Algunos resultados acerca de B-matrices. Manuel F. Abad , Mar´ıa T

Algunos resultados acerca de B-matrices. Manuel F. Abad , Mar´ıa T

XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones
XI Congreso de Matemática Aplicada
Ciudad Real, 21-25 septiembre 2009
(pp. 1–8)
Algunos resultados acerca de B-matrices.
Manuel F. Abad1 , Marı́a T. Gassó1 , Juan R. Torregrosa.1
1
Instituto de Matemática Multidisciplinar, Universidad Politécnica de Valencia.
46022 Valencia. E-mails: [email protected], [email protected], [email protected].
Palabras clave:
B-matriz, P -matriz, suma sub-directa, Hadamard, completación matriz parcial.
Resumen
En este trabajo presentamos algunos resultados en relación con las B-matrices, introducidas por J.M. Peña en [3], tales como nuevas propiedades, la suma sub-directa o
la heredabilidad de este concepto con respecto al producto Hadamard. Generalizamos
la clase de B-matrices introduciendo el concepto de DB-matriz. Una DB-matriz es
una matriz real de tamaño n×n que satisface las mismas condiciones que una B-matriz
para las filas, pero además también las satisface simultáneamente para las columnas.
Presentamos caracterizaciones de este tipo de matrices, sus relaciones con otras clases
conocidas de matrices y sus propiedades hereditarias. Finalmente abordamos el problema de completación de B-matrices parciales.
1.
Definiciones.
En primer lugar, presentaremos las definiciones de algunos términos que utilizaremos
a lo largo del trabajo.
Definición 1.1 Una matriz real A = (aij ), de tamaño n × n, se dice que es diagonal
dominante por filas (RDD) si
X
|aii | ≥
|aik |
i = 1, . . . , n.
(1)
k6=i
Definición 1.2 Una matriz real A = (aij ), de tamaño n × n, se dice que es diagonal
dominante por columnas (CDD) si
X
|ajj | ≥
|akj |
j = 1, . . . , n.
(2)
k6=j
1
Manuel F. Abad, Marı́a T. Gassó, Juan R. Torregrosa.
Si en las dos definiciones previas las desigualdades son estrictas, hablaremos de matriz estrictamente diagonal dominante por filas (SRDD) y matriz estrictamente diagonal
dominante por columnas (SCDD) , respectivamente.
Definición 1.3 El producto Hadamard (o producto componente a componente) de dos
matrices A = (aij ) y B = (bij ) de tamaño n × n es A ◦ B = (aij bij ).
2.
Algunos nuevos resultados sobre B-matrices.
Definición 2.1 Una n × n matriz real A = (aij ) se dice que es una B-matriz si para todo
i = 1, 2, . . . , n
!
n
n
X
1 X
aik > 0
y
aik > aij , ∀j =
6 i.
(3)
n
k=1
k=1
Estas matrices fueron introducidas por J.M. Peña en [3] donde, además de describir
algunas de sus propiedades, presenta aplicaciones de las mismas en la localización de
valores propios reales.
Un ejemplo de B-matriz podrı́a ser el siguiente.
Ejemplo 2.1


21 −4 8
A =  −2 10 2  .
4
9 16
Es sencillo comprobar que el ejemplo anterior cumple las condiciones (3).
2.1.
Propiedades de las B-matrices
A continuación presentamos una serie de propiedades de la clase de B-matrices. Algunas de ellas fueron ya obtenidas en [3], y otras son aportaciones nuestras a este trabajo.
Sean A = (aij ) y B = (bij ) B-matrices de tamaño n × n, y sea α un número real
positivo, entonces se cumple:
1. A es no singular con determinante positivo.
2. A es una P -matriz.
3. Los elementos de la diagonal de A cumplen
aii > máx{0, aij | j 6= i}.
(4)
4. La media de cada fila de A tiene como lı́mite inferior cualquier elemento de fuera de
la diagonal de la fila y como lı́mite superior el elemento de la fila perteneciente a la
diagonal.
5. A + B es una B-matriz.
6. αA es una B-matriz.
2
Algunos resultados acerca de B-matrices.
7. El producto de B-matrices no es B-matriz, como se puede comprobar en el siguiente
ejemplo.
Ejemplo 2.2 Sean las B-matrices


5 4 4
A =  0,1 5 0 
0,1 0 5

y

1 0,5 0,5
2 ,
B= 2 3
4 9 16
el producto de ambas es


29
50,5 74,5
AB =  10,1 15,05 10,05  ,
20,1 45,05 80,05
que claramente no es B-matriz.
8. La matriz transpuesta de una B-matriz no es, en general, una B-matriz, como se
puede comprobar en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.3 La transpuesta de la matriz




21 −2 4
21 −4 8
A =  −2 10 2  es AT =  −4 10 9  ,
8
2 16
4
9 16
que claramente no es B-matriz.
9. La inversa de una B-matriz no es, en general, una B-matriz, como podemos comprobar en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.4 La inversa de la B-matriz


1 0,5 0,5
2 ,
A= 2 3
4 9 16
no es B-matriz.
10. Todas las submatrices principales de A son B-matrices.
11. Si A es simétrica, entonces es definida positiva.
12. Sea A una Z-matriz, entonces son equivalentes:
(i) A es B-matriz.
(ii) La suma de cada fila de A es positiva.
(iii) A es SRDD con entradas de la diagonal positivas.
De esta propiedad se deduce que A es B-matriz y Z-matriz simultáneamente si y
sólo si A es M -matriz.
3
Manuel F. Abad, Marı́a T. Gassó, Juan R. Torregrosa.
13. Sea A una Z-matriz. Como hemos visto en el punto anterior, si además es B-matriz
implica que es M -matriz. Pero si A es M -matriz no tiene por qué ser B-matriz, como
podemos ver en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.5 La matriz


1
−0,5 −0,2
1
−0,5  ,
A =  −0,5
−0,5 −0,5
1
es M -matriz, pero no es B-matriz.
14. Sea D = diag(d1 , . . . , dn ), di > 0 para i = 1, . . . , n., entonces DA es B-matriz.
15. Sea D = diag(d1 , . . . , dn ), di > 0 para i = 1, . . . , n., entonces DAD−1 no es necesariamente B-matriz, como podemos comprobar en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.6 Sea la B-matriz


1 0,5 0,5
2 ,
A= 2 3
4 9 16
y sea la matriz diagonal positiva

3 0 0
D =  0 5 0 .
0 0 7

Es sencillo comprobar que DAD−1 no es una B-matriz.
16. Sea P una matriz permutación. Entonces P AP T es una B-matriz.
2.2.
Suma sub-directa de B-matrices
La suma sub-directa de matrices fue introducida por Johnson y Fallat en [1], recordemos en primer lugar el concepto:
Sean A, B matrices cuadradas de tamaño n1 y n2 , respectivamente, y sea k un entero
tal que 1 ≤ k ≤ mı́n{n1 , n2 }. Supongamos que A y B están particionadas de la siguiente
manera
A11 A12
B11 B12
A=
,
B=
,
A21 A22
B21 B22
donde A22 y B11 son matrices cuadradas de tamaño k × k. Entonces, la suma sub-directa
de orden k de A y B, expresada por C=A⊕k B, es la matriz de tamaño n1 + n2 − k:


A11
A12
0
C =  A21 A22 + B11 B12  .
0
B21
B22
Presentamos nuestro resultado principal acerca de la suma sub-directa de B-matrices.
Teorema 2.1 Sean A y B B-matrices de tamaño n1 y n2 respectivamente, particionadas
del modo mencionado anteriormente, y sea C = A ⊕k B, con 1 ≤ k ≤ mı́n{n1 , n2 }, la
suma sub-directa de orden k de A y B. Entonces C es una B-matriz.
4
Algunos resultados acerca de B-matrices.
2.3.
Producto Hadamard de B-Matrices.
En esta sección presentamos algunos resultados sobre el producto Hadamard de Bmatrices.
Teorema 2.2 Sean A y B B-matrices de tamaño n × n. Entonces el producto Hadamard
A ◦ B es una B-matriz.
Teorema 2.3 Sea A una B-matriz de tamaño n × n . Entonces el producto Hadamard
A ◦ A−1 es una B-matriz.
En general, el producto Hadamard de una B-matriz por la inversa de otra B-matriz
distinta no es una B-matriz, como se puede observar en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.7 Sean las B-matrices


