es cuela tщcnica s uper ior de ingenier os indus tr iales y de

Transcripción

es cuela técnica s uper ior
de ingenier os indus tr iales
y de telecomunicación
t elekomunikazio et a
indus t r i ingeniar ien
goi mailako es kola
APUNTES DE LA ASIGNATURA:
(/(0(1726'(0É48,1$6
<
9
,%
5
$&
,21(6
ASIGNATURA OPTATIVA DE 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
T EMA 6
EQUILIBRADODE MÁQUINAS Y MECANIS MOS
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA,
ENERGÉTICA Y DE MATERIALES
INGENIARITZA MEKANIKOA ENERGETIKOA
ETA MATERIALEEN SAILA
ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES
TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M
MECANISMOS
- 6.2 -
DEPARTAMENTO DE INGENIER A MEC NICA,
ENERGÉ TICA Y DE MATERIALES
MECANISMOS
INDICE
6.1
DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA
6.2
E 6.2.1
Ecuación del movimiento
6.2.2
Máquinas de equilibrado estático
6.3
D 6.4
A G 6.5
E 6.5.1
Bastidor basculante
6.5.2
Punto nodal
6.5.3
Compensación mecánica
6.6
EQUILIBRADO “IN SITU” CON UNA CALCULADORA PROGRAMABLE
6.7
EQUILIBRADO DE MOTORES ALTERNATIVOS
6.7.1
Equilibrado de un motor de un solo cilindro
6.7.1.1 Método de la masa imaginaria
6.7.2
Equilibrado de motores con varios cilindros
6.7.2.1 Motor de cuatro cilindros
6.7.2.2 Motor de tres cilindros
6.7.2.3 Motor de seis cilindros
6.7.2.4 Otros motores
6.8
EQUILIBRADO DE MECANISMOS
6.8.1
6.9
Método de Berkof-Lowen de los vectores linealmente independientes
E ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES
- 6.3 -
6.1
MECANISMOS
Descripción del problema
! "
Sabemos
deun
#$que
%'&los
esfuerzos
()
*sobre
#eleslabó
# n de
referencia
()#
#
#mecanismo,
#& +osobre
+&el
soporte
,"-de
esfuerzos pueden provocar vibraciones que a veces pueden alcanzar amplitudes peligrosas.
Incluso aunque no lo fueran, las vibraciones someten a los cojinetes a cargas repetidas que
provocan
las
piezas.
& elfallo
()por
fatiga
&
de
,
Por
.()tanto,
en
/el
0 diseño
12de
!maquinas
/&
!no basta
%
o por lo menos reducir, en primera instancia, las fuerzas de inercia que producen estas vibraciones.
o &elemento
rotació
&
-Cualquier
3eslabó
n3
3 que
4seencuentre
en
56
n pura
puede,
7() teó
,ricamente,
"89 9&
$estar
- * :%;<& = < 6 6>& 6>
,>>>$ %?
menos que la vibració n o sacudimiento sean necesarios.
@ A A
()A&A-
B C A-$ AD $ "E
;
F-$ F=G()
F; $ "H
I JI I& II
- 8K L $ 1) L
%'# %'M-$ #&#
*#- & N5L
JO$P$ J "
rotació
Las
partes
Q&
Fen
R
npueden,
,Rygeneralmente
">S Rdeben,
ser
%>diseñadas
T()
como
Uinherentemente
UV tolerancias
que
!!&
de
!producció
$!n
Whacen
& !
!haya
&
algún
pequeño
!Ldesequilibrio
L&en7cada
LLuna.
Por
-lo
tanto,
")X
magnitud y localizació n de cualquier desequilibrio pueden ser determinadas con bastante exactitud,
y compensadas al agregar o quitar material en las ubicaciones correctas.
tema
moLdeterminar
-$ En
O53este
$
Lestudiaremos
L 7
analíticamente
();57có L
y7diseñar
# ()un
estado
#de
$equilibrio
& YZ
como motores alternativos o eslabonamientos de cuatro barras.
- 6.4 -
6.2
MECANISMOS
Equilibrado estático
La configuració n mostrada en la
figura 1 se compone de una combinació n de
un disco y un eje, que descansa sobre unos
rieles rígidos y duros, de tal manera que el
eje, que se supone es perfectamente recto,
pueda rodar sin fricció n. Se fija un sistema
de
9referencia
"*S<&xyz
<en-eldisco
.que
)&se
mueve
F&
T + T-$
-$ J +
' < J-$
SJ
' J () J & $ JJ J"
+ Se deja rodar libremente al sistema eje-disco hasta que vuelve al reposo.
+ Se marca, con una tiza p
' YZ& %& J$O YZJJ J&
J "
+ Se repite la operació n cuatro o cinco veces.
+ Si las marcas quedan dispersas en lugares diferentes alrededor de la periferia, el disco
se encuentra equilibrado estáticamente.
+ Si
lo
+
todas
las
+marcas
+ coinciden,
YZ+$
el5<disco
se
+encuentra
++estáticamente
33 desequilibrado,
"
La posició n
de las marcas con respecto al sistema xy indica la ubicació n angular del desequilibrio;
pero no su magnitud.
EsO
improbable
<
,
que
<&cualquiera
< de
.las
marcas
<quede
-$ 6localizada
6'a180º
de
6&las
;restantes,
6'aun
YZ
$
"
%-
Si sedescubre
se puede corregir eliminando
J&que
existe
,desequilibrio
estático
: %
material
o bien agregando masa a la periferia
a 180º de la marca. Puesto que se desconoce la magnitud del desequilibrio, estas correcciones se
deben hacer por tanteos.
Si se introduce la participació n de una masa de ensayo m, se puede determinar la correcció n
a introducir en el sistema:
+ Sea
ensayos
A% la
marca
$J Nrealizada
()
enJ&los
J
&
' Janteriores
J
yA’JelJpunto
Osituado
5)a" 180º. Por lo
- 6.5 -
MECANISMOS
+ Colocando una masa m en la periferia del disco (de radio r) según una direcció n
&
& '
%
' $JJ$ % $ J
')&
"
ϕ
+ una masa m* = m / tgϕ.
6.2.1 ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO
Si se montan un disco y un eje
desequilibrados sobre unos cojinetes, y se hacen
%P&
$G !
G 0 mrGω2 que se
ilustra en la figura 2. Esta fuerza que actúa sobre el
eje produce las reacciones giratorias en los
cojinetes indicadas en la figura.
Para determinar la ecuació n del movimiento del
sistema se establece la siguiente notació n:
+ m: masa total del sistema.
+ mu: masa no equilibrada.
+ k: rigidez del eje; un número que describe
la magnitud de la fuerza necesaria para
flectar al eje una distancia unitaria cuando
se aplica en O. Por tanto, k tiene las
unidades de newton / metro.
+ c: coeficiente de amortiguamiento viscoso.
Figura 2 – Eje con disco desequilibrados
Si se selecciona cualquier coordenada x normal al eje, ahora se puede escribir
∑F
= −kx − cx& − m&x& + m u rG ω2 cos ωt = 0
0
XJ ,JJ-J ,J O
$J () J& F YZ
x=
m u rG ω2 cos(ωt − φ)
(k − mω )
2 2
+ c 2 ω2
J$ 3&
3 3 7
donde φ
por tanto, φ es el ; y su valor es:
φ = tan −1
cω
k − mω 2
(1)
(2)
murGω2 y la amplitud X de la vibració n del eje;
(3)
S "!$#&%
ω2) del denominador de (2) fuera cero, la amplitud de x sería muy grande
debido a que só lo estaría limitada por la constante de amortiguamiento c, que por lo general es
5 &:"O() FF
'!$#&% 2
ω
% 5O ω ) sea cero, recibe el nombre de
velocidad angular natural (ωn), velocidad crítica
frecuencia circular natural:
ωn =
k
m
(4)
- 6.6 -
MECANISMOS
En el estudio de las vibraciones libres, se demuestra que existe un valor del amortiguamiento
c que no conduce a vibració n alguna, sino a un desplazamiento amortiguado que tiende a cero.
