“Diseño de un curso inicial de matemática basado en un eje

“Diseño de un curso inicial de matemática basado en un eje

“Diseño de un curso inicial de matemática basado en un eje conceptual”
Autores: Guardarucci M. Teresa y Bucari Nestor
Lugar de trabajo: Departamento de Ciencias Básicas – Facultad de Ingeniería (UNLP)
e-mail: marité@mate.unlp.edu.ar – [email protected]
Resumen:
El propósito del presente trabajo es relatar un aspecto de una experiencia de cambio curricular
y metodológico en la enseñanza de contenidos de matemática destinados a alumnos ingresantes
a las carreras de Ingeniería de la UNLP.
El aspecto innovador de la experiencia que queremos destacar en este caso es el desarrollo de
contenidos siguiendo un eje temático: el estudio de la variación en funciones de una y varias
variables, y en funciones a valores vectoriales. Tradicionalmente estos cursos, y la bibliografía
correspondiente, desarrollan todo el cálculo diferencial e integral en una variable, para luego
iniciar el estudio en varias variables.
Enmarcada en un cambio de plan de estudios en el año 2001, la experiencia se inició con la
premisa básica de construir y no de imponer conocimiento; esto llevó a replantearse el currículo
de las materias de Matemática, tanto en el aspecto de la selección y organización de contenidos
así como en la manera de concebir a la actividad en el aula, en el convencimiento de el protagonista no debe ser el profesor expositor, sino que debía conformarse un espacio en el cual todos
trabajen.
A la hora de seleccionar contenidos, la experiencia de los docentes indicó que al retomar el
cálculo diferencial en varias variables, habiendo desarrollado en medio el cálculo integral de
una variable, se debían recuperar permanentemente conceptos afines en una variable. Por el
contrario, si se dedica el curso a trabajar exclusivamente en el cálculo diferencial, puede desarrollarse la enseñanza desde una visión de unidad conceptual –con eje en la variación funcional- y proponer una pequeña cantidad de situaciones motivadoras las cuales se trabajan en un
contexto, y luego se retoman en contextos más generales, haciendo evidente la necesidad de
herramientas adecuadas para su tratamiento, siempre vinculadas a los ejes conceptuales definidos de antemano.
En la opinión mayoritaria de los docentes que concibieron la propuesta la enseñanza de la matemática debe ser principalmente constructiva y es por ello que se desarrolló material didáctico
coherente con esa posición. El material de clase, por lo tanto, se preparó con el propósito de
posibilitar que el alumno adquiera autonomía, se cuestione situaciones, pueda inferir resultados
y por último esté en condiciones de abordar los temas con un grado creciente de formalismo.
En cuanto a los cambios observados – a cuatro años de iniciada la experiencia-, se destacan la
capacidad de autoaprendizaje que desarrollan los alumnos, su asistencia y permanencia en el
aula en un clima de trabajo y discusión grupal, la actitud inquisitiva del alumno que ya no espera una demostración y su aceptación para resolver los ejercicios impuestos en un trabajo práctico, sino que cuestiona el contenido hasta su aceptación por convencimiento.
1. Antecedentes
La experiencia cuenta con los siguientes antecedentes:
a. En la Facultad de Ingeniería: coincidentemente con una reforma de los planes de estudio aprobada en el año 1988, se dispusieron cambios metodológicos que, de manera
prescriptiva, establecieron cómo debería ser el formato de las clases de Matemática y
de otras asignaturas iniciales. En las prescripciones metodológicas y organizativas
orientadas a la articulación de teoría y práctica en el marco de las “Nuevas Pautas Metodológicas y de Organización de Académica” se dispuso la integración de las clases
teóricas con las prácticas. Se orientó la actividad áulica hacia el desarrollo de clases
tipo consulta, en reemplazo de las clases magistrales, con asistencia de los alumnos a
clase y con una supuesta lectura previa de los temas. A poco de andar, y por distintos
factores, lo significativo del cambio se dejó de lado y la actividad en las aulas retomó
los carriles tradicionales. Un análisis de esta experiencia, en lo relativo a las asignaturas de matemática puede encontrarse en Bucari, Abate y Melgarejo (2007).
b. En la Facultad de Ciencias Exactas (UNLP): A partir del año 2000, también en ocasión de una reforma curricular para las carreras de orientación Química, Bioquímica y
Farmacéutica, se dispuso la adopción para todas las asignaturas de una “metodología
teórico-práctica”. En ese momento, los autores tuvieron participación en la adaptación de esa forma de trabajo a la asignatura “Análisis Matemático I” y advirtieron la
necesidad de dotar de contenido a la expresión “enseñanza teórico-práctica” en el caso
de esta asignatura. Entre los aspectos que se definieron se destacan:
•
La necesidad de favorecer el trabajo colaborativo entre los estudiantes.
•
Utilizar, por medio de actividades guiadas, los métodos constructivos para la
apropiación de los saberes matemáticos.
•
La conveniencia de desarrollar clases teórico-prácticas sin esquema fijo de uso de
pizarrón, respetando los tiempos de aprendizaje del alumno sin por ello dejar de
ajustarse a un cronograma
•
La intención de configurar el programa de la materia con contenidos articulados y
que son desarrollados a partir de la necesidad de su estudio para una cuestión actual, y no por la mera promesa de una necesidad a futuro; alejándose de este modo
del programa mosaico, entendido como una serie de contenidos no necesariamente articulados entre si.
Estas experiencias1, y sobre todo los debates sobre sus características, se constituyen en
antecedentes necesarios de la propuesta que motiva este trabajo.
2. Definiciones
Tal como se ha dicho en el Resumen, el marco para la experiencia fue una reforma en los planes
de estudio de las carreras de Ingeniería producido en el año 2002. En el área de Matemática
Básica las características principales de la reforma y su contexto institucional pueden encontrarse en el trabajo de Bucari, Abate y Melgarejo (2004), del cual citamos la siguiente descripción:
“…El análisis de los aspectos específicos, llevado a cabo a partir de nuestra propia experiencia y de la percepción que tenían otros sectores de la Facultad, “usuarios” de la Matemática que nosotros enseñábamos, indicó la necesidad de diseñar una propuesta de cambio
curricular que aportara a la solución de los siguientes problemas:
• El fracaso de los estudiantes en el primer año de sus carreras, asociado con su bajo rendimiento en las asignaturas de matemáticas.
• La dificultad de los estudiantes a la hora de recuperar los conceptos matemáticos en
otros contextos.
• La escasa integración de las asignaturas de matemáticas con el resto de las áreas y mate-
rias.
…”
En vista de ese propósito se diseñó en un esquema que contemplara, entre otros planos, los siguientes: la organización de los contenidos alrededor de ejes conceptuales comunes, y una reorientación metodológica.
En cuanto a la organización de contenidos, se propuso un trayecto básico y común a todas las
carreras, estructurado con los ejes:
1
•
Diferenciación en una y varias variables (Matemática A)
•
Integración en una y varias variables (Matemática B)
•
Álgebra lineal, sistemas lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias, series numéricas y funcionales, incluyendo el tratamiento numérico de estos temas (Matemática
C).
La experiencia en Ciencias Exactas sigue vigente, con otros protagonistas, hasta la actualidad. Sin
embargo ha encontrado serios obstáculos para su evolución. Algunos, consecuencia de un contexto institucional al que no le ha sido posible proveer de los recursos necesarios (aulas adecuadas, suficiente personal docente) y otros debidos a las concepciones docentes fuertemente ligadas a las formas tradicionales
de enseñanza.
Con esta organización de contenidos, basada en ejes conceptuales más que en la suma de contenidos se buscó favorecer la articulación entre materias afines, una mayor unidad conceptual
y metodológica y la posibilidad de secuenciar el aprendizaje con un grado creciente en la dificultad de los temas y en el nivel de formalización con el que se presentan ala estudiante.
La tabla siguiente – adaptada del trabajo citado más arriba – describe los cambios en la estructura de los planes de estudio referidos al trayecto de matemática de los tres primeros semestres:
PLAN 1988
Semestre
1
Materias
- Análisis Matemático I
- Geometría Analítica
- Álgebra
Total 1er semestre
PLAN 2002
hs/sem
hs/sem
6
6
- Matemática A
12
6
18
Análisis Matemático II
6
Total 2º semestre
6
-Análisis Matemático III
6
Total 3er semestre
6
2
Materias
12
- Matemática B
12
12
- Matemática C
9
3
9
Tabla 1: Comparación de los trayectos iniciales de Matemática en ambos planes de estudio
En lo referido a la reorientación metodológica, se buscó implementar una forma teórico –
práctica integrada, propiciar la actualización de la bibliografía y del material didáctico, e incorporar nuevos recursos didácticos en el aula (libros de texto y acceso a equipos de computación).
3. Construcción
La propuesta la construyó un equipo de trabajo conformado por docentes de todas las categorías
de la cátedra y con el intercambio de opiniones con docentes de cátedras afines. Fundamentalmente se debió dedicar un tiempo importante a compatibilizar y definir contenidos de las asignaturas, teniendo presente que los mismos se desarrollarían en un orden no convencional.
Por otro lado, en la opinión mayoritaria de los docentes que concibieron la propuesta la enseñanza de la matemática debe ser principalmente constructiva y es por ello que se preparó material coherente con esa posición. El material de clase, por lo tanto, se preparó para posibilitar que
el alumno adquiera autonomía, se cuestione situaciones, pueda inferir resultados y por último
esté en condiciones de abordar los temas con un grado creciente de formalismo.
Las actividades también contemplaron una interacción con el uso de PC, como una manera de
visualizar geométricamente las aseveraciones realizadas y acostumbrar al alumno a que los resultados obtenidos no son un mero manipuleo de fórmulas sino que tienen una concepción tangible que puede ser escrita y trabajada en lenguaje matemático.
Inicialmente la Facultad se ha propuesto la formación de grupos de cursada de 60 alumnos con 4
docentes por grupo. Los alumnos asisten 12 hs semanales a clase (720 hs alumno) y los 4 docentes tienen una carga horaria total frente a alumnos de 33 hs, por lo que se intenta sostener
una relación docente- alumno de 22 alumnos por docente. Se ha destinado para el dictado aulas
planas dotadas de 10 mesas con 1 PC, en cada una se ha instalado soft matemático y una biblioteca con ejemplares de la bibliografía recomendada por la cátedra.
4. La clase
Ilustraremos el desarrollo de una clase mediante la actividad que se propone a los estudiantes el
primer día de clase. Esta clase es particularmente importante, pues es el primer encuentro de los
estudiantes con sus docentes y con una propuesta de trabajo diferente. En general, se dan algunas consignas elementales2, y directamente se pasa a trabajar en el material:
Guía 1
Funciones, modelos y gráficas
Situación 1
Se desea construir un depósito de base cuadrada y 36 m3 de capacidad.
Resuelvan:
1. ¿Qué altura debe tener el depósito si el lado de la base tiene una longitud de 2 m?
2. ¿Cuál es la longitud del lado de la base si la altura es de 4 m?
3. ¿Es cierto que dado un número cualquiera l es posible construir un depósito de manera que el lado de la
base mida l ?
4. Llamemos l a la longitud del lado de la base y h a la altura del depósito. ¿Es válida la siguiente expresión?
h=
36
l2
5. Por ejemplo, si l = 223 cm, ¿cuánto indica la expresión anterior que debe valer h? ¿Qué se debe aclarar
para que la expresión anterior sea correcta?
Supongan ahora que el costo del depósito se cotiza a $100 por cada metro cuadrado de pared construida.
Resuelvan:
6. ¿Cuánto costará construir un depósito cuya base mida 5 metros de lado? Incluyan el piso y la tapa.
7. Determine el costo de construir un depósito de altura h y lado de la base l (ambas medidas en metros).
8. ¿Cuánto costará construir un depósito con l = 1 m? ¿y con l = 1,5 m?
9. Exprese el costo de construir un depósito cuya base tiene lado de longitud l. ¿Para qué valores de l es válida la expresión obtenida?
10. Es más barato construir un depósito de base pequeña y altura grande, o bien uno de base grande y altura
pequeña? ¿Cómo lo decide?
11. ¿Cómo haría para decidir las medidas del depósito para gastar lo menos posible?
Las dos primeras cuestiones permiten a los alumnos pisar terreno familiar, el de las ecuaciones;
a la vez que comienzan a generar esquemas de la situación. Las siguientes tres preguntas ya nos
introducen en cuestiones más ligadas al uso de variables, y a cuestionar la validez de las expresiones obtenidas algebraicamente en vista del contexto del cual provienen (lo cual es introductorio a las cuestiones relacionadas con el dominio de una función).
El siguiente grupo de preguntas se encamina a presentar el problema de costo mínimo. Se discute bastante y se debate sobre distintas alternativas (tablas de valores, gráficas, tanteo, etc.). Sur2
Las aulas están amobladas con mesas y bancos, cada mesa con capacidad para 6 a 8 estudiantes. Al
entrar al aula por primera vez, generalmente los alumnos ocupan sólo un lado de las mesas, de manera de
quedar todos enfrentando al pizarrón; de manera que la primera indicación es que se sienten alrededor de
las mesas, puesto que la mayor parte del tiempo la actividad estará en la mesa y no en el pizarrón.
gen situaciones muy interesantes que evidencian concepciones más frecuentes de lo que se supone3. El problema, por último, sirve para ilustrar qué se espera conseguir como uno de los objetivos del curso.