21 −4 8
A =  −2 10 2  ,
4
9 16


1 0,5 0,5
2 .
B= 2 3
4 9 16
Es sencillo comprobar que el producto Hadamard A ◦ B −1 no es una B-matriz.
3.
DB-matrices.
Generalizamos la clase de B-matrices introduciendo el concepto de DB-matriz. Una
DB-matriz es una matriz real de tamaño n × n que satisface las condiciones (3) no sólo
para las filas sino también para las columnas. Presentamos caracterizaciones de este tipo
de matrices, sus relaciones con otras clases conocidas de matrices y sus propiedades hereditarias.
3.1.
Caracterización de las DB-matrices
Definición 3.1 Una n × n matriz real A = (aij ) se dice que es una DB-matriz si para
todo i = 1, 2, . . . , n
!
n
n
X
1 X
aik > 0
y
aik > aij , ∀j 6= i.
(5)
n
k=1
k=1
y, simultáneamente, para todo j = 1, 2, . . . , n
n
X
akj > 0
y
k=1
1
n
n
X
!
akj
> aij , ∀j 6= i.
k=1
Un ejemplo de esta clase de matrices serı́a el siguiente:
Ejemplo 3.1

1
0,5
0,4
2 −0,1  .
A =  0,3
0,2 −0,2
1

Es sencillo comprobar que la matriz A satisface las condiciones (5) y (6).
5
(6)
Manuel F. Abad, Marı́a T. Gassó, Juan R. Torregrosa.
Obviamente, toda DB-matriz es B-matriz, pero el recı́proco no es cierto, como se
puede comprobar en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3.2 La matriz


1 0,5 0,5
2 
A= 2 3
4 9 16
es una B-matriz pero no una DB-matriz.
3.2.
Propiedades de las DB-matrices
Enumeramos a continuación algunas propiedades hereditarias de las DB-matrices.
Sean A = (aij ) y B = (bij ) DB-matrices de tamaño n × n, y sea α un número real
positivo, entonces se cumple:
1. A + B es DB-matriz.
2. αA es DB-matriz.
3. El producto de DB-matrices no es DB-matriz.
Ejemplo 3.3 La matriz resultante de multiplicar por sı́ misma la matriz del ejemplo
3.1 no es DB-matriz.
4. AT es DB-matriz.
5. La inversa de A es DB-matriz. Además, si todas las entradas de A son positivas, la
inversa de A es M -matriz.
6. A es B-matriz y, en consecuencia, P -matriz.
7. A es no singular y su determinante es positivo.
8. Las submatrices principales de A son DB-matrices.
9. Sea D = diag(d1 , . . . , dn ), di > 0 para i = 1, . . . , n., entonces DA es una DBmatriz.
10. Sea D = diag(d1 , . . . , dn ), di > 0 para i = 1, . . . , n., entonces DAD−1 no es necesariamente una DB-matriz, como podemos comprobar en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3.4 Sea la DB-matriz del ejemplo 3.2, y sea la matriz diagonal positiva