Este valor se conoce como amortiguamiento crítico y se expresa mediante la ecuació n:
c = 2mωn
(5)
A partir de este valor, se define la relación de amortiguamiento ξ, como el cociente entre el
amortiguamiento real del sistema y el crítico; esto es:
ξ=
c
c
=
c 2mωn
(6)
&
5)
L&
- $ F -
$J&
JJ () J&
) " amortiguamiento, ξ
Llamando X
≤ ξ ≤ 0.120.
J J& JJJ J ,!%-JJ&J)&
x = X cos(ωt − φ)
(7)
Si ahora se divide el numerador y el denominador de dicha amplitud X entre k, se designa la
excentricidad como e = rG, y se introducen las ecuaciones (4) y (6), se obtiene la razó n
mX
=
mue
(1 − ω
2
(ω ωn )2
2
2
ωn2 ) + (2ξω ωn )
(8)
ecuació n que nos proporciona la razó n de amplitudes de la vibració n de un conjunto de disco y eje
girando. Si no se considera amortiguamiento, se hace m = mu, y se sustituye e con rG:
X = rG
(ω ωn )2
2
1 − (ω ωn )
(9)
donde rG es la excentricidad y X es la
amplitud de la vibració n correspondiente a
cualquier razó n de frecuencias ω ωn .
Ahora, si en la figura 2 se designa O como
el centro del eje en el disco y G como el
centro de masa del disco, se puede llegar
a
conclusiones
$ interesantes
, al representar
!" -
aparece
D& ilustrado
D en&
lafigura
3,
$ en
donde
sobre el eje vertical y la razó n de
frecuencias a lo largo de la abscisa.
Figura 3 – Amplitud del movimiento
X 3&:7 3 &
YZ $ L E E E& ,
()LO
7& 7&
L ()
;
7# "'M ###M #-$#
O%'
G
?G G 5= YZ , -$ , 3 0 3 centros de los cojinetes. De esta manera, la figura 3 proporciona informació n tanto sobre las
relaciones de amplitud como sobre la fase.
- 6.7 -
MECANISMOS
5T $ & >() , 5
&:La+frecuencia
&
& +natural
es
+ωn -"; + + /() 3 YZ%K 3
+ +& % + !
YZ#&
* () #
0 %' #& #ξ =0)
en
#la
/()velocidad
crítica
()/5<(resonancia).
5)+Al
+pasar
+ el
aumentando la velocidad.
XB
$ B
() %N %NB B& BP () B9() ()
$B /
%
&
P$99 9 () 94 YZ%8 99 $9() 0 9
% J-
$J JN
&
& ()% -r G. En
tal
línea central de los cojinetes.
$ -
generan vibraciones indeseables y reacciones giratorias en los cojinetes. A la hora de tratar
de
problema,
reducir
-$ resolver
%&
este
J
$J
& se
puede
" laexcentricidad
%rG&utilizando
&:equipos
de
equilibrado
rG ,
siempre se pueden esperar problemas cuando ω = ωn.
$%4! !!&
,LL 5)
8L O
L %) L$ F
$F :
G;FF&I&
J I WI
$& II
posible, con el fin de evitar que se desarrollen vibraciones peligrosas.
6.2.2 MÁQUINAS DE EQUILIBRADO ESTÁTICO
&
&, >>>$ >&
> O6 O>&
O %?>& >-$
equilibrada. En caso de no estarlo, , indicando su
magnitud y ubicación.
X F$ F&
-$ só lo para piezas cuyas dimensiones
) #&:
(tienen la forma general de un disco delgado), como por ejemplo: engranes,
poleas, ruedas, levas, ventiladores, volantes e impulsores.
%<&
Con
frecuencia
reciben
&el
$nombre
- de
I
I
I
& "
I
&
F
>
& -
%I- $I? I ()
)( planos;
GG pero
%P es
+&importante
+hacer
$Gnotar
aquí
Gque
-$ si sedeben
GLmontar
varias
() ruedas
W sobre
3 un
eje
que
.
H-
% &
J
$J& J ' YZ JJO& "
" " "
"" pieza
Yase
disco-eje
L Luna
,fuerza
L de
8gravedad
#&0 #ouna
fuerza
* centrífuga.
$ #
#
ha
visto
&
que
el% conjunto
# 5< YZ$ + "+-+% + ,+ 33 3
L 5)LL O
LL L
()" P
L L&
L 8K L
0 L 8#
velocidad
Entonces,
predeterminada.
&
se
podrían
medir
" Hlas
-reacciones
!& en!los
-cojinetes
$! !yutilizar
/sus
toman las mediciones, se usa un estroboscopio para indicar la ubicació n de la correcció n requerida.
; L
3 $ 3 3 EE -
mida
que
J
-tanto
N5L
$la& magnitud
"
. como
JJ&laubicació
J
n
del
desequilibrio,
&JJOyproporcione
'la correcció
' J& n" de
- 6.8 -
MECANISMOS
X -
$ &
'J-N &" & que puede inclinarse en cualquier direcció n
(esquema
B 4.a).
BCuando
semonta
%NP&en
su
Bplataforma
"
La direcció n de la inclinació n da la ubicació n del
=5T$ θ (figura 4.b) indica la
magnitud.
Se
suele
recurrir
&
J ' O aOcierto
&amortiguamiento
"
$ JJ J-$ ' & En
<la<figura
<$5,
se
<&muestra
< un
nivel
"*XLuniversal
Lcomo
< 6&el
que
6se
6suele
montar
5E #sobre
- la
-$ F F&
&
F
onzas-pulgadas. Una burbuja, que se
muestra en el centro, se mueve con el desequilibrio e indica tanto la ubicació n como la magnitud de
la correcció n que es necesario introducir.
; () ()
&
J& JJ$ JJ J-$ ' ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES
- 6.9 -
MECANISMOS
6.3
La figura 6 representa un rotor que se va a montar sobre los cojinetes A y B. Se podría
suponer que se colocan dos masas iguales m1 y m2 en los extremos opuestos del rotor, y a
distancias iguales r1 y r2 del eje de rotació n. Puesto que las masas son iguales, r1 = r2 y se
encuentran
en lados
n,se
,JJ
opuestos
%&
Jdel
eje
&
de
'rotació
JJ
puede
Jcolocar
-$ el rotor
Jsobre
rieles,
JNcomo
O se
posiciones angulares.
; ' $ J !
%W&
$3-3 ' Si el rotor se hace girar a una velocidad angular ω
2
2
centrífugas
2 sobre los extremos del rotor. Estas
B m
0 1r1ωBy&
m
2r2ω $, respectivamente,
B
Benm
1 y m
B
B YZ FA y FB, y todo el
-37
$33 P3 7() 9 ω. Por consiguiente, un rotor puede
.
Figura 7 – Ejes desequilibrados
- 6.10 -
MECANISMOS
Así, en la figura 7, se presentan los dos casos de desequilibrio:
& J
5L
.Cuando
+ En
!la
figura
7.a,
!se
9 presenta
! YZ un
!eje
-$con
99
4
9
< < el<rotor
gira,
,"*las
S
$O J
+
m
-$J JJ J YZ%O
O
$J "
X7 " 3&
99 YZ9-$ 9 9&
99 $ " ;
el
a !voltear
rotor
gira,
$!!eldesequilibrio
!
/crea
&un
W&par
-que
!tiene
!
/
el
rotor.
/El
! conjunto
/ YZ se
"
; O
O $J-JJ J& %&
N J O&-"
#M#$
%' # -
,## ### # #M YZ## +& +&+
6 ,66 6 %&
$6
;6 ,6 #
#6
5)!& !&
8K 8 L& %)0)L O57
YZ
L L " . %)
pueden
() provocar
5G94&otros
& 9errores
YZo"*Hdesequilibrios
. en
%*un
<calibrado
& <inapropiado,
<por
-
la$ existencia de
-JO- &JJ Jcasi
$Osiempre
%
-$>
- >
5 * =
& =
&
O
6
YZ
%?6 > &
O> 6 %?0?> direcciones de estas reacciones giratorias en los cojinetes, sean diferentes.