El mismo problema será retomado luego en varias ocasiones: la expresión del costo en función
del lado ejemplificará una función racional y tendrá interés para el problema el estudio del comportamiento asintótico en 0+ y en +∞ ; será más tarde un problema de optimización a resolver
estudiando el crecimiento de la función; y al final del curso podremos verlo como un problema
de mínimo para una función de dos variables (el costo) sujeto a una restricción, y resolverlo con
comodidad usando el método de los multiplicadores de Lagrange.
5. Obstáculos
Por ser la Matemática una ciencia con un lenguaje propio altamente formal, algunos protagonistas, docentes y alumnos, encuentran en algunas características de esta forma de trabajo un escollo difícil de salvar.
Por un lado el docente que, educado en el formalismo, desea prestigiar la forma por sobre la
construcción de la idea y le cuesta no hacer una presentación formal del tema. Esperar la comprensión y manejo del tema por parte del alumno, y admitir una fundamentación que indique
que el tema ha sido aprendido aunque todavía no sea capaz de escribirlo rigurosamente, por
estar el alumno en la primera materia de matemática de su formación, es una cuestión que debe
ser trabajada por el equipo docente.
Por otro lado, el alumno que proviene de una formación meramente formal y que espera que
toda presentación sea concluida con una receta que le enseñará a resolver la situación, debe ser
contenido por el docente del curso para que se le haga evidente de que una idea incorporada por
la vía de la construcción y no de la imposición del conocimiento es la que realmente lo ayudará
a desenvolverse en su vida profesional.
Si bien está claro que no puede haber Matemática sin formalización, la propuesta se desarrolla
sin perder de vista que el alumno recién está empezando a aprender un concepto y que es necesario esperar que lo comprenda, pueda expresar conclusiones, pueda entenderlo cuando se le
presenta en un lenguaje más formal y recién luego empiece a desarrollar la capacidad de incorporar conocimiento matemático en una presentación en la que predominen las ideas más generales.
Señalemos que la implementación de la propuesta requiere de recursos humanos, en cantidad
suficiente y comprometidos con los fundamentos, y de la disponibilidad de espacios adecuados.
De manera que debe hacerse un esfuerzo para la consolidación de equipos estables y para la
adaptación de espacios adicionales cuando el crecimiento de la matrícula así lo indique.
6. Logros
En cuanto a los cambios observados, se destaca la capacidad de autoaprendizaje que desarrollan
los alumnos, su asistencia y permanencia en el aula en un clima de trabajo y discusión grupal, la
actitud inquisitiva del alumno que ya no espera una demostración y su aceptación para resolver
los ejercicios impuestos en un trabajo práctico, sino que cuestiona el contenido hasta su aceptación por convencimiento. Es de resaltar la disposición a completar el conocimiento y resolver
dudas con la lectura de los libros existentes en la biblioteca del aula y de apoyar la verificación,
geométrica o analítica, de las resoluciones obtenidas con el uso de las PC. Por otro lado, la continuidad del tema tratado lleva a que se pueda enfatizar que los resultados en varias variables no
son mera consecuencia de un resultado teórico sino que son simplemente la extensión del mismo concepto a situaciones donde más de una variable está presente.
3
Por ejemplo, a pesar de haber respondido correctamente (y en apariencia comprendido) la pregunta 4.
(esto es, que la expresión es válida para l > 0 ) muchos estudiantes se sorprenden de que sean aceptables
valores de l menores que 1 o, en general, valores no enteros de l. Suele estar el alumno que propone que
el depósito de menor costo será el cubo pero la imposibilidad de poder demostrarlo genera la necesidad de
iniciar el abordaje de conocimiento matemático que permita comprobar si lo aseverado es verdad.
Referencias
−
Carretero M. ( 2004): Constructivismo y Educación. Aique, Buenos Aires
−
Bucari N. , Abate S., Melgarejo A. (2004): Un cambio en la enseñanza de las matemáticas en las carreras de Ingeniería de la UNLP – Anales del IV CAEDI, Buenos
Aires.
−
Bucari N., Abate S., Melgarejo A. (2007) : Estructura didáctica e innovación en educación matemática – Revista Argentina de Enseñanza de la Ingeniería Nº .