0,1 0 0
D =  0 5 0 .
0 0 7
Es sencillo comprobar que DAD−1 no es una DB-matriz.
11. Sea P una matriz permutación. Entonces P AP T es una DB-matriz.
6
Algunos resultados acerca de B-matrices.
12. Se cumple lo siguiente para los elementos de la diagonal de una DB-matriz:
aii > máx{0, aij | j 6= i}
ajj > máx{0, aij | j 6= i}
(7)
13. Cada media de cada fila tiene como lı́mite inferior cualquier elemento de fuera de
la diagonal de la fila y como lı́mite superior el elemento de la fila perteneciente a la
diagonal. Cada media de cada columna tiene como lı́mite inferior cualquier elemento
de fuera de la diagonal de la columna y como lı́mite superior el elemento de la
columna perteneciente a la diagonal.
Además de las propiedades anteriores, se obtienen las que presentamos a continuación.
Proposición 3.1 Sea A una DB-matriz simétrica. Entonces A es definida positiva.
Proposición 3.2 Sea A una Z-matriz. Entonces, son equivalentes:
(i) A es una DB-matriz.
(ii) La suma de las filas de A y la suma de las columnas de A es positiva.
(iii) A es SRDD y SCDD con entradas positivas en la diagonal.
Corolario 3.1 Sea A una DB-matriz. Entonces A es Z-matriz si y sólo si es M -matriz.
Corolario 3.2 Sea A una Z-matriz. Entonces A es DB-matriz si y sólo si A es B-matriz.
Teorema 3.1 Sean A y B DB-matrices de tamaño n1 y n2 respectivamente, particionadas
como en el teorema 2.1, y sea C = A ⊕k B, con 1 ≤ k ≤ mı́n{n1 , n2 }, la suma sub-directa
de orden k de A y B. Entonces C es una DB-matriz.
4.
Completacı́ón de B-matrices parciales.
En esta última sección abordamos el problema de completación de B-matrices parciales. Una matriz parcial es una matriz en la cual algunas de sus entradas son especificadas y otras no. Cuando se le asignan valores a las entradas no especificadas, la matriz
resultante recibe el nombre de completación de la matriz parcial. En un problema de
completación nos planteamos bajo qué condiciones podemos obtener una completación de
una matriz parcial con algunas propiedades preestablecidas. Una matriz parcial decimos
que es una B-matriz parcial si cualquier submatriz completamente especificada es una
B-matriz. Estudiamos en este trabajo bajo qué condiciones una B-matriz parcial admite
una completación B-matriz.
Partiendo de la heredabilidad del concepto de B-matriz por diagonales positivas podemos, sin pérdida de generalidad, suponer que los elementos de la diagonal de las B-matrices
parciales están especificados y son unos.
Estudiamos, en primer lugar, el caso no posicionalmente simétrico, esto es, aquél en el
que las incógnitas aparecen en posiciones no simétricas de la matriz parcial.
Comenzamos con B-matrices parciales 3 × 3 donde sólo existe un elemento no especificado. Sea la B-matriz parcial
7
Manuel F. Abad, Marı́a T. Gassó, Juan R. Torregrosa.


1 a12
x
1 a23  .
A =  a21
a31 a32
1
Esta matriz admite completación B-matriz siempre que
−1 − a12 < x <
1 + a12
,
2
a12 ∈ ] − 1, 1[.
Para órdenes mayores de la B-matriz parcial, en general no existe completación Bmatriz, como se puede observar en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4.1 La B-matriz parcial de tamaño 4 × 4

1 a12
x a14
 a21
1 a23 a24
A=
 a31 a32
1 a34
a41
y a43
1




no admite completación B-matriz para ninguna combinación de valores de x e y.
En cuanto al caso posicionalmente simétrico (incógnitas en posiciones simétricas de la
matriz parcial), en general la respuesta al problema es negativa, como podemos comprobar
en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4.2 La B-matriz parcial


1 −0,8
x −0,7
 0,2
1 0,4
y 
,
A=
 z
0,1
1
0,2 
0,1
t 0,3
1
no admite completación B-matriz.
Sin embargo, podemos demostrar el siguiente resultado.
Teorema 4.1 Sea A una B-matriz parcial, posicionalmente simétrica, de tamaño 3 × 3
con diagonal especificada. Entonces A admite completación B-matriz.
Estamos trabajando para establecer condiciones bajo las cuales una B-matriz parcial,
posicionalmente simétrica, de tamaño n × n, n > 4, admite una completación B-matriz.
Referencias
[1] S. Fallat, C. Johnson, Sub-direct sums and positivity classes of matrices. Linear Algebra and its
Applications, 288 (1999), 149-173.
[2] C. Johnson. A Hadamard Product involving M -matrices. Linear and Multilinear Álgebra 1977, Vol.4,
pp. 261-264.
[3] J. M. Peña, A class of P-Matrices with applications to the localization of the eigenvalues of a real
matrix, Siam J. Matrix Anal. Appl. Vol. 22, No. 4, pp. 1027-1037, 2001.
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