Problema 9 - Matemáticas

Matemáticas para Economistas II
LECCIÓN 3.- FORMAS CUADRÁTICAS
PROBLEMA 9
El gobierno central ha decidido introducir un nuevo impuesto sobre la circulación de los
automóviles, que gravaría la emisión de humo y los kilómetros recorridos anualmente. El
impuesto sería:
T = t2 + k2 - 4tk
donde:
t = kilos de humo emitidos
k = miles de kilómetros recorridos.
El nuevo impuesto tratará de paliar el incremento del déficit energético, así como,
reducir el impacto medio ambiental. Pero lo que el gobierno no está dispuesto, dada la crisis
existente, es a tener que devolver a ningún contribuyente por este nuevo impuesto, por lo
que le encarga a usted que compruebe este último punto, sabiendo que cada 4.000 Km.
recorridos se emite por término medio un kilo de humo (dato importante ante la
imposibilidad de medir independientemente ambas variables).
Solución:
El nuevo impuesto puede considerarse como una forma cuadrática en las variables t
y k:
T( t, k ) = t2 + k2 - 4tk
que, por tanto, tiene como matriz simétrica asociada:
 1 − 2

A = 
2
1
−


El hecho de que el gobierno no quiere devolver dinero con este impuesto se traduce
en que la forma cuadrática no debe tomar valores negativos para ningún t, k. Es decir, debe
ser al menos semidefinida positiva. Pero en este caso no tiene por qué poseer ese carácter
para cualquier t y k ( de hecho, es fácil ver que T sin restringir es indefinida ), ya que
sabemos que debe verificarse que por cada 4.000 Km. recorridos se emite un kilo de humo,
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es decir t y k deben verificar la ecuación t = k, o lo que es lo mismo k = 4t. Por tanto,
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debe ser, al menos, semidefinida positiva la forma cuadrática
 1 − 2  t 
 
T( t, k ) = ( t k )
1   k 
− 2
sujeto a: k = 4t
Veamos si esto es así, sustituyendo la igualdad de la restricción en T, obtenemos:
TR( t ) = t2 + (4t)2 – 4t(4t) = t2 + 16t2 – 16t2 = t2
luego T es definida positiva, por lo que el impuesto reúne las condiciones exigidas para su
aplicación.
 R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
Matemáticas para Economistas II
 R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz