6 y sale min{60/1, 140/1} correspondiente a P4.
R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
Programación Matemática para Economistas
B
P3
P4
P5
P1
CB
0
0
0
1.800
P0
120
60
80
120
216.000
1.800
P1
0
0
0
1
0
176
1.200
P2
1
-1
1
0
1.200
0
P3
1
0
0
0
0
0
P4
1
1
-1
1
-1.8000
0
P5
0
0
1
0
0
0
P6
0
1
0
0
0
-M
P7
0
-1
0
0
-M
Entra P2 y sale min{120/1, 80/1} correspondiente a P5.
B
P3
P6
P2
P1
CB
0
0
1.200
1.800
P0
40
140
80
120
312.000
1.800
P1
0
0
0
1
0
1.200
P2
0
0
1
0
0
0
P3
1
0
0
0
0
0
P4
2
0
-1
1
-600
0
P5
-1
1
1
0
-1.200
0
P6
0
1
0
0
0
-M
P7
0
-1
0
0
-M
La solución es (120, 80, 40, 0, 0,140). Por tanto, los Boeing deben realizar 120 viajes
y los Airbus 80. Se efectúan 40 viajes más de Boeing que de Airbus. Los Boeing realizan
los 120 viajes y se efectúan los 200 en total, siendo el máximo beneficio 312.000 €.
R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz