MODELOS MATEMÁTICOS EN BIOLOGÍA

MODELOS MATEMÁTICOS EN BIOLOGÍA
Clave: 66815
Carácter: Optativa
Tipo: Teórica
Créditos: 6
Horas
Teoría: 3
Práctica: 0
Horas por semana
3
Objetivo general:
Desarrollar la capacidad de analizar sistemas médicos o biológicos mediante modelos
matemáticos.
Objetivos específicos:
El estudiante podrá analizar sistemas médicos o biológicos mediante modelos matemáticos
basados en ecuaciones en diferencias finitas, ecuaciones diferenciales y procesos estocásticos.
El curso está dirigido a estudiantes con nociones de álgebra y cálculo diferencial.
Contenido Temático
Unidad I.
Ecuaciones en diferencias finitas
1.1
Ecuaciones en diferencias finitas lineales.
1.2
Métodos iterativos.
1.3
Ecuaciones en diferencias finitas no lineales.
1.4
Soluciones estacionarias y estabilidad.
1.5
Ciclos y estabilidad.
1.6
Caos y cuasiperiodicidad.
1.7
Ejemplo sugerido: Caos en células cardíacas estimuladas periódicamente.
Unidad II.
Ecuaciones diferenciales unidimensionales
2.1
Conceptos básicos.
2.2
Soluciones estacionarias y puntos fijos.
2.3
Análisis geométrico de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales.
2.4
Análisis algebraico de puntos fijos.
2.5
Perturbaciones temporales impulsivas, respuestas transitorias y convolución.
2.6
Ejemplos sugeridos: Fechamiento por técnicas de radiocarbono, Crecimiento de tumores
de Gompertz, Ecuaciones de Hodgkin-Huxley para potenciales eléctricos a través de una
membrana de axón de células nerviosas.
Unidad III.
Ecuaciones diferenciales bidimensionales
3.1
El oscilador armónico.
3.2
Soluciones, trayectorias y flujos.
3.3
Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales bidimensionales.
3.4
Sistemas de ecuaciones lineales acopladas de primer orden y el problema de valores
propios.
3.5
El espacio fase.
3.6
Análisis de estabilidad local.
3.7
Ciclos límite.
3.8
Ejemplos sugeridos: Ecuaciones de Lotka-Volterra para sistemas de predador y presa.
Ecuaciones de Lorenz para patrones climáticos, Modelo de administración y evaluación de
fármacos, Dinámica de interacción de partículas virales y leucocitos, Metástasis de tumores
malignos.
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Unidad IV.
Procesos estocásticos
4.1
Movimiento browniano en una dimensión.
4.2
Caminatas aleatorias y la Ecuación Maestra.
4.3
Procesos de Markov.
4.4
Ecuación de Chapman-Kolmogorov.
4.5
Ecuación de Langevin.
4.6
Ecuación de Fokker-Planck.
4.7
Solución estacionaria de la ecuación de Fokker-Planck para potenciales biestables.
4.8
Ejemplos sugeridos: Modelo estocástico de reacciones químicas sin difusión, Modelo
estocástico de formación de costras sanguíneas.
Unidad V.
Sinergismo y auto-organización
5.1
Organización y eliminación adiabática de variables: parámetros de orden y de control.
5.2
Auto-organización y retroalimentación de sistemas acoplados.
5.3
Potenciales biestables y ecuaciones de reacción-difusión.
5.4
Fluctuaciones, adaptabilidad y ruptura espontánea de la simetría.
5.5
Ejemplos sugeridos: Modelo de morfogénesis de órganos florales, Modelo del SIDA
como una transición de fase.
Unidad VI.
Tópico optativo: Redes booleanas y autómatas celulares
6.1
Elementos y redes.
6.2
Variables booleanas, funciones y redes.
6.3
Redes booleanas aleatorias.
6.4
Autómatas celulares.
6.5
Ejemplo sugerido: Modelo de locomoción de salamandra.
Bibliografía Básica:
- H. Haken, Synergetics, Springer-Verlag, Berlin, 1978.
- N. G. Van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry, North Holland Publishing
Co., Amsterdarm, 1981.
- J. D. Murray, Mathematical Biology, Springer, Berlin, 1989.
- C. Castillo-Chávez y et-al, Mathematical Approaches for Emerging and Reemerging Infectious
Diseases, Springer, New York, 2002.
- D. Kaplan y L. Glass, Understanding Nonlinear Dynamics, Springer, New York , 1995.
- Allman Elizabeth S. y Rhodes John A., Mathematical Models in Biology, Cambridge University
Press, Cambridge, 2004.
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