9. Ecuaciones de Navier

Las ecuaciones de Navier-Stokes
R. Castilla y P.J. Gamez-Montero
Curso 2011-2012
Índice
Índice
1. Ecuacion diferencial de la conservación de la cantidad de movimiento
1
2. El tensor de tensiones para fluidos newtonianos. La ecuación de Navier-Stokes
2
1.
Ecuacion diferencial de la conservación de la cantidad de movimiento
Ecuacion diferencial de la conservación de la cantidad de movimiento
Ecuación integral:
ˆ
˛
∂
~ = F~T
(ρ~v ) dV +
ρ~v ~v · dS
V C ∂t
SC
Aplicando el Teorema de la Divergencia a la integral sobre la Superficie de Control (ver, p.e., [3], pag. 6),
˛
ˆ
~ · (~v ρ~v ) dV
~ =
∇
ρ~v ~v · dS
SC
ˆ
obtenemos
VC
VC
∂
~ · (~v ρ~v ) dV = F~T
(ρ~v ) + ∇
∂t
Por tanto, la fuerza sobre un volumen elemental de fluido es
f~T
=
=
∂
~ · (~v ρ~v )
(ρ~v ) + ∇
∂t
∂
∂
∂
∂
(ρ~v ) +
(ρvx~v ) +
(ρvy ~v ) +
(ρvz ~v )
∂t
∂x
∂y
∂z
En forma de componentes:
fT x
=
fT y
=
fT z
=
∂
∂
∂
∂
(ρvx ) +
ρvx2 +
(ρvy vx ) +
(ρvz vx )
∂t
∂x
∂y
∂z
∂
∂
∂
∂
(ρvy ) +
(ρvx vy ) +
ρvy2 +
(ρvz vy )
∂t
∂x
∂y
∂z
∂
∂
∂
∂
(ρvz ) +
(ρvx vz ) +
(ρvy vz ) +
ρvz2
∂t
∂x
∂y
∂z
Podemos simplificar un poco usando
∂
(ρ~v )
∂t
∂ρ
∂~v
+ρ
∂t
∂t
∂
∂ρvx
∂~v
(ρvx~v ) = ~v
+ ρvx
∂x
∂x
∂x
∂
∂ρvy
∂~v
(ρvy ~v ) = ~v
+ ρvy
∂y
∂y
∂y
∂
∂ρvz
∂~v
(ρvz ~v ) = ~v
+ ρvz
∂z
∂x
∂z
= ~v
1
⇒ f~T
∂ρ
∂~v
~ · ρ~v + ρ (~v · ∇) ~v
+ρ
+ ~v ∇
∂t
∂t
∂ρ ~
∂~v
~ ~v
+ ∇ · ρ~v +ρ
+ ρ ~v · ∇
= ~v ·
∂t
∂t
|
{z
}
= ~v
=0 por continuidad
La ecuación diferencial de conservación de la cantidad de movimiento queda como
∂~v
~ ~v
+ ρ ~v · ∇
f~T = ρ
∂t
Para simplificar, supongamos que
f~T = gravedad + fricción fluido-fluido
~ · ~~τ
f~T = ρ~g + ∇
de forma que
ρ
∂~v
~ ~v = ρ~g + ∇
~ · ~~τ
+ ρ ~v · ∇
∂t
En forma de componentes:
ρ
2.
∂vi
∂vi
+ vj
∂t
∂xj
= ρgi +
∂τij
∂xj
El tensor de tensiones para fluidos newtonianos. La ecuación de NavierStokes
El tensor de tensiones para fluidos newtonianos. La ecuación de Navier-Stokes
El mayor problema de la ecuación anterior es el cálculo de ~~τ . Éste tensor agrupa tanto los esfuerzos normales como los
tangenciales.
Los esfuerzos normales no són la presión, ya que ésta no está definida de forma estricta para fluidos en movimiento(ver
[2], capı́tulo 3), pero se puede definir una presión análoga a la usada en fluidostática de la forma p = − 13 σii
De esta forma, el tensor de tensiones es
~
~τ =
−pI
|{z}
+
parte anisótropa
(con traza nula)
parte isótropa

−p
= 0
0
0
−p
0
~~τ 0
|{z}
 
σxx + p
0
0  +  τyx
−p
τzx
τxy
σyy + p
τzy

τxz
τyz 
σzz + p
Se puede demostrar(ver, p.e., [2] o [4]) que, para fluidos newtonianos, ~~τ 0 está relacionado con la parte simétrica de la
divergencia de la velocidad (ver el segundo tema de cinemática) mediante
~~τ 0 = 2µ ∇~
~ vS − 1 ∇
~ · ~v I
3
donde µ es la viscosidad dinámica.
Substituyendo en la ecuación diferencial de la conservación de la cantidad de movimiento,
S
1 ~ ∂~v
~
~
~
~
+ ρ ~v · ∇ ~v = ρ~g − ∇p + ∇ · 2µ ∇~v −
∇ · ~v I ,
ρ
∂t
3
que es la ecuación de Navier-Stokes.
2
En la mayorı́a de los casos, se puede considerar que µ es uniforme, de forma que, tras algunas operaciones tensoriales,
∂~v
1 ~ ~ ~
~
ρ
+ ρ ~v · ∇ ~v = ρ~g − ∇p + µ 4~u + ∇ ∇ · ~v
∂t
3
con
2
2
2
~2 = ∂ + ∂ + ∂
4≡∇
∂x2
∂y 2
∂z 2
~ · ~v = 0, y la ecuación de Navier-Stokes queda como
Si el flujo es incompresible, ∇
ρ
∂~v
~ ~v = ρ~g − ∇p
~ + µ4~v
+ ρ ~v · ∇
∂t
En forma de componentes,
ρ
∂vi
∂vi
+ vj
∂t
∂xj
= ρgi −
∂p
∂ 2 vi
+µ
∂xi
∂xj ∂xj
Si menospreciamos los efectos de la viscosidad (flujo inviscido), tenemos la Ecuación de Euler
ρ
∂~v
~ ~v = ρ~g − ∇p
~
+ ρ ~v · ∇
∂t
Actividad 1:
Escribid las ecuaciones de la dinámica de un flujo laminar entre dos placas paralelas, sin presión pero con viscosidad. La
velocidad tan sólo tiene componente x, y las placas son normales a la dirección y. El flujo es estacionario.
¿Como cambian las ecuaciones si no hay viscosidad (Ecuación de Euler)?
Bibliografı́a
Bibliografı́a
Referencias
[1] Frank M. White. Mecánica de Fluidos. McGraw-Hill, México, 1988.
[2] G. K. Batchelor. Introducción a la Dinámica de Fluidos. Instituto Nacional de Meteorologı́a, Madrid, 1997.
[3] Ligget. Fluid Mechanics. McGraw-Hill, New York, 1994.
[4] Antonio Crespo. Mecánica de Fluidos. Universidad Politécnica de Madrid, 2006.
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