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)
Revista de 1a
UniOn Matematica Argentina
Volumen 36, 1990.
1 74
)
)
)
)
)
)
SOBRE EL AUTOVALOR PRINCIPAL DEL PROBLEMA
)
DE NE�N CON PESO
(*)
K
R. BURACID
Y A. MAESTRIPIERI
')
)
( ** )
)
)
')
)
)
)
I NT RO DU C C I ON
)
)
Co n s i d e r amo s e l p r o b l ema d e Neumann :
.eu
(1 )
- - -.
d o nd e n
c
A mu
en
o
en a n
)
n
)
N
· R e s un dom in ic a c d't a d o d e b o r d e s u av e ,
an .
.t
e s un
o p e r a d o r d i f er enc i a l un i for memen t e e 1 1pt i c o en n , de l a f o rma
(2)
N
L
a. .
. . 1
1J
1, J=
.e u
2
a u
ax . ax .
1
J
)
c o n c o e f i c i en t e s a va l o r e s r ea l e s p e r t e n e c i en t e s a C ( IT)
( 0 < 6 < 1 ) . Sup o n emo s qu e a 1. . = a J. 1. y m E C (IT) e s una func i 6 n
J
d ad a a va l o r e s r ea l e s y A E R ( 6 C) e s e l p a r am e t r o a u t o v a l o r .
=
0 Y u
=
1
s o n un au t o v a l o r
c i 6 n p o s i t iv a , r e s p e c t ivament e , d e ( 1 ) .
)
)
6
o b s erv emo s qu e A
)
y
una a u t o fun ­
)
')
)
)
)
)
)
*
T r a b a j o p a r c i a l m e n t .e s u b s i d i a d o p o r l a C I C d e l a P c i a .
Bu eno s A i r e s .
* * T r a b a j o p a r c i a l m en t e s u b s i d ia d o ' p o r C O N I C E T .
de
)
)
)
)
175
Hes s
y
[3] o b t uv i er o n , c en t r ando s e e n 1 a a p 1 i c a c i o n d e l
8 enn
t eo r ema d e Kr e in - Rutman a 1 p r o b l ema ( 1 ) , l o s s i gu i en t e s r e s u l ­
t ad o s :
8 i m c amb i a d e s i gno en
n y
In
c ump 1 e qu e
mw f
0 , d o nd e W e s
una c i er t a func i o n a s o c iada a 1 p r o b l ema , e n t o n c e s
( 1 ) adm i t e
un un i c o autova 1 0 r A I ( m ) f o que t i en e una a u t o fun c i o n po s i t i ­
v a . Ad ema s A I ( m ) t i en e mu 1 t ip 1 i c i d a d uno , y s i A I ( m ) > 0 y
�
E C
In
e s o t r o a u t o v a 1 0 r c o n Re
1 a rment e s i A I ( m ) < 0 ) . 8 i
� > 0 ent o nc e s Re � � A I ( m ) ( s im i mw = 0 en t o nc e S � A = 0 e s e 1 un i -
.
c o autova 1 0 r d e auto fun c i o n p o s i t iva .
Go s s e z
y
Lam i Do z o
[ lJ o b t uv i er o n , p a r a e 1 p r o b l ema ( l ) p er o
c o n c o nd i c i o n e s d e bo r d e D i r i c hl e t , e 1 s i gu i ent e r e s u 1 t ad � :
8 i m e s po s it iva en a 1 g un pun t o d e n , en t o n c e s en 1 a r e c t a v er
t i c a l Re z = A 1 no hay .o t r o s a u t o va 1 0 r e s , dond e A l e.s e 1 au t o va
lor p r inc i p a l po s i t ivo , me j o r ando un r e su 1 t a do a n t e r i o r d e Hess
y
[ 2 ] , en e1 qu e s e e s t a b 1 e c 1 a 1a ex i s t enc i a de A I , y en
e1 qu e s e p r u e b a que s i A E C es o t r o au t oya 1 0 r , cOIl Re A �. 0 ,
Kato
e n t o n c e s Re A � A I '
Ba s andono s en e 1 t r a b a j o d e G o s s e z - Lam i DO z o , o b t endr emo s un
r e s u 1 t ado s im i l a r p a r a e 1 · c a so N eumann .
P a r a e s t a b 1 e c e r nu e s t ro r e su 1 tado p r int ipa 1 d ir emo s qu e una
fun c i o n w
w > 0
en
E
IT
C 3 (IT)
es adm i s i b 1 e s i :
aw
= 0
an
donde { m = O } abr ev i a
e1
en
.
an
£w
�
0
en
O}
I nt { m
c onj unto { x E n : m ( x ) = O J .
D e f in imo s
In
m$ f 0 , 1 1 amar emo s A l a A 1 Cm) e1 autova 10r y u 1 a 1 a
aut o func ioti po s i t iva con n U l n � = 1 .
si
TEOREMA 1 . Sea w una funci6n admisib l, e t a l, que P _ C w }
<;
P + Cw ) .
En tonces l,a banda P _ Cw ) <; Re A <; P + ( w ) no con tiene auto'Va l,o­
res� a me nos qu � w sea un md l, tip i o posi ti'Vo u 5 1 0 u 1 .
)
)
)
176
Como cons ecu enc ia d e l T eo r ema
TEOREMA 2 . Sup o n g amo s
In
)
t en emo s :
)
m� # 0 y w una fun c i 6 n a dm i s i b l e n o
<
A I ' d o n d e A l e s e l Q n i a o a u t o va l o r
n o nu l o c o n a u t o fu n c i 6 n p o s i t i v a u 1 d e ( 1 ) . En t o n c e s
P + ( w ) < A I ' a m e n o s q u e w s e a u n mQ l t ip l o p o s i t i v o d e u 1 .
constan t e ,
3.
TEOREMA
= Al
Y
t a l q u e P _ (w )
f n m�
Se a
# 0 , e n t o n c e s e n la r e c t a v e r t i c a l Re (z) =
e n l a r e c t a Re z = 0 , n o h a y o t r o s a u t o v a l o r e s de
In
TEOREMA 4 . S i
y P _ (w )
<
m� < 0 , e n t on c e s A l
sup{ P + (w ) /w
a dm i s i b l e
AI} .
Lo s t eo r ema s 1 , 2 , 3 y 4 s er ln probado s en
1 .
(1 ) .
D E M O S T RA C I O N D E
1, 2 , 3
L O S T EO R EMAS
D em o s t ra c i on d e l T e o r e m a
Y
la
+8
.£
4.
£
=
1
2
a
a l.. . --I
J ax l.. ax .
i, j=l
J
+ w
donde
N
a - 2
a
a . . pw a
I
I i ax .
i , j = 1 l.J axJ. ax l..
l.
i= l
N
e s un iformemen t e el ipt ico por s er w > 0 en IT y
(3)
De ( 2 )
(4 )
Y
( 3 ) r .e su l t a :
2
£l ( lv l )
2
= - 2 [ (£ - Re Am) (w) ] I v l - 2w
N
I
i,j =l
)
)
)
)
)
( n) .
N
-w
)
)
1 :
- Am) w ] ( v ) = 0 ,
1 (v ) + [ (£
,)
)
2 S ea v = u / w , r e sul t a que v E C ( n ) , y o p er ando o b t en emo s
(2)
)
)
)
Secc i6n 1 .
Sea A E C un autova l o r d e e l ) y s e a u una auto func i6n a valo ­
r e s c omp l e j o s d e aut o v a l o r A . Por t eo r ema s d e r e gu l a r idad r e sul t a u E C 2
)
a l.. .
J
av ali
ax l.. ax .
J
en n .
177
Supong amo s qu e P _ = P _ (oo )
".;;
Re A "';; P + (oo )
P+ .
D e l a d e f in ic i6n d e P _ o b t en emo s
(£ - Re A m )
(00)
� 0
en n.
En tonc e s , d educ imo s de ( 4 )
( 5)
£ I (lv l 2 )
".;; -2 00
�
av av
Jo . a ij ax:- ax .
1 ,J
1
J
".;; - 2w� o I 'I v 1 2
".;; 0
en n ,
dond e � o > � e s la c o n s tant e d e e l ip t ic idad d e £ en n .
Apl icando e l pr inc ip io d e max imo , r e su l t a que I v 1 2 a l c an z a su
max imo M, en a l gun punto X o E a n , y s i I v l 2 no es c o n s tant e ,
( 6)
a
1:/
(x
o ) > 0 apl ic ando a
el pr inc ip io de maximo [4 ] .
£1
Supongamo s I v 1 2 con s t ant e en n , ent onc e s por ( 5 ) , t en emo s que
v = a , a E C, en IT , con a , 0 , pue s u es una auto func i6n no nu
l a . Re su l t a 00 = a - I u una aut o func i6 n d e ( 1 ) co r r e s pond i ent e a
A , como 00 e s r ea l resul t a A E R . S i A = 0 , ent onc e s oo. e s c o n s ­
t ant e , apl icando d e nuevo e l pr inc ip io d e max imo .
S ea A >
o.
Supo ngamo s pr imero qu e
00
e l r e su l t ado de He s s y S enn [ 3 ] ,
I
n
m� <
o.
Resul t a , u s ando
= aU l con a > O . Si
In m� > 0 ,
ent o nc e s por e l mi smo r e su l t ado , ex i s t e un un ico autova l o r
A l < 0 d e aut o func i6n po s it iva . Ab surdo , al s er A > O . F inal ment e s i
In
m�
•
0
entonc e s 0 e s e l 6n ico autov a l o r qu e t i ene
una auto func i6n po s itiva , contrad ic i endo A > O .
Ana l o gament'e , s i A < 0 , r e sul ta
S i I v 1 2 no e s con s t ant e
en contrad icc i6n con ( 6 ) .
00
un mul t ip l o po s it ivo d e u l .
)
178
)
)
Demo s tr a c i o n de l Teorema 2 :
< P _ , e l r e su l t ado s i g u e . Supo n g amo s P + � P _ , en t o n e e s
s i A l > P + no hay nada qu e d emo s t r a r , y s i A l .;;;; P + , a p l i e ando
P+ .
e l T eo r ema 1 , r e su l t a W
aU l ' c o n a > 0 y P
S i P+
=
=
D e m o s t r a c i o n de l Te o r ema
3:
)
4 :
in
)
pr ine!
p a l e o r r e s po n d i ent e al pr o b l ema ( 1 ) con p e s o i gu a l a m I ' C o mo
m , .en t o n e e s A (m ) < A em ) ( [ 3 ] , Prop . 4 ) .
l
l
l
Sea
rna :
La
Po
tal que
t eo r l a
de
0 < P o < A l (m l )
Como £ w 1 � 0
Siendo
< A l (m) , e o n s i d e r emo s e l p r o b l �
en
n ,
en
an .
en int{m 1
ex�stenc ia de una finiea
resulta estr ictimente po s it iva en
= OJ ,
entonees
w l es
)
)
so ­
IT
)
admi s ibl e .
P _ ( w l ) .;;;; P o < A 1 (m l ) , p o r e l T e o r ema 2 ; P + ( w l ) < A l ( m l ) ;
t en emo s
qu e :
entonees
D e f in imo s w k y P k
)
)
S e hauder gar a n t i z a l a
3
l u e i6n w I E C +B ( li) , qu e
( [ 3 ] , L ema 8 ) .
)
)
)
Dada m E C e n) , ex i s t e una sue e s i6n de ·fune ion e s { m . } .
'
J J E: N
m . E c B Cli) , t a l e s qu e m . d ee r e e e u n i f o rmement e a m .
J
J
Podemo s supo n e r
m � < O . S ea A l ( m ) > 0 e l a u t o v a l o r
l
j
mr >
)
}
Ana l o ga a l a d e l T e o r ema 1 .
Demo s trac ion de l Teorema
)
)
induet ivamente :
en . n ,
en
an ,
)
)
)
)
179
< P k < A 1 (m k ) < A 1 (m) . L a suc e s i 6 n P c o nv er k
1
inf
g e e n t o nc e s a alg1Jn v a l o r P � A (m) . E s t o imp l i c a qu e
l
m w
} k k
C l a r ament e , P
k- 1
{mk>O
l im II W ll
k
t i end e a c er o c o n k . D e donde r e su l t a que
Sea
w
= II w k ll
k
wk
k -+oo
.
T en emo s q u e
•
= 00 .
n
en
en a n ,
o
1 +6
'
{ W k } E e s a c o t ad o en C
CIT)
k N
( p o r t eo r ia e l 1p t i c a s t a nd a rd ) .
Tomando una sub s u c e s i 6 n s i e s n e c e s a r io , w c o nv e r g e a
k
C ( IT) .
I
Con s i d e r emo s aho r a e l o p e r a d o r ( L + 1 ) - , d e f in ido en
(L+ 1 )
-I
:
c eIT)
Re s u l t a en t d n c e s Lw
y
en
[3] .
c eIT ) e s c o nt inuo c o n l a no rma un i io rme ,
--+
( L + 1 ) v er i f i c a ( L + 1 ) w
qu e P = A 1 (m)
W
w =
=
k
u1
= ( P k_ 1 m + 1 ) w +
k
k
.
"
1
.
rrw-u
k
Pmw , c o n w > 0 en IT y P > O . S e t i en e
( [ 3 ] , T e o r ema 2 ) .
Dar emos , a c o n t inu a c i 6 n , un e j emp l o d e l p r o b l ema d e N eumann c o n
peso .
{-UII
C o n s id er emo s e l pr o b l ema
( *)
dond e
= A mu
u' eO) = u'
m lx ) = 2 x 2
-
(Vi)
cotg (x2 +
= 0 ,
i) .
R e s u l t a m E C e IT) , m c amb i a d e s i gno e n n y
u ( x ) = s en ( x
2
+
i)
e s s o l uc i6n d e
In
m < 0,
( * ) d e a u t o va l o r A
2.
)
180
R E F ERENC IAS
[I]
[2 ]
GO S S E Z , J . - P . , & E . L A M I DO Z O , O n :t h e. PlL-i n c.-i p al E-ig e. n v a l u e.
0 6 a S e. c. o n d O lL d e.lL L -i n e.alL Ell-i p:t-i c. PlLo bl e.m , A r c h . f o r Ra t .
M e c h . an d An a l . 8 9 , 1 6 9 - 1 7 5 ( 1 9 8 5 ) .
H E S S , P . & T . KA T O , O n � o m e. l -i n e.alL a n d n o nl-i n e.alL e.-ig e. n v al u e.
plLo bl e.ma� w-i:t h a n -i n d e. 6 -i n-i:t e. w e.-ig h:t 6 un c.:t-ia n , C o mm . P a r t .
D if f . E q . 1 0 , 9 9 9- 1 0 3 0 ( 1 9 8 0 ) .
)
)
)
)
J
)
[3]
H E S S , P . & S . S E NN , O n Po � -i:t-i v e. S o l u:t-io n� 0 6 a l -i n e.alL Ell-ip ­
:t-ic. E-ig e. n v al u e. PlLo bl e.m w-i:t h N e. u m a n n B o u n dalL y C o n d-i:t-io n� ,
Ma t h . A n n a l en . 2 5 8 , 4 5 9 - 4 7 0 ( 1 9 8 2 ) .
)
[4 ]
P RO T T E R , M . H . , & H . F . W E I N B E R G , M a x-imum PlL-i n c. -ipl e.� -i n d-i 6 6 e.lL e. n:t-ial e. q ua:t-io n� , E n g l ewo o d C l i f f s , N . J . : P r en t i c e ­
Ha l l 1 9 6 7 .
)
)
)
)
)
)
I n s t i t u t o A r g en t i n o d e M a t em a t i c a , C O N I C E T
V i a mo n t e 1 6 3 6 , ( 1 0 5 5 ) B u e n o s A i r e s
D e p a r t am e n t o d e Ma t ema t i c a , F C E y N
Un iv e r s i d a d d e B u e n o s A i r e s
)
)
)
)
)
)
)
)
Rec ib ido en o c tubr e d e 1 9 9 0 .
)