Análisis no Lineal

Análisis no Lineal
• Se estudian estructuras que muestran comportamiento
dominado por un modo dúctil de falla
• Se supone que mediante un diseño por capacidad es
posible lograr un mecanismo de falla con estas
características
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w
x
M
Mp
Comportamiento
sección
φ
w 2
M− =
12
Viga doblemente empotrada con carga
uniforme monotónicamente creciente
Secciones de comportamiento elasto-plástico
Respuesta lineal-elástica hasta φp-Mp
Flujo plástico a Mp cte para φ > φp
DM elástico: Momentos máximos en los apoyos
y a la mitad de la luz
La estructura se mantiene en el rango elástico
hasta que la primera sección alcanza la fluencia
M+ =
w 2
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La primera fluencia ocurre en las secciones más
solicitadas: los apoyos
w = wp
Mto apoyo = Mp
Rótula
plástica
Rótula
plástica
M− =
wp
12
Carga de fluencia wp:
2
= Mp
wp =
12 M p
2
w
x
Primera fluencia
wp 2
M− =
= Mp
12
w = wp
Rótula
plástica
Rótula
plástica
Mp
Mp
2
w = wu
Rótula
plástica
Rótula
plástica
12 M p
δ =
2
wp
4
384 EI
Al incrementar la carga, se produce una
redistribuición de fuerzas internas: el momento
aumenta solamente en el tramo, permaneciendo
constante en los apoyos
M( / 2 ) =
∆M
wp =
w 2
− Mp
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para
w > wp
Esta condición se mantiene hasta que la sección en
/2 alcanza la fluencia, apareciendo una nueva
rótula
MECANISMO DE COLAPSO
w=wu
M( / 2 ) = M p =
δ u = δ p + ∆δ =
wu
8
wp
2
− Mp
4
384 EI
+
wu =
5( wu − w p )
16 M p
2
4
384 EI
2
w
Viga doblemente empotrada con carga
uniforme monotónicamente creciente
δ
x
M
Mp
Comportamiento
sección
φ
w
Zona plástica
wu
Zona de flujo
plástico
restringido
384EI / 5
4
1
wp
CURVA DE COMPORTAMIENTO w-δ
4
384EI /
Zona lineal
elástica
1
δ
Comentarios
w
M
Mp
wu
384EI / 5
1
wp
384EI /
1
4
4
Comportamiento
estructura
φ
φ
Comportamiento
sección
δ
•Nótese que posterior a la primera plastificación, las secciones de los apoyos
deberán ser capaces de deformarse en el rango no lineal hasta que se forme el
mecanismo
•Una vez que el mecanismo se ha formado, la estructura será capaz de
mantenerse totalmente plastificada mientras las secciones no alcancen el límite
definido por φu
•Esta respuesta requiere que las estructuras posean
•
Capacidad de redistribuir esfuerzos (grado de hiperestaticidad)
•
Capacidad de deformación en el rango no lineal (ductilidad)
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Comentarios
• Dependiendo del grado de hiper-estaticidad, y de la
capacidad de deformación de los elementos, la estructura
poseerá una reserva de capacidad después de la primera
fluencia
• Diseño H.A.:
• Diseño por capacidad para evitar modos de falla
frágiles
• Detallar para obtener capacidad de deformación en los
elementos
Capacidad de deformación
• Elementos de H.A. en flexión:
• Detallar para obtener capacidad de deformación en los
elementos: limitar cuantías de refuerzo longitudinal
para obtener falla por tensión del refuerzo
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Diseño por Capacidad
• Diseño de la estructura para
comportamiento y de falla deseado
obtener
el
tipo
de
• En el caso de elementos de H.A., se debe diseñar para que
la capacidad de los elementos esté dominada por la flexión,
evitando modos de falla frágil como corte, pandeo del
elemento, pandeo de las armaduras, traslapos, anclajes, etc.
Diseño por Capacidad - Ejemplo
w
M
Mp
Comportamiento
sección
x
w = wu
φ
Estado último
Rótula
plástica
Rótula
plástica
wu =
16 M p
2
• La viga se diseña en flexión, definiéndose el momento resistente Mp a lo
largo de toda la luz
• El corte de diseño se calcula con la carga última calculada del
mecanismo de colapso
Vdiseño =
8M p
wu
=
2
• La viga se diseña para tener una resistencia al corte mayor. De esta
forma, cuando se alcanza el mecanismo de colapso en flexión, aún
queda resistencia al corte
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Análisis Plástico Simple
• Se determina la resistencia de la estructura asociada a la
formación de un mecanismo de colapso
• Se considera estructuras que muestran comportamiento
dominado por un modo dúctil de falla
• Se supone que mediante un diseño por capacidad es
posible lograr un mecanismo de falla con estas
características
Métodos de Análisis Plástico
Requiere tres condiciones:
1. Equilibrio
F=0,
M=0
2. Condición de Momento Plástico Mmax ≤ Mp
3. Condición de mecanismo Suficientes rótulas para
formar un mecanismo
Nótese que estas condiciones son las tres condiciones generales que
se aplican a todo problema estructural: Equilibrio, Compatibilidad
y Leyes de los Materiales
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Métodos de Análisis Plástico
General: dos métodos de análisis plástico
• Método del
Mecanismo
• Método del
Equilibrio
Condición de Mecanismo
Límite superior.
Condición de Equilibrio
Es M ≤ Mp ?
Condición de Eqilibrio
Límite inferior.
Condición de Mto. Plástico
Se forma un
mecanismo ?
Cada método satisface inicialmente sólo dos condiciones. Se
debe verificar la tercera para examinar si la solución es la correcta.
Métodos de Análisis Plástico
• Método del
Mecanismo
Condición de Mecanismo
Límite superior.
Condición de Equilibrio
Es M ≤ Mp ?
•Este método es más fácil de aplicar
•Es muy utilizado, especialmente para marcos
Teorema del límite superior:
Para un mecanismo supuesto, la carga calculada es
siempre mayor o igual que la carga última real
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Métodos de Análisis Plástico
• Método del
Equilibrio
•
Condición de Eqilibrio
Límite inferior.
Condición de Mto. Plástico
Se forma un
mecanismo ?
Este método es más difícil de aplicar para estructuras de grado de
hiperestaticidad de 2 o más y/o para estructuras no simétricas
Teorema del límite inferior:
La carga calculada para una estructura con una distribución de
momentos en equilibrio, con valores arbitrarios de las redundantes,
es menor o igual que la carga última real si se cumple M ≤ Mp
Método del Mecanismo- Ejemplo
w
x
M
Mp
Comportamiento
sección
φ
wu
Mecanismo de colapso supuesto
Rótula
plástica
a
Rótula
plástica
b
•Se requieren tres rótulas en la luz para
definir el mecanismo de colapso
•Se supondrá una rótula en cada apoyo y otra
a distancia a del apoyo izquerdo
•Se cumple entonces la primera condición
referida a la formación de un mecanismo
cinemáticamente admisible
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Método del Mecanismo- Ejemplo
wu
Condición de Equilibrio
•Conocidos los valores del momento Mp en las
rótulas pláticas, se estudia el equilibrio del
sistema
Rótula
plástica
Rótula
plástica
a
b
•Incógnitas:
wu
VA, VB, Vr wu
•Resolviendo :
Mp
VA
Vr
Mp
wu =
wu
4Mp
ab
V A = VB =
Mp
VB
Vr
a
=
4Mp
a( − a )
2Mp
Mp
ab
b
Método del Mecanismo- Ejemplo
wu
θ
Condición de Equilibrio
a/( -a)θ
θ+a/( -a)θ
a
•Es usual estudiar el equilibrio
utilizando el Principio de los
Desplazamientos Virtuales
b
Wext = w u a
( − a) a θ = wu a θ
aθ
+ wu ( − a)
2
2 ( − a)
2
W int = M pθ + M p
(
a
θ + Mp θ +
− a)
Wext = W int
(
wu =
a
θ = 2 M pθ
− a)
(
− a)
4Mp
a( − a )
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Método del Mecanismo- Ejemplo
wu
Mp
Mp
VB
VA
a
Condición de Momento Plástico
•Se estudia la distribución de momento a
lo largo del elemento
b
x2
− Mp
2
M( x ) = VA x − wu
M max = M p
2
2 a( − a )
M max
para
x=
VA
=
wu 2
−1
•Se aprecia que si a < /2, entonces Mmax > Mp
•La condición de momento plástico se satisface solamente si a = /2 , es decir,
si la rótula está en la mitad de la luz, resultado que coincide con el análisis
anterior
Método del Mecanismo- Ejemplo
wu
Condición de Momento Plástico
Mp
VB
VA
a
Mp
b
wu =
•Esta condición se puede imponer
directamente utilizando el teorema del
límite superior: la carga última real es la
menor de todos los posibles mecanismos
4Mp
ab
=
4Mp
a( − a )
•Se aprecia claramente que esta expresión es mínima cuando a = /2
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