12principio de induccion

Matemática
Discreta
Números, inducción y recursión:
principio de inducción
Números, inducción y recursión
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Sistemas numéricos
Principio de inducción
Definiciones recursivas
División entera y divisibilidad
Números primos
Congruencias
1
Principio de inducción
(1ª sesión)
„ Axiomas
de Peano
Principio de inducción [PI]
„ Demostración
de propiedades
mediante [PI]. Ejemplos
„
„ Principio
„
ℕ
de Buena Ordenación [PBO]
Demostración de [PBO] usando [PI]
„ Principio
„
de
de inducción completa [PIC]
Demostración de [PIC] usando [PBO]
Axiomas de Peano (1)
„
„
Axioma: Afirmación que aceptamos sin
necesidad de demostración, una vez
comprendido su significado, basándonos
únicamente en nuestro conocimiento intuitivo
del objeto al que se refiere dicha afirmación
Axioma de Peano #1 [P1]:
„
„
∀ m, n ∈ ℕ , si s(m) = s(n) , entonces m = n
Axioma de Peano #2 [P2]:
„
∀ n ∈ ℕ , s(n) ≠ 0
2
Axiomas de Peano (2)
„
„
Notación: Si n ∈ ℕ verifica la propiedad P ,
escribiremos P(n)
Axioma
de
Peano
#3
[P3]
≡
≡ Principio de inducción [PI]:
„
∀ P (propiedad definida en ℕ):
„
Si:
– P (0)
– ∀ k ∈ ℕ, si P(k) , entonces P(s(k))
„
[BASE]
[PASO INDUCTIVO]
Entonces:
– ∀ n ∈ ℕ , P(n)
Demostración de propiedades
de ℕ mediante [PI]
comprobar que una propiedad P
es satisfecha ∀ n ∈ ℕ , basta con
demostrar que:
„ Para
0 satisface P [base de la inducción]
„ Dado un cierto k ∈ ℕ (cualquiera):
„
„
Siempre que k satisface P [hipótesis de
inducción ≡ HI]:
– También se verifica P(s(k)) [paso inductivo]
3
Ejemplos de aplicación de [PI]
„
Ejemplo 1: Demostrar que, ∀ n ∈ ℕ, se verifica
la ecuación:
2 + 4 + ... + 2n = n (n + 1)
„
„
„
Caso base: 2 · 0 = 0 = 0 (0+1)
9
[HI] ∀ k ∈ ℕ 2 + 4 + ... + 2k = k (k + 1)
¿ Es cierta para s(k) = k + 1 ?
„
„
„
2+4 + ... +2k + 2(k + 1) =[HI] k (k + 1)+2(k + 1)
k (k + 1) + 2(k + 1) = (k + 2) · (k + 1)
(k + 2) · (k + 1) =[· conmutativo] (k + 1) · (k + 2)
9
Ejemplos de aplicación de [PI]
„ Ejemplo
2: Demostrar que ∀ n ∈ ℕ se
verifica:
1 +2 + 22 + ... + 2n = 2n +1 –1
Caso base: 20 = 1 = 20+1 – 1
9
„ [HI] ∀ k ∈ ℕ
1 +2 + 22 + ... + 2k = 2k +1
–1
„ ¿ Es cierta para s(k) = k + 1 ?
„
„
1 +2 + 22 + ... + 2k + 2k +1 =[HI] (2k +1 – 1) + 2k
„
(2k +1 – 1) + 2k +1 = 2 · 2k +1 – 1 = 2k +2 – 1
+1
9
4
Ejemplos de aplicación de [PI]
„
Ejemplo 3: Demostrar que ∀ n ∈ ℕ se verifica:
(32n + 4n +1) es múltiplo de 5
„
„
„
Caso base: 32·0 + 40 +1 = 1 + 4 = 5
[HI] ∀ k ∈ ℕ ∃ m ∈ ℤ 32k + 4k +1 = 5m
¿ Es cierta para s(k) = k + 1 ?
„
9
32 · (k+1) + 4(k +1) +1 = 32k +2 + 4k +2 = 32 · 32k + 4 · 4k +1
= 9 · 32k + 4 · 4k +1 = (4 + 5) · 32k + 4 · 4k +1
= 4 · 32k + 4 · 4k +1 + 5 · 32k = 4 · ( 32k + 4k +1 )+ 5 · 32k
= 4 · ( 5m ) + 5 · 32k = 5 · ( 4m ) + 5 · 32k
= 5 · ( 4m + 32k )
9
=
=
=
=
Principio de Buena Ordenación
[PBO] (1)
„
Enunciado [PBO]:
„
„
∀ A ⊆ ℕ , A ≠ ∅ , A posee un elemento mínimo
Demostración (usando [PI])
„
„
Es una demostración indirecta basada en [PI]
Contrarrecíproca de la implicación directa:
„
„
Si A ⊆ ℕ no tiene mínimo ⇒ A = ∅
Se define la propiedad P :
„
P(n) ⇔def ∀ x ∈ A n ≤ x
5
Principio de Buena Ordenación
[PBO] (2)
„
Aplicando [PI]:
„
Dado que ∀x ∈ ℕ 0≤x ⇒ ∀x ∈ A ⊆ ℕ 0≤x ⇒
P (0) [BASE]
– NOTA: Obsérvese que esto no implica que 0∈A
„
[Paso inductivo]
– [HI] k ∈ ℕ verifica P(k)
– ¿ También se verifica P(s(k)) ?
„
Dado que se ha supuesto que A no tiene mínimo, si se
verifica P(k) [HI], entonces k ∉ A, con lo que s(k)
también verifica P(s(k))
Principio de Buena Ordenación
[PBO] (3)
„
De esta forma, se
∀ n ∈ ℕ se verifica P(n)
„
„
„
„
ha
demostrado
que
Esto significa que cualquier n ∈ ℕ sería un mínimo de A
Pero hemos supuesto que A no tiene mínimo, por lo que
ninguno de los posibles mínimos (es decir, ningún
número natural) puede pertenecer a A ⇒ A = ∅
Como consecuencia, queda también probada su
contrarrecíproca, que es lo que queríamos probar
¿ Se puede decir que ≤ es un buen orden en ℚ ?
„
Contraejemplo:
„
El subconjunto formado por los racionales positivos
(∀ q = m / n ∈ ℚ , q’ = m / 2n < q )
6
Principio de Inducción
Completa [PIC] (1)
„
De aplicación cuando [PI] no puede ser aplicado
directamente
„
„
En esos casos, hay que permitir la enunciación de una
hipótesis más fuerte (restrictiva), llamada hipótesis de
inducción completa [HIC]
Enunciado [PIC]:
„
Sea una propiedad P cualquiera:
„
Si:
– P (0)
– ∀ n ∈ ℕ se cumple:
„ Si ∀ k ∈ ℕ , 0 ≤ k < n , P(k)
„
„
[BASE]
[P. IND. COMPLETO]
[HIC]
Entonces, también P(n)
Entonces, ∀ n ∈ ℕ , P(n)
Principio de Inducción
Completa [PIC] (2)
„
Demostración [PIC] (basada en [PBO]):
„
„
Dada la propiedad P , sea A = { n ∈ ℕ | ¬ P(n) }
Supongamos que no es cierto que ∀ n ∈ ℕ , P(n)
⇒ A contiene al menos un elemento ⇒[PBO] A
tiene un elemento mínimo ( n0 )
„
„
„
„
Si n0 = 0, contradice la base de la inducción ⇒ 0 ∉ A
Si n0 ≠ 0, contradice el paso inductivo para n0
Por lo tanto, ∄ n0 ∈ A ⇒ A = ∅ ⇒ ∀ n ∈ ℕ , P(n)
OBSERVACIÓN:
„
La formulación del caso base puede omitirse en
[PIC], dado que el paso inductivo completo lo
cubre (∄ k ∈ ℕ ,, 0≤ k<0 )
7
Principio de inducción
(2ª sesión)
„ Aplicación
de [PI], [PBO] y [PIC] a
segmentos ℤm
Demostración de
mediante [PI]
„ Demostración
de
mediante [PIC]
„
„
propiedades
de
ℤm
propiedades
de
ℤm
Principio de inducción completa para ℤm con
varios casos base
„ Principio
de inducción estructural para ℤ
Segmentos ℤm
Designamos con ℤm al
segmento
de
números
enteros
generado por la aplicación reiterada de
la función sucesor a partir del número
m ( incluido m )
„ Ejemplo:
„ Notación:
ℤ-5 = { -5, s(-5) = -4, s(s(-5)) = -3, ... }
8
Aplicación de [PI] a ℤm
m ∈ ℤ y un segmento ℤm de ℤ generado
a partir de m por la aplicación de la función
sucesor (s) :
„ Sea
„
[PI] ∀ P (propiedad definida en ℤ):
„
Si:
– P (m)
– ∀ k ∈ ℤm , si P(k) , entonces P(s(k))
„
[BASE]
[PASO INDUCTIVO]
Entonces:
– ∀ n ∈ ℤm , P(n)
Aplicación de [PBO] y [PIC] a ℤm
[PBO] ∀ A ⊆ ℤm , A ≠ ∅ , A posee un elemento
mínimo
„ [PIC] ∀ P (propiedad definida en ℤ):
„ Si:
„
– P (m)
[BASE]
– ∀ n ∈ ℤ ( n ≥ m ) se cumple: [P. I. COMPLETO]
„
„
Si ∀ k ∈ ℤ , m ≤ k < n , P(k)
Entonces, también P(n)
„ Entonces,
[HIC]
∀ n ∈ ℤ , m ≤ n , P(n)
9
Demostración de propiedades
de ℤm mediante [PI]
„
Para demostrar, utilizando [PI], que una
propiedad P es satisfecha por los enteros
de ℤm , basta con comprobar que:
a)
m satisface P (base de la inducción)
b)
Si (a) es cierto:
„
Dado un cierto k ∈ ℤ ( k ≥ m ) :
– Siempre que k satisface P (hipótesis de inducción)
– También s(k) = k+1 satisface P
Demostración de propiedades
de ℤm mediante [PIC]
„
(Sobre un ejemplo) Demostrar que el producto de n
números enteros conlleva siempre la realización de n–1
multiplicaciones:
„
„
„
„
P(n) ≡ Se necesitan n–1 multiplicaciones para hallar el producto
de n números enteros
Caso base (n = 1): el producto de 1 factor requiere 0
multiplicaciones
Suponemos que: ∀ k ∈ ℤ , 1 ≤ k < n , P(k)
[HIC]
¿ Se verifica P(n) ?
„
Descomponemos el producto de los n enteros:
–
„
„
a1 * .... * an = (a1 * .... * ak ) * (ak+1 * .... * an )
Por [HIC], el primer componente requiere k–1 multiplicaciones, y
el segundo n – k – 1
Por tanto, en total, se requieren (k–1) + 1 + (n–k–1) = n–1
multiplicaciones
10
[PIC] para ℤm
con varios casos base (1)
„
Enunciado: Sea P una propiedad definida
en ℤ, para la que podemos demostrar
que, dado un cierto l ∈ ℤ ( l ≥ m ):
„
„
P (m) , ... , P (l) se verifican
[BASE]
∀ k ∈ ℤ ( k>l ) se cumple:
COMPLETO]
[P.
„
„
IND.
Si ∀ i ∈ ℤ , m ≤ i < k , P(i) [HIC]
Entonces, también P(k)
Entonces, ∀ n ∈ ℤ , m ≤ n , P(n)
[PIC] para ℤm
con varios casos base (1)
„
Permite:
„
„
„
Considerar unos cuantos números consecutivos,
desde m hasta l , como base de la inducción
Reservar el paso inductivo para el resto de
enteros, k >l
Esta forma del principio de inducción es
válida y la más general de todas las vistas ⇒
Es la que se utilizará en lo sucesivo, siempre
que sea posible
11
Principio de inducción
estructural para ℤ (1)
„
„
Los principios de inducción hasta ahora
considerados no son aplicables a la totalidad
de ℤ (en concreto, no son aplicables a la
totalidad de los enteros negativos)
El principio de inducción estructural viene a
llenar ese vacío, ampliando las posibilidades
de inducción, pues contempla la generación
de enteros también a través de la función
predecesor
Principio de inducción
estructural para ℤ (2)
„
Enunciado:
Si P es una propiedad definida en ℤ
que verifica:
a)
b)
c)
P (0)
∀ k ∈ ℤ, P(k) implica P(s(k))
∀ k ∈ ℤ, P(k) implica P(p(k))
Entonces, ∀ n ∈ ℤ , P(n)
12