Ayudantía 1 - Cálculo III | MAT1630, Sección 3

Ayudantía 1 - Cálculo III | MAT1630, Sección 3

P ONTIFICIA U NIVERSIDAD C ATÓLICA DE C HILE
FACULTAD DE M ATEMÁTICAS
D EPARTAMENTO DE M ATEMÁTICA
MAT1630-3: C ÁLCULO III
2 / 2010
Ayudantía 1
1. Topología en Rn
Definición 1 (Norma). Diremos que una función ∥ · ∥ : Rn → R es una norma si satisface lo siguiente:
1. ∥x∥ ≥ 0, ∀x ∈ Rn y ∥x∥ = 0 ⇐⇒ x = 0.
2. ∥αx∥ = |α|∥x∥, ∀x ∈ Rn , α ∈ R.
3. ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥, ∀x, y ∈ Rn . (Desigualdad Triangular)
(Rn , ∥ · ∥) se dice un espacio vectorial normado (e.v.n).
Nosotros trabajaremos con la norma euclidiana, dada por:
(
∥x∥ =
n
∑
i =1
)1
2
|x i |
2
, x = (x 1 , . . . , x n )
Diremos que la distancia entre dos puntos x, y ∈ Rn está dada por:
d (x, y) = ∥x − y∥ = ∥y − x∥
Una función de distancia entre puntos da sentido a las siguientes definiciones:
Definición 2. Dado x ∈ Rn y r > 0 , llamamos bola abierta centrada en x de radio r al conjunto:
B (x, r ) := {y ∈ Rn : d (x, y) < r }
Definición 3. Dado un subconjunto E de Rn (puede darse E = Rn ), se dice que c ∈ Rn es un punto límite de E si,
para cada ϵ > 0, hay un x ∈ E tal que
0 < d (c, x) < ϵ
i.e. B (c, ϵ) r {c} contiene un punto de E .
Definición 4. Dado un conjunto E ⊂ Rn , se dice que c ∈ E es un punto interior de E si existe un r > 0 tal que
B (c, r ) ⊂ E .
Definición 5.
1. Un conjunto E en Rn se dice abierto si cada punto de E es interior.
2. Un conjunto E en Rn se dice cerrado si contiene a todos sus puntos límites.
Usaremos a veces el hecho de que A es cerrado si su complemento A c (= Rn r A ) es abierto (y viceversa).
Definición 6 (Frontera). Sea A ⊆ Rn no vacío y q ∈ Rn . Diremos que q es un punto frontera de A si para todo r > 0
se tiene que B (q, r ) ∩ A ̸= ∅ y B (q, r ) ∩ A c ̸= ∅. Además, definimos la frontera de A como
{
}
∂A = q ∈ Rn : B (q, r ) ∩ A ̸= ∅, B (q, r ) ∩ A c ̸= ∅, ∀r > 0 ,
es decir, el conjunto de todos los puntos frontera.
Juan Pablo Vigneaux Ariztía ([email protected])
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P ONTIFICIA U NIVERSIDAD C ATÓLICA DE C HILE
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2 / 2010
Ejercicios
1. Sea c ∈ Rn , r > 0. Demuestre que el conjunto B (c, r ) es abierto. ¿Qué puede decir de B (c, r ) r {c}?
2. Demuestre que si A, B ⊆ Rn son abiertos, entonces A ∪ B y A ∩ B son conjuntos abiertos.
3. Sea A ∈ Rn . Muestre que ∂A es un conjunto cerrado.
2. Geometría en R3
Recordamos simplemente que un plano de normal ⃗
n que pasa por el punto p⃗0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) tiene ecuación:
⃗) ·⃗
(p⃗0 − p
n=0
⃗ = (x, y, z) es variable.
donde p
Ejercicios
1. Grafique las funciones:
a) f (x, y) = 2x 2 + 3y 2
b) f (x, y) = x y
2. Caracterice el dominio de f (x, y) =
√
x 2 − y 2 + 16. ¿Es abierto? ¿Es cerrado?
√
3. Sea Ω ⊂ R3 el sólido bajo x 2 + y 2 + z 2 = 4 y sobre z = x 2 + y 2 . Dibuje el conjunto Ω y caracterícelo analíticamente. Parametrice la curva de intersección.
Juan Pablo Vigneaux Ariztía ([email protected])
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