- 6.11 -
6.4
MECANISMOS
desequilibrio
mostrar
El objetivo
% 5 de este
apartado
es 9
cómo
analizar
&
& cualquier
& sistema
CCgiratorio
$ "
Para
JJdeterminar
O -laOmagnitud
$ y ubicació n de las correcciones, se usan las dos ecuaciones del
r r
F
∑ =0
r r
M
∑ =0
(10)
GGG) Sabemos que la fuerza centrífuga es proporcional al producto m·r
giratoria, siendo el factor de proporcionalidad el cuadrado de la velocidad angular ω2. Dadas las
tres
8.a,
masas
de-la$ figura
" X
se
supone
()-que
giran
% &
en&un
solo
plano
y,
por
tanto,
0 es
un
caso
!de
de las tres masas m1R1, m2R2, m3R3
%-
$JJ O O
r
R i como se indica.
En este caso, la primera de las ecuaciones de (10) se aplica construyendo un polígono de
r
fuerzas (figura 8.b). Puesto que este polígono requiere de otro vector m c R c para cerrarse, la
r
JJ J
,J
$J&
&
mcRc y su direcció n paralela a R c .
Figura 8 – Sistema de tres masas girando en un plano. Polígono de fuerzas centrífugas
- 6.12 -
MECANISMOS
; & % $!
!
W /
ecuaciones de (10). Así, la figura 9.a es una vista desde un extremo de un eje sobre el que se han
montado las tres masas m1, m2 y m3 a las distancias radiales respectivas R1, R2 y R3. La figura 9.b
es una vista lateral del mismo eje mostrando los planos de correcció n izquierdo y derecho, así
como las distancias a las tres masas. Se desea hallar la magnitud y la posició n angular de las
correcciones a introducir en cada plano.
' < J $ JJO& "
$ O
$ J primer
centrífugas
El!!
!paso
& de%4 la solució
5)Ln es
7tomar
una
suma
")SLde
los
Omomentos
8-Ldelas
Lfuerzas
O
L
A en el
plano izquierdo de correcció n, para eliminar el momento de la masa izquierda de correcció n.
Aplicando la segunda de las ecuaciones de (10):
r
r
r
r
r
m1l1R 1 + m 2 l 2R 2 + m 3 l 3R 3 + mR IR R R = 0
(11)
Ecuació n vectorial en la que las direcciones de los vectores son paralelas, respectivamente,
r
a los vectores R i de la figura 9.a. Ello permite construir el polígono de momentos de la figura 9.c.
Ahora bien, aunque a la figura 9.c se la conoce como polígono de momentos, es conveniente
constatar que los vectores que componen este polígono poseen una magnitud proporcional (ω2) al
momento en A asociado a cada una de las fuerzas centrífugas, pero la direcció n del vector de
r
posició n correspondiente R i . El verdadero polígono de momentos se obtendría haciendo girar la
" %T T&
- ()-
r r % 5 $ l ×R
ω2. Sin
r
embargo, de esta manera el vector de cierre mR lR R R del polígono empleado proporciona de
- 6.13 -
MECANISMOS
% 6 forma directa, no só lo la magnitud
direcció n de la corrección requerida para el
plano derecho. Ahora ya es factible hallar las cantidades mR y RR ya que, generalmente, la
magnitud de RR es un dato del problema. Por consiguiente, se puede escribir la ecuació n:
r
r
r
r
r
r
F
=
m
R
+
m
R
+
m
R
+
m
R
+
m
R
(12)
∑
1 1
2 2
3 3
R R
L L = 0
Puesto que, de la misma manera que RR, la magnitud de RL suele ser conocida, esta
ecuació n se resuelve para la correcció n izquierda mLRL, construyendo el polígono de fuerzas de la
figura 9.d.
- 6.14 -
MECANISMOS
6.5
Las unidades en que se mide el desequilibrio por costumbre han sido la onza-pulgada
(oz·pulg),
&
$- Gel
gramo-centímetro
-GGW (g·cm)
3y launidad
híbrida
de$gramo-pulgada
3&
& (g·pulg).
Si
se
sigue la
este
P3SI33 SW3&
3 &
YZ3 en
& sistema es el miligramo-metro (mg·m
"P+$%P&
?
G
GG
1000;
& en
3consecuencia,
$ &
no
YZ se recomienda
el prefijo
&centi
- 5)%! &
%L C&
C nombrada debe tener prefijo. Por consiguiente, no se deben utilizar el gramo-centímetro ni el
kilogramo-milímetro, aunque ambos tienen magnitudes aceptables.
Anteriormente, se ha constatado el hecho de que " para discos,
" !
9 $ L
$ L ruedas, engranes y elementos rotativos "8
semejantes,
949
9
%* situada en un solo plano de rotación
rotores de turbinas o motores, la presencia de fuerzas centrífugas desequilibradas dan lugar a
pares cuyo efecto es tender a que el rotor se voltee. El propó sito del es
medir el par desequilibrado y agregar un nuevo par en la direcció n opuesta y de la misma magnitud.
Este nuevo par se introduce mediante la adició n de masas en dos planos de corrección
preseleccionados, o bien, la eliminació n de masas (haciendo perforaciones) en dichos dos planos.
J
% $ -$ $ 5)% % J+
,%+ ,+
+JJ+
$+ J J&
+ & +
,"-+ / ++ +&
,+ + 3
,33 J& J
/()J
$+ "WH
P %
"
"
debe medir la magnitud y ubicación angular de la masa de corrección para cada uno de los
dos planos de corrección.
H : tres
&
J $
métodos
T& de
uso
Tgeneral
en la determinació n de las correcciones
.
bastidor basculante, punto nodal y
6.5.1 BASTIDOR BASCULANTE
lafigura
F-En
$F
YZ =10,
Ise
Ipresenta
I&un
rotor
IIa-equilibrar
Jmontado
"sobre
?
medios
I
cojinetes
I?o
rodillos
J
conecta a un motor impulsor por medio de una articulació n universal. Existe la posibilidad de hacer
bascular el bastidor alrededor de cualquiera de los dos puntos (pivotes) que, a su vez, se ajustan
para coincidir con los planos de correcció n del elemento que se va a equilibrar.
- 6.15 -
' < J $ "
MECANISMOS
J- ' En el caso de la figura, el pivote izquierdo se muestra en la posició n liberada, y el bastidor y
el
rotor
- %)aequilibrar
L Lpueden
7
bascular
;53libremente
en
%)torno
- al5)pivote
LKderecho.
YZ LEn
#cada
-extremo
#$del
de un solo grado de libertad. En muchos casos, estos resortes y amortiguadores se hacen
lafrecuencia
()ajustables
>de
manera
O &que
se
"?pueda
> 3 hacer
%?>coincidir
-
3
> Gnatural
del
Gsistema
B& con
Bla
desplazamiento
Estos
dedesplazamiento
&
$L
M
-situados
en
7cada
extremo
7Ldel
%)bastidor.
-
8L
L transductores
$L&
#
#
#
bastidor que se mueve en relació n con una bobina estacionaria, generando de esta manera una
tensió n proporcional al desequilibrio.
;L 7& () 7-$L 7L 77& 7L
,%)L&O YZ
* B !5G
/ -
<5I$ , ,
. Las lecturas
'
4% &
!
!
!
!
& !
& () YZ L
O $L
otro plano de correcció n
alguno en torno al mismo. En efecto, un desequilibrio con el pivote de la derecha fijo es un
desequilibrio corregible en el plano izquierdo de correcció n y produce una vibració n cuya amplitud
se mide mediante el indicador izquierdo de amplitud. Cuando se introduce (o se mide) esta
correcció n, se libera el pivote de la derecha, se fija el de la izquierda y se hace otro conjunto de
mediciones para el plano de correcció n de la derecha, empleando el indicador de amplitud de la
derecha.
La relació n ente la magnitud del desequilibrio y la amplitud medida viene dada por la
ecuació n (8). Reordenando y sustituyendo e por r:
X=
(
m u r (ω ωn )
m 1 − ω 2 ωn2
2
) + (2ξω ω )
2
2
(13)
n
expresió n en la que:
+ mur es el desequilibrio
+ m es la masa del conjunto formado el bastidor y el rotor
+ X es la amplitud del movimiento medida
- 6.16 -
MECANISMOS
Esta ecuació"Bnmuestra
que
la" amplitud
% del
movimiento
$ X es
directamente
&
proporcional
, al
desequilibrio mur
"6 #$ #&
6 ;6 6'
amortiguamiento determinada ξ
deliberadamente con el fin de filtrar ruidos y otras vibraciones que pudieran afectar a los resultados.
$% W
5) N , E -9E #&
#5
otras condiciones del medio ambiente. La figura muestra que de
$)laresonancia
J& " (ω = ωn), puesto que, para un desequilibrio dado, en esta regió n se registra la
Figura 11 – Amplitud de vibració n vs Desequilibrio
E %/ 5) ! : , ! ! conecta
J O al eje
impulsor.
OJSi& laonda
%Jsenoidal
()
$Jgenerada
se
compara,
"con
-la
onda
establecida
por
uno
, / " $ &
% -
, J J$ JNN5LJ
JJ J ' JJ
" fasímetro
O&
JJ J ,!%J J J)&
,J&
JJ$ JN
φ = tan −1
2ξ ω ωn
1 − (ω ωn )
# "
2
(14)
##-
##
$ ##-# ,#&
## #
,#
amortiguamiento ξ. Esta curva muestra que, en la resonancia, cuando la velocidad ω del eje y la
- YZ %+J& () $ frecuencia natural ωn
LL$ ")SK L&
L&
8M
*-$# # YZ$#M&
%
φ
=
90º
$ ?5 $ - J&
& &
%+ & <<$) < YZ"*<-< J " 66
() 66
- 9 B() resonancia.
ω aumenta por encima de la
6.5.2 PUNTO NODAL
La separació n de los planos de equilibrado utilizando un punto de vibració n cero o mínima
recibe
&
el
nombre
',Nde
método
J-Jdel
punto
" nodal de equilibrado. La figura 12 puede ayudar a
- 6.17 -
MECANISMOS
Aquí el rotor que se va a
equilibrar
YZ se
muestra
-$ montado
YZ Rsobre
soporte que recibe el nombre de
barra
nodal.
.
En
6principio,
5) -$Fsesupone
en el plano de correcció n de la
izquierda (plano A) y que todavía
existe un desequilibrio en el plano
derecho (plano B), tal como se indica
en la figura.
J& J
' una vibració n en todo el conjunto, haciendo que la
6Debido
'a este
6!desequilibrio,
GG Gse&produce
O,
ocupando
&
B E "/EN%/
E$ alternativamente
!& las posiciones CC y DD
! ! $ ! *5T O,
deslizando
&un
reloj
comparador
() J
JJJ () 0 1 -
punto nulo o nodal. Dicho punto constituye el
centro de oscilació n para un centro de percusió n situado en el plano de correcció n de la derecha.
!&Hay
Lque
Lrecordar
,Lque
Lse
L hasupuesto
1) Lcomo
hipó
%)tesis
K) -de
partida
L Lque
no
existía
%)desequilibrio
L la daría el reloj
lo tanto,
comparador
&
ubicado
-& en
elpunto
% nodal
que
$se
acaba
de
determinar.
& Por
! !
al
situar el reloj
sin interferencia alguna del que exista en el plano de la derecha. De manera semejante, se puede
encontrar otro punto nodal que só lo mida el desequilibrio en el plano de correcció n de la derecha
sin interferencia alguna del que existe en el plano de la izquierda.
@; N EE$ EE E
E#() ,E
"WS3&3 P3 3$ 99 6.5.3 COMPENSACIÓN M
contrafuerzas en cada plano de correcció n
que
equilibren
exactamente
las
fuerzas
que
provocan
la
O
$JJ
'N JJ () "
vibració
% n.El
resultado
de
,introducir
5# estas
la contrafuerza, para obtener la correcció n exacta que se requiere. Este método recibe el nombre
de .
;== = =& ,=$ %;= &
= +() =*
=
9 99<) &<-
$< <&
JL O() "*)
.<&
& B&
B AAA
% C
() AA
,A ()
% A %E&
autoimpulsarse
deun
de$gasolina.
si setrata,
por
ejemplo,
G5 F
$motor
F+
;F&El
equipo
?5)Felectró
F;nico
es
simple,
F
T& T $ %5U 5U , directamente.
XE " & 5)
!, & & , $ "
observar un extremo del rotor, se ve uno de los planos de correcció n con el desequilibrio que se va
a corregir representado con ω·r.
- 6.18 -
MECANISMOS
JJ& ,J$ ! ' J& ,JJ O&O&
' aumenta la vibració n, (b) sistema compensado
E # E&
# dos pesos compensadores. Estos tres pesos deben girar
con la misma velocidad angular ω, pero se puede hacer variar la posició n relativa entre ambos
pesos compensadores, y en relació n con el peso no equilibrado, por medio de dos controles:
P$ + Un control hace varia
α entre los pesos compensadores. Es el control de
magnitud, y da una lectura directa cuando se compensa el desequilibrio del rotor.
+
P
T T$ β, posició n angular de los pesos compensadores en
relació
! n
con
P
el
desequilibrio.
B-B& Es
%NelB control
de
Bubicació
P nPy,:cuando
se compensa
desfase angular
exacto del desequilibrio.
S %'&
* YZ& %' # ## /() ,++ + -
/5<+&
++
voltímetro, se aseguraría la compensació n cuando la manipulació n de los controles permitiera
conseguir que la lectura en el voltímetro fuese cero.
- 6.19 -
6.6
MECANISMOS
Equilibrado “in situ” con una
calculadora programable
S+&+ +$ Z + Z% ++ 3& 37()"W7 %
sin embargo, los efectos cruzados y la interferencia de los planos de correcció n a menudo
requieren
veces
--
que
" se
equilibre
$%.8cada
E extremo
9$del
rotor
9&dos
Eo tres
E
para
alcanzar
-= resultados
=&
'N() JJ
% J$O
OJ&
JJ "
CEl equilibrado
CC
“insitu”
Ces
&
$necesario
- " para
%Lrotores
Cmuy
grandes
%&
+ J+ J$ rotores de alta velocidad se
equilibren en el taller durante su fabricació n, con frecuencia resulta necesario volverlos a equilibrar
“in situ” debido a ligeras deformaciones producidas por el transporte, por fluencia o por altas
temperaturas de operació n.
Tanto Rathbone como Thearle han desarrollado$métodos
en dos planos
de& equilibrado
YZ
y se resuelven con una
“in situ” que se pueden expresar haciendo uso del
calculadora
programable.
El
tiempo
que
se
ahorra
en
usar
una
calculadora
()
/!!&
!! / /
$ /!!$ /!programable
7es
& YZde
usando una calculadora científica ordinaria.
J$ OJ %J
$J OJ
J&
J
&
'
O& YZ
R = R/θ =
iθ
= x + iy
(15)
Figura 14 – Equilibrado “in situ” en dos planos. Notació n y referencia xy
En la figura 14, se supone que existen los desequilibrios desconocidos ML y MR en los planos
de correcció n izquierdo y derecho, respectivamente. Las magnitudes de estos desequilibrios son ML
- 6.20 -
MECANISMOS
563 33 $ y M
de la
5)R - φ
Ry% φL -apartir
$
referencia
de
la ()rotació
! n./&Una
vez
/ que
se
y derecho para lograr el equilibrado.
Los desequilibrios giratorios ML y MR producen perturbaciones en los cojinetes A y B. Los
equipos comerciales para equilibrado “in situ” permiten medir las amplitudes y los desfases
L<-L&
"*S<
$6 6 ,
X = X/φ, con los subíndices apropiados,
para designar estas amplitudes.
En el equilibrado “in situ”, se llevan a cabo tres ensayos (Método de las tres carreras):
+ PRIMER ENSAYO. Se miden las amplitudes XA = X A φ A y XB = X B φ B en los cojinetes A y
B, debidas só lo a los desequilibrios originales ML = M L φ L y MR = M R φR .
+ SEGUNDO ENSAYO. Se agrega la masa de ensayo mL = mL θ L al plano de correcció n de la
izquierda y se miden las amplitudes XAL = X AL φ AL y XBL = X BL φBL en los cojinetes
izquierdo y derecho (A y B), respectivamente.
+ TERCER
ENSAYO.
Se elimina la masa de ensayo mL = mL θ L
ensayo mR = mR θR
5T : & !!
,! !
%4 ! () las amplitudes en los cojinetes: XAR = X AR φ AR y XBR = X BR φ BR .
;- ?GG +&
+ %P
ZGG 5)? que desequilibrio de ensayo, si se utiliza una distancia unitaria desde el eje de rotació n.
Para desarrollar las ecuaciones para el desequilibrio definamos primero el concepto de
rigidez compleja. Se entiende como tal a la amplitud que resultaría en cualquiera de los cojinetes
debida a un desequilibrio unitario ubicado en la intersecció n de la marca de referencia giratoria
(desfase nulo) y uno de los planos de correcció n. Por tanto, es necesario encontrar las rigideces
complejas (AL, BL) y (AR, BR) debidas a un desequilibrio unitario ubicado en la intersecció n de la
marca de referencia giratoria los planos L y R, respectivamente.
Conocidas las rigideces, y de acuerdo con los tres ensayos descritos anteriormente, se
podrían escribir las siguientes de ecuaciones complejas:
XAL = XA + AL mL
XBL = XB + BL mL
XAR = XA + AR mR
XBR = XB + BR mR
; O P
O 5)% O
O
$J (16)
(17)
(18)
(19)
O , OJ-O AL = (XAL – XA) / mL
(20)
BL = (XBL – XB) / mL
(21)
AR = (XAR – XA) / mR
(22)
BR = (XBR – XB) / mR
(23)
- 6.21 -
MECANISMOS
De esta forma, una vez determinadas las rigideces en las ecuaciones (20) a (23), y de
acuerdo con la definició n de rigidez compleja, del primer ensayo se tiene:
XA = AL ML + AR MR
(24)
XB = BL ML + BR MR
() $ -
&
% &
(25)
desequilibrios incó gnitas en ambos planos de equilibrado:
ML =
X A BR − X B A R
A LBR − A R BL
MR =
X B A L − X A BL
A LBR − A R BL
(26)
=F
G$ =F&
F G
F& & YZ%OF %OI rectangular compleja.
- 6.22 -
6.7
MECANISMOS
Equilibrado de motores
alternativos
6.7.1 EQUILIBRADO DE UN MOTOR DE UN SOLO CILINDRO
En la figura 15.a, se representa el mecanismo de pistó n-biela-manivela correspondiente a un
motor de un solo cilindro. En este caso, la manivela no se haya equilibrada, ya que su centro de
gravedad
ejede
- G2 se encuentra
$ desplazado
Tcon
respecto
T a su
()T
rotació
()
n (punto
O 2). Por&otra
parte,
determinació n de las masas equivalentes del sistema (mA, mB) localizadas en el pasador (A) de la
manivela y en el pasador (B) de la corredera o pistó n, respectivamente. La razó n de esto es que el
pasador
sobre un círculo y el del pistó n en línea recta; movimientos
Ode
5Ola
$ manivela
OJse
mueve
"
Figura 15.a – Mecanismo pistó n-biela-manivela
con manivela no equilibrada
Figura 15.b – Masas equivalentes en el
mecanismo pistó n-biela-manivela
un9
motor
33Considerando
3 33el&mecanismo
3 como
mecanismo
-$ 9plano,
& las
9masas
! giratorias
5)9(m
A)
en
!
-
capítulo, pero no así las masas con movimiento alternativo (mB); por lo tanto, en este apartado
hablaremos, en realidad, del desequilibrio. No obstante, aunque las masas con movimiento
alternativo no se pueden
contrapeso,
!
equilibrar
usando
U+un
simple
,UU
Asies
Aposible
A$modificar
AAlas
fuerzas
de sacudimiento
desequilibrando las masas con movimiento rotativo.
H
YZ& % :$ &&-&
! () ! 5)!!)!
la masa giratoria equivalente en la mitad de la masa equivalente con movimiento alternativo (por lo
- 6.23 -
%8< <: .<) &< TEMA 6 – EQUILIBRADO DE M
MECANISMOS
J5 << << () << () alternativo para alterar las características de equilibrado en los motores de un solo cilindro).
Designando la masa del contrapeso por mC, la fuerza de inercia debida a este contrapeso es
r
r
r
FC = −m C rω2 cos ω t i − m C rω 2 sen ω t j
(27)
Nó tese que tanto la masa empleada para equilibrar como el pasador de la manivela tienen el
mismo radio∗. Designando por mA y mB las masas equivalentes de los elementos con movimiento
rotativo y alternativo, respectivamente, se tiene:
mC = m A +
mB
2
(28)
J J& ,J J %J J!'J&J
r
r 
r
m 
m 

FC = − m A + B rω 2 cos ω t i −  m A + B rω 2 sen ω t j
2 
2 


(29)
A su vez, la fuerza de inercia debida a las masas rotativas (FA) y a las masas con movimiento
alternativo (FB) responde a la expresió n:
r
r
r 
r
r
r
(30)
FA,B = F x i + F y j = (m A + m B )rω 2 cos ω t + mB rω 2 cos 2ω t  i + m A rω 2 sen ω t j
l


Al sumar las ecuaciones (29) y (30), se obtiene la fuerza de inercia resultante como:
r m
r
r
r m
F =  B rω 2 cos ω t + m B rω 2 cos 2ω t  i − B rω2 sen ω t j
l
2
 2

(31)
En dicha expresió n (31) se suelen distinguir dos componentes vectoriales:
+ La componente primaria de la fuerza de inercia resultante: que tiene un mó dulo de
%& J
&
'JN()-
' JN() J valor mB rω2 2
-ω,
5L-$J- J&
'-()-
(girando “hacia atrás
r
r
mB 2
rω (cos ω t i − sen ω t j )
(32)
2
+ La componente secundaria: componente restante de la expresió n (31) y que resulta ser
la proyecció n x de un vector cuyo mó dulo es mB rω2 (r l) y que gira (“hacia adelante”) con
una velocidad angular 2ω.
N5)% !%N()JN() La &
se produce cuando ω
r 1
Fmax = mB rω 2  + 
 l 2
(33)
ya que cosωt = cos2ωt = 1 cuando ωt = 0.
∗ !
"# !
!" " $%&!
' ( ( &" !
) "# !* ( !" +,-
. $
- 6.24 -
MECANISMOS
% 3 : NW & W mC, la fuerza de inercia
$) J
%
J J)&
,! r 
Fmax = mB rω2  + 1
l 
(34)
H
* %'#-#%'M -#M &+ J
/
+$) +
sacudimiento en un 50% de la componente primaria y agregar fuerzas de inercia verticales en
donde antes no existían. En la figura 16, se representa un diagrama polar de la ecuació n (31), para
un valor r/l de ¼:
+ El vector OA gira en sentido
opuesto al de las manecillas del
reloj con velocidad 2ω y su
proyecció n horizontal, OA’, es la
componente secundaria.
+ El vector OB, componente
primaria, gira en el mismo sentido
de las manecillas del reloj con ω.
+ Se muestra la fuerza total de
sacudimiento
PGF para
7()la-posició
n
OB
y BB’ = OA’.
Figura 16 - Fuerza total de sacudimiento
6.1.1.1 Método de la masa imaginaria
- 5) El método de la masa imaginaria
. E redefinido y ampliado por Stevensen.
método del rotor virtual,
porque utiliza lo que se podría llamar un rotor virtual que gira en sentido contrario para recibir parte
del efecto del pistó n en un motor de movimiento alternativo.
Antes de entrar en detalles, es
necesario explicar un cambio en la
notació n a la hora de ver el círculo de la
manivela
de unmotor.
Al desarrollar
-el
secció n y la que sigue, se utiliza el
sistema coordenadas de la figura 17, en el
que el eje y se localiza girando en el
mismo sentido del movimiento de las
manecillas del reloj a partir de x, y donde
la rotació n positiva se muestra con tal
sentido. Se adopta esta notació n porque
se ha utilizado desde hace mucho tiempo
en la industria automovilística.
