1.-matrices y determinantes

MATEMÁTICAS II
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO
1.- MATRICES Y DETERMINANTES
1.- (MODELO DE PRUEBA)
a) Producto de matrices: concepto. Condiciones para su realización. ¿Es posible que para dos
matrices A y B no cuadradas puedan existir AB y BA?.
b) Si C, D y E son tres matrices cuadradas de igual dimensión tales que CD = CE, ¿Se puede
asegurar que D = E? ¿Por qué?. Razona las respuestas.
SOLUCIÓN
a) Dadas dos matrices A y B, de dimensiones m × n y n × p, respectivamente, AB será una nueva
matriz, de dimensión m × p, que se define del siguiente modo:
A = (aij ) y B =(bij ) ⇒ AB = (cij ) ,
donde cij =
n
∑a
k =1
ik
bkj
Para que dos matrices puedan multiplicarse, el número de filas de la segunda ha de ser igual al de
columnas de la primera.
En general, cuando dos matrices no cuadradas A y B son de dimensiones m x n y n x m
respectivamente, podemos asegurar que existen AB y BA.
b) Si CD = CE, no siempre podemos asegurar que D = E. Unicamente podemos hacerlo, cuando la
matriz C admita inversa C-1; en ese caso, multiplicando por la izquierda en la igualdad inicial,
resulta que: C-1CD = C-1CE ⇒ D = E ya que C-1C = I (matriz identidad ).
2 .- (JUNIO 1994)
a) Define rango de una matriz.
b) Una matriz de tres filas y tres columnas, tiene rango tres; ¿Cómo puede variar el rango si
quitamos una columna?. Si suprimimos una fila y una columna, ¿Podemos asegurar que el rango
de la matriz resultante sea 2?. Razona las respuestas
SOLUCIÓN
a) El rango de una matriz, es el máximo número de filas (o columnas) linealmente independientes
que podemos encontrar. Dicho de otro modo: es el orden del menor no nulo más grande que de
ella se puede extraer.
b)
Si el rango de la matriz es tres, los tres vectores columna son linealmente independientes. Si
quitamos una columna, los dos vectores columna que quedan, seguirán siendo linealmente
independientes, luego el rango de la matriz que resulta al suprimir esa columna, es dos. Ahora
bien, si quitamos una fila y una columna, ya no podemos asegurar que el rango sea dos. Veamos
un ejemplo: si en la matriz
1 1 2


A = 1 1 7
 4 5 6


Quitásemos la última fila y la última columna, la matriz resultante no tendría rango dos, sino uno.
1
3.- (SEPTIEMBRE 1994)
Dada la ecuación:
1 1
1
1
1 1− x
1
1
=0
1 1
2−x
1
1 1
1
3− x
Se pide: i) Razonar que es polinómica de grado menor o igual que tres. ii) Obtener, sin desarrollar el
determinante, sus soluciones. Razona las respuestas.
SOLUCIÓN
i) Restando la primera fila a todas las demás (y por supuesto dejándola a ella fija), obtenemos la siguiente
ecuación equivalente a la anterior:
1 1
1
1
0 −x
0
0
= 0
0 0 1− x
0
0 0
0
2−x
Como se trata del determinante de una matriz triangular, para su desarrollo, basta con multiplicar los
elementos de la diagonal principal. La ecuación que resulta es: - x (1 – x) (2 – x) = 0, que es una ecuación
polinómica de grado 3.
ii) Sin más que cambiar los signos de los tres factores (la ecuación es equivalente) resulta:
- x (x – 1) (x – 2) = 0 cuyas raíces son evidentemente, x = 0; x = 1 y x = 2.
4 .- (JUNIO 1995)
i) Producto de matrices: definición, condiciones para su realización. Siendo A, B, y C matrices
A ∈ M m× n , B ∈ M n × p y C ∈ M q × r
¿Que condiciones deben cumplir p, q, y r para que las operaciones que se indican a continuación puedan ser
efectuadas y cual es el orden de la matriz resultante? : a) ACB
b) A(B + C)
ii ) Siendo
3 4
3 4

 A = 
 B
1 2
1 2
con A y B matrices cuadradas de orden 2, ¿Deben ser necesariamente A = B?. Razona las respuestas.
SOLUCIÓN
i) Para la primera parte, ver ejercicio 1. En cuanto a la segunda:
a) El producto ACB, sólo podrá efectuarse cuando q = n = r. La matriz resultante en ese caso, será
de dimensión m x p.
b) Para que pueda efectuarse A (B + C), ha de ser n = q y p = r. La matriz resultante, será m x r
ó bien m x p.
ii) Puesto que la matriz
3 4


1 2
es cuadrada y su determinante es distinto de cero, admite inversa. Multiplicando (por la izquierda,
naturalmente), por esa matriz inversa en la expresión que nos dan:
2
3 4
3 4
 B
 A = 