JJ JJ " ; ,
' - 6.25 -
MECANISMOS
& - %4!!! / // a la mitad de la masa equivalente con movimiento alternativo en el armó nico particular estudiado. El
propó sito de estas masas ficticias es reemplazar los efectos de la masa con movimiento alternativo.
opuestas y con
()Estas
masas
O imaginarias
P5L-$giran
J alrededor
ONdel
centro
JJdeJla
manivela,
endirecciones
punto muerto superior
(PMS) como en el punto muerto inferior (PMI) como se ve en la figura 17. La masa +mB/2 gira con
el
y la otra
B/2 en sentido opuesto. La masa que gira con la
movimiento
() B-$Bde
la manivela
BB 9
B&masa
-m
B
BB B$!5F ,
opuesta, con un signo menos. La definició n y distribució n establecida para ambas masas permite
asegurar que el centro de masa de las dos masas giratorias queda siempre sobre el eje del pistó n o
cilindro.
++ ++ ++ ,+&
el movimiento del pistó n y la fuerza de
inercia
resultante
siempre
se
pueden
representar
mediante
una
<6
6 6
%666 # #
serie
&
de
6Fourier.
6 ()Este
tipo
6de
,serie
& JN
N5L& J "
J % & $ 3&:3&3&
%89 99, 9!
9 99
&:==
, %; <+
=$< YZ" * + &%;- >>-
$
presentes los armó nicos impares (tercero, quinto, etc.) por la simetría del movimiento del pistó n.
Por lo tanto, cada armó nico, primero, segundo, cuarto, etc., se representa mediante un par
de masas imaginarias. Las velocidades angulares de estas masas son ±ω para el primer armó nico,
&
#M
%590' () "
;
()
$#
*
±2ω para el segundo, ±4ω
cuenta del sexto armó nico en adelante.
Stevensen sugiere las siguientes reglas para ubicar las masas imaginarias:
- Para
I cualquier
Iposició
n dada
Ide
>las
$manivelas,
>
las
posiciones
>&
JIdelas
()masas
II&imaginarias
JI
punto
lasmasas
$ muerto
T superior
T$ymoviendo
() imaginarias,
& &en
sentidos
!
opuestos,
,unos
-
considerado.
.O O$ OJ $JJ&
'J J J& ,JJ& J
JJ () "
& -A A
motor de un solo
cilindro, considerando únicamente el primer armó nico.
+ En la figura 18, la masa +mB/2 localizada en A
gira a la velocidad ω con la manivela, en tanto
que la masa -mB/2 en B gira a la velocidad -ω
opuesta a la rotació n de la manivela.
+ Se puede equilibrar la masa imaginaria en A
agregando
J una
: " masa igual en A’, para que gire
+
S C
%# -$ puede equilibrar por la adició n ni por la
sustracció
: %nde
-
'masas
Jen
Jcualquier
,Jparte
&-del
"
JJ J
' imaginaria
- 6.26 -
MECANISMOS
Cuando la mitad de la masa equivalente de partes con movimiento alternativo se equilibra de
esta manera, es decir, agregando la masa en A’, la parte no equilibrada del primer armó nico, debida
a la masa en B, hace que el motor vibre en el plano de rotació n en forma igual en todas las
direcciones, como una verdadera masa giratoria no equilibrada.
de#
motocicleta
En
%)Leste
sentido,
Lresulta
L interesante
L saber
$que
en
los
YZ motores
##
de
#un
#
solo
L YZ")H
8-L
,%)7 -$
utilizando un contrapeso cuya
JO$OJ J JJ JJJ () sobreequilibrados
J ()
.
con
!Sin
embargo,
!9 resulta
() imposible
!4equilibrar
: %8el4segundo
armó
nico
9y)armó
nicos
superiores
<&
.<
, . : " =%O F
F; FF =
, J+ YZJ
J&
33 3 33 7() 3 : (como en el caso del motor Plymouth Arrow de 1976), pero al costo de una complicació n tremenda
que hace que no resulte una solució n habitual.
6.7.2 EQUILIBRADO DE MOTORES CON VARIOS CILINDROS
H
I JI&
,I$ I?&
II II >E()
cilindros,
consideremos un motor de dos cilindros en línea cuyas manivelas tiene una separació n de
5 =&
=
()+5) F F = F &"O-G &II &
J -
%N
J$ %J N "
Figura 19 – Esquema de un motor de dos cilindros en línea
O& #O &
F&
F
, F T
diagrama de la figura 19.a. En ella se muestra que las masas +1 y +2, que giran en el mismo
sentido del movimiento de las manecillas del reloj, se equilibran entre sí, como lo hacen las masas
– 1Oy&
– 2,que
Ogiran
,en
sentido
O-$Jopuesto
al
de
Olas
Nmanecillas
J del
J&reloj.
JPor
-Jconsiguiente,
& ,JJlas
Jfuerzas
() de
.
- 6.27 -
MECANISMOS
S 3
%W3 7 " 33
()33- !9-$994 9& "
H
-E
,%.E
$E- &
9 9+ = * alrededor del eje y. Se pueden determinar los valores de estos pares, siendo posible equilibrar el
par debido a las masas giratorias reales, lo mismo que a las semimasas imaginarias que giran con
el
-motor;
$J sin
Jembargo,
J Jno
se
puede
" equilibrar el par debido a la semimasa del primer armó nico que
En la figura 20.a, se muestra
la ubicació n de las masas
imaginarias para el segundo
armó nico, empleando la regla de
Stevensen. En
diagrama,
este
-$F
se
observa que
las fuerzas de los segundos
armó
los
nicos.
Puesto
$) que
presentan en los puntos muertos,
casi siempre se trazan los
diagramas para esta posició n
extrema, colocando la manivela 1
en el PMS, como en la figura 20.b.
Figura 20 – Masas imaginarias para el segundo armó nico.
H ,J
N5LJH S
Este desequilibrio produce una vibració n en el plano xz de frecuencia 2ω. El diagrama
para los cuartos armó nicos, sería el mismo que el de la figura 20.b, só lo que con velocidad es 4ω.
6.7.2.1 Motor de cuatro cilindros
el esquema de un motor de cuatro cilindros en línea cuyas manivelas
-$ILa
&figura
21.c
> muestra
"-I se puede tratar como si fueran dos motores de dos
cilindros
uno
contra
el
otro.
Por
consiguiente,
5)%J$%! " 5 % T-$Tlas
fuerzas
del
I primer
I&
armó
Inico
&
siguen
+
equilibradas
, " ;
- %-J&
N
$++-() YZ + ++ :/
J YZ % arriba y hacia abajo, y a doblar el centro de un eje de dos cojinetes, en la misma forma.
Figura 21 – Esquema de un motor de cuatro cilindros en línea
- 6.28 -
MECANISMOS
En la figura 21.b, se constata el hecho de que cuando las manivelas 1 y 4 se encuentran en
el punto muerto superior (PMS), todas las masas que representan al segundo armó nico y que se
desplazan
una fuerza
en
"'ambas
M direcciones,
###se
acumulan
Jen
Jese
punto
&
+-muerto,
$+
+produciendo
YZ
x y, por tanto, los
segundos armó nicos desequilibrados provocan una vibració n vertical con una frecuencia igual al
doble de la velocidad del motor. Esta característica es típica de todos los motores de cuatro
cilindros con esta disposició n de las manivelas.
@ 3 33 , 0 3 349&
99 " %M5G ;
-O
0 J O %&
JJN
J$O ()N5L YZ
JP
"
6.7.2.2 Motor de tres cilindros
En la figura 22, se ilustra un
motor
()de
tres
&cilindros
en línea
" con
X 9-$=
<=
con el orden en el que llegan al punto
muerto superior. En la figura 23, se
observa como las fuerzas de los
primeros,
, segundos
-$
y & cuartos
equilibradas
y só
lo,las
fuerzas de- los
$
completamente desequilibradas; no
obstante,
5 la &magnitud
: de
5 estas
&fuerzas
despreciar por lo que respecta a la
vibració n que introducen en el sistema.
' Figura 22 – Esquema de un motor de tres cilindros en
línea
< JN
OJ O - O
, ! % % M5 @;L$ 7L 7&
7L ;
7M&
*
, #-
### # () 1 se encuentra en el punto muerto superior (figura 22), existe una componente vertical de las
fuerzas en las manivelas 2 y 3, cuya magnitud es igual a la mitad de la fuerza sobre la manivela 1.