1 2
1 2
concluimos que A = B.
5 .- (SEPTIEMBRE 1995)
i) Definir rango de una matriz explicando cada concepto que interviene en la definición.
ii) Sea A una matriz cuadrada de orden tres, cuyo rango es dos. ¿Se alterará el rango de dicha matriz
si a los elementos de una de las columnas se les suman los correspondientes de otra de sus
columnas? . Razona la respuesta.
SOLUCIÓN
i) Ver ejercicio 2.
ii) Desde luego, si en el determinante de la matriz A le sumamos a una columna otra columna, el
determinante sigue valiendo lo mismo es decir, cero. El rango de la nueva matriz por tanto, no es
tres; la cuestión es si será dos o uno. Veamos que ha de seguir siendo necesariamente dos.
Sean u, v, y w los tres vectores columna de la matriz A. Supongamos que hemos sumado a la
primera columna, la tercera. Los vectores columna de la nueva matriz, serán: u + w, v y w.
Veamos que si entre u, v, w hay dos vectores linealmente independientes y el tercero depende de
los otros dos, entre u + w, v, w, ocurre lo mismo. Distingamos tres casos:
1.- u y v son linealmente independientes y w =αu + βv (con α, β∈R)
veamos que en ese caso, u + w y v, son linealmente independientes.
En efecto, si no fuese así, sería: u +w = k v (con k ∈R) es decir, que:
u + αu + βv = k v ⇒ (α + 1)u = (k – β) v ⇒ u y v no son linealmente
independientes, lo cual contradice nuestra suposición inicial.
2.- v y w son linealmente independientes. En este caso, no hay nada que decir.
3.- u y w son linealmente independientes y v = αu + βw (con α, β∈R).
Veamos que en ese caso, u + w y w , son linealmente independientes.
En efecto, si no fuese así, sería: u +w = k w (con k ∈R) es decir, que:
u = (k –1) w ⇒ u y w no son linealmente independientes, lo cual contradice nuestra
suposición inicial.
6.- (JUNIO 1996)
Aplicando las propiedades de los determinantes (y sin desarrollar, ni aplicar la regla de Sarrus) responder
a las siguientes preguntas:
i)¿Cómo variará el determinante de una matriz cuadrada de orden 3, si se multiplica cada uno de sus
elementos aij por 2i – j ?
ii)¿La matriz de orden 4 A = (aij ) con aij = i + j, tiene inversa?
(aij es el elemento de la matriz, perteneciente a la fila i columna j ).
SOLUCIÓN
i)
Sea
a11 a12 a13
A = a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
El determinante de una matriz cuadrada de orden 3. Si a cada elemento aij de ese determinante lo
multiplicamos por 2i – j, obtenemos este nuevo determinante:
3
B =
a11
a12
2
2a21
a22
4a31
2a32
a13
4
a23
2
a33
La cuestión es: ¿Qué relación habrá entre esos dos determinantes?.
En este último determinante, multipliquemos la primera fila por 4 y la segunda por 2, con el fin de
que desaparezcan los denominadores. En consecuencia y puesto que cuando se multiplica una fila de
un determinante por un número, el determinante queda multiplicado por ese número, el determinante
 B, ha quedado multiplicado por 4 y por 2. En consecuencia:
a11
a12
2
4 ⋅ 2 ⋅ B = 4 ⋅ 2 ⋅ 2a21
a22
4a31
2a32
a13
4
4a11 2a12
a23
= 4a21 2a22
2
4a31 2a32
a33
a13
a11
a23 = 4 ⋅ 2 ⋅ a21
a33
a31
a12
a22
a32
a13
a23 = 4 ⋅ 2 ⋅ A
a33
De donde se concluye inmediatamente que  A =  B. El determinante, no varía.
ii)La matriz de la que nos preguntan si tiene inversa, es:
 2 3 4 5


 3 4 5 6
A=
4 5 6 7


 5 6 7 8


Bastará ver si su determinante es cero o no. Ahora bien, como la última fila es combinación lineal
de las anteriores ( C4 = C2 +C3 – C1 ), el determinante  A = 0 y por tanto la matriz A,
no tiene inversa.
7.- (SEPTIMBRE 1996)
Aplicando las propiedades de los determinantes y sin utilizar la regla de Sarrus, calcular
razonadamente las raíces de la ecuación polinómica:
x 1 1 1
1 x 1 1
P ( x) =
=0
1 1 x 1
1 1 1 x
Enunciar las propiedades utilizadas.
SOLUCIÓN
x
1
P( x) =
1
1
1 1 1
x −1 0
0
x 1 1
0
x −1 0
=
1 x 1
0
0
x −1
1 1 x
1− x 1− x 1− x
1
x −1 0
0
1
x −1 0
1
1
0
x −1 0
1
x −1 1 =
=
= ( x − 1) 0
1
0
0
x −1 1
1− x 1− x x +1
x
0 1− x 1− x x +1
4
x −1 0
1
= ( x − 1) 0
x −1
1
0 1− x x + 2
= ( x − 1) ( x − 1)
( x − 1)
1
( x − 1)
1
= ( x − 1) 2
= ( x − 1)2 ( x − 1) ( x + 3) =
1− x x + 2
0
x +3
= (x-1)3 (x+3).
Por tanto, la ecuación P(x) = 0, se convierte en: (x-1)3 (x+3) = 0 cuyas raíces son: x = 1 (triple) y x = -3
Aclaremos los pasos dados en el desarrollo del determinante:
1.- A la primera, segunda y tercera columnas, les restamos la cuarta
2.- A la última fila, le sumamos la primera.
3.- Desarrollamos el determinante por la primera columna.
4.- A la tercera fila le sumamos la primera.
5.- Desarrollamos por la primera columna.
6.- A la segunda fila le sumamos la primera.
7.- Desarrollamos por la primera columna.
8.- (JUNIO 1997)
Dadas las matrices
1 7 8 
1 2 3 


M = 
y N = 
3 1 k 
 2 −1 1 
i) Averiguar para qué valores de k existe alguna matriz P, que cumpla: N = PM.
ii)¿Tiene sentido hablar de la existencia de la matriz inversa de MNt, para todo k∈R ?.
Si existe para k = 0, hallarla. ( denotamos con Nt a la traspuesta de N )
SOLUCIÓN
i) Si existiese esa matriz P, debería ser una matriz 2 x 2.
 x y

P = 
z t 
Y ha cumplirse que:
1 7 8   x y  1 2 3 

 = 
 

3 1 k   z t   2 −1 1 
Multiplicando las matrices e igualando, obtenemos las siguientes ecuaciones:
1= x + 2y 
3 = z + 2t 

7 = 2x − y ⇒ x = 3 ; y = − 1
k = 3z + t ⇒ k = 3 ⋅ 1 + 1 = 4
 ⇒ z = 1; t = 1.
1 = 2z − t 

8 = 3x + y 
En consecuencia, Para k = 4, existe una matriz
 3 − 1

P = 
1 1 
Que verifica: N = PM
ii)
1 3
  39 5 + 3k 
1 2 3  
t
  7 1  = 

MN = 
 2 −1 1   8 k   3 5 + k 


Esa matriz tendrá inversa sólo, cuando su determinante sea distinto de cero. Veamos cuándo es cero.
39 5 + 3k
= 0 ⇒ 180 + 30k = 0 ⇒ k = −6
3 5+ k
5
Cuando k no valga – 6, esa matriz admite inversa. Para el caso k = 0, será:
 1

−
5
3
39
5




1
 =  36

 ⇒ ( MN t ) −1 =
MN t = 
180  − 5 39   − 1
 3 5

 36
1 

60 
13 

60 
−
9.- (SEPTIEMBRE 1997)
i) Si A es una matriz tal que A2 = I, ¿ Se deduce que A = I ? En caso afirmativo, probarlo, y en caso
negativo, proponer un ejemplo aclaratorio.
ii) Si A3 = I, demostrar que A es inversible, y calcular en función de A, su inversa.
iii) Probar que si AB = a y BA = B, entonces A2 = A.
( I ≡ matriz unidad )
SOLUCIÓN
 x y
 . Impongamos que A2 = I:
i) Sea la matriz A = 
z
t


x

z
y  x
 ⋅
t   z
y  1 0

= 
t   0 1 
Desarrollando esa ecuación matricial, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
 x2 + t 2 = 1
 x2 − t 2 = 0 ⇒ ( x + t) (x − t) = 0


 x + t = 0 ⇒ x = −t
 xy + yt = 0
 y (x + t) = 0
⇒
⇒ 

2
 zy + t = 0
 zx + tz = 0
z ( x + t ) = 0
 zy + t 2 = 1
 zy + t 2 = 1


Por tanto, una solución sencilla para ese sistema, sería: x = t = 0; z = y = 1
0 1
 que no es la matriz Identidad, y que verifica:
Es decir, que hemos encontrado una matriz A = 
1 0
A2 = I. Por supuesto, hay más, pero con encontrar una, nos basta.
 A2 ⋅ A = I
3
ii) A = I ⇒ A ⋅ A ⋅ A = I ⇒ 
⇒ A−1 = A2
2
 A ⋅ A = I
Es decir, que A es inversible y su inversa es A2.
ii)Si AB = A y BA = B, podemos concluir que:
AB = A ⇒ ( si multiplicamos por A a la derecha) ABA = A2 ⇒ (como BA = B) AB = A2 ⇒ (como AB = A) A = A
6