La resultante de estas dos componentes hacia abajo es equivalente a una fuerza hacia abajo, con
igual magnitud a la de la fuerza sobre la manivela 1 y localizada a la mitad entre las manivelas 2 y
3. Así pues, se establece un par con un brazo igual a la distancia entre el centro de la manivela 1 y
la línea central entre las manivelas 2 y 3. Al mismo tiempo, las componentes horizontales de las
- 6.29 -
MECANISMOS
fuerzas +2 y – 2 se cancelan entre sí, al igual que las fuerzas +3 y – 3 (figura 22). Por lo tanto, no
nicos.
existe
%Wpar
horizontal.
33 Se
Pencuentran
7
pares
5)9similares
-$9 para
los
segundos
9 y
cuartos
9&
armó
99
&Por
-9lo
las fuerzas de los primeros, segundos y cuartos armó nicos, no queda todavía libre de vibraciones
debido a la presencia de pares en estos armó nicos.
6.7.2.3 Motor de seis cilindros
concibe
F Si
se
F
& un
motor
de
& seis
%Jcilindros
Fen
línea
Fcomo
&una
combinació
%N
$ nde
dos
Tmotores
de
inherente
B de
los
9
primeros,
G segundos
G-
$yBcuartos
B armó
nicos.
&Y,
-en
Lvirtud
5I dela simetría,
$ los
pares
0 "-de
&
%)L-L&
- L % LL 8M : 59 # YZ#M :
!$
5E
6GGG-
,G
0 G&
G G&
,GG !() " %J F F
, F-$ & G5F #
vibració
O 5Ln&en
el
:plano
N5L&
$vertical,
- con
Juna
&frecuencia
Jde
N6ω.
Sin
Jembargo,
N() ,la
" magnitud de estas fuerzas
6.7.2.4 Otros motores
Tomando en consideració n la disposició n de los cilindros y el espaciamiento de las
manivelas,
una
6&6 se
()-pueden
; 6obtener
,6
'gran
cantidad
G&de
Gconfiguraciones.
, GPara
%Pcualquier
Gcombinació
+ n,
S++&
-
+ ,+& $ 33&
33 3
3
que
S ()se
han
descrito.
) ,$ !
!!&
W& !
!&
W
-$ %5 () EE E
E$ apropiados a partir de ese mismo punto muerto superior. Esto es particularmente importante
cuando se investigan motores radiales y de pistones opuestos.
;J YZ& O&
$- %&J& J-O O&
J '
+ En un motor radial
detres
% cilindros
()-con
$ una
manivela
ytres
bielas
&que
tienen
el
mismo pasador
de los primeros armó nicos, en tanto que las masas positivas se localizan siempre en el
pasador de la manivela. Estos dos hallazgos son inherentemente verdaderos para todos
los motores radiales. Asimismo, puesto que el motor radial tiene sus cilindros en un solo
plano,
desequilibrados.
En
cualquier
$Nno
se
producen
OJ pares
O
J OO
, P5Lcaso,
,el motor
O&de
tres
cilindros
"
+ Un
motor
() 7de
dos
%)cilindros
-$L con
L&pistones
# ?opuestos,
# con
&
un
espaciamiento
%'?59de
las
, 1&
JJ-$J J&
J O&
"
-$G G&
G + Un
línea
con
manivelas
motor
L<de
)&cuatro
.cilindros
, %*&en
<
< <
-$<
< L&
a90º
"*6'6
, 6 -$N J&
J P
OJ&
J O&
.
- 6.30 -
MECANISMOS
-$ + Un motor de ocho cilindros en línea con manivelas a 90º
equilibrado
tanto
fuerzas
&
JJ-$J
para
las
JJ
como
J
para
, los
" pares en el primer y segundo armó nicos;
-$L L + Un motor de ocho cilindros en V con manivelas a 90º
para las fuerzas en el primer y segundo armó nico y para los pares en el segundo. A su
vez,
los
&pares
Ono
J equilibrados
JJen
&
'el primer
-5L&armó
-nico
"-se
N pueden
&JJ equilibrar
'-$Jpor
medio
de
para las fuerzas en el cuarto armó nico.
- 6.31 -
6.8
MECANISMOS
Equilibrado de
mecanismos
S $ -$Q QQ Q
QQ reacciones
$ %#que
se
- ejercen
"H
;sobre
el% eslabó
##n&
de
referencia
#6del
mecanismo,
6 o
?el
soporte
de
la
son el equilibrado de la fuerza de sacudimiento y el del momento de sacudimiento.
En el equilibrado de fuerzas es importante la posició n del centro total de masa. Si se
puede encontrar una manera de hacer que este centro total de masa se mantenga
&
.
Lowen y Berkof llegaron a catalogar
sacudimiento en un mecanismo:
&
- El
J
-
5)"
J J
- O"J O, enJelque
J-las
$ masas
concentradas
J () de
" los eslabones
- El , en el que se obtiene una expresió n analítica
para el centro de masa y luego se manipula para saber có mo se puede influir en su
trayectoria.
- El , en el que el centro de masa de
un
mecanismo
3&se hace
3estacionario,
K & Eprovocando
E ,Eque
Ese
anulen
E #los
5)coeficientes
-
E8de
los
total de masa.
- El uso de masas impulsadas por levas para mantener estacionario el centro de masa.
- La adició n de un mecanismo duplicado axialmente mediante el cual se hace
estacionario el nuevo centro total combinado.
Sin embargo, en lo que al problema del equilibrado del momento de sacudimiento se refiere,
Lowen y Berkof apenas encontraron unos cuantos estudios sobre el problema.
6.8.1 MÉTODO DE BERKOF-LOWEN DE LOS VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES
S O()L#
*&
*& #-# #&
#M ## #
%59
$6 E
# EF F& ,F; FFF FF barras típico. El procedimiento seguido es el siguiente:
- 6.32 -
MECANISMOS
+ Determinar
centro
-J ,laJecuació
n
$Jde
laPtrayectoria
Odel
5)O
total
Odemasa
&del
Jeslabonamiento.
- &"
+ Hacer
estacionario
() elcentro
% total
de
masa
cambiando
la posició
nde
las
.masas
de
/los
dependen del tiempo.
+
H
3-%!
$ 3 , .
=()-
unitarios que dependen del tiempo contenidos en la ecuació n sean linealmente
independientes.
En
la
$ figura
24,
se
representa
que tiene las masas de los
eslabones
los
ITm
ilocalizadas
: en
puntos Gi. A su vez, las
coordenadas (ai, φi,) describen las
posiciones de cada uno de estos
puntos dentro de cada eslabó n.
; &
D D posició n del centro total de masa
r
del eslabonamiento por vector rs :
(
' ;
$ J
)
r 1
r
r
r
rs = m 2 rs2 + m 3 rs3 + m 4 rs 4
(35)
M
r r r
en donde (rs2 , rs3 , rs 4 ) son los vectores que describen las posiciones de m2, m3 y m4,
"+H
G %3 5
respectivamente,
de coordenadas xy
& J$ en
Jel&sistema
YZ
r
rs2 = a 2 e i( θ2 + φ2 )
r
rs3 = r2 e iθ2 + a 3 e i( θ3 + φ3 )
r
rs4 = r1e iθ1 + a 4 e i( θ4 + φ4 )
(36)
(37)
(38)
Por otro lado, la masa total del mecanismo M es:
M = m2 + m3 + m4(39)
Al sustituir la (36), (37) y (38) en la expresió n (35):
r
M rs = (m 2 a 2 e iφ2 + m 3 r2 )e iθ2 + (m 3 a 3 e iφ3 )e iθ3 + (m 4 a 4 e iφ4 )e iθ4 + m 4 r1e iθ1
en donde se ha usado la identidad e i( α +β ) = e iα e iβ
(39)
&
J&
'
&
' P
OJJ
"
S 33&
3 33 3
3 %8 9 ,
vectorial de cierre del circuito tiene la forma:
r2 e iθ2 + r3 e iθ3 − r4 e iθ4 − r1e iθ1 = 0
(40)
- 6.33 -
MECANISMOS
H
% #6&6 &
e iθ2 , e iθ3 y e iθ4 de la expresió n (39) no
son linealmente independientes. Para hacer que lo sean, se resuelve (40) para uno de los vectores
unitarios, por ejemplo e iθ3 , y se sustituye el resultado en (39). De donde:
e iθ 3 =
1
(r1e iθ1 − r2 e iθ2 + r4 e iθ4 )
r3
(41)
Con lo que ahora (39) se convierte en:
r 



r
r
M rs =  m 2 a 2 e iφ2 + m 3 r2 − m 3 a 3 2 e iφ3 e iθ2 +  m 4 a 4 e iφ4 + m 3 a 3 4 e iφ3 e iθ4
r3
r3




(42)


r
+  m 4 r1 + m 3 a 3 1 e iφ3 e iθ1
r3


La expresió n (42) nos muestra que el centro total de masa puede hacerse estacionario en la
posició n
r
r
rs = 1 (m 4 r3 + m 3 a 3 e iφ3 )e iθ1
r3 M
(43)
J J O O OJ P
OJ&J- &
m 2 a 2 e iφ2 + m 3 r2 − m 3 a 3
m 4 a 4 e iφ 4 + m 3 a 3
r2 iφ3
e =0
r3
(44)
r4 iφ3
e =0
r3
(45)
Pero la ecuació n (44) se puede simplificar localizando G3 respecto al punto B, en lugar de
hacerlo en relació n con el punto A (figura 24). En tal caso,
a 3 e iφ3 = r3 + a' 3 e iφ'3
(46)
Y con esta sustitució n, la ecuació n (44) se convierte en:
m 2 a 2 e iφ 2 − m 3 a ' 3
r2 iφ '3
e =0
r3
(47)
-Por
=lo tanto,
para
obtener
! 35 el! equilibrio
"G- total
de
las
%Gfuerzas
de
sacudimiento
Use
+$deben
compleja, conducen a dos conjuntos de condiciones (igualdad en mó dulo e igualdad en fase):
m 2 a 2 = m 3 a' 3
r2
y φ 2 = φ' 3
r3
(48-49)
m4 a 4 = m3 a 3
r4
y φ4 = φ3 + π
r3
(50-51)
- 6.34 -
MECANISMOS
Un estudio de estas condiciones permite comprobar que se pueden especificar de
antemano la masa y su ubicació n para cualquier eslabó n individual; y luego se puede
obtener el equilibrio completo reacomodando la masa de los otros dos eslabones.
El problema usual en el equilibrado de un eslabonamiento de cuatro barras es que las
longitudes
0 de
los
$ eslabones
rivienen
&" normalmente
; - %+definidas
&
Gpor
la
resolució
, ndel
problema
5) & de
GG&
GG0 %P &
GG&
$ : N &3 3 3
entrada y salida, con el objeto de redistribuir sus masas, sin que por ello se altere la geometría del
tercer eslabó n mó vil (acoplador).
J %JJ:J
&OJJ -
' O O
mi a i φi = mi0 a i0 φi0 + mi* a i* φi*
(52)
&
$ % * *
m , a y φ* son los
&
$ #' &5
6 #&
$ #66 6i 6 i #i en donde mi0 , a i0 y φ0i
mi , a i y φ i
(48) a (51).
Una segunda condició n que es preciso satisfacer en general es
mi = mi0 + mi*
(53)
Si la solució n para un problema de equilibrado puede permanecer como el producto masadistancia m*i a *i , no es necesario usar la ecuació n (53), y se puede resolver la (52) para llegar a
mi* a *i =
(mi a i )2 + (m0i a i0 )2 − 2(mi a im0i a i0 )[cos(φi − φi0 )]
m i a i sen φ i − m i0 a 0i sen φ i0
φ = tan
m i a i cos φ i − m i0 a 0i cos φ i0
*
i
−1
(54)
(55)
En la figura 25, se ilustra un eslabonamiento típico de seis barras y la notació n
correspondiente.
Figura 25 – Eslabonamiento de seis barras
- 6.35 -
MECANISMOS
Para este caso, las condiciones de Berkof-Lowen para que exista un equilibrado total son:
m2
a 2 iφ 2
a b
a
e = m 5 5 2 e i ( φ ' 5 + α 2 ) + m 3 3 e iφ ' 3
r2
r5 r2
r3
m4
a 5 iφ 4
a b
a
e = m 6 6 4 e iφ ' 6 − m 3 3 e ( iφ 3 + α 4 )
r4
r6 r4
r3
m5
a 5 iφ 5
a
e = −m 6 6 e iφ6
r6
r5
(56-58)
Se pueden idear relaciones similares para otros eslabonamientos de seis barras para el
equilibrado total. Las ecuaciones (56) a (58) muestran
%que
&es
#preciso
6 6satisfacer
/- una
Gdeterminada
& ? relació n masa-geometría entre los eslabones 5 y 6
masas de dos eslabones cualesquiera así como sus ubicaciones. Entonces se logra el equilibrado
mediante una redistribució n de las masas de los tres eslabones mó viles restantes.
Es importante hacer notar que la adició n de contrapesos para
equilibrar las fuerzas de
& , +
+
& + &
& +
& 3
,
3 $ de sacudimiento. Por consiguiente,
adecuada posible entre estos tres efectos.
- 6.36 -
MECANISMOS
6.9
anterior,
& En
% el
apartado
JOJ
$O se
explicó
&%la&forma
deJequilibrar
las
Jfuerzas
J de
uneslabonamiento
&"
Por
momentos
&desgracia,
G esto
GGno
Gequilibra
, los 3
&de
" sacudimiento
SW y,de
hecho,
$ es
probable
W-que
() los
compuesta de varios mecanismos, se podría considerar el equilibrado de la misma, equilibrando
cada
mecanismo
E&
E Epor
$separado.
%. Sin
EEembargo,
= = pudiera
,==ser
=
que
=esto
=no=conduzca
&al<&mejor
D9 D ,DD DD& & "= $%=
desequilibrio de un mecanismo puede contrarrestar el desequilibrio de otro, eliminando en primera
instancia la necesidad de algunos contrapesos.
En este sentido, Stevensen demostró que cualquier armó nico simple de fuerzas,
equilibrar agregando seis contrapesos. Estos se disponen sobre tres rotores, dos por rotor,
impulsados a la velocidad constante del armó nico, y definidos de forma que tengan los ejes
paralelos,
tres
que
K Lrespectivamente,
LL# #$acada
" uno
de#los
-#
ejes
#mutuamente
perpendiculares
#& YZ##
&
pasan
# por
&
en este curso, vale la pena examinar el planteamiento general:
;$ y angulares
de los
+ , () OJJaceleraciones
$ %&
Jlineales
J
J
J& OJde Jcada
Juno
JJ
Jcentros
J () de
masa
"
+ Calculo,
oO
determinació
J J$ n" experimental, de las masas y los momentos de inercia de los
+ Calculo de las fuerzas de inercia, momentos de torsió n de inercia y momentos de las
fuerzas;
tres
&
& tomando
9como
E&sistema
E&
de8referencia
EElos
E
Eejes
Ede
$coordenadas
" *
mutuamente
-<&
+& + %+ $3 &%K
&
3 5
+
+
para los momentos.
& ,#M$ J
, +
+&
+ J
, J& J+ fuerzas no equilibradas, paralelas a los tres ejes, y los momentos no equilibrados en torno
a estos tres ejes.
H
E E E
, %.E& =* == =$ =
&
$66 ωt+M ωt,
L
$# #con
# los
subíndices
5) # apropiados.
Entonces,
7 -7L 7 7 & "'- # &
$#
- 6.37 -
MECANISMOS
LLLLL ;
7L
por grupos
N
O J&
!J
ωt
JyJsenωt
&queden
J multiplicados
"
+
;!
!! $LL -LL
()
L 7&
L 7 7&
-
5L O O$ ON%
O&
J O O&OJ "
mr
S ()+-
,% ++++ &++3 $
3 YZ
% T
T& + T -T T%!&
3 YZ& %!
() JJJ& JJ J$ "
- 6.38 -

es cuela tщcnica s uper ior de ingenier os indus tr iales y